Рассмотрим некоторые примеры, в которых требуется написать уравнение окружности по заданным условиям.
1) Написать уравнение окружности с центром в точке K(5;-1) и радиусом 7.
Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R имеет вид:
Так как центр окружности — точка K(5; -1), то a=5, b=-1.Подставляем эти данные в уравнение окружности:
2) Напишите уравнение окружности с центром в точке A (8;-3) проходящей через точку C(3;-6).
Так как центр окружности — точка A(8; -3), то a=8, b=-3.
Остаётся найти радиус. Он равен расстоянию от центра окружности до точки, лежащей на окружности, то есть в данном случае радиус окружности равен расстоянию между точками A и C.
Следовательно, уравнение данной окружности
3) Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если A (-4; -9), B(6;5).
Центром окружности является середина диаметра, в нашем случае — середина отрезка AB. По формулам координат середины отрезка
Центр окружности — точка O(1;-2). Значит, a=1, b=-2.
Радиус можно найти как расстояние от центра окружности до любой из точек A или B окружности. Например,
Таким образом, уравнение окружности с диаметром AB —
4) Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: A(4; -5), B(8; 3) C(-8; 11).
Так как точки A, B C принадлежат окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставив координаты точек в уравнение
получаем систему уравнений:
Поскольку правые части уравнений равны, левые также равны. Приравняв правые части 1-го и 2-го уравнений получим
Приравняем правые части 2-го и 3-го уравнений:
на -1 и сложив результат почленно с уравнением
получаем a=-2, b=3. Подставив этот результат в первое уравнение системы:
Следовательно, уравнение окружности, проходящей через три данные точки —
5) Написать уравнение окружности, описанной около треугольника ABC с вершинами в точках A(2; 6), B(1; 5) C(8; -2).
Решение аналогично решению задания 4. В результате получим уравнение
Видео:№968. Напишите уравнение окружности с центром в точке А(0; 6), проходящей через точку В (-3; 2).Скачать
Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола. 1.50. Составить уравнение окружности с центром в заданной точке С и данным радиусом r: 1) С (4; –7)
1.50. Составить уравнение окружности с центром в заданной точке С и данным радиусом r: 1) С (4; –7), r = 5; 2) С (–6; 3), r = 
3) С (3; –2), r = 3.
1.51. Окружность с центром в точке S (12; –5) проходит через начало координат. Составить уравнение этой окружности.
1.52. Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок прямой 12х + 5у + 60 = 0, заключенный между осями координат.
1.53. Известно, что концы одного из диаметров окружности находятся в точках 
(2; –7) и 
(–4; 3). Составить уравнение окружности.
1.54. Составить уравнение прямой, проходящей через центры окружностей х 
+ у 
= 5 и х 
+ у 
+ 2х + 4у = 31. Найти отношение их радиусов..
1.55. Найти уравнение диаметра окружности х + у – 6х + 14у – 6 = 0, перпендикулярного хорде х – 2у = 2.
1.56. Найти полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет эллипса: 1) 9х 
+ 25 у 
– 225 = 0; 2) 16х 
+ 25у 
= 400.
1.57. Найти координаты вершин, оси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот следующих гипербол:
1) 4х 
– 5 у 
– 100 = 0; 2) 9х 
– 4 у 
– 144 = 0;
3) 16х 
– 9 y 
+ 144 = 0; 4) 9х 
– 7 у 
+ 252 = 0.
1.58. Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 
+ 
= 1.
1.59. Составить уравнение параболы, проходящей через точки:
1) (0; 0) и (–1; –3) симметрично относительно оси ОХ;
2) (0; 0) и (2; –4) симметрично относительно оси ОУ.
1.60. Директрисой параболы, вершина которой находится в начале координат, является прямая 2х – 3 = 0. Составить уравнение параболы и найти ее фокус.
1.61. Найти уравнение параболы и ее директрисы, если известно, что парабола симметрична относительно оси ОХ, точка пересечения прямых у = х и
х + у – 2 = 0 лежит на параболе и вершина параболы находится в точке с абсциссой, равной 0,5.
1.62. Найти расстояние от начала координат до прямой, проходящей через центр гиперболы у = 
, и вершину параболы у = – 2х 
+ 5х – 2.
1.63. Вершина параболы лежит в конце одного из диаметров окружности х 
+ у 
= 9. Составить уравнение параболы, если общая хорда параболы и окружности лежит на прямой у – 2 = 0.
1.64. Составить уравнение прямой, проходящей через центр окружности х 2 + у 2 + 4х + 12у +15 = 0 параллельно прямой х + у = 0.
1.65. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох, с вершиной в начале координат и проходящей через точку А(– 2; –3). Найти фокус и директрису параболы.
1.3.3. Прямая и плоскость в пространстве
Общее уравнение плоскости в пространстве: Ax + By + Cz + D = 0 .
A (x–х0) + B (y–y0) + C (z–z0) = 0 – уравнение плоскости, проходящей через данную точку, где 
(А, В, С) – вектор, перпендикулярный плоскости – нормаль.
Каноническое уравнение прямой в пространстве:
,
где 
(m, n, p) – направляющий вектор прямой.
Взаимное расположение прямых и плоскостей определяется из условий параллельности и перпендикулярности нормали и направляющего вектора.
Пример 1.11.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
М(1; –2; 3) и перпендикулярной вектору 
= (3; –4; 5).
Нормаль – это вектор, перпендикулярный плоскости (см. рис.1.4). В качестве 
можно взять 
.
Рис. 1.4. Перпендикулярность плоскости вектору
Тогда уравнение плоскости, перпендикулярной вектору 
=(3; –4; 5) и проходящей через точку М(1; –2; 3) имеет вид:
3(х – 1) – 4(y+2) + 5(z – 3) = 0 или 3х – 4y + 5z – 26 = 0.
Пример 1.12. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
М0 (3; –2; 4), перпендикулярно плоскости 5х +3у –7z +1 = 0.
Прямая перпендикулярна плоскости (рис. 1.5), значит, в качестве её направляющего вектора можно взять нормаль плоскости, т. к. они коллинеарны. 
. И известна точка, через которую проходит прямая. Используем каноническое уравнение, получаем:
. М =
Рис. 1.5. Перпендикулярность прямой и плоскости
1.66. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку 
и перпендикулярной вектору 
, если:
1) 
(2; –3; 1), = (5; 1; –4); 2) 
(1; 0; 1), 
= (1; –2; 3).
1.67. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось ОУ и точку 
, если: 1) 
(2; –4; 3); 2) 
(–1; 2; –4).
1.68. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; –2; 3): а) перпендикулярной вектору 
= (3; –4; 5); б) параллельной плоскости
3х – 4у + 5z + 6 = 0; в) точку М1(0; 2; 5) и параллельной оси Оу; г) проходящей через ось Оz.
1.69. Найти проекцию В точки А(5; 2; –1): а) на плоскость 2х – у + 3z + 23 = 0; б) на прямую 
.
Найдем уравнение прямой, проходящей через точку А (5; 2; –1) и перпендикулярной плоскости. В качестве направляющего вектора возьмем нормаль к плоскости = (2; – 1; 3):
.
Запишем параметрическое уравнение прямой:
Найдем пересечение прямой и плоскости, для этого подставим полученные выражения в уравнение плоскости, получим:
2(5 + 2t) – (2 – t) + 3(–1 + 3t) + 23 = 0, откуда t = –2, т. е. точка пересечения имеет координаты хв = 1; ув = 4; zв = –7.
б) Для того чтобы найти проекцию точки на прямую, надо:
· построить плоскость, проходящую через заданную точку, перпендикулярно прямой;
· найти пересечение этой плоскости с прямой.
1.70. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0 (2; –3; 1) параллельно векторам 
= (–3; 2; –1) и 
= (1; 2; 3)
1.71. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М1(2; –15; 1) и М2(–1; 1; –1) параллельно прямой, определяемой точками А(5; –2; 3) и В(6; 1; 0).
Дата добавления: 2014-12-14 ; просмотров: 1433 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Видео:9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать
Практическая работа по теме: «Кривые второго порядка»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей
Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения
Практическая работа № 5 Тема: «Кривые второго порядка» Вариант 1
1. Составить уравнение окружности с центром в заданной точке S и данным радиусом r : S (4; -7), r =5;
2. Для указанных окружностей определить координаты центра S и радиус r : а) 
б) 
3. Составить уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку М (2; 1).
4. Найти координаты вершин, оси, фокусы и эксцентриситет эллипсов: 
5. Найти координаты вершин, оси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот гиперболы: а) 
б) 
6. Найти координаты фокуса и написать уравнение директрисы для параболы 
7. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, зная координаты фокуса: F ( 0; 4).
Практическая работа № 5 Тема: «Кривые второго порядка» Вариант 2
1. Составить уравнение окружности с центром в заданной точке S и данным радиусом r : S (-6; 3), r = 
2. Для указанных окружностей определить координаты центра S и радиус r : а) 
б) 
3. Окружность, касающаяся осей координат, проходит через точку М (-2: -4). Написать её уравнение.
4. Найти координаты вершин, оси, фокусы и эксцентриситет эллипсов: 
5. Найти координаты вершин, оси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот гиперболы: а) б) 
6. Найти координаты фокуса и написать уравнение директрисы для параболы 
7. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, зная координаты фокуса: F (0; — 3).
Практическая работа № 5 Тема: «Кривые второго порядка» Вариант 3
1. Составить уравнение окружности с центром в заданной точке S и данным радиусом r : S (4; -7), r =5;
2. Для указанных окружностей определить координаты центра S и радиус r : а)
б)
3. Составить уравнение окружности касающейся координатных осей и лежащей в IV четверти, если ее радиус равен 
.
4. Найти координаты вершин, оси, фокусы и эксцентриситет эллипсов: 
5. Найти координаты вершин, оси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот гиперболы: а) 
б) 
6. Найти координаты фокуса и написать уравнение директрисы для параболы 
7. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, зная координаты фокуса: F (6; 0).
Практическая работа № 5 Тема: «Кривые второго порядка» Вариант 4
1. Составить уравнение окружности с центром в заданной точке S и данным радиусом r : S (-6; 3), r =
2. Для указанных окружностей определить координаты центра S и радиус r :
а) 
б) 
3. Составить уравнение окружности касающейся координатных осей и лежащей в IV четверти, если ее радиус равен 2.
4. Найти координаты вершин, оси, фокусы и эксцентриситет эллипсов: 
5. Найти координаты вершин, оси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот гиперболы:
а) б)
6. Найти координаты фокуса и написать уравнение директрисы для параболы 
7. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, зная координаты фокуса: F (-2,5; 0).
📺 Видео
Уравнение окружности (1)Скачать
ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать
Составить уравнение окружности. Геометрия. Задачи по рисункам.Скачать
начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.Скачать
Найти центр и радиус окружностиСкачать
№967. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку В (-1; 3).Скачать
№969. Напишите уравнение окружности с диаметром MN, если: а) М (-3; 5),Скачать
ПРОСТОЙ СЕКРЕТ ДЛЯ НАЧИНАЮЩИХ! Реши алгебру за 12 минут — Уравнение ОкружностиСкачать
УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИСкачать
№965. Напишите уравнения окружностей с центром в начале координат и радиусами r1=3, r2= √2 , r3=5/2.Скачать
Составляем уравнение окружностиСкачать
Уравнение окружностиСкачать
11 класс, 20 урок, Уравнение сферыСкачать
ОГЭ Задание 11 Уравнение окружностиСкачать
Уравнение окружности. Видеоурок 7. Геометрия 9 классСкачать
УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ 8 и 9 класс геометрияСкачать
Уравнение окружности. Практика. Урок 7. Геометрия 9 классСкачать
