Составить уравнения медианы высоты и биссектрисы угла а найти их длины (5 видео)

Решение задач

> Пример 4.12. Даны уравнения сторон треугольника Зх —4у +

+ 24 = 0 (АВ), 4х + Ъу + 32 = О <ВС), 2х — у — 4 =О (АС). Составить уравнение высоты, медианы и биссектрисы, проведенных

из вершины В, и найти их длины.

Решение. 1. Найдем координаты вершин треугольника, решив соответствующие системы уравнений сторон. Так, координаты вершины В определим из системы уравнений прямых АВ и ВС:

Аналогично находим координаты вершин А и С, решив системы уравнений прямых АВ и АС, АС и ВС: А (8; 12), С (—2; -8) (рис. 4.29).

2. Пучок прямых, проходящих через точку В (—8; 0), по формуле (4.4) имеет вид:

Из уравнения прямой АС следует, что ее угловой коэффициент к_АС = 2. На основании условия перпендикулярности двух

прямых k_BD = —— = — —. Уравнение высоты BD примет вид

у = — i (х + 8) или х + 2у + 8 = 0.

3. Из школьного курса математики известно, что координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат его концов, т.е.

По формуле (4.5) угловой коэффициент

в формулу (4.30), получим уравнение медианы BF:

(уравнение BF можно было получить и по формуле (4.6) как уравнение прямой, проходящей через две точки: В (—8; 0) и F(3; 2)).
4. Из уравнений прямых Зх — 4у + 24 = 0 (А В) и 4х + Зу + 32 = 0 (ВС) следует, что они перпендикулярны, так как их угловые ко- 3 4

эффициенты к_АВ=— и к_вс=-— обратны по величине и противоположны по знаку. Поэтому биссектриса BE образует с каждой из этих сторон угол 45°. По формуле (4.9)

откуда к_ВЕ = —i. Теперь по формуле (4.30) получим уравнение биссектрисы BE

(Если «не заметить», что АВЕВС, то угловой коэффициент биссектрисы к_ВЕ можно найти из равенства tgZCBE = tgZEBA, т.е.

Решая уравнение, найдем два корня (к_ВЕ)_] =

из которых чертежу задачи удовлетворяет первый корень.)

5. Длину медианы BF найдем по формуле (3.5) расстояния между двумя точками А (—8; 0) и F (3; 2):

6. Для нахождения длины биссектрисы BE найдем вначале координаты ее точки пересечения Е со стороной АС, решив систему уравнений
(2х-у-4 = 0, 4 4 4 4

<*+ту+8=о. ’ откуда * = з’ 1 у = ” з’’ т ‘ е — >•

Теперь по формуле (3.5)

7. Длину высоты BD можно было найти аналогично тому, как находили длину биссектрисы. Но проще это сделать по формуле (4.10) расстояния от точки В (—8; 0) до прямой 2х — у — 4 = 0 (АС):

О Пример 4.13. Найти расстояние от начала координат до пря-

мои, проходящей через центр гиперболы у = — и вершину

параболы у = -х 2 + 2х-^ . Составить уравнение окружности,

касающейся гиперболы в ее вершинах.

Решение. 1. В уравнении гиперболы выделим целую часть; получим

Полагая х + ^ = х’, у — 2 = у’, получим в новой системе

координат О’х’у’ с центром O’ (— 2) гиперболу х’у’= —3, ветви которой расположены во II и IV квадрантах (рис. 4.30).

2. Выделив полный квадрат, представим уравнение параболы в виде

откуда следует, что вершина параболы находится в точке А (1; —),

а ветви ее направлены вниз.

3. Составляем уравнение прямой О’А по формуле (4.5)

4. Находим расстояние от точки О (0; 0) до прямой 8х + 9у — — 14 = 0 по формуле (4.10)

5. Очевидно, что центр искомой окружности должен совпасть

с центром гиперболы 2) и иметь радиус * равный рас-

стоянию от точки О’ до любой из вершин гиперболы. Для гиперболы х’у’ = т координаты любой вершины (по абсолютной

величине) I х I = I у’ I = Jm , поэтому расстояние ее от нового начала координат (0; 0) по формуле (3.5) равно yj2m . Следовательно, R = у]2т =^2|-3| =л/б. Итак, уравнение искомой окружности по формуле (4.11) есть (х + -^) 2 + (у-2) 2 = 6. ?

Содержание

Примеры решений по аналитической геометрии на плоскости
Решения задач о треугольнике онлайн
Составить уравнения медианы высоты и биссектрисы угла а найти их длины
🎬 Видео

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

Примеры решений по аналитической геометрии на плоскости

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости об исследовании треугольника (заданного вершинами или сторонами): уравнения сторон, углы, площадь, уравнения и длины высот, медиан, биссектрис и т.п.

Видео:Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной #031 | Борис ТрушинСкачать

Решения задач о треугольнике онлайн

Задача 1. Даны вершины треугольника $A (-2, 1), B (3, 3), С (1, 0)$. Найти:
а) длину стороны $AB$;
б) уравнение медианы $BM$;
в) $cos$ угла $BCA$;
г) уравнение высоты $CD$;
д) длину высоты $СD$;
е) площадь треугольника $АВС$.

Задача 2. Найти длину высоты $AD$ в треугольнике с вершинами $A(3,2), B(2,-5), C(-6,-1)$ и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$.

Задача 3. Даны вершины $A(1,1), B(7,5), C(4,5)$ треугольника. Найти:
1) длину стороны $AB$;
2) внутренний угол $A$ в радианах с точностью до 0,01;
3) уравнение высоты, проведенной через вершину $C$;
4) уравнение медианы, проведенной через вершину $C$;
5) точку пересечения высот треугольника;
6) длину высоты, опущенной из вершины $C$;
7) систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника.
Сделать чертеж.

Задача 4. Даны уравнения двух сторон треугольника $4x-5y+9=0$ и $x+4y-3=0$. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке $P(3,1)$.

Задача 5. Даны две вершины $A(-3,3)$, $B(5,-1)$ и точка $D(4,3)$ пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.

Задача 6. Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми $у = 2х$, $y = -2х$ и $у = х + 6$.

Задача 7. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника: $А(0, — 4)$, $В(3, 0)$ и $С(0, 6)$.

Задача 8. Вычислить координаты точек середины отрезков, являющихся медианами треугольника $ABC$, если $A(-6;1)$, $B(4;3)$, $C(10;8)$.

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Составить уравнения медианы высоты и биссектрисы угла а найти их длины

Внимание! Если вы делали заказ после 19.08.2021, вход в новый Личный кабинет — тут

Неправильный логин или пароль.

Укажите электронный адрес и пароль.

Пожалуйста, укажите электронный адрес или номер телефона, который вы использовали при регистрации. Вам будет отправлено письмо со ссылкой на форму изменения пароля или SMS сообщение с новым паролем.

Инструкция по изменению пароля отправлена на почту.

Чтобы зарегистрироваться, укажите ваш email и пароль

Нажимая кнопку «Зарегистрироваться» вы даете согласие на обработку персональных данных в соответствии с политикой конфеденциальности.