Составить уравнение линий уровня для поля u 4 x2 y2

Содержание:

Линии и поверхности уровня

Понятие линии и поверхности уровня:

Для характеристики функций двух переменных вводится понятие линий уровня.

Определение 2. Линией уровня функции z = f (x, y) называется совокупность всех точек на плоскости Oxy, для которых выполняется условие f (x, y) = C.

Линии уровня можно получить, пересекая поверхность z = f (x, y) плоскостями z = C, где С = соnst.

Пример 1. Найти линии уровня функции z = x 2 + y 2 .

Решение.
Пусть z = C. x 2 + y 2 = C (C ≥ 0),

В этом случае линиями уровня является множество концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусом С (рис. 2) .Аналогично вводится понятие поверхности уровня для функции трех переменных u = f (x, y, z), (f (x, y, z) = C).

Пример 2. Найти поверхности уровня функции u = x 2 + y 2 + z 2 .

Решение. Пусть u = C. Тогда x 2 + y 2 + z 2 = C (C ≥ 0) — это множество сфер с центром в точке O(0; 0; 0) и радиусом C.

Поверхности второго порядка

Наиболее изучены поверхности в курсе аналитической геометрии — поверхности второго порядка. В общем случае уравнение такой поверхности имеет вид:
a₁₁ x 2 + 2a₁₂ xy + a₂₂ y 2 + 2a₁₃ xz + 2a₂₃ yz + a₃₃ z 2 + 2a₁₄ x + 2a₂₄ y + 2a₃₄ z + a₄₄ = 0.

В зависимости от значений коэффициентов получают различные поверхности второго порядка.

Например:
1) — конус;

2) — полусфера;

Рис. 4.

3) — эллиптический параболоид;

Рис. 5.

4) — гиперболический параболоид;

рис.6

5) — трехосный эллипсоид.

Рис. 7.

Для изучения поверхностей в трехмерном пространстве применяется метод сечений. Суть этого метода такова: пересекаем заданную поверхность плоскостями x = C₁, y = C₂, z = C₃. В результате получим некоторые кривые, характеризующие поверхность.

Пример 3. z = x 2 + y 2 . Пусть z = C₁ (C₁ ≥ 0). Получим уравнение x 2 + y 2 = C₁ (уравнение окружности). Положим y = C₂ , тогда — уравнение параболы в плоскости Оxz, которая смещена на единиц вверх по оси Oz. Положим x = C₃ , получим уравнение
Получили уравнение параболы в плоскости Оyz, которая смещена на единиц вверх по оси Оz. Из этих исследований вытекает, что графиком функции z = x 2 + y 2 является параболоид вращения вокруг оси Оz.

Гиперповерхности уровня

Пусть задана функция от n переменных u = f (x₁, x₂, . x_n) . Если положить u = C, то получим уравнение f (x₁, x₂, . x_n) = C, которое называется уравнением гиперповерхности уровня в пространстве R n . Например: Если u = C, то уравнение является уравнением гиперсферы в R n с центром в точке O (0,0, . 0) и радиусом .

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Задача 57552 Дано скалярное поле u =u(х; у): а).

Условие

Дано скалярное поле u =u(х; у): а) составить уравнение линии уровня и = С и построить её график; 6) вычислить с помощью градиента производную скалярного поля и =и(х; у) в точке А по направлению вектора АВ U=U(x,y)

Решение

a)[m]x^2+y^2+4x+2y=C [/m]- уравнение линии

[m]x^2+4x+y^2+2y=C [/m]- уравнение линии

[m]x^2+4x+4+y^2+2y+1=C-5 [/m]-окружности с центром (-2;-1)

cos α =0
cos β =1

1 cпособ ( см. скрин 1)

====

Дано скалярное поле Ux y=x2+y2+2x+4y. Составить линии уровня U=4 и построить ее график

• Реферат.Справочник
• Решенные задачи по высшей математике
• Дано скалярное поле Ux y=x2+y2+2x+4y. Составить линии уровня U=4 и построить ее график

Условие

Дано скалярное поле Ux,y=x2+y2+2x+4y а) Составить линии уровня U=4 и построить ее график б) Вычислить с помощью градиента производную скалярного поля в точке A по направлению вектора AB A=-1+32;-32, B=-1+32;0

Решение

Составим уравнение линии уровня: x2+y2+2x+4y=4 x2+2x+1-1+y2+4y+4-4=4 (x+1)2+(y+2)2=9 Уравнение окружности с центром в точке O(-1;-2) радиуса 3. Построим график линии уровня: Вычислим частные производные: ∂U∂x=2x+2 ∂U∂xA=-2+3+2= 3 ∂U∂y=2y+4 ∂U∂yA=-3+4=1 grad U=2x+2i+(2y+4)j grad U(A)=3i+j AB=xB-xA;yB-yA=-1+32+1-32;0+32=0;32 AB=02+322=32 Найдем направляющие косинусы вектора AB cosα=ABxAB=0 cosβ=AByAB=1 ∂U∂ABA=∂U∂xAcosα+∂U∂yAcosβ=3∙0+1∙1=1