Составить уравнения медианы высоты и биссектрисы угла а найти их длины

Решение задач

> Пример 4.12. Даны уравнения сторон треугольника Зх —4у +

+ 24 = 0 (АВ), 4х + Ъу + 32 = О <ВС), 2х — у — 4 =О (АС). Составить уравнение высоты, медианы и биссектрисы, проведенных

Составить уравнения медианы высоты и биссектрисы угла а найти их длины

Составить уравнения медианы высоты и биссектрисы угла а найти их длины

из вершины В, и найти их длины.

Решение. 1. Найдем координаты вершин треугольника, решив соответствующие системы уравнений сторон. Так, координаты вершины В определим из системы уравнений прямых АВ и ВС:

Составить уравнения медианы высоты и биссектрисы угла а найти их длины

Аналогично находим координаты вершин А и С, решив системы уравнений прямых АВ и АС, АС и ВС: А (8; 12), С (—2; -8) (рис. 4.29).

2. Пучок прямых, проходящих через точку В (—8; 0), по формуле (4.4) имеет вид:

Составить уравнения медианы высоты и биссектрисы угла а найти их длины

Из уравнения прямой АС следует, что ее угловой коэффициент кАС = 2. На основании условия перпендикулярности двух

прямых kBD = —— = — . Уравнение высоты BD примет вид

у = — i (х + 8) или х + 2у + 8 = 0.

3. Из школьного курса математики известно, что координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат его концов, т.е.

Составить уравнения медианы высоты и биссектрисы угла а найти их длины

По формуле (4.5) угловой коэффициент

Составить уравнения медианы высоты и биссектрисы угла а найти их длины

в формулу (4.30), получим уравнение медианы BF:

Составить уравнения медианы высоты и биссектрисы угла а найти их длины

  • (уравнение BF можно было получить и по формуле (4.6) как уравнение прямой, проходящей через две точки: В (—8; 0) и F(3; 2)).
  • 4. Из уравнений прямых Зх — 4у + 24 = 0 (А В) и 4х + Зу + 32 = 0 (ВС) следует, что они перпендикулярны, так как их угловые ко- 3 4

эффициенты кАВ=— и квс=-— обратны по величине и противоположны по знаку. Поэтому биссектриса BE образует с каждой из этих сторон угол 45°. По формуле (4.9)

Составить уравнения медианы высоты и биссектрисы угла а найти их длины

откуда кВЕ = —i. Теперь по формуле (4.30) получим уравнение биссектрисы BE

Составить уравнения медианы высоты и биссектрисы угла а найти их длины

(Если «не заметить», что АВЕВС, то угловой коэффициент биссектрисы кВЕ можно найти из равенства tgZCBE = tgZEBA, т.е.

Составить уравнения медианы высоты и биссектрисы угла а найти их длины

Решая уравнение, найдем два корня ВЕ)] =

из которых чертежу задачи удовлетворяет первый корень.)

5. Длину медианы BF найдем по формуле (3.5) расстояния между двумя точками А (—8; 0) и F (3; 2):

Составить уравнения медианы высоты и биссектрисы угла а найти их длины

  • 6. Для нахождения длины биссектрисы BE найдем вначале координаты ее точки пересечения Е со стороной АС, решив систему уравнений
  • (2х-у-4 = 0, 4 4 4 4

<*+ту+8=о. ’ откуда * = з’ 1 у = ” з’’ т ‘ е — >•

Теперь по формуле (3.5)

Составить уравнения медианы высоты и биссектрисы угла а найти их длины

7. Длину высоты BD можно было найти аналогично тому, как находили длину биссектрисы. Но проще это сделать по формуле (4.10) расстояния от точки В (—8; 0) до прямой 2х — у — 4 = 0 (АС):

Составить уравнения медианы высоты и биссектрисы угла а найти их длины

О Пример 4.13. Найти расстояние от начала координат до пря-

мои, проходящей через центр гиперболы у = — и вершину

параболы у = -х 2 + 2х-^ . Составить уравнение окружности,

Составить уравнения медианы высоты и биссектрисы угла а найти их длины

касающейся гиперболы в ее вершинах.

Решение. 1. В уравнении гиперболы выделим целую часть; получим Составить уравнения медианы высоты и биссектрисы угла а найти их длины

Полагая х + ^ = х’, у — 2 = у’, получим в новой системе

координат О’х’у’ с центром O’ (— 2) гиперболу х’у’= —3, ветви которой расположены во II и IV квадрантах (рис. 4.30).

2. Выделив полный квадрат, представим уравнение параболы в виде

Составить уравнения медианы высоты и биссектрисы угла а найти их длины

откуда следует, что вершина параболы находится в точке А (1; —),

а ветви ее направлены вниз.

3. Составляем уравнение прямой О’А по формуле (4.5) Составить уравнения медианы высоты и биссектрисы угла а найти их длины

4. Находим расстояние от точки О (0; 0) до прямой 8х + 9у — — 14 = 0 по формуле (4.10)

Составить уравнения медианы высоты и биссектрисы угла а найти их длины

5. Очевидно, что центр искомой окружности должен совпасть

с центром гиперболы 2) и иметь радиус * равный рас-

стоянию от точки О’ до любой из вершин гиперболы. Для гиперболы х’у’ = т координаты любой вершины (по абсолютной

величине) I х I = I у’ I = Jm , поэтому расстояние ее от нового начала координат (0; 0) по формуле (3.5) равно yj2m . Следовательно, R = у]2т =^2|-3| =л/б. Итак, уравнение искомой окружности по формуле (4.11) есть (х + -^) 2 + (у-2) 2 = 6. ?

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Примеры решений по аналитической геометрии на плоскости

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости об исследовании треугольника (заданного вершинами или сторонами): уравнения сторон, углы, площадь, уравнения и длины высот, медиан, биссектрис и т.п.

Видео:Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной #031 | Борис ТрушинСкачать

Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты?  | Ботай со мной #031 | Борис Трушин

Решения задач о треугольнике онлайн

Задача 1. Даны вершины треугольника $A (-2, 1), B (3, 3), С (1, 0)$. Найти:
а) длину стороны $AB$;
б) уравнение медианы $BM$;
в) $cos$ угла $BCA$;
г) уравнение высоты $CD$;
д) длину высоты $СD$;
е) площадь треугольника $АВС$.

Задача 2. Найти длину высоты $AD$ в треугольнике с вершинами $A(3,2), B(2,-5), C(-6,-1)$ и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$.

Задача 3. Даны вершины $A(1,1), B(7,5), C(4,5)$ треугольника. Найти:
1) длину стороны $AB$;
2) внутренний угол $A$ в радианах с точностью до 0,01;
3) уравнение высоты, проведенной через вершину $C$;
4) уравнение медианы, проведенной через вершину $C$;
5) точку пересечения высот треугольника;
6) длину высоты, опущенной из вершины $C$;
7) систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника.
Сделать чертеж.

Задача 4. Даны уравнения двух сторон треугольника $4x-5y+9=0$ и $x+4y-3=0$. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке $P(3,1)$.

Задача 5. Даны две вершины $A(-3,3)$, $B(5,-1)$ и точка $D(4,3)$ пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.

Задача 6. Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми $у = 2х$, $y = -2х$ и $у = х + 6$.

Задача 7. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника: $А(0, — 4)$, $В(3, 0)$ и $С(0, 6)$.

Задача 8. Вычислить координаты точек середины отрезков, являющихся медианами треугольника $ABC$, если $A(-6;1)$, $B(4;3)$, $C(10;8)$.

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

Составить уравнения медианы высоты и биссектрисы угла а найти их длины

Внимание! Если вы делали заказ после 19.08.2021, вход в новый Личный кабинет — тут

Неправильный логин или пароль.

Укажите электронный адрес и пароль.

Пожалуйста, укажите электронный адрес или номер телефона, который вы использовали при регистрации. Вам будет отправлено письмо со ссылкой на форму изменения пароля или SMS сообщение с новым паролем.

Инструкция по изменению пароля отправлена на почту.

Чтобы зарегистрироваться, укажите ваш email и пароль

Нажимая кнопку «Зарегистрироваться» вы даете согласие на обработку персональных данных в соответствии с политикой конфеденциальности.

📽️ Видео

Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Вычисляем высоту через координаты вершин  1

Построение биссектрисы углаСкачать

Построение биссектрисы угла

Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершинСкачать

Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершин

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Построение медианы в треугольникеСкачать

Построение медианы в треугольнике

Построение высоты в треугольникеСкачать

Построение высоты в треугольнике

Формула для биссектрисы треугольникаСкачать

Формула для биссектрисы треугольника

найти уравнения биссектрис углов между прямымиСкачать

найти уравнения биссектрис углов между прямыми

Длина медианы треугольникаСкачать

Длина медианы треугольника

№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнениеСкачать

№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнение

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

28. Геометрия на ЕГЭ по математике. Высоты, медианы, биссектрисы треугольника.Скачать

28. Геометрия на ЕГЭ по математике. Высоты, медианы, биссектрисы треугольника.

Что такое медиана, биссектриса и высота?Скачать

Что такое медиана, биссектриса и высота?

Теорема Стюарта | формулы для биссектрисы треугольника и медианыСкачать

Теорема Стюарта | формулы для биссектрисы треугольника и медианы

3 свойства биссектрисы #shortsСкачать

3 свойства биссектрисы #shorts

ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ
Поделиться или сохранить к себе: