Видео:Уравнение прямой, проходящей через начало координатСкачать
Задача 2597 Составьте уравнение прямой проходящей.
Условие
Составьте уравнение прямой проходящей через точку (1,1,1) и пересекающей две данные прямые: x/1=y/2=z/3, (x-1)/2=(y-2)/1=(z-3)/4
Решение
Ответ: В решение
откуда во второй матрице цифры 012.
тоже не понимаю но догадываюсь что дело в вычитании первой строки из второй в перовй матрице
Первая строка матрицы появляется при нахождении вектора между точками прямых. В первом случае (1-0,1-0,1-0), а во втором (1-1,1-2,1-3)
Откуда взялись первые строки в обоих определителях?
Видео:Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно OX, OY или через начало координат. Урок 5. 8 клСкачать
4.13. Уравнения прямых на координатной плоскости
Давайте рассмотрим такие функций, графики которых имеют вид прямых. Простоты ради, мы будем иметь дело с безразмерными величинами, а значит, в качестве осей у нас будут выступать простые числовые прямые, и все наши чертежи мы будем делать на обычной координатной плоскости.
Прямая, проходящая через начало координат
Построение графика по заданной функции
Пусть переменная (y) пропорциональна переменной (x) с коэффициентом пропорциональности (k) :
Давайте договоримся, что (x) здесь — это независимая переменная, а (y) — зависимая. Коэффициент (k) играет роль константы (параметра). В таких случаях говорят, что (y) является (однородной) линейной функцией от (x) . Графиком этой функции, как мы хорошо знаем, является прямая, проходящая через начало координат ((0, 0)) . Для построения этой прямой нам достаточно определить еще какую-либо одну ее точку ((x_1, y_1)) . Для этого положим, например, (x_1 = 1) . Тогда (y_1 = k cdot 1 = k) . Проводим через эту точку и начало координат прямую линию. Это и есть график функции (y) от (x) . Так, по крайней мере, обстоит дело в теории, а на практике точку ((x_1, y_1)) лучше брать настолько далеко от начала координат, насколько позволяет чертеж. В этом стучае прямую удается провести наиболее точно. Ниже приведен пример такого построения для функции (y=frac x) .
Восстановление функции по графику
Решим теперь обратную задачу. Пусть на координатной плоскости с осями (x) и (y) нам дана прямая, проходящая через начало координат. Спрашивается: графиком какой функции она является? При этом подразумевается, что функция должна быть задана в виде формулы, связывающей переменные (x) и (y) . Такая формула носит название уравнения графика функции. В данном случае речь идет об уравнении прямой, проходящей через точку ((0,0)) .
Заранее ясно, что это уравнение имеет вид
От нас фактически только требуется найти значение константы (k) . Для этого отметим на прямой произвольную точку, отличную от ((0,0)) , и определим ее координаты ((x_1, y_1).) Эти координаты, очевидно, связаны соотношением
При этом следует особо подчеркнуть, что константа (k) не зависит от выбора точки ((x_1, y_1).) Какую бы точку на прямой мы не выбрали в качестве ((x_1, y_1),) мы придем к одному и тому же значению (k) . Таким образом,
Пример нахождения уравнения прямой приведен на следующем рисунке.
Отметим два особых случая. Во-первых, прямая может совпасть с осью (x) . Тогда значение (y) остается постоянным и равным нулю на всем ее протяжении. Тем не менее наше общее решение остается в силе. При этом оказывается, что (k = 0) и переменную (y) можно всё еще формально считать функцией от (x) :
Во-вторых, прямая может совпасть с осью (y) . В этом случае в каждой ее точке (x = 0) . Формула для константы (k) оказывается неприменимой, потому что число (x_0) , стоящее в знаменателе, обращается в нуль. Приходится признать, что мы не можем подобрать такую функцию (y) от (x) , которая имела бы подобный график. Разве что, мы можем теперь принять (y) за независимую переменную и формально рассматривать (x) как функцию от (y)
Несложно убедиться, что всякая точка, лежащая на оси (y) , удовлетворяет этому равенству. Заметим, что если бы мы захотели написать уравнение прямой, проходящей через начало координат, в самом общем виде, то мы могли бы это сделать так:
Это соотношение между (x) и (y) остается справедливым в обоих рассмотренных частных случаях, однако выбор параметров не является однозначным, так как в качестве пары чисел ((x_1, y_1)) можно взять координаты любой точки, принадлежащей прямой.
Произвольная прямая
Восстановление функции по графику
Начнем с обратной задачи. Пусть теперь на координатной плоскости дана произвольная прямая, не проходящая через начало координат. Вопрос нас будет интересовать всё тот же: графиком какой функции она является или, короче говоря, каково уравнение этой прямой?
Отметим на прямой две любые несовпадающие точки и обозначим их координаты через ((x_0, y_0)) и ((x_1,y_1)) . Поместим в точку ((x_0, y_0)) начало новой системы координат с осями (x’) и (y’) , сонаправленными с соответствующими осями (x) и (y) старой системы.
Тогда координаты другой отмеченной точки в новой системе окажутся равны
(begin x_1′ \ y_1′ end = begin x_1 \ y_1 end — begin x_0 \ y_0 end = begin x_1 — x_0 \ y_1 — y_0end.)
Вообще, как мы знаем, новые («штрихованные») координаты любой точки связаны со старыми («нештрихованными») координатами соотношением
Наша прямая проходит через начало координат новой системы, поэтому мы можем сразу же выписать ее уравнение в «штрихованных» переменных:
Переходя к «нештрихованным» переменным, получаем
Что и решает поставленную задачу.
При желании, можно еще выразить функцию (y) от (x) в явном виде:
(y = k,x — k,x_0 + y_0)
(y = k,x + b,) где (b = — k,x_0 + y_0.)
Значения констант (k) и (b) не зависят от выбора точек ((x_0, y_0)) и ((x_1,y_1)) . Какие бы точки на заданной прямой мы не взяли, мы всегда придем к одним и тем же значениям (k) и (b) . Заметим, что из-за дополнительного слагаемого (b) переменные (x) и (y) не пропорциональны друг другу. Поэтому константа (k) называется теперь не коэффициентом пропорциональности, как это было раньше, а угловым коэффициентом. Название это происходит от того, что значение (k) тесно связано с углом наклона прямой по отношению к оси (x) . Чем круче идет прямая, тем больше ее угловой коэффициент.
Константу (b) иногда называют свободным членом. Как легко видеть, переменная (y) равна (b) при (x = 0) . Иными словами, (b) — это точка на оси (y) , в которой эта ось пересекается с нашей прямой. Если (b = 0) , то прямая проходит через начало координат, и мы возвращаемся к частному случаю, рассмотренному ранее.
Из наших рассуждений следует, что любая прямая на координатной плоскости может быть описана уравнением вида
при подходящем выборе констант (k) и (b) . Единственным исключением является особый случай, когда в выражении для углового коэффициента (k = frac) знаменатель обращается в ноль. Это происходит, если (x_1 = x_0) . Это значит, что прямая перпендикулярна оси (x) (и соответственно параллельна оси (y) ). При таких обстоятельствах (x) неизбежно утрачивает роль независимой переменной, но может формально рассматриваться как функция от (y) :
(x = 0 cdot (y — y_0) + x_0.)
В совершенно общем виде уравнение прямой можно написать следующим образом:
((x_1-x_0) (y-y_0) = (y_1-y_0) (x-x_0).)
При этом, однако, выбор двух пар параметров ((x_0, y_0)) и ((x_1, y_1)) (которые, по смыслу, являются координатами двух произвольных точек, лежащих на прямой) неоднозначен.
Построение графика по заданной функции
Теперь давайте выясним, как построить график неоднородной линейной функции (y) от (x) , которая определяется как
где (k) и (b) — любые действительные числа. Как мы только что выяснили, к такому виду сводится уравнение произвольной прямой (при условии, что она не параллельна оси (y) ). Строго говоря, это не исключает, что при некоторых значения параметров (k) и (b) график этой функции может отличаться от прямой линии. Давайте убедимся, что этого никогда не происходит. Перепишем данное нам уравнение следующим образом:
Если перейти в новую, штрихованную, систему координат с началом в точке ((0, b)) и с осями (x’) и (y’) , сонаправленными с соответствующими осями старой системы, то в новых координатах уравнение примет вид:
Мы получим тогда не что иное, как уравнение пропорциональной зависимости, которое гарантировано задает прямую линию. Значит, и график неоднородной линейной функции
представляет собой прямую линию при любых значениях параметров (k) и (b) . Но для того, чтобы построить прямую, достаточно знать две ее произвольные точки ((x_0, y_0)) и ((x_1, y_1)) . В качестве (x_0) и (x_1) можно взять, например, соответственно ноль и единицу. Тогда
(y_0 = b) (при (x_0 = 0) ),
(y_1 = k+b,) (при (x_1 = 1) ).
Проводим прямую через точки ((x_0, y_0)) и ((x_1, y_1)) — и задача решена. На практике, впрочем, лучше брать такие точки, которые расположены друг от друга по возможности дальше, насколько позволяет чертеж. Пример графика неоднородной линейной функции со значением параметров (k = frac) и (b = 1) представлен на следующем рисунке.
Конспект
(1) . Линейная функция (y = k,x + b) называется однородной при (b = 0) и неоднородной при (b ne 0.) Ее график на координатной плоскости представляет собой прямую линию, которая строится по двум произвольным точкам.
(2) . Уравнение прямой, проходящей через начало координат: (y = frac x,) где ((x_1, y_1)) — координаты произвольной точки, принадлежащей этой прямой ((x_1 ne 0).) Исключение: прямая совпадает с осью (y) . Тогда уравнение прямой: (x = 0.)
(3) . Уравнение произвольной прямой: (y-y_0 = frac (x-x_0),) где ((x_0, y_0)) и ((x_1, y_1)) — координаты двух различных произвольных точек, принадлежащих этой прямой. Исключение: прямая проходит через точку ((x_0, y_0)) параллельно оси (y) . Тогда уравнение прямой: (x = x_0) .
Видео:Линейная функция. Составить уравнение прямой проходящей через точку и перпендикулярно прямой.Скачать
Решение на Номер 12.29 из ГДЗ по алгебре за 7 класс: Мордкович А.Г.
Условие
Решение 1
Решение 2
Поиск в решебнике
Видео:Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать
Популярные решебники
Издатель: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, 2013г.
Издатель: А.Г. Мордкович, 2013г.
Издатель: А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. 2015г.
📸 Видео
Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать
Уравнение прямой проходящей через начало координат 7 - 8 клСкачать
Составляем уравнение прямой по точкамСкачать
Составить уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Метод координат. Геометрия 9 классСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать
Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
12. Уравнения прямой в пространстве Решение задачСкачать
Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать
9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать
Уравнение параллельной прямойСкачать
4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примерыСкачать
Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.Скачать
1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать
Уравнение прямой в пространстве через 2 точки. 11 класс.Скачать
Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnlineСкачать
