Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы

Видео:Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | Математика

Уравнение прямой проходящей через две точки

Получить уравнение прямой, проходящей через две точки помогут созданные нами калькуляторы. Предлагаем найти каноническое и параметрическое уравнение прямой, а также уравнение прямой с угловым коэффициентом как на плоскости, так и в пространстве.

Прямая — это бесконечная линия, по которой проходит кратчайший путь между любыми двумя её точками.

Уравнения прямой, проходящей через две точки могут быть следующих видов:

  • каноническое уравнение,
  • параметрическое уравнение,
  • общее уравнение прямой,
  • уравнение прямой с угловым коэффициентом,
  • уравнение прямой в полярных координатах и другие.

Для получения уравнений введите координаты двух точек прямой. Онлайн-калькулятор найдет уравнения и выдаст результат с подробным решением.

Видео:Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

Составляем уравнение прямой по точкам

Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы

Уравнение линии в пространстве.

Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению:

Это уравнение называется уравнением линии в пространстве.

Кроме того, линия в пространстве может быть определена и иначе. Ее можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана каким- либо уравнением.

Пусть F ( x , y , z ) = 0 и Ф ( x , y , z ) = 0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по линии L .

Тогда пару уравнений

Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы

назовем уравнением линии в пространстве.

Уравнение прямой в пространстве по точке и

Возьмем произвольную прямую и вектор Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы( m , n , p ), параллельный данной прямой. Вектор Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусыназывается направляющим вектором прямой.

На прямой возьмем две произвольные точки М 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) и M ( x , y , z ).

Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусыz

Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы M 1

Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы

Обозначим радиус- векторы этих точек как Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы и Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы , очевидно, что Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы = Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы .

Т.к. векторы Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы и Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы коллинеарны , то верно соотношение Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы = Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы t , где t – некоторый параметр.

Итого, можно записать: Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы = Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы + Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы t .

Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение – параметрическое уравнение прямой.

Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме:

Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы

Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t , получаем канонические уравнения прямой в пространстве:

Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы .

Определение. Направляющими косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы, которые могут быть вычислены по формулам:

Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы ; Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы .

Отсюда получим: m : n : p = cos a : cos b : cos g .

Числа m , n , p называются угловыми коэффициентами прямой. Т.к. Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы— ненулевой вектор, то m , n и p не могут равняться нулю одновременно, но одно или два из этих чисел могут равняться нулю. В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей

через две точки.

Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M 1( x 1, y 1, z 1) и M 2( x 2, y 2, z 2), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой:

Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы .

Кроме того, для точки М 1 можно записать:

Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы .

Решая совместно эти уравнения, получим:

Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы .

Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве.

Общие уравнения прямой в пространстве.

Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей.

Как было рассмотрено выше, плоскость в векторной форме может быть задана уравнением:

Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы × Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы + D = 0, где

Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы — нормаль плоскости; Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы — радиус- вектор произвольной точки плоскости.

Пусть в пространстве заданы две плоскости: Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы × Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы + D 1 = 0 и Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы × Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы + D 2 = 0, векторы нормали имеют координаты: Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы ( A 1 , B 1 , C 1 ), Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы ( A 2 , B 2 , C 2 ); Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы ( x , y , z ).

Тогда общие уравнения прямой в векторной форме:

Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы

Общие уравнения прямой в координатной форме:

Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы

Практическая задача часто состоит в приведении уравнений прямых в общем виде к каноническому виду.

Для этого надо найти произвольную точку прямой и числа m , n , p .

При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям.

Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы

Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:

Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы

Для нахождения произвольной точки прямой, примем ее координату х = 0, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений.

Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы , т.е. А(0, 2, 1).

Находим компоненты направляющего вектора прямой.

Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы

Тогда канонические уравнения прямой :

Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы

Пример. Привести к каноническому виду уравнение прямой, заданное в виде:

Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы

Для нахождения произвольной точки прямой, являющейся линией пересечения указанных выше плоскостей, примем z = 0. Тогда :

Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы ;

Получаем: A ( -1; 3; 0).

Направляющий вектор прямой: Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы .

Итого: Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы

Видео:§7 Направляющие косинусы вектораСкачать

§7 Направляющие косинусы вектора

Составить уравнение прямой, проходящей через две точки

Рассмотрим, как составить уравнение прямой, проходящей через две точки, на примерах.

Составить уравнение прямой, проходящей через точки A(-3; 9) и B(2;-1).

1 способ — составим уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид y=kx+b. Подставив координаты точек A и B в уравнение прямой (x= -3 и y=9 — в первом случае, x=2 и y= -1 — во втором), получаем систему уравнений, из которой находим значения k и b:

Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы

Сложив почленно 1-е и 2-е уравнения, получим: -10=5k, откуда k= -2. Подставив во второе уравнение k= -2, найдём b: -1=2·(-2)+b, b=3.

Таким образом, y= -2x+3 — искомое уравнение.

2 способ — составим общее уравнение прямой.

Общее уравнение прямой имеет вид ax+by+c=0. Подставив координаты точек A и B в уравнение, получаем систему:

Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы

Поскольку количество неизвестных больше количества уравнений, система не разрешима. Но можно все переменные выразить через одну. Например, через b.

Умножив первое уравнение системы на -1 и сложив почленно со вторым:

Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы

получим: 5a-10b=0. Отсюда a=2b.

Подставим полученное выражение во второе уравнение: 2·2b -b+c=0; 3b+c=0; c= -3b.
Подставляем a=2b, c= -3b в уравнение ax+by+c=0:

2bx+by-3b=0. Осталось разделить обе части на b:

Общее уравнение прямой легко приводится к уравнению прямой с угловым коэффициентом:

3 способ — составим уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид:

Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы

Подставим в это уравнение координаты точек A(-3; 9) и B(2;-1)

Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы

Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы

Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы

В школьном курсе чаще всего используется уравнение прямой с угловым коэффициентом. Но самый простой способ — вывести и использовать формулу уравнения прямой, проходящей через две точки.

Если при подстановке координат заданных точек один из знаменателей уравнения

Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы

окажется равным нулю, то искомое уравнение получается приравниваем к нулю соответствующего числителя.

Составить уравнение прямой, проходящей через две точки C(5; -2) и D(7;-2).

Подставляем в уравнение прямой, проходящей через 2 точки, координаты точек C и D:

Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы

Составить уравнение прямой проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы

Составить уравнение прямой, проходящей через точки M (7; 3) и N (7; 11).

📺 Видео

11. Прямая в пространстве и ее уравненияСкачать

11. Прямая в пространстве и ее уравнения

Уравнение прямой в пространстве через 2 точки. 11 класс.Скачать

Уравнение прямой в пространстве через 2 точки. 11 класс.

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

#вектор Разложение вектора по ортам. Направляющие косинусыСкачать

#вектор Разложение вектора по ортам.  Направляющие косинусы

Видеоурок "Уравнение прямой с угловым коэффициентом"Скачать

Видеоурок "Уравнение прямой с угловым коэффициентом"

Алгебра 7 класс. 8 октября. y=kxСкачать

Алгебра 7 класс. 8 октября. y=kx

Видеоурок "Уравнение прямой, проходящей через две точки"Скачать

Видеоурок "Уравнение прямой, проходящей через две точки"

Видеоурок "Нормальное уравнение плоскости"Скачать

Видеоурок "Нормальное уравнение плоскости"

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.

Видеоурок "Нормальное уравнение прямой"Скачать

Видеоурок "Нормальное уравнение прямой"

Составить уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Метод координат. Геометрия 9 классСкачать

Составить уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Метод координат. Геометрия 9 класс

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ | СЕМИНАР 6 | ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИСкачать

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ | СЕМИНАР 6 | ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

Видеоурок "Канонические уравнения прямой"Скачать

Видеоурок "Канонические уравнения прямой"

451. Направляющие косинусы плоскости.Скачать

451. Направляющие косинусы плоскости.

Линейная функция. Составить уравнение прямой проходящей через точку и перпендикулярно прямой.Скачать

Линейная функция. Составить уравнение прямой проходящей через точку и перпендикулярно прямой.

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.
Поделиться или сохранить к себе: