Составить уравнение проекций всех сил на координатные оси x y (8 видео)

Проекции сил на координатные оси

Графический способ решения задач часто не дает необходимой точности. Намного проще решать задачи аналитически, оперируя не векторами сил, а скалярными величинами, к которым относятся проекции сил на оси.

Проекцией силы на ось называют длину направленного отрезка, который откладывается на оси и заключен между двумя перпендикулярами, опущенными из начала и из конца вектора силы.

Проекция вектора силы (рис. 2.10я, б) считается положительной (принимается со знаком «плюс»), если направление от точек проецирования начала и конца силы совпадает с направлением оси. Если направление проекции начала силы и ее конца не совпадает с направлением оси, проекция считается отрицательной (знак «минус»).

Рис. 2.10. Проекции сил на ось: а), б) наклонно расположенные силы по отношении к оси х; в) силы, перпендикулярные к оси х; г) силы, параллельные оси х

Проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси.

Соответственно, силы, расположенные перпендикулярно к оси, проецируются в точку — проекция равна нулю, а силы, параллельные оси, проецируются в натуральную величину, т.е. длина проекции равна модулю силы (рис. 2.10в, г).

Проекции сил, если они действуют по одной оси, можно суммировать (складывать или вычитать в зависимости от их знака).

Любую произвольно направленную силу F можно разложить на составляющие ее векторы. Если принять, что между составляющими силу векторами будет угол 90° и их направление параллельно координатным осям, получаем исходящие из точки А два вектора: F_x, F_y равные по модулям и направлению проекциям силы на соответствующие координатные оси (рис. 2.11).

Значение проекций сил можно определить алгебраически:

Рис. 2.11. Разложение силы на векторы и их проекции на координатные оси

Проекции одной и той же силы на разные координатные оси могут различаться знаками, так на рис. 2.12 проекция силы F на ось х совпадает с направлением оси, F_x и имеет знак «плюс», а проекция на ось у не совпадает с направлением оси и F_y имеет знак «минус».

Если взять систему сил и спроецировать все силы на координатные оси, то проекции сил по каждой оси можно суммировать, учитывая их значения и знаки (рис. 2.13а, б):

Результирующие значения проекций всей системы сил на оси х, у соответствуют проекциям равнодействующей на эти же

определить равнодействующую всей системы сил и затем спроецировать ее на координатные оси, то получим такой же результат, как при суммировании проекций всех сил системы на эти же оси.

Итак, проекция равнодействующей системы сходящихся сил на ось равна алгебраической сумме проекций всех векторов системы на ту же ось.

Рис. 2.13. Суммирование проекций сил: а) проекции сил на координатные оси; б) проекции сил, входящих в силовой многоугольник, и проекции равнодействующей

Как уже отмечалось, при равновесии системы сходящихся сил ее равнодействующая равна нулю, что соответствует условию (2.1). Отсюда следует, что при равновесии системы алгебраические суммы проекций всех сил системы на координатные оси равны нулю.

Условия равновесия системы сходящихся сил

Для упрощения написания, систему уравнений (2.3) часто записывают следующим образом:

где X X- алгебраическая сумма проекций всех сил на ось х; ? Y- алгебраическая сумма проекций всех сил на ось у. В дальнейшем будем применять упрощенную запись системы уравнений.

Зная проекции сил на координатные оси, значение равнодействующей всех сходящихся сил можно определить по формуле (1.7)

Направление вектора равнодействующей можно найти через косинусы углов (рис. 2.13б):

Пример 2.2. Необходимо определить проекции силы F на координатные оси, сила действует под углом а = 30° к оси х. Модуль силы F = 16 кН (рис. 2.14).

Рис. 2.14. К примеру 2.2, задаче 2.6

Решение. 1. Проецируем силу на координатные оси, проводя перпендикуляры из точек начала и конца силы к осям х, у. Направление полученных проекций совпадает с направлением осей, следовательно, они имеют положительные значения.

2. Устанавливаем значения косинуса и синуса угла a (cos 30° = 0,886; sin 30° = 0,5).
3. По формулам (2.2) определяем значения проекций силы: F_X = F cos 30° = 76 • 0,886 = 67,34 кН; F_y = F sin 30° = 76 • 0,5 = 38 кН.

Рис. 2.15. К примеру 2.3: а) система сходящихся сил; б) равнодействующая системы и ее проекции на оси

Пример 2.3. Определить суммы проекций системы сходящихся сил (рис. 2.15я) на оси х, у. Установить значение и направление действия равнодействующей. Модули сил: F = 90 кН, F₂ = 60 кН, F₃ = 72 кН.

Решение. 1. Проецируем силы F, Fi, F3 на координатные оси и устанавливаем знаки проекций. Проекции на ось х:

Проекции на ось у:

2. Суммируем проекции сил, учитывая их знаки:

3. Модуль равнодействующей определяем по формуле (1.7)

Откладываем на координатных осях от проекций точки А суммарные значения проекций сил (?Х, ? Y) и строим на их основе равнодействующую (рис. 2.156).

Определяем косинусы углов наклона равнодействующей к

Отсюда, получаем углы наклона равнодействующей а = 59°24′; (3 = 30°36′.

Задача 2.6. Определите значения проекций силы F на оси координат, модуль силы F= 68 кН (рис. 2.14); угол наклона силы а = 45°.

Задача 2.7. Определите модуль и направление силы по ее проекциям: F_x = 35 кН; F_y = -20 кН.

Рис. 2.16. К задаче 2.8

Задача 2.8. Определите суммы проекций сходящейся системы сил на оси х, у. Установите значение и направление действия равнодействующей. Модули сил: F — 30 кН, Fi = 25 кН, Fz = 38 кН (рис. 2.16).

Содержание

Как составить уравнение проекций ?
Уравнения проекций на примере
Как составить силовые уравнения
Что такое равнодействующая
Левая часть силового уравнения
Правая часть силового уравнения
Векторы сил параллельны
Векторы сил не параллельны
Куда направить оси
Движение по наклонной плоскости
Выражение для ускорения
Выражение для пройденного пути
📺 Видео

Видео:Урок 9. Проекции вектора на координатные осиСкачать

Как составить уравнение проекций ?

При решении задачек по статике, в теоретической механике или при решении задач по сопромату, часто, требуется определять сумму проекций сил на какую-то ось. Например, в термехе это используется при приведении какой-то системы сил к простейшему виду. В сопромате для определения реакций возникающих в опорах.

Видео:4.2 Проекция силы на ось координатСкачать

Уравнения проекций на примере

Рассмотрим, как составить уравнение проекций всех сил на какую-либо ось на примере. Возьмем прямоугольную декартову систему координат x-y и произвольную систему сил:

Проецируем все силы на координатные оси.Сила F1 дает положительную проекцию на ось X, так как ее направление совпадает с направлением этой оси. На ось Y эта сила не дает проекции, так как она перпендикулярная этой оси. Рассуждая, таким образом, можно записать следующие уравнения сумм проекций:

В выше описанном примере все силы были параллельны или перпендикулярны осям, но на практике же в задачах обычно силы расположены под некоторым углом к координатным осям. В таком случае силы раскладываются на две проекции параллельные осевым линиям:

Для нахождения этих сил удобнее вынести отдельно силовой треугольник и найти их следующим образом:

После этого можно записать уравнение проекций сил на горизонтальную и вертикальную ось:

Видео:Как разложить силы на проекции (динамика 10-11 класс) ЕГЭ по физикеСкачать

Как составить силовые уравнения

В задачах динамики учитывают силы, действующие на тело. Векторы сил могут действовать в различных направлениях. Большинство школьных задач можно решить, располагая векторы сил в одной плоскости. Поэтому, в статье будем рассматривать векторы, лежащие в одной плоскости — компланарные векторы.

Видео:Проекция силы на осьСкачать

Что такое равнодействующая

Равнодействующий вектор – это вектор, который мы получаем, когда складываем несколько векторов сил.

Результат сложения может дать:

вектор, имеющий длину,
или вектор, не имеющий длины.

Примечание: Когда у вектора отсутствует длина, говорят, что вектор равен нулю. На рисунке нулевой вектор можно изобразить одной точкой. Длины у точки нет – т. е. длина нулевая, а направление может быть любым.

Длина вектора содержит сумму квадратов всех его проекций на оси.

Где ( a_ ) и ( a_ ) — это проекции вектора (ссылка) ( vec ) на оси Ox и Oy.

Когда вектор равен нулю, равна нулю каждая его проекция на осях.

Длина вектора отлична от нуля, когда хотя бы одна его проекция ненулевая.

Видео:Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси. 9 класс.Скачать

Левая часть силового уравнения

В левой части силового уравнения записываем силы, действующие на тело.

Когда векторы сил направлены вдоль параллельных прямых, проводим на рисунке одну ось. Если векторы сил не параллельные, проводим две оси на плоскости. Раскладываем векторы на проекции по осям. Для каждой оси составляем отдельное уравнение. Количество уравнений совпадает с количеством осей.

Если сила сонаправлена с осью, то она войдет в левую часть уравнения со знаком «+», а если она направлена против оси — то со знаком «минус».

Видео:Построение проекции вектора на осьСкачать

Правая часть силового уравнения

В правой части уравнения записываем равнодействующую. В задаче может присутствовать несколько осей, вдоль каждой оси направляем отдельную проекцию равнодействующей.

Примечание: Тело может вдоль одной оси двигаться с ускорением, а вдоль другой оси двигаться без ускорения, или, вообще, покоиться. Например, тело может двигаться по вертикали под действием силы тяжести, а по горизонтали при этом не смещаться.

Когда проекция равнодействующей вдоль какой-либо оси не равна нулю, тело по оси будет двигаться с ускорением. Это следует из второго закона Ньютона.

Тогда в правой части уравнения запишем:

(ma), если ускорение направлено туда же, куда направлена ось;
(- ma), если ускорение направлено противоположно оси;

А когда проекция равнодействующей на ось нулевая, ускорение вдоль оси отсутствует. Тогда вдоль этой оси тело движется с неизменной скоростью, или же, вдоль этой оси движение отсутствует. Это следует из первого закона Ньютона.

В правой части уравнения запишем ноль (0 = ускорения нет).

Видео:ФИЗИКА 10 класс. Проекции вектора на оси координат | ВидеоурокСкачать

Векторы сил параллельны

В случае, когда векторы направлены вдоль одной прямой, достаточно выбрать и провести единственную ось.

Выясним, как выглядит силовое уравнение для задачи, в которой векторы сил направлены вдоль единственной оси. Например, парашютист спускается вертикально вниз (рис. 1) на парашюте под действием силы тяжести.

Проведем на рисунке ось, направим ее вверх.

Примечание: Мы можем направить ось вниз, если захотим. При таком направлении оси знаки проекций векторов изменятся на противоположные, но на конечный ответ это никак не повлияет.

Составим левую часть уравнения. В левой части мы запишем силы, действующие на парашютиста:

Сила ( F_<text>) направлена по оси, поэтому войдет в уравнение со знаком «+». А сила ( m cdot g ) вошла в уравнение со знаком «минус», так как направлена против оси.

В правую часть уравнения поместим равнодействующую.

Размеры парашюта рассчитаны так, что парашютист опускается вниз с постоянной (неизменной, т. е. одной и той же) скоростью. Значит, скорость есть, она не меняется, ускорения нет.

Математики запишут, что ускорение есть, но оно – нулевое (vec=0).

То есть, вдоль вертикальной оси тело движется без ускорения, значит, силы компенсировались. По первому закону Ньютона, равнодействующая равна нулю и, в правой части уравнения запишем ноль.

Примечания:

На рисунке 1 скорость обозначена красным вектором, направленным вниз и обозначенным, как (vec<v_>). Обычно математики дописывают нижний индекс к величине, которая не должна меняться. Так как у вектора скорости этот индекс есть, скорость считаем неизменной.
На рисунке векторы скоростей и ускорений нужно рисовать отдельно от векторов сил! Решая задачу, мы будем складывать векторы (ссылка), имеющие одинаковую размерность. Силы измеряют в Ньютонах, поэтому их можно складывать. А ускорения и скорости измеряют в других единицах, с Ньютонами их сложить не получится. Именно поэтому, чтобы не запутаться, ускорения и скорости рисуем на небольшом расстоянии от тела, отдельно от векторов сил.

Итоговое силовое уравнение имеет вид:

[large F_<text> — m cdot g = 0 ]

Зная массу парашютиста, можно вычислить силу сопротивления воздуха. А зная эту силу, можно рассчитать и размеры парашюта.

Видео:Векторные величины Проекция вектора на осьСкачать

Векторы сил не параллельны

Когда векторы направлены вдоль разных прямых, будем проводить две взаимно перпендикулярные оси на плоскости.

Разберем задачу равнозамедленного движения тела по горизонтальной шероховатой поверхности (рис. 2).

Поверхность шероховатая, это намек на то, что есть сила трения. А если в условии напишут, что поверхность гладкая, значит, силы трения нет.

Движение равнозамедленное (ссылка), значит, скорость тела уменьшается и есть вектор ускорения, который направлен против вектора скорости.

Нарисуем взаимно перпендикулярные оси. Ось Ox проведем горизонтально, а ось Oy – вертикально. Рассмотрим оси и проекции векторов на них по очереди.

Горизонтальная ось. Пусть движение тела происходит в положительном направлении оси Ox. Сила трения всегда направлена против движения, поэтому направим ее влево. Скорость тела направлена вправо и будет уменьшаться, значит, ускорение, так же, направим влево. Вектор ускорения рисуем отдельно от векторов сил.

Наличие ускорения говорит о том, что вдоль оси Ox равнодействующая имеет не нулевую проекцию. Ускорение направлено против оси, запишем (- ma) в правой части уравнения.

Так выглядит уравнение для горизонтальной оси

Вертикальная ось. Вниз направлена сила тяжести, а вверх – сила реакции опоры. Так как поверхность горизонтальная и тело не движется ни вверх, ни вниз, то движения вдоль оси Oy нет. Значит, сила тяжести и реакция опоры компенсировались и нет ускорения вдоль оси Oy. В правой части уравнения для вертикальной оси запишем ноль.

Для вертикальной оси уравнение выглядит так:

[large N — m cdot g = 0 ]

Система, пригодная для решения задачи, состоит из двух уравнений

Видео:Как записать проекцию вектора на оси координат - bezbotvyСкачать

Куда направить оси

Разберем равнозамедленное движение тела вверх по наклонной шероховатой плоскости (рис. 3).

Силы, действующие на тело в этой задаче, не параллельные, направлены вдоль разных прямых. Поэтому для составления уравнений нужно использовать две взаимно перпендикулярные оси. Попробуем для начала провести ось Oy вертикально, а ось Ox горизонтально.

Из рисунка 3 видно, вдоль оси направлен только один вектор (mg). Остальные векторы сил не параллельны ни одной из осей. Такие векторы придется раскладывать на проекции, это усложнит конечную систему уравнений.

Если выберем оси так, как показано на рисунке 3, на проекции нужно будет разложить три вектора.

Попробуем теперь провести оси так, чтобы как можно большее количество векторов оказались параллельными осям (рис. 4). Из рисунка видно, что только один вектор (mg) окажется ненаправленным вдоль какой-либо оси. Остальные векторы сил параллельны осям.

При таком выборе осей раскладывать на проекции придется только один вектор. Это позволит быстрее решить задачу и решать более простые уравнения.

Примечание: Если мы выбререм оси так, как это представлено на рисунке 3, получим более сложные уравнения. Но решив их, мы получим точно такой же ответ, как и в случае выбора осей на рисунке 4.

Выводы:

Выбор осей на конечный результат не влияет! А влияет только на сложность полученных уравнений.
Оси проводим так, чтобы как можно больше векторов оказались направленными вдоль осей.

Видео:Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Движение по наклонной плоскости

Составим систему уравнений для решения такой задачи:

Велосипедист подъезжает с начальной скоростью к подъему, посыпанному песком и, едет в гору на велосипеде по инерции, не крутя педали. Масса велосипедиста с велосипедом, начальная скорость его, коэффициент сопротивления поверхности и угол наклона известны.

Нужно составить систему силовых уравнений, чтобы найти ускорение велосипедиста. А после, зная начальную скорость и ускорение, найти путь, который велосипедист сможет проехать по инерции в горку.

Выражение для ускорения

Составим рисунок, на котором изобразим силы, действующие на велосипедиста (рис. 5)

Мы провели оси так, чтобы пришлось разложить на проекции только один вектор и система силовых уравнений оказалась достаточно простой.

Пользуясь осями координат, составляем теперь уравнения в проекциях.

Уравнение для проекций векторов на ось Ox:

[ large — F_<text> – m cdot g_ = — m cdot a ]

Уравнение для проекций векторов на ось Oy:

[ large N – m cdot g_ = 0 ]

Разложим теперь силу тяжести — вектор (mg) на проекции. Чтобы проделать это разложение, нужно отметить угол (alpha ) межу вектором (mg) и одной из осей. В нашем случае, это угол между вектором (mg) и осью Oy.

[ large begin m cdot g_ = mg cdot cos left(alpha right) \ m cdot g_ = mg cdot sin left(alpha right) end ]

Подставив разложение вектора (mg) в уравнения для осей, получим такую систему уравнений

[ large begin — F_<text> – mg cdot sin left(alpha right) = — m cdot a \ N – mg cdot cos left(alpha right) = 0 end ]

Дополним эту систему выражением для силы трения.

Запишем эти уравнения в систему и выразим из нее уравнение для ускорения.

[ large begin N = mg cdot cos left(alpha right) \ F_<text> = mu cdot mg cdot cos left(alpha right) \ mu cdot mg cdot cos left(alpha right) + mg cdot sin left(alpha right) = m cdot a end ]

Поделим нижнее уравнение системы на массу велосипедиста и запишем окончательно уравнение для ускорения:

[ large mu cdot g cdot cos left(alpha right) + g cdot sin left(alpha right) = a ]

Выражение для пройденного пути

Запишем выражения для связи скоростей и пройденного пути. Велосипедист движется по инерции в гору и его скорость уменьшается из-за силы тяжести и силы сопротивления поверхности, посыпанной песком. Когда скорость велосипедиста обратится в ноль, он, проехав часть пути в гору, остановится. Используем систему двух уравнений, она описывает путь при учете уменьшения скорости до нуля:

[ large begin 0 = v_ — a cdot t \ S = v_ cdot t — a cdot frac end ]

Получим теперь уравнение для пути, в котором будут присутствовать только начальная скорость и ускорение и, будет отсутствовать время.

Упрощенная система для решения задачи теперь включает всего два уравнения

[ large begin mu cdot g cdot cos left(alpha right) + g cdot sin left(alpha right) = a \ S = v_ cdot frac<v_> — frac<v_> cdot frac<v_> end ]

Подставив в эту систему известные значения начальной (v_) скорости велосипедиста, коэффициент (mu) сопротивления поверхности и угол (alpha) наклона плоскости, сможем посчитать путь, пройденный велосипедистом до его полной остановки.