Составить уравнение гиперболы фокусы которой расположены на оси ординат симметрично

Гипербола:

Определение: Гиперболой называется геометрическое место точек абсолютное значение разности расстояний от которых до двух выделенных точек

Получим каноническое уравнение гиперболы. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокусы

Рис. 31. Вывод уравнения гиперболы.

Расстояние между фокусами (фокусное расстояние) равно Согласно определению, для гиперболы имеем Из треугольников по теореме Пифагора найдем соответственно.

Следовательно, согласно определению имеем

Возведем обе части равенства в квадрат, получим

Перенося квадратный корень в левую часть, а все остальное в правую часть равенства, находим Раскроем разность квадратов Подставим найденное выражение в уравнение и сократим обе части равенства на 4, тогда оно перейдет в уравнение Вновь возведем обе части равенства в квадрат Раскрывая все скобки в правой части уравнения, получим Соберем неизвестные в левой части, а все известные величины перенесем в правую часть уравнения, получим Введем обозначение для разности, стоящей в скобках Получим Разделив все члены уравнения на величину получаем каноническое уравнение гиперболы: Для знака “+” фокусы гиперболы расположены на оси Ох, вдоль которой вытянута гипербола. Для знака фокусы гиперболы расположены на оси Оу, вдоль которой вытянута гипербола.

Проанализируем полученное уравнение. Если точка М(х;у) принадлежит гиперболе, то ей принадлежат и симметричные точки и следовательно, гипербола симметрична относительно координатных осей, которые в данном случае будут называться осями симметрии гиперболы (Рис. 32). Найдем координаты точек пересечения гиперболы с координатными осями: т.е. точками пересечения гиперболы с осью абсцисс будут точки т.е. гипербола не пересекает ось ординат.

Рис. 32. Асимптоты и параметры гиперболы

Определение: Найденные точки называются вершинами гиперболы.

Докажем, что при возрастании (убывании) переменной х гипербола неограниченно приближается к прямым не пересекая эти прямые. Из уравнения гиперболы находим, что При неограниченном росте (убывании) переменной х величина следовательно, гипербола будет неограниченно приближаться к прямым

Определение: Прямые, к которым неограниченно приближается график гиперболы называются асимптотами гиперболы.

В данном конкретном случае параметр а называется действительной, а параметр b — мнимой полуосями гиперболы.

Определение: Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к действительной полуоси гиперболы

Из определения эксцентриситета гиперболы следует, что он удовлетворяет неравенству Кроме того, эта характеристика описывает форму гиперболы. Для демонстрации этого факта рассмотрим квадрат отношения мнимой полуоси гиперболы к действительной полуоси Если эксцентриситет и гипербола становится равнобочной. Если и гипербола вырождается в два полубесконечных отрезка

Пример:

Составить каноническое уравнение гиперболы, если мнимая полуось b = 5 и гипербола проходит через точку М(4; 5).

Решение:

Для решения задачи воспользуемся каноническим уравнением гиперболы, подставив в него все известные величины:

Следовательно, каноническое уравнение гиперболы имеет вид

Пример:

Составить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы — в вершинах эллипса

Решение:

Для определения координат фокусов и вершин эллипса преобразуем его уравнение к каноническому виду. Эллипс: или Следовательно, большая полуось эллипса а малая полуось Итак, вершины эллипса расположены на оси и на оси Так как то эллипс вытянут вдоль оси абсцисс Ох. Определим расположение фокусов данного эллипса Итак, Согласно условию задачи (см. Рис. 33):

Рис. 33. Параметры эллипса и гиперболы

Вычислим длину мнимой полуоси Уравнение гиперболы имеет вид:

Видео:Видеоурок "Гипербола"Скачать

Гипербола в высшей математике

Решая его относительно , получим две явные функции

или одну двузначную функцию

Функция имеет действительные значения только в том случае, если . При функция действительных значений не имеет. Следовательно, если , то точек с координатами, удовлетворяющими уравнению (3), не существует.

При получаем.

При каждому значению соответствуют два значения , поэтому кривая симметрична относительно оси . Так же можно убедиться в симметрии относительно оси . Поэтому в рассуждениях можно ограничиться рассмотрением только первой четверти. В этой четверти при увеличении х значение у будет также увеличиваться (рис. 36).

Кривая, все точки которой имеют координаты, удовлетворяющие уравнению (3), называется гиперболой.

Гипербола в силу симметрии имеет вид, указанный на рис. 37.

Точки пересечения гиперболы с осью называются вершинами гиперболы; на рис. 37 они обозначены буквами и .

Часть гиперболы, расположенная в первой и четвертой четвертях, называется правой ветвью, а часть гиперболы, расположенная во второй и третьей четвертях, — левой ветвью.

Рассмотрим прямую, заданную уравнением . Чтобы не смешивать ординату точки, расположенной на этой прямой, с ординатой точки, расположенной на гиперболе, будем обозначать ординату точки на прямой , а ординату точки на гиперболе через . Тогда , (рассматриваем только кусок правой ветви, расположенной в первой четверти). Найдем разность ординат точек, взятых на прямой и на гиперболе при одинаковых абсциссах:

Умножим и разделим правую часть на

Будем придавать все большие и большие значения, тогда правая часть равенства будет становиться все меньше и меньше, приближаясь к нулю. Следовательно, разность будет приближаться к нулю, а это значит, что точки, расположенные на прямой и гиперболе, будут сближаться. Таким образом, можно сказать, что рассматриваемая часть правой ветви гиперболы по мере удаления от начала координат приближается к прямой .

Вследствие симметрии видно, что часть правой ветви, расположенная в четвертой четверти, будет приближаться к прямой, определяемой уравнением . Также кусок левой ветви, расположенный во второй четверти, приближается к прямой , а кусок левой ветви, расположенный в третьей четверти, — к прямой .

Прямая, к которой неограниченно приближается гипербола при удалении от начала координат, называется асимптотой гиперболы.

Таким образом, гипербола имеет две асимптоты, определяемые уравнениями (рис. 37).

• Парабола
• Многогранник
• Решение задач на вычисление площадей
• Тела вращения: цилиндр, конус, шар
• Правильные многогранники в геометрии
• Многогранники
• Окружность
• Эллипс

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Сборник задач по линейной алгебре и аналитической геометрии Учебное пособие (стр. 8 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8 9

15.25. Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет , фокус F(3,0) и уравнение соответствующей директрисы х+у-1=0.

15.26. Найти точки пересечения прямой х+2у-7=0 и эллипса х2+4у2=25.

15.27. Найти точки пересечения прямой 3х+10у-25=0 и эллипса .

15.28. Найти точки пересечения прямой 3х-4у-40=0 и эллипса .

15.29. Определить, при каких значениях m прямая у = — х + m 1)пересекает эллипс , 2)касается его, 3)проходит вне этого эллипса.

15.30. Составить уравнение касательной к эллипсу параллельной прямой 3х+2у+7=0.

16.1. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что ее полуоси =6, b=18 (буквой обозначаем полуось гиперболы, расположенную на оси абсцисс).

16.2. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, если расстояние между фокусами 2с=10 и эксцентриситет .

16.3. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, если уравнения асимптот у = и расстояние между вершинами равно 48.

16.4. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если расстояние между директрисами равно и эксцентриситет .

16.5. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, если расстояние между директрисами равно и уравнения асимптот у = .

16.6. Дана гипербола 16х2-9у2 = -144. Найти 1)полуоси и b, 2)фокусы, 3)эксцентриситет, 4)уравнения асимптот, 5) уравнения директрис.

16.7. Вычислить площадь треугольника, образованного асимптотами гиперболы и прямой 9х+2у-24=0.

16.8. Дана гипербола определить фокальные радиусы точки М1.

16.9. Эксцентриситет гиперболы , фокальный радиус ее точки М, проведенный из некоторого фокуса, равен 16. Вычислить расстояние от точки М до односторонней с этим фокусом директрисы.

16.10.Эксцентриситет гиперболы , расстояние от точки М гиперболы до директрисы равно 4. Вычислить расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой директрисой.

16.11. Эксцентриситет гиперболы , центр ее лежит в начале координат, один из фокусов F(12,0). Вычислить расстояние от точки М, гиперболы с абсциссой, равной 13, до директрисы, соответствующей заданному фокусу.

16.12. Эксцентриситет гиперболы , центр ее лежит в начале координат, одна из директрис дана уравнением х = -8. Вычислить расстояние от точки М1 гиперболы с абсциссой, равной 10, до фокуса, соответствующего заданной директрисе.

16.13. Определить точки гиперболы , расстояние которых до правого фокуса равно 4,5.

16.14. Определить точки гиперболы , расстояние которых до левого фокуса равно 7.

16.15. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны точки М1(6,-1) и М2() гиперболы.

16.16. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси ординат симметрично относительно начала координат, если даны точка гиперболы и эксцентриситет .

16.17. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если даны точка М гиперболы и уравнения асимптот у = .

16.18. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, если даны точка М1 гиперболы и уравнения директрис х = .

16.19. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если даны уравнения асимптот у = уравнения директрис х = .

16.20. Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса . Составить уравнения гиперболы, если ее эксцентриситет .

16.21. Составить уравнения гиперболы, фокусы которой лежат в вершинах эллипса , а директрисы проходят через фокусы этого эллипса.

16.22. Найти центр, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис гиперболы 16х2-9у2-64х-54у-161=0.

16.23. Найти центр, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис гиперболы 9х2-16у2+90х+32у-367=0.

16.24. Составить уравнения гиперболы, зная, что расстояние между ее вершинами равно 24 и фокусы F1(-10,2) и F2(16,2).

16.25. Составить уравнение гиперболы, зная, что фокусы F1(3,4) и F2(-3,-4) и расстояние между директрисами равно 3,6.

16.26. Составить уравнение гиперболы, если угол между асимптотами равен 90˚ и фокусы F1(4,-4) и F2(-2,2).

16.27. Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет , фокус F(5,0) и уравнение соответствующей директрисы 5х-16=0.

16.28. Найти точки пересечения прямой 2х-у-10=0 и гиперболы .

16.29. Найти точки пересечения прямой 4х-3у-16=0 и гиперболы .

17.1. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что парабола расположена симметрично относительно оси ОХ и проходит через точку А(9,6).

17.2. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, если парабола расположена симметрично оси ОХ и проходит через точку В(-1,3).

17.3. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, если парабола расположена симметрично относительно оси ОУ и проходит через точку С(1,1).

17.4. Составить уравнения параболы, вершина которой находится в начале координат, если парабола расположена симметрично относительно оси ОУ и проходит через точку D(4,-8).

17.5. Найти фокус F и уравнение директрисы параболы у2=24х.

17.6. Вычислить фокальный радиус точки М параболы у2=20х, если абсцисса точки М равна 7.

17.7. Вычислить фокальный радиус точки М параболы у2=12х, если ордината точки М равна 6.

17.8. На параболе у2=16х найти точки, фокальный радиус которых равен 13.

17.9. Составить уравнение параболы, если дан фокус F(-7,0) и уравнение директрисы х-7=0.

17.10. Найти вершину параболы и ее параметр у2=4-6х.

17.11. Найти вершину и параметр параболы х=-у2+2у-1.

17.12. Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(7,2) и директриса х-5=0.

17.13.Составить уравнение параболы, если ее фокус F(4,3) и директриса у+1=0.

17.14. Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(2,-1) и директриса х-у-1=0.

17.15. Даны вершина параболы А(6,-3) и уравнение ее директрисы

3х-5у+1=0. Найти фокус F этой параболы.

17.16. Даны вершина параболы (-2,-1) и уравнение ее директрисы х+2у-1=0. Составить уравнение этой параболы.

17.17. Определить точки пересечения прямой х+у-3=0 и параболы х2=4у.

17.18. Определить точки пересечения прямой 3х+4у-12=0 и параболы у2=-9х.

17.19. Определить точки пересечения прямой 3х-2у+6=0 и параболы у2=6х.

17.20. Определить при каких значениях углового коэффициента kпрямая

у = kх+2 а)пересекает параболу у2=4х, б)касается ее, в)проходит вне этой параболы.

17.21. Составить уравнение прямой, которая касается параболы у2=8х и параллельна прямой 2х+2у-3=0.

Видео:Написать каноническое уравнение гиперболы. Дан эксцентриситетСкачать

Гипербола: формулы, примеры решения задач

Видео:§29 Эксцентриситет гиперболыСкачать

Определение гиперболы, решаем задачи вместе

Определение гиперболы. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, таких, для которых модуль разности расстояний от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

,

где a и b — длины полуосей, действительной и мнимой.

На чертеже ниже фокусы обозначены как и .

На чертеже ветви гиперболы — бордового цвета.

При a = b гипербола называется равносторонней.

Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если его действительная полуось a = 5 и мнимая = 3.

Решение. Подставляем значения полуосей в формулу канонического уравения гиперболы и получаем:

.

Точки пересечения гиперболы с её действительной осью (т. е. с осью Ox) называются вершинами. Это точки (a, 0) (- a, 0), они обозначены и надписаны на рисунке чёрным.

Точки и , где

,

называются фокусами гиперболы (на чертеже обозначены зелёным, слева и справа от ветвей гиперболы).

называется эксцентриситетом гиперболы.

Гипербола состоит из двух ветвей, лежащих в разных полуплоскостях относительно оси ординат.

Пример 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между фокусами равно 10 и действительная ось равна 8.

Если действительная полуось равна 8, то её половина, т. е. полуось a = 4 ,

Если расстояние между фокусами равно 10, то число c из координат фокусов равно 5.

То есть, для того, чтобы составить уравнение гиперболы, потребуется вычислить квадрат мнимой полуоси b.

Подставляем и вычисляем:

Получаем требуемое в условии задачи каноническое уравнение гиперболы:

.

Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если её действительная ось равна 48 и эксцентриситет .

Решение. Как следует из условия, действительная полуось a = 24 . А эксцентриситет — это пропорция и так как a = 24 , то коэффициент пропорциональности отношения с и a равен 2. Следовательно, c = 26 . Из формулы числа c выражаем квадрат мнимой полуоси и вычисляем:

.

Результат — каноническое уравнение гиперболы:

Если — произвольная точка левой ветви гиперболы () и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

.

Если — произвольная точка правой ветви гиперболы () и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

.

На чертеже расстояния обозначены оранжевыми линиями.

Для каждой точки, находящейся на гиперболе, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

,

называются директрисами гиперболы (на чертеже — прямые ярко-красного цвета).

Из трёх вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки гиперболы

,

где — расстояние от левого фокуса до точки любой ветви гиперболы, — расстояние от правого фокуса до точки любой ветви гиперболы и и — расстояния этой точки до директрис и .

Пример 4. Дана гипербола . Составить уравнение её директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет гиперболы, т. е. . Вычисляем:

.

Получаем уравнение директрис гиперболы:

Многие задачи на директрисы гиперболы аналогичны задачам на директрисы эллипса. В уроке «Эллипс» это пример 7.

Характерной особенностью гиперболы является наличие асимптот — прямых, к которым приближаются точки гиперболы при удалении от центра.

Асимптоты гиперболы определяются уравнениями

.

На чертеже асимптоты — прямые серого цвета, проходящие через начало координат O.

Уравнение гиперболы, отнесённой к асимптотам, имеет вид:

, где .

В том случае, когда угол между асимптотами — прямой, гипербола называется равнобочной, и если асимптоты равнобочной гиперболы выбрать за оси координат, то её уравнение запишется в виде y = k/x , то есть в виде уравения обратной пропорциональной зависимости.

Пример 5. Даны уравнения асимптот гиперболы и координаты точки , лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.

Решение. Дробь в уравнении асимптот гиперболы — это пропорция, следовательно, нужно сначала найти коэффициент пропорциональности отношения . Для этого подставляем в формулу канонического уравнения гиперболы координаты точки M x и y и значения числителя и знаменателя из уравнения асимптоты, кроме того, умножаем каждую дробь в левой части на коэффициент пропорциональности k.

.

Теперь имеем все данные, чтобы получить каноническое уравнение гиперболы. Получаем:

Гипербола обладает оптическим свойством, которое описывается следующим образом: луч, исходящий из источника света, находящегося в одном из фокусов гиперболы, после отражения движется так, как будто он исходит из другого фокуса.

Видео:213. Фокус и директриса параболы.Скачать

Решить задачи на гиперболу самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) b = 4 , а один из фокусов в точке (5; 0)

2) действительная ось 6, расстояние между фокусами 8

3) один из фокусов в точке (-10; 0), уравнения асимптот гиперболы

📺 Видео

Овчинников А. В. - Аналитическая геометрия - Эллипс, гипербола, параболаСкачать

Лекция 31.2. Кривые второго порядка. Гипербола.Скачать

Фокусы гиперболыСкачать

§21 Каноническое уравнение гиперболыСкачать

Вариант 72, № 5. Уравнение оси симметрии параболы. Пример 2Скачать

Неполное уравнение второго порядка. Эллипс, гипербола. ЗадачиСкачать

Эллипс, парабола и гипербола. Конические сечения | Ботай со мной #055 | Борис Трушин |Скачать

§23 Построение гиперболыСкачать

ЭллипсСкачать

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать

ГиперболаСкачать

§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

Как легко составить уравнение параболы из графикаСкачать

Фокус и директриса параболы 1Скачать

Шишкин А. А. - Аналитическая геометрия - Кривые второго порядкаСкачать