Составить уравнение плоскости проходящей через прямую пересечения плоскостей 2x y 3z 5

Условие

Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения двух плоскостей: 2x-y+3z-5=0 и x+2y-z+2=0 параллельно вектору a(2; -1; -2)

Решение

vector=(2;-1;3)
vector=(1;2;-1)
vecto=vector×vector=-5vector+5vector+5vector
vector — один из направляющих векторов прямой

Найдем точку, принадлежащую двум плоскостям.
Принимаем z=0
Тогда будем иметь систему уравнений
<2x-y-5=0
<x+2y+2=0
Умножаем первое уравнение на 2 и складываем со второым
Складываем
5х=8
х=1,6
y=-1,8
Точка А(1,6; -1,8; 0) принадлежит данным плоскостям, значит принадлежит их линии пересечения.

Пусть М(х;у;z) — произвольная точка искомой плоскости.
Тогда три вектора
vector=(x-1,6;y+1,8;z)>; vector=(-5;5;5) и vector=(2;-1; -2) — [b]компланарны[/b]

Определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0

О т в е т.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Линия пересечения плоскостей онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти линию пересечения плоскостей. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения уравнения линии пересечения плоскостей введите коэффициенты в уравнения плоскостей и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать

Линия пересечения плоскостей − теория, примеры и решения

Две плоскости в пространстве могут быть параллельными, могут совпадать или пересекаться. В данной статье мы определим взаимное расположение двух плоскостей, и если эти плоскости пересекаются, выведем уравнение линии пересечения плоскостей.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы плоскости α₁ и α₂:

Найдем уравнение линии пересеченя плоскостей α₁ и α₂. Для этого рассмотрим следующие случаи:

Умножив уравнение (2) на λ, получим:

Если векторы n₁ и n₂ не коллинеарны, то решим систему линейных уравнений (1) и (2). Для этого переведем свободные члены на правую сторону уравнений и составим соответствующее матричное уравнение:

(4)

Как решить уравнение (4) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн или Метод Жоржана-Гаусса онлайн.

Так как в системе линейных уравнений (4) векторы n₁=<A₁, B₁, C₁> и n₂=<A₂, B₂, C₂> не коллинеарны, то решение этой системы линейных уравнений имеет следующий вид:

,

(5)

Равенство (5) можно записать в следующем виде:

.

(6)

Мы получили параметрическое уравнение прямой, которое является линией пересечения плоскостей α₁ и α₂. Полученное уравнение прямой можно записать в каноническом виде:

.

Пример 1. Найти линию пересечения плоскостей α₁ и α₂:

Поскольку направляющие векторы n₁ и n₂ неколлинеарны, то плолскости α₁ и α₂ пересекаются.

Для нахождения линии пересечения влоскостей α₁ и α₂ нужно решить систему линейных уравнений (7) и (8). Для этого составим матричное уравнение этой системы:

.

(9)

Решим систему линейных уравнений (9) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:

.

(10)

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a₁₁. Для этого сложим строку 2 со строкой 1, умноженной на −2:

.

Второй этап. Обратный ход Гаусса.

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a₂₂. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на −2/5:

.

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

.

.

(11)

где t− произвольное действительное число.

Запишем (11) в следующем виде:

.

(12)

Получили уравнение линии пересечения плоскостей α₁ и α₂ в параметрическом виде. Запишем ее в каноническом виде.

(13)

Из равентсв выше получим каноническое уравнение прямой:

Ответ. Уравнение линии пересечения плоскостей α₁ и α₂имеет вид:

Пример 2. Найти линию пересечения плоскостей α₁ и α₂:

(14)

(15)

Поскольку направляющие векторы n₁ и n₂ коллинеарны (n₁ можно получить умножением n₂ на число 1/2), то плоскости α₁ и α₂ параллельны или совпадают.

При умножении уравнения на ненулевое число уравнение не изменяется. Преобразуем уравнение плоскости α₂ умножив на число 1/2:

(16)

Так как нормальные векторы уравнений (14) и (16) совпадают, а свободные члены разные, то плоскости α₁ и α₂ не совпадают. Следовательно они параллельны, т.е. не пересекаются.

Пример 3. Найти линию пересечения плоскостей α₁ и α₂:

(17)

(18)

Поскольку направляющие векторы n₁ и n₂ коллинеарны (n₁ можно получить умножением n₂ на число 1/3), то плоскости α₁ и α₂ параллельны или совпадают.

При умножении уравнения на ненулевое число уравнение не изменяется. Преобразуем уравнение плоскости α₂ умножив на число 1/3:

(19)

Так как нормальные векторы уравнений (17) и (19) совпадают, и свободные члены равны, то плоскости α₁ и α₂ совпадают.

Видео:Найти уравнение плоскости проходящей через прямую и перпендикулярно плоскостиСкачать

Составить уравнение плоскости проходящей через прямую пересечения плоскостей 2x y 3z 5

1.Пример последовательности, у которой счётное множество предельных точек. Обосновать пример.

2.Составить уравнение прямой,образованной пересечением плоскости 3x-y-7z+9=0 с плоскотью,проходящей через ось Ox и точку E(3;2;-5).

3.Осевым сечением конусы является прямоугольный треугольник с катетом 32 см. Найдите объем конуса.

📹 Видео

Написать канонические и параметрические уравнения прямой в пространствеСкачать

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать

17. Показать что прямые пересекаются и составить уравнение плоскости в которой они расположеныСкачать

4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примерыСкачать

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать

Найти точку пересечения прямой и плоскостиСкачать

Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку M (3;2;4).Скачать

2. Уравнение плоскости примеры решения задач #1Скачать

23. Точка пересечения прямой и плоскости / Проекция точки на плоскость / Проекция точки на прямуюСкачать

Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

13. Общие уравнения прямой в пространстве / приведение к каноническому видуСкачать

Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

12. Уравнения прямой в пространстве Решение задачСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

5. Нормальное уравнение плоскости выводСкачать

Уравнение плоскости через 2 точки параллельно прямойСкачать