Составить уравнение сферы радиуса r 5 с центром в начале координат решение

Глава VI. Простейшие криволинейные поверхности и тела вращения.

Множество всех точек пространства, находящихся на данном расстоянии R от данной точки С, называется сферой радиуса R с центром в точке С (рис. 211).

Другими словами, сфера радиуса R с центром в точке С — это множество всех точек М пространства, удовлетворяющих условию

Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы. Очевидно, что длина диаметра сферы радиуса R равна 2R.

Если в пространстве задана некоторая прямоугольная декартова система кородинат и
(а; b; с) — координаты точки С, а (х; у; z) — координаты точки М, то условие (1) принимает вид

Отсюда следует, что сфера радиуса R с центром в точке С (а; b; с) имеет уравнение

(x — a) 2 + (y — b) 2 + (z — c) 2 = R 2 (2)

B частности, сфера радиуса R с центром в начале координат имеет уравнение

Задача 1. Составить уравнение сферы радиуса R = 5 с центром в начале координат.

Непосредственной подстановкой значения радиуса в уравнение (3) получим

Задача 2. Написать уравнение сферы с центром в точке С (2; —3; 5) и радиусом, равным 6.

Подставив значение координат точки С и значение радиуса в уравнение (2), получим

(x — 2) 2 + (y + 3) 2 + (z — 5) 2 = 36.

Задача 3. Найти центр и радиус сферы

Сравнивая данное уравнение с уравнением сферы (2), видим, что
а = — 4, b = 3, с = 0, R = 10. Следовательно, С(—4; 3; 0), R = 10.

Задача 4. Доказать, что уравнение

является уравнением сферы.

Преобразуем левую часть данного уравнения, выделив квадраты двучленов, содержащих соответственно х, у и z:

Следовательно, данная поверхность имеет уравнение

Это уравнение представляет собой уравнение сферы с центром в точке С(1; —2; 3) и радиусом R = 3.

Множество всех точек пространства, расстояние которых от данной точки С не превосходит данного числа R, называется шаром радиуса R с центром в точке С.

Иначе, шар радиуса R с центром в точке С — это множество всех точек М пространства, удовлетворяющих условию

Сфера радиуса R с центром в точке С называется поверхностью соответствующего шара. Про нее говорят, что она ограничивает шар радиуса R с центром в точке С.

Теорема. Через любые четыре точки, не лежащие в одной плоскости, проходит и притом единственная сфера.

Пусть А, В, D, Е четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Достаточно доказать, что существует и притом единственная точка, С, равноудаленная от четырех данных точек. Очевидно, точка С и будет центром сферы, проходящей через данные точки.

Через точки А, В, D, которые, очевидно, не лежат на одной прямой, проходит единственная плоскость р и единственная окружность. Пусть С₁ — центр этой окружности. Очевидно, множество всех точек пространства, равноудаленных от трех точек А, В, D — это перпендикуляр l к плоскости р, проходящий через точку C₁ (рис. 212).

Рассмотрим теперь точки А и Е. Множество всех точек пространства, равноудаленных от точек А и Е, — это плоскость q, перпендикулярная прямой АЕ и проходящая через середину отрезка АЕ. Плоскость q обязательно пересечет прямую l , так как точка Е не лежит в плоскости р. Очевидно, что точка С, являющаяся пересечением плоскости q с прямой l, будет равноудаленной от всех четырех данных точек А, В, D, Е. Из построения видно, что точка С — единственная точка пространства, удовлетворяющая этому условию.

Урок «Сфера. Уравнение сферы»

Краткое описание документа:

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Продолжаем изучение сферы.

На прошлых занятиях вы познакомились с определением сферы и шара.

Вспомним, что сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Данная точка — центр сферы.

Заданное расстояние — радиус сферы.

Прежде чем вывести уравнение сферы, познакомимся с понятием уравнения поверхности в пространстве.

Зададим прямоугольную систему координат Оxyz и некоторую поверхность F.

Уравнением поверхности F называется уравнение с тремя переменными x, y, z, если этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек поверхности F и не удовлетворяют координаты точки, не принадлежащей этой поверхности.

1.Рассмотрим сферу радиуса R и с центром С(x0; y0; z0).

2.Найдём расстояние от произвольной точки М(x; y; z) до центра С( x0 ; y0 ; z0) по формуле для вычисления расстояния между двумя точками с заданными координатами.

3. Если точка М лежит на сфере, то отрезок МС равен радиусу R, то есть

4.В случае если точка М не принадлежит данной сфере, то R≠МС, значит, координаты точки М не удовлетворяют уравнению R2=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2.

5. Таким образом, в прямоугольной системе координат Оxyz уравнение сферы с центром

С (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R имеет вид:

Применим полученные знания при решении задач.

Записать уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N, если А(-2;2;0) и N(5;0;-1).

1.Запишем уравнение сферы с центром

А (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R:

2.Подставим соответствующие координаты центра сферы А в данное уравнение:

Уравнение сферы с центром в точке А с координатами (-2;2;0) примет вид:

3.Так как сфера проходит через точку N с координатами (5;0;-1), то её координаты удовлетворяют уравнению сферы, подставим координаты этой точки в полученное уравнение:

Таким образом, уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N имеет вид:

Сфера задана уравнением:

1) Найти координаты центра и радиус сферы;

2) Найти значение m, при котором точки

А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере.

1. Уравнение данной сферы имеет вид:

x2+ y2+ z2+2y-4z=4 или x2+ y2+2y + z2-4z=4

Выделим полный квадрат для переменных y и z, для этого прибавим и одновременно вычтем 1 и 4 в левой части уравнения:

x2+ y2+2y+1-1 + z2-4z+4-4=4

Уравнение примет вид:

x2+( y+1)2+( z-2)2-5=4 или

Таким образом, центр сферы имеет координаты:

О (0;-1;2), радиус равен R=√9=3

2.Уравнение сферы с центром в точке О (0;-1;2) и радиусом R=3 имеет вид:

Точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере, значит их координаты удовлетворяют уравнению сферы. Подставим координаты этих точек в уравнение сферы и решим систему уравнений:

Упростим полученные уравнения, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые:

Таким образом, мы получили 4 значения m:

Несложно проверить, что при m=-4 и m=6 координаты точек А и В не удовлетворяют уравнению сферы. Проверьте самостоятельно.

Итак, при m=2 точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат сфере, заданной уравнением

x2+ y2+ z2+2y-4z=4 с центром в точке

О (0;-1;2) и радиусом R=3.

—> —>

АвторДата добавленияРазделПодразделПросмотровНомер материала

Инфоурок

07.11.2014

Геометрия

Видеоурок

53418

1003

© 2022 Проект «Уроки математики»

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено!

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако команда проекта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом на электронную почту службы поддержки сайта.

Задача 1. Зная координаты центра С(2;-3;0) и радиус сферы R=5,

Взаимное расположение окружности и прямой >>

Задача 1. Зная координаты центра С(2;-3;0) и радиус сферы R=5, записать уравнение сферы. Ответ: (x-2)2 + (y+3)2 + z2=25.

Слайд 7 из презентации «Сфера и шар»

Размеры: 720 х 540 пикселей, формат: .jpg. Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как. ». Скачать всю презентацию «Сфера и шар.pptx» можно в zip-архиве размером 516 КБ.

Сфера

«Сфера» — В прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром С (x1; y1; z1) имеет вид. Тела вращения. Выведем уравнение сферы радиуса R с центром С (x1; y1; z1). О- центр сферы R- радиус сферы АВ- диаметр сферы 2R=АВ. Составим систему уравнений : В данном случае сфера и плоскость пересекаются по окружности.

«Шар 11 класс» — История создания. На поверхности шара даны три точки. Сфера всегда широко применялось в различных областях науки и техники. В древности сфера была в большом почёте. Радиус шара 13 см. Формула площади сферы и шара. Задача на тему шар. Что такое сфера и шар? Из истории возникновения. Формула объема сферы и шара.

«Окружность круг сфера шар» — Сфера. Окружность. Площадь круга. Из таблицы видно, что радиус арбуза больше 13см, но меньше 14см. Длина окружности. Вычислительный центр. Центр шара (сферы). Колесо. Ребята, вы все сейчас становитесь членами вычислительного центра. Вспомните, как определяется окружность. По аналогии с окружностью объясните, что такое: а)радиус; б)хорда; в)диаметр сферы.

«Задачи на шар и сферу» — Установите соответствие. Конус. Решение задач по готовым чертежам. Шар и сфера. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60 градусов. Устный тест: «Тела вращения». Цели и задачи. Цилиндр, осевым сечением которого является квадрат, вписан в один шар. Шар вписан в цилиндр. Работа у доски. Площадь сферы.

«Шар» — В своей работе мы: Самостоятельная работа включает воспроизводящие и творческие процессы в деятельности школьников. Три уровня самостоятельной деятельности: репродуктивный (тренировочный); реконструктивный; творческий (поисковый). Участие в работе научных конференций, семинаров. В любой конус (прямой круговой) можно вписать шар.

«Чем отличается сфера от шара» — Вывести уравнение сферы. Сфера и шар. Предметы окружающей обстановки. Центр сферы. Сфера. Координаты центра. Уравнение сферы. Шар. Понятие сферы. Окружность. Определение сферы. Представление о сфере. Круг. Уравнение сферы радиуса R.

🔥 Видео