Составить задачу и решить ее с помощью системы уравнений

Алгоритм решения задачи с помощью системы линейных уравнений

1. Обозначить неизвестные величины переменными («от смысла к буквам»).
2. По условию задачи записать уравнения, связывающие обозначенные переменные.
3. Решить полученную систему уравнений.
4. Истолковать результат в соответствии с условием задачи («от букв к смыслу»).

Задуманы два числа. Если от первого отнять второе, то получается 10. Если к первому прибавить удвоенное второе, то получается 91. Найдите задуманные числа.

«От смысла к буквам»:

Пусть x и y — задуманные числа.

Уравнения по условию задачи::

Решение системы уравнений:

«От букв к смыслу»:

Задуманы числа 37 и 27.

Примеры

Пример 1. Периметр прямоугольника равен 48 см. Его длина больше ширины в 3 раза.

Найдите стороны прямоугольника.

Пусть a и b — длина и ширина прямоугольника.

$$ <left< begin P = 2(a+b) = 48 \ a = 3b end right.> Rightarrow <left< begin a+b = 24 \ a = 3b end right.> Rightarrow <left< begin 3b+b = 24 \ a = 3b end right.> Rightarrow <left< begin 4b = 24 \ a = 3b end right.> Rightarrow <left< begin a = 18 \ b = 6 end right.> $$

Ответ: длина прямоугольника 18 см, ширина 6 см.

Пример 2. Два программиста из Бомбея, работающие в одном проекте, написали 100500 строк кода. Первый работал 70 дней, второй – 100 дней. Сколько строк писал каждый программист ежедневно, если за первые 30 дней первый написал на 5550 строк больше, чем второй?

Пусть x — ежедневное количество строк для 1-го программиста, y- для 2-го.

$$ <left< begin 70x+100y = 100500 |:10 \ 30x-30y = 5550 |:30 end right.> (-) Rightarrow <left< begin 7x+10y = 10050 \ x-y=185 | times 10 end right.>$$

$$ Rightarrow (+) <left< begin 7x+10y = 10050 \ 10x-10y = 1850 end right.> Rightarrow <left< begin 17x = 11900 \ y = x-185 end right.> Rightarrow <left< begin x = 700 \ y = 515 end right.> $$

Ответ: 700 строк и 515 строк

Пример 3. За 2 кг конфет и 3 кг печенья заплатили 1540 руб. Сколько стоит 1 кг конфет и 1 кг печенья, если 2 кг печенья дороже 1 кг конфет на 210 руб.?

Пусть x — цена за 1 кг конфет, y — за 1 кг печенья.

$$ <left< begin 2x+3y = 1540 \ 2y-x = 210 | times 2 end right.> Rightarrow (+) <left< begin 2x+3y = 1540 \ -2x+4y = 420 end right.> Rightarrow <left< begin 7y = 1960 \ x = 2y-210 end right.> Rightarrow <left< begin x = 350 \ y = 280 end right.> $$

Ответ: 1 кг конфет — 350 руб. и 1 кг печенья — 280 руб.

Пример 4. Катер за 3 ч движения против течения реки и 2 часа по течению проходит 73 км. Найдите собственную скорость катера и скорость течения, если за 4 ч движения по течению катер проходит на 29 км больше, чем за 3 ч движения против течения.

Пусть v — скорость катера (км/ч), u — скорость течения (км/ч).

$$ Rightarrow <left< begin 5v-u = 73 \ v+7u = 29 end right.> Rightarrow <left< begin 5(29-7u)-u = 73 \ v = 29-7u end right.> Rightarrow <left< begin 145-35u-u = 73 \ v = 29-7u end right.> Rightarrow$$

Ответ: скорость катера 15 км/ч и скорость течения 2 км/ч

Пример 5. 5 карандашей и 3 тетрадки вместе стоили 170 руб. После того, как карандаши подешевели на 20%, а тетрадки подорожали на 30%, за 3 карандаша и 5 тетрадок заплатили 284 руб. Найдите первоначальную цену карандаша и тетрадки.

Пусть x – первоначальная цена карандаша, y — тетрадки.

$$ <left< begin 5x+3y = 170 \ 3cdot0,8x+5cdot1,3y = 284 end right.> Rightarrow <left< begin 5x+3y = 170 |times frac \ 2,4x+6,5y = 284 end right.> Rightarrow (-) <left< begin 2,4x+1,44y = 81,6 \ 2,4x+6,5y = 284 end right.> $$

Ответ: карандаш сначала стоил 10 руб., тетрадка — 40 руб.

Пример 6*. Велосипедист планирует добраться из пункта А в пункт В. Если он будет ехать на 3 км/ч быстрее, чем обычно, он доберётся на 1 час раньше. А если он будет ехать на 2 км/ч медленней, чем обычно, то – на 1 час позже. Найдите обычную скорость велосипедиста и время поездки при этой скорости.

Пусть v – обычная скорость велосипедиста (км/ч), t — обычное время (ч).

Расстояние между А и В неизменно, и по условию равно:

Ответ: обычная скорость 12 км/ч, время 5 ч

Пример 7*. В одной бочке налито 12 л, во второй – 32 л. Если первую бочку доверху наполнить водой из второй, то вторая бочка будет наполнена ровно наполовину своего объёма. Если вторую бочку доверху наполнить водой из первой, то первая бочка будет наполнена на 1/6 своего объёма. Найдите объём каждой бочки.

Пусть x — объём первой бочки (л), y – объём второй (л).

Пусть a л перелито из второй бочки, и первая наполнилась до краёв, а во второй воды осталось наполовину:

Теперь пусть b л перелито из первой бочки, и вторая наполнилась до краёв, а в первой воды осталось на 1/6:

$$ <left< begin x+ frac y = 44 | times 2 \ frac x+y = 44 end right.> Rightarrow (-) <left< begin 2x+y = 88 \ frac x+y = 44 end right.> Rightarrow (+) <left< begin 1frac x = 44 \ y = 88-2x end right.> Rightarrow $$

Ответ: первая бочка 24 л, вторая – 40 л

Пример 8*. Если школьник едет в школу на автобусе, а возвращается домой пешком, то он тратит на всю дорогу полтора часа. Если он едет туда и обратно на автобусе, то он тратит полчаса. Сколько времени потратит школьник, если он пойдёт туда и обратно пешком?

Пусть s — расстояние между домом и школой, v — скорость автобуса, u — скорость школьника, t — искомое время, потраченное на дорогу туда и обратно пешком.

По условию задачи:

Из второго уравнения $ frac = frac = 0,25 $. Подставляем в первое уравнение:

И тогда искомое время:

$$ t = frac = 2cdot1,25 = 2,5 (ч) $$

Видео:Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Урок «Решение задач с помощью систем уравнений»

Разделы: Математика

Умение решать системы уравнений требуется не только в задачах, которые начинаются словами «решить систему…». Решение многих текстовых задач, решение уравнений с параметрами немыслимо без навыков работы с системами уравнений. При решении геометрических задач применяют метод расчета элементов геометрических фигур, основанный на составлении систем уравнений. Часто требуется найти только число решений системы уравнений.
Решить систему уравнений – это значит найти все ее решения или доказать, что их нет.
Для линейных систем уравнений возможны три различных случая:

• система имеет единственное решение;
• система имеет бесконечно много решений;
• система не имеет решений.

Постоянная поисковая работа является катализатором не только учебного, но и воспитательного процесса.

Тип урока: урок-практикум по решению задач.

Оборудование: тетради, учебники, карточки для выполнения групповой и индивидуальной работы.

Цель: развитие познавательного интереса при решении задач.

Задачи:

• образовательная: способствовать совершенствованию полученных знаний по применению и развитию при работе с задачами,
• развивающая: проверить уровень самостоятельной деятельности обучающихся по применению знаний в различных ситуациях,
• воспитательная: способствовать развитию любознательности и творческой активности обучающихся

Планируемый результат:

Знать:

• способы решения систем линейных уравнений,
• алгоритм решения задач,

Уметь:

• применять удобный способ решения систем линейных уравнений,
• применять алгоритм решения задач на практике,
• использовать различные источники знаний,
• работать с карточками различного содержания,
• работать в группах, индивидуально.

Используемые технологии: уровневой дифференциации, индивидуального обучения, проблемно поисковой, групповые.

Методы работы:

а) методы организации учебно-познавательной деятельности: словесный, наглядный, практический, самостоятельная работа, работа под куроводством.
б) методы контроля и самоконтроля: устный опрос, фронтальный опрос, письменный контроль, тест.

I. Организационный момент

– Мы сегодня на уроке будем решать задачи, определяя свой рациональный путь.

II. Работа в группах

1 группа тест с последующей проверкой:

1. Выразить х через у х + 3у = 6

2. Выразить у через х 2х – у = 3

3. Решением системы уравнений является пара

4. Результат сложения уравнений х + 5у = 7, 3х – 2у = 4 равен

1) 4х – 3у = 11,
2) 4х + 7у = 11,
3) 4х + 3у = 11

5. Графики прямых параллельны, то система имеет решение:

1) единственное,
2) много решений,
3) не имеет решений

2 группа

Задача. В двух седьмых классах 67 учеников, причем в одном на три ученика больше, чем в другом. Сколько учеников в каждом классе?

III. Работа с классом

Отряд туристов вышли в поход на 9 байдарках, часть из которых двухместные, а часть – трехместные. Сколько двухместных и сколько трехместных байдарок было в походе, если отряд состоит из 23 человек?

IV. Минута психологической разгрузки

«Предмет математики настолько серьёзен, что полезно, не упуская случая, сделать его немного занимательным»

Задача.

Как-то лошадь и мул вместе вышли из дома,
Их хозяин поклажей большой нагрузил,
Долго-долго тащились дорогой знакомой,
из последней уже выбиваяся сил.
«Тяжело мне идти» – лошадь громко стенала.
Мул с иронией молвил (нес он тоже немало)
«Неужели, скажи, я похож на осла?
Может, я и осел, но вполне понимаю:
Моя ноша значительно больше твоей.
Вот представь: я мешок у тебя забираю,
И мой груз стал в два раза, чем твой, тяжелей.
А вот если тебе мой мешок перебросить,
Одинаковый груз наши спины б согнул»
Сколько ж было мешков у страдалицы-лошади?
Сколько нес на спине умный маленький мул?

Заполнить таблицу

х + 1

у – 1

2(х – 1) = у + 1

х + 1 = у – 1

V. Домашнее задание

Придумать или найти необычную задачу, которая решается с помощью системы уравнений, решить её и оформить все на альбомном листе.

VI. Итог урока

– На каких уроках вы уже встречались со словом система уравнений?

Физика – Международная система единиц.
Биология – система кровообращения человека.
Химия – периодическая система элементов Д.И.Менделеева
Русский язык – система частей речи, система гласных.

«Всякая хорошо решенная математическая задача доставляет умственное наслаждение»

Видео:Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Решение задач с помощью систем уравнений

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Основными методами решения текстовых задач являются арифметический и алгебраический метод, а так же комбинированный.

Решить задачу арифметическим методом – значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над данными в задаче числами. Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга логикой рассуждений в процессе решения задачи.

Решить задачу алгебраическим методом – значит найти ответ на требование задачи путем составления и решения уравнения или системы уравнений.

Текстовые задачи алгебраическим методом путем составления системы уравнений решают по следующей схеме:

1)выделяют величины, о которых идет речь в тексте задачи, и устанавливают зависимость между ними;

2) вводят 2 переменные (обозначают буквами неизвестные величины);

3) всё условие задачи разделяют на два независимых и связывающих введенные неизвестные величины условия;

4) по первому условию составляют 1 уравнение;

5) по второму условию составляют 2 уравнение;

6) объединяют эти уравнения в систему и решают;

7) проверяют найденные значения по условию задачи и записывают ответ.

Пункты с 1) по 5) можно объединить в I этап решения задачи – получение математической модели задачи.

Работа с математической моделью — II этап , к нему относится пункт 6).

III этап – ответ на вопрос задачи , к нему относится пункт 7).

Часто приходится рассматривать математическую модель, состоящую из двух уравнений с двумя переменными. Для 6 класса это линейные уравнения, для 8 класса – уравнения уже 2-ого порядка.

На уроках, предшествующих этой теме полезно давать задания на составление равенств, содержащих переменные.

Например . Опишите равенством зависимость между переменными х и у, если:

Сумма чисел х и у равна 32;(х+у=32);

Среднее арифметическое чисел х и у равно 36;((х+у)/2=36);

Туристы преодолели 24 км и шли 3 ч со скоростью х км/ч и 2 ч со скоростью у км/ч;(3х+2у=24);

У девочки х пятиманатных купюр и у двухманатных купюр на общую сумму 29 манат;(5х+2у=29);

Около причала находилось х двухместных лодок и у трехместных. Всего в эти лодки может поместиться 14 человек;(2х+3у=14).

Используя графическую и текстовую информацию, опишите равенством зависимости между переменными х и у:

Если пешеходы выйдут одновременно, то встретятся через 3 часа.(встав.картин.)

Если пешеход из п.А увеличит скорость на 1 км/ч, а пешеход из п.В побежит со скоростью, в 3 раза большей, то они встретятся через 1ч 30 мин;

Если пешеход из п.А уменьшит скорость на 2 км/ч, то через 45 мин между ними будет 15 км.

Предлагаю на рассмотрение решение некоторых задач. Начинать решение задач следует с простых, и далее уже предлагать задачи повышенной сложности.

В трех тетрадях и четырех блокнотах вместе 108 страниц. В двух блокнотах столько же страниц, сколько их в трех тетрадях. Сколько страниц в каждой тетради и в каждом блокноте?

Определяем две искомые величины и одну из них, количество страниц в каждой тетради обозначаем за х, а вторую, количество страниц в каждом блокноте, обозначаем за у .

1 условие: в трех тетрадях 3х стр., в четырех блокнотах 4у стр. Всего 108 страниц. Составим 1 уравнение: 3х+4у=108

2 условие: в двух блокнотах 2у стр., в трех тетрадях 3х стр. По условию эти количества равны. Составим 2 уравнение: 2у=3х.

II этап. Так как значения х и у удовлетворяют обоим уравнениям, то объединяем эти уравнения в систему и решаем её.

Получили х=12, у=18.

III этап. Составим ответ: х-количество страниц в тетради, т.е. 12стр.; у-количество страниц в блокноте, т.е. 18 стр.

Семь досок и три кирпича весят 71 кг. Три доски тяжелее двух кирпичей на 14 кг. Сколько весит одна доска и один кирпич? (Ответ:доска-8кг,кирпич-5кг)

Катер прошел по течению реки от пункта А до пункта В за 6 часов, а от В до А – за 8 часов. За сколько часов проплывет плот от А до В?

Пусть расстояние между пунктами А и В равно S км, скорость катера равна х км/ч, скорость течения реки – у км/ч.

1 условие: катер прошел по течению реки от пункта А до В за 6 часов.

2 условие: катер прошел против течения от В до А за 8 часов.

1 усл. По течен. х+у 6 s

2 усл. Прот.течен. х-у 8 s

Составим 1 уравнение: 6( х+у)= s ;

Составим 2 уравнение: 8( х-у)= s .

II этап. Значения х и у удовлетворяют обоим уравнениям, составим и решим систему уравнений:

Решаем систему , исключив переменную х, так как плот может двигаться только со скоростью реки. Получим s =48 y .

III этап. Так как t = , то обе части уравнения разделим на у. Получим , t =48 ч.

Сколько лет брату и сестре, если 4 года назад брат был старше сестры в 5 раз, а через 5 лет брат будет старше сестры в 2 раза?

Для учащихся 8-х классов рассматриваются задачи на движения с уравнениями 2-ой степени и задачи на совместную работу.

Расстояние между двумя пристанями 60 км. Теплоход проходит это расстояние
по течению и против течения за 5,5 часа. Найти скорость теплохода и скорость
течения, если одна из них больше другой на 20 км/ч.

Решение: слайд 7-9.

Бассейн наполнится, если 1 трубу открыть на 12 минут, а 2 трубу – на 7 мин. Если обе трубы открыть на 6 мин, то наполнится 2/3 бассейна. За сколько мин наполнится бассейн, если открыть только 2 трубу.

Решение: слайд 10- 13

Двое рабочих могут выполнить задания за 12 дней. Если сначала один из них сделает половину всей работы, а потом остальное сделает другой, то им потребуется 25 дней. За сколько дней каждый рабочий, работая один, может выполнить задания.

📺 Видео

Урок по теме РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 7 КЛАСССкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Математика 6 класс (Урок№51 - Решение задач с помощью уравнений. Часть 1.)Скачать

Решение задач с помощью уравнений.Скачать

Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. Алгебра, 9 классСкачать

Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Решение задач с помощью систем уравненийСкачать

Решение задач с помощью уравнений. Алгебра 7 классСкачать

Система уравнений. Метод алгебраического сложенияСкачать

Урок 14 Решение задач с помощью уравнений (5 класс)Скачать

Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Решение систем уравнений второй степени. Алгебра, 9 классСкачать

П.20 Решение задач с помощью систем уравнений второй степени - Алгебра 9 класс МакарычевСкачать

Решение задач с помощью систем уравнений, 7 классСкачать

Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. Урок 17. Алгебра 9 классСкачать

АЛГЕБРА 7 класс. Решение задач с помощью систем уравненийСкачать

Решение задач с помощью систем уравнений | Алгебра 7 класс #48 | ИнфоурокСкачать

Решение задач с помощью систем уравненийСкачать