Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах

Ответы на билеты

Cоставьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.

Решение. По условию задачи вектор ОА(1,-1,3) является нормальным вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде x-y+3z+D=0. Подставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей плоскости, найдем D: 1-(-1)+3 × 3+D = 0 Þ D = -11. Итак, x-y+3z-11=0.

Пример 1.16. Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оz и образующей с плоскостью 2x+y-z-7=0 угол 60о.

Решение. Плоскость, проходящая через ось Oz, задается уравнением Ax+By=0, где А и В одновременно не обращаются в нуль. Пусть В не равно 0, A/Bx+y=0. По формуле косинуса угла между двумя плоскостями

= cos 60о, где m = A/B.

Решая квадратное уравнение 3m2 + 8m — 3 = 0, находим его корни m1 = 1/3, m2 = -3, откуда получаем две плоскости 1/3x+y = 0 и -3x+y = 0.

Пример 1.17. Составьте канонические уравнения прямой:
5x + y + z = 0, 2x + 3y — 2z + 5 = 0. [an error occurred while processing this directive]

Решение. Канонические уравнения прямой имеют вид:

где m, n, р — координаты направляющего вектора прямой, x1, y1, z1 — координаты какой-либо точки, принадлежащей прямой. Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Чтобы найти точку, принадлежащую прямой, фиксируют одну из координат (проще всего положить, например, x=0) и полученную систему решают как систему линейных уравнений с двумя неизвестными. Итак, пусть x=0, тогда y + z = 0, 3y — 2z+ 5 = 0, откуда y=-1, z=1. Координаты точки М(x1, y1, z1 ), принадлежащей данной прямой, мы нашли: M (0,-1,1). Направляющий вектор прямой легко найти, зная нормальные векторы исходных плоскостей n1(5,1,1) и n2(2,3,-2). Тогда
n = [n1, n2] = = (-2-3)i — (-10-2)j + (15-2)k = -5i+12j+13k.

Канонические уравнения прямой имеют вид: x/(-5) = (y + 1)/12 = (z — 1)/13.

Пример 1.18. В пучке, определяемом плоскостями 2х-у+5z-3=0 и х+у+2z+1=0, найти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку М(1,0,1).

Решение. Уравнение пучка, определяемого данными плоскостями, имеет вид u(2х-у+5z-3) + v(х+у+2z+1)=0, где u и v не обращаются в нуль одновременно. Перепишем уравнение пучка следующим образом:

(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z — 3u + v = 0.

Для того, чтобы из пучка выделить плоскость, проходящую через точку М, подставим координаты точки М в уравнение пучка. Получим:

(2u+v) × 1 + ( -u + v) × 0 + (5u + 2v ) × 1 -3u + v =0, или v = — u.

Тогда уравнение плоскости, содержащей M, найдем, подставив v = — u в уравнение пучка:

u(2x-y +5z — 3) — u (x + y +2z +1) = 0.

Т.к. u ¹ 0 ( иначе v=0, а это противоречит определению пучка ), то имеем уравнение плоскости x-2y+3z-4=0. Вторая плоскость, принадлежащая пучку, должна быть ей перпендикулярна. Запишем условие ортогональности плоскостей:

(2u+ v) × 1 + (v — u) × (-2) + (5u +2v) × 3 = 0, или v = — 19/5u.

Значит, уравнение второй плоскости имеет вид:

u(2x -y+5z — 3) — 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 или 9x +24y + 13z + 34 = 0.

Пусть даны две прямые

Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярахСоставить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах

с направляющими векторами Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярахи Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярахсоответственно. При любом расположении прямых Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярахи Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярахв пространстве за угол Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярахмежду этими прямыми принимают один из двух смежных углов, которые образуют прямые, проведенные параллельно данным, через какую-нибудь точку пространства. Один их этих смежных углов равен углу Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярахмежду их направляющими векторами Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярахи Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярахданных прямых. Тогда

Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах. (3.26)
Второй угол равен Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах.

Параллельность (перпендикулярность) двух прямых Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярахи Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярахозначает, очевидно, коллинеарность (ортогональность) их направляющих векторов. Поэтому

Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярахСоставить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах, (3.27)

Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярахСоставить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах. (3.28)

Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярахВ заключение найдем расстояние d от точки Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярахдо прямой L: Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярахв пространстве. Искомое расстояние d является высотой параллелограмма, построенного на векторах Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярахи Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах(рис.4.4). Так как площадь параллелограмма, построенного на векторах Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярахи Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах, равна модулю их векторного произведения, то

Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах. (3.29)

Пример 1. Найти область определения функции

Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах.

 Область определения функции находим из решения следующей системы неравенств:

Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах

Таким образом, Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах. 

Иногда функция задается с помощью нескольких формул, например,

Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах(4.3)

Аналитический способ задания функции удобен тем, что значения функции можно вычислять при любых значениях аргумента. По заданному аналитическому выражению функции удобно изучать ее свойства. Однако недостатком этого способа задания функции является его малая наглядность.

2) Табличный способ. При этом способе задания функции рядом с числовым значением аргумента выписывается соответствующее значение функции. Так, хорошо известны, например, таблицы функций Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах, Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах, Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах, Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах, Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах, Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярахи многие другие. Примером табличного способа задания функции может служить расписание движения поезда, которое определяет месторасположение поезда в отдельные моменты времени. Таблицы могут составляться также по значениям Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярахи Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах, полученным из опыта или наблюдения. Для построения графика по аналитическому выражению функции в простейшем случае также составляется таблица значений.

Недостатком табличного способа задания функции является то, что в таблице могут быть указаны не все, а лишь отдельные значения аргумента и функции. Особенности изменения функции при этом могут быть искажены или утрачены.

3) Графический способ. Этот способ задания функции помимо геометрического изображения функции, заданной уравнением, удобен тогда, когда функцию трудно задать аналитически. Задать функцию графически – это значит построить ее график. Это часто делают самопишущие приборы. Например, в медицине элекрокардиограф вычерчивает электрокардиограмму – кривую изменения электрических импульсов сердечной мышцы.

Графиком числовой функции Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярахназывается множество точек плоскости с координатами Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах, абсциссы которых – числа из области определения функции, а ординаты – соответствующие значения функции.

Не всякое множество точек координатной плоскости, даже не всякая линия может служить графиком функции. Линия только в том случае задает функцию, если любая прямая, параллельная оси Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах, пересекает ее не более чем в одной точке.

Пример 2. График параболы, заданной уравнением Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах, не является графиком функции, поскольку прямая, параллельная оси Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах, пересекает его в двух точках при всех значениях Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах, кроме Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах(рис. 12.1). Заданное уравнение эквивалентно двум уравнениям Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах, каждое из которых определяет функцию. Графиком функции Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярахслужит верхняя половина параболы, графиком функции Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах– ее нижняя половина. Обе функции определены при Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах.

Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах

График функции (12.3) имеет вид, изображенный на рис. 12.2.

4) Словесный способ. При этом способе функция может быть задана с помощью описания соответствия. Поставим в соответствие каждому числу Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярахчисло 1, числу 0 – число 0, а каждому Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах– число Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах. В результате получим функцию, определенную на всей вещественной оси и принимающую три значения: 1, 0 и Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах. Эта функция имеет специальное обозначение Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах(signum – по латыни обозначает “знак”) и, конечно, может быть записана с помощью нескольких формул:

Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах

Другой пример: каждому рациональному числу поставим в соответствие число 1, а каждому иррациональному – число 0. Полученная функция называется функцией Дирихле

Рассмотрим более подробно некоторые специальные аналитические способы задания функции.

Функция называется явной, если она задана формулой , в которой правая часть не содержит Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах, например, функция Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах.

Функция называется неявной, если она задана уравнением Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах, не разрешенным относительно зависимой переменной. Это название отражает только способ задания функции, а не характер функциональной зависимости. Одна и та же функция может быть задана как явно, так и неявно. Например, функции Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярахи Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярахмогут быть заданы также и неявным образом с помощью уравнения Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах.

Сложная функция. Если функция Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярахзависит от переменной Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах, т.е. Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах, а Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах, в свою очередь, является функцией от переменной Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах, т.е. Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах, Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярахс областью значений Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах, то переменная Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярахназывается сложной функцией (или композицией функций, суперпозицией функций, функцией от функции) от Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярахи записывается в виде Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах.

Из определения следует, что сложная функция может быть представлена в виде цепочки простых функций: Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах, Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах. Переменную Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярахпринято называть промежуточным аргументом в отличие от независимой переменной Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах. Очевидно, что цепочка, составляющая сложную функцию, может состоять не только из двух, но и из большего числа звеньев. Например, функция Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярахсостоит из трех звеньев: Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах, Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах, Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах.

Видео:10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать

10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задач

Задача 21579 Точка P(2; -1; 1) служит основанием.

Условие

Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах

Точка P(2; -1; 1) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости.

Решение

Составить уравнение плоскости зная что точка служит основанием перпендикулярах

Вектор vector-нормальный вектор данной плоскости
vector=(2;-1;1)
Уравнение плоскости, проходящей через точку Р(х_(о);y_(o);z_(o)) c нормальным вектором vector=(A;B;C> имеет вид:
A*(x-x_(o))+B*(y-y_(o))+C*(z-z_(o))=0

Подставляем координаты точки Р и вектора vector в это уравнение
2*(х-2)-(y-(-1))+(z-1)=0
2x-y+z-6=0
О т в е т. 2x-y+z-6=0

Видео:Уравнение плоскости. 11 класс.Скачать

Уравнение плоскости. 11 класс.

Математика задачник — ответы

Ответы на задачник по предмету математика.

1) Составьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1, -1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.

x — y + 3z — 11 = 0

2) Вычислить определитель D, разложив его по элементам второго столбца.

-20

3) Вычислить J= ∫cos(lnx) dx/x

sin(lnx)+ C

4) Найти lim x—>0 (5 x — cos x)

0

5) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 4y = x 2 , y 2 = 4x.

16/3

6) Найти производную функции y =ln sinx

ctg x

7) Найдите угол между векторами a = 2m+4n и b = m-n, где m и n — единичные векторы и угол между m и n равен 120 о

120

8) Найти наименьшее значение функции y = x 2 – 6x + 5 на отрезке (1,2).

-3

X1=2, X2=3, X3=-2.

10) При каком положительном значении параметра t прямые, заданные уравнениями
3tx — 8y + 1 = 0 и (1+t)x — 2ty = 0, параллельны?

📹 Видео

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Уравнение плоскости. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Уравнение плоскости. Практическая часть. 11 класс.

17. Показать что прямые пересекаются и составить уравнение плоскости в которой они расположеныСкачать

17. Показать что прямые пересекаются и составить уравнение плоскости в которой они расположены

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскости

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примеры

Уравнение плоскости через 3 точкиСкачать

Уравнение плоскости через 3 точки

Уравнение плоскости через 2 точки параллельно векторуСкачать

Уравнение плоскости через 2 точки параллельно вектору

3. Частные случаи общего уравнения плоскости Неполные уравнения плоскостиСкачать

3. Частные случаи общего уравнения плоскости Неполные уравнения плоскости

Уравнение плоскости. Практика. Урок 5. Геометрия 11 классСкачать

Уравнение плоскости. Практика. Урок 5. Геометрия 11 класс

Видеоурок "Уравнение плоскости по трем точкам"Скачать

Видеоурок "Уравнение плоскости по трем точкам"

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Перпендикуляр и наклонная в пространстве. 10 класс.Скачать

Перпендикуляр и наклонная в пространстве. 10 класс.

Задача 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.Скачать

Задача 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.

Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку M (3;2;4).Скачать

Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку M (3;2;4).

2. Уравнение плоскости примеры решения задач #1Скачать

2. Уравнение плоскости примеры решения задач #1

12. Уравнения прямой в пространстве Решение задачСкачать

12. Уравнения прямой в пространстве Решение задач

4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примерыСкачать

4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примеры
Поделиться или сохранить к себе: