Составить уравнение кривой второго порядка по двум точкам

Видео:Уравнение прямой по двум точкамСкачать

Кривые второго порядка — определение и построение с примерами решения

Содержание:

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру — значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде

1. Если точка М(а,Ь) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,Ь) являются решениями уравнения
2. если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре Ф.

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение называется уравнением фигуры, если , то есть (а, b) — решение уравнения F(x,y) = 0.

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

1. дано уравнение и надо построить фигуру Ф, уравнением которой является ;
2. дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

1. Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
2. Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а, имеем с b. В этом случае а называется большой полуосью, a b — малой.

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку координаты которой задаются формулами будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением

Число называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении становится более вытянутым

Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами . Их длины и задаются формулами Прямые называются директрисами эллипса. Директриса называется левой, а — правой. Так как для эллипса и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая — правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов обозначим через а. По условию, а 0) (рис. 9.7). Ось абсцисс проведём через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Пусть А — произвольная точка плоскости с координатами (х, у) и пусть . Тогда точка А будет лежать на параболе, если r=d, где d- расстояние от точки А до директрисы. Фокус F имеет координаты .

Тогда А расстояние Подставив в формулу r=d, будем иметь. Возведя обе части равенства в квадрат, получим

или

(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения также определяют параболы.

Легко показать, что уравнение , определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а О. Для этого выделим полный квадрат:

и сделаем параллельный перенос по формулам

В новых координатах преобразуемое уравнение примет вид: где р — положительное число, определяется равенством .

Пример:

Пусть заданы точка F и прямая у =-1 (рис. 9.8). Множество точек Р(х, y) для которых расстояние |PF| равно расстоянию, называется параболой. Прямая у = -1 называется директрисой параболы, а точка F — фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки Р, удовлетворяющие условию, запишем это равенство с помощью координат: , или после упрощения . Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).

Видео:Видеоурок "Общее уравнение кривой 2 порядка"Скачать

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число — мень-

шей полуосью эллипса, 2а и 2b — соответственно большей и меньшей осями эллипса. Точки называют вершинами эллипса, а — его фокусами (рис. 12).

Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его центром симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы и характеризует форму эллипса. Для окружности Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

— каноническое уравнение эллипса с центром в точке большей полуосью а=3 и меньшей полуосью

Найдем эксцентриситет эллипса:

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке а оси параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е.

В новой системе координат координаты вершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Переходя к старым координатам, получим:

Построим график эллипса.

Задача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

Расчет кривой второго порядка на плоскости по точкам

Полученная формула

Коэффициенты через пробел Калькулятор предназначен для расчета и создания уравнения кривых второго порядка на декартовой плоскости по нескольким точкам, от двух до пяти. Не является секретом то, что уравнение кривой второго порядка может быть представлена формулой Мы будем использовать чуть измененную формулу, разделив все коэффициенты на a6 отсюда видно, что кривую второго порядка можно однозначно определить по пяти точкам. Кривая второго порядка при различных коэффициентах может превращатся в следующие «типы»: — пара пересекающихся прямых — пара паралельных несовпадающих прямых — пары совпадающих прямых — линии, вырождающиеся в точку — «нулевые линии», то есть «линии», вовсе не имеющие точек Если Вам интересны формулы при которых получаются все эти типы, то пожалуйста — пара пересекающихся прямых — пара параллельных прямых — пара совпадающих прямых Этот сервис позволяет Вам по заданным точкам определить, какую же кривую второго порядка провести через эти точки. Кроме этого, Вы увидите все основные параметры полученной кривой второго порядка. От Вас лишь понадобится предоставить боту от двух до пяти декартовых координат, что бы бот мог решить эту задачу. Видео:§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать ИНВАРИАНТЫ И СВОДНАЯ ТАБЛИЦА Любая кривая второго порядка характеризуется тремя инвариантами, имеющими вид И одним семиинвариантом если Вам интересно, откуда они появились, то рекомендуем прочитать книгу «Аналитическая геометрия — Делоне» Характеристическое уравнение кривой второго порядка: Таким образом сводная таблица имеет вид Признак типа Признак класса Название Приведенное уравнение Каноническое уравнение Эллипс 0, & I_1K_2>0″ /> Мнимый эллипс 0, & K_2=0″ /> Точка Гипербола Пара пересекающихся прямых Окружность Парабола Пара паралельных прямых 0″ /> Пара мнимых паралельных прямых Пара совпадающих прямых Анализируя написанные онлайн калькуляторы по этой теме, нашел интересную «особенность». Попробовав рассчитать по трем точкам кривую второго порядка, зная что эти точки принадлежат окружности, я с завидным постоянством получал ответ, что графиком(формой)полученного уравнения кривой является эллипс. Нет формально, конечно стоит признать что окружность является частным примером эллипса, но ведь можно пойти дальше и признать что и эллипс и гипербола и парабола, являются лишь частным примером кривой второго порядка общего вида, и в ответах таких калькуляторов выдавать ответ пользователю «вы получили уравнение второго порядка» и всё. не соврали же. Такое сверхлегкое трактование и смешение определений геометрических фигур, никак не способствует пониманию и сути решаемых задач. Это как в анекдоте «А теперь нарисуем квадрат со сторонами 3 на 4″(с) И не поймешь то ли рисовать квадрат, то ли прямоугольник. Видео:Кривые второго порядкаСкачать Пример: Начнем сразу с проверочного примера Вообще, убедимся правильно ли считает бот? Итак, есть у нас функция x*x+3x-11=y определим значения при x=1,2,3,4,5 значения получились такие y=-7,-1,7,17,29 и зададим эти точки в качестве исходных пишем kp2 1:-7 2:-1 3:7 4:17 5:29 в результате получаем следующее: На первый взгляд получилось далеко не то, что должно получится. Но если мы уберем нулевые коэффициенты, и разделим все на 0.09091 то результат будет такой то есть Что и требовалось доказать в качестве правильности расчетов нашего бота. Теперь пусть у нас есть всего лишь три точки С координатами x=1,2,3 и y=-7,-1,7 Логично, что это тоже самое уравнение параболы что мы разбирали в первом примере. НО! при трех точках такое решение не единственное. Давайте попробуем задать боту всего три координаты и скажем ему какого вида уравнение мы хотим получить. Это частное уравнение кривой второго порядка в котором коэффициенты а1 и а5 равны нулю Скажем об этом боту kp2 0 1:-7 2:-1 3:7 0 1 где 0- показывает какие коэффициенты нам НЕ надо учитывать, а 1 — это постоянный коэффициент, то есть его находить нет необходимости. Он известен. Видим что не учитываем 1 и 5 коэффициент. Кривая второго порядка a1*x*x+a2*y*y+a3*x*y+a4*x+a5*y+a6 = 0 Видео:Приводим уравнение кривой 2 порядка к каноническому видуСкачать Кривые второго порядка Видео:Лекция 31.1. Кривые второго порядка. ЭллипсСкачать Видео:Составляем уравнение прямой по точкамСкачать Кривая второго порядка — это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением: Видео:Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. ПримерСкачать Видео:Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать Имеем дело с уравнением второй степени, в котором коэффициенты при старших членах — при вторых степенях одновременно не нули. Видео:53. Приведение общего уравнения кривой к каноническому видуСкачать или можно встретить следующую форму записи: Видео:13. Общие уравнения прямой в пространстве / приведение к каноническому видуСкачать К кривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола. Покажем на примере определение значений коэффициентов. Рассмотрим кривую второго порядка: Видео:11. Прямая в пространстве и ее уравненияСкачать Вычислим определитель из коэффициентов: Если Δ = 0, кривая второго порядка параболического типа, если Δ > 0, кривая второго порядка эллиптического типа, если Δ F1 и F2 — фокусы. с — фокальное расстояние, Каноническое уравнение эллипса с центром симметрии в начале координат: 2а — большая ось эллипса, 2b — малая ось эллипса. а — большая полуось эллипса, b — малая полуось эллипса. Если a = b, то имеем окружность с радиусов R = a = b: Если центр эллипса находится не в начале координат, а в некоторой точке C(x0;y0), оси эллипса параллельны осям координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид: Эксцентриситет — число, равное отношению фокального расстояния к большей полуоси: Эксцентриситет характеризует отклонение эллипса от окружности, т.е. чем эксцентриситет больше, тем эллипс более сплющен, вытянут. Гипербола — множество точек на плоскости для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F1 и F2 есть величина постоянная, меньшая расстояния между этими точками. с — фокальное расстояние, Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием. Каноническое уравнение гиперболы с центром симметрии в начале координат: x — действительная ось, y — мнимая ось. а — действительная полуось, b — мнимая полуось. Если центр гиперболы находится в некоторой точке C(x0;y0), оси симметрии параллельны осям координат, то каноническое уравнение имеет вид: Эксцентриситет гиперболы — число, равное отношению фокусного расстояния к действительной полуоси. Чем эксцентриситет меньше, тем гипербола более вытянута, сплюшена вдоль оси Ох. Директриса гиперболы — прямые, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящая от нее на расстоянии a/Ε. f1 — правая директриса, f2 — левая директриса. Порядок построения гиперболы : 1. Строим прямоугольник со сторонами 2a и 2b. 2. Провести асимптоты гиперболы — диагонали построенного прямоугольника. 3. Строим гиперболу с вершинами в точках А 1 (-а;0), А 2 (а;0). Парабола — множество точек на плоскости для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой f. F — фокус параболы, f — директриса параболы. 📸 Видео §26 Общее уравнение кривых второго порядкаСкачать Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"Скачать Кривые второго порядка. ЗадачиСкачать Семинар 6. Приведение уравнения кривой II порядка к каноническому видуСкачать Уравнение прямой в пространстве через 2 точки. 11 класс.Скачать Поделиться или сохранить к себе: Смотрите также Сера — химические свойства, получение, соединения. Нитрат кальция: способы получения и химические свойства Кальций: способы получения и химические свойства Гидроксид натрия: способы получения и химические свойства Гидроксид кальция: способы получения и химические свойства Получение бензола Разница между глюкозой и сахарозой Гидроксид калия: способы получения и химические свойства