Составить уравнение гиперболы если расстояние между фокусами 10 и мнимая ось 8

Видео:Написать каноническое уравнение гиперболы. Дан эксцентриситетСкачать

Определение гиперболы, решаем задачи вместе

Определение гиперболы. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, таких, для которых модуль разности расстояний от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

,

где a и b — длины полуосей, действительной и мнимой.

На чертеже ниже фокусы обозначены как и .

На чертеже ветви гиперболы — бордового цвета.

При a = b гипербола называется равносторонней.

Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если его действительная полуось a = 5 и мнимая = 3.

Решение. Подставляем значения полуосей в формулу канонического уравения гиперболы и получаем:

.

Точки пересечения гиперболы с её действительной осью (т. е. с осью Ox) называются вершинами. Это точки (a, 0) (- a, 0), они обозначены и надписаны на рисунке чёрным.

Точки и , где

,

называются фокусами гиперболы (на чертеже обозначены зелёным, слева и справа от ветвей гиперболы).

называется эксцентриситетом гиперболы.

Гипербола состоит из двух ветвей, лежащих в разных полуплоскостях относительно оси ординат.

Пример 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между фокусами равно 10 и действительная ось равна 8.

Если действительная полуось равна 8, то её половина, т. е. полуось a = 4 ,

Если расстояние между фокусами равно 10, то число c из координат фокусов равно 5.

То есть, для того, чтобы составить уравнение гиперболы, потребуется вычислить квадрат мнимой полуоси b.

Подставляем и вычисляем:

Получаем требуемое в условии задачи каноническое уравнение гиперболы:

.

Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если её действительная ось равна 48 и эксцентриситет .

Решение. Как следует из условия, действительная полуось a = 24 . А эксцентриситет — это пропорция и так как a = 24 , то коэффициент пропорциональности отношения с и a равен 2. Следовательно, c = 26 . Из формулы числа c выражаем квадрат мнимой полуоси и вычисляем:

.

Результат — каноническое уравнение гиперболы:

Если — произвольная точка левой ветви гиперболы () и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

.

Если — произвольная точка правой ветви гиперболы () и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

.

На чертеже расстояния обозначены оранжевыми линиями.

Для каждой точки, находящейся на гиперболе, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

,

называются директрисами гиперболы (на чертеже — прямые ярко-красного цвета).

Из трёх вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки гиперболы

,

где — расстояние от левого фокуса до точки любой ветви гиперболы, — расстояние от правого фокуса до точки любой ветви гиперболы и и — расстояния этой точки до директрис и .

Пример 4. Дана гипербола . Составить уравнение её директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет гиперболы, т. е. . Вычисляем:

.

Получаем уравнение директрис гиперболы:

Многие задачи на директрисы гиперболы аналогичны задачам на директрисы эллипса. В уроке «Эллипс» это пример 7.

Характерной особенностью гиперболы является наличие асимптот — прямых, к которым приближаются точки гиперболы при удалении от центра.

Асимптоты гиперболы определяются уравнениями

.

На чертеже асимптоты — прямые серого цвета, проходящие через начало координат O.

Уравнение гиперболы, отнесённой к асимптотам, имеет вид:

, где .

В том случае, когда угол между асимптотами — прямой, гипербола называется равнобочной, и если асимптоты равнобочной гиперболы выбрать за оси координат, то её уравнение запишется в виде y = k/x , то есть в виде уравения обратной пропорциональной зависимости.

Пример 5. Даны уравнения асимптот гиперболы и координаты точки , лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.

Решение. Дробь в уравнении асимптот гиперболы — это пропорция, следовательно, нужно сначала найти коэффициент пропорциональности отношения . Для этого подставляем в формулу канонического уравнения гиперболы координаты точки M x и y и значения числителя и знаменателя из уравнения асимптоты, кроме того, умножаем каждую дробь в левой части на коэффициент пропорциональности k.

.

Теперь имеем все данные, чтобы получить каноническое уравнение гиперболы. Получаем:

Гипербола обладает оптическим свойством, которое описывается следующим образом: луч, исходящий из источника света, находящегося в одном из фокусов гиперболы, после отражения движется так, как будто он исходит из другого фокуса.

Видео:Видеоурок "Гипербола"Скачать

Решить задачи на гиперболу самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) b = 4 , а один из фокусов в точке (5; 0)

2) действительная ось 6, расстояние между фокусами 8

3) один из фокусов в точке (-10; 0), уравнения асимптот гиперболы

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Написать уравнение асимптот гиперболы, у которой вещественная ось 2а = 8, а расстояние между фокусами, лежащими на оси Ох, равно 10?

Математика | 10 — 11 классы

Написать уравнение асимптот гиперболы, у которой вещественная ось 2а = 8, а расстояние между фокусами, лежащими на оси Ох, равно 10.

F₁( — c ; 0) ; F₂(c ; 0) — фокусы гиперболы, лежащие на оси ох.

b² = c² — a² = 5² — 4² = 9

y = ±(b / a)x — асимптоты гиперболы.

У = 3х / 4 и у = — 3х / 4.

Видео:213. Фокус и директриса параболы.Скачать

Составить каноническое уравнение гиперболы, действительная полуось которой равна 3, а эксцентриситет = 5 / 3?

Составить каноническое уравнение гиперболы, действительная полуось которой равна 3, а эксцентриситет = 5 / 3.

Составить каноническое уравнение эллипса, сумма полуосей которого равна 8 и расстояние между фокусами = 8.

Видео:§23 Построение гиперболыСкачать

Написать уравнение прямо, которая проходит через точку В ( — 3 ; — 2) под углом 60 градусов к оси ОХ?

Написать уравнение прямо, которая проходит через точку В ( — 3 ; — 2) под углом 60 градусов к оси ОХ.

Видео:Фокусы гиперболыСкачать

Найти координаты фокусов гиперболы, заданной уравнением y = k / x?

Найти координаты фокусов гиперболы, заданной уравнением y = k / x.

Видео:Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать

Построить гиперболу и её асимптоты?

Построить гиперболу и её асимптоты.

Найти фокусы гиперболы и угол между асимптотами.

Х ^ 2 — 9y ^ 2 = 25.

Видео:§21 Каноническое уравнение гиперболыСкачать

Составить уравнение элипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно к началу координат, зная, что его малая ось равна 10, а ексцентриситет равен 12 / 13?

Составить уравнение элипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно к началу координат, зная, что его малая ось равна 10, а ексцентриситет равен 12 / 13.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Что можно сказать о координатах точки А, симметричной самой себе относительно а)оси ОХ?

Что можно сказать о координатах точки А, симметричной самой себе относительно а)оси ОХ.

Видео:ЭллипсСкачать

Здравствуйте?

Выложил фото, задания 75 — 80.

Для тех, кого фото не устраивает, пишу ниже.

75) Составьте уравнение гиперболы с фокусом на оси 0х, если ее действительная ось равна 24, а мнимая ось равна 40.

76) Составьте уравнение гиперболы, если ее вершины находятся в точках ( — 3 ; 0) и (3 ; 0), а фокусы — в точках ([tex] — 3 sqrt [ / tex] ; 0) и ([tex]3 sqrt [ / tex] ; 0).

77) Составьте уравнение гиперболы с фокусами на оси 0х, если длина ее действительной оси равна 12, а расстояние между фокусами равно 20.

78) Дано уравнение гиперболы [tex] frac < x ^ > [ / tex] — [tex] frac<y ^ > [ / tex] = 1.

Найдите координаты ее фокусов и расстояние между ними.

79)Найдите эксцентриситет гиперболы : 1) [tex] frac<x ^ > [ / tex] — [tex] frac<x ^ > [ / tex] = 1 ; 2) [tex] frac<x ^ > [ / tex] — [tex] frac<y ^ > [ / tex] = 2.

80) Составьте уравнения асимптот гиперболы : 1) [tex] frac <x ^ > — frac <y ^ > = 1[ / tex] 2) [tex] frac<x ^ > — frac<x ^ > = 1[ / tex].

Видео:ГиперболаСкачать

Найти длины осей координаты фокусов эксцентриситет и уравнение асимптот гиперболы заданной уравнением 7x ^ 2 — 9y ^ 2 = 63?

Найти длины осей координаты фокусов эксцентриситет и уравнение асимптот гиперболы заданной уравнением 7x ^ 2 — 9y ^ 2 = 63.

Видео:Аналитическая геометрия, 7 урок, Линии второго порядкаСкачать

Построить кривую, заданную уравнением?

Построить кривую, заданную уравнением.

а) полуоси (для эллипса и гиперболы) ;

б) координаты фокусов ; в) эксцентриситет (для эллипса и гиперболы) ; г) уравнения директрис.

Видео:Лекция 31.2. Кривые второго порядка. Гипербола.Скачать

Составить Каноническое уравнение : а) эллипса ; б) гиперболы ; в)параболы (A, B — точки, Которые лежат на кривой, F — фокус, a — большая(Действительная) полуось,b — малая (мнимая) полуось,ε — эксцентр?

Составить Каноническое уравнение : а) эллипса ; б) гиперболы ; в)

параболы (A, B — точки, Которые лежат на кривой, F — фокус, a — большая

b — малая (мнимая) полуось,

y = ± kx — уравнения асимптот гиперболы,

D — директриса кривой,

Перед вами страница с вопросом Написать уравнение асимптот гиперболы, у которой вещественная ось 2а = 8, а расстояние между фокусами, лежащими на оси Ох, равно 10?, который относится к категории Математика. Уровень сложности соответствует учебной программе для учащихся 10 — 11 классов. Здесь вы найдете не только правильный ответ, но и сможете ознакомиться с вариантами пользователей, а также обсудить тему и выбрать подходящую версию. Если среди найденных ответов не окажется варианта, полностью раскрывающего тему, воспользуйтесь «умным поиском», который откроет все похожие ответы, или создайте собственный вопрос, нажав кнопку в верхней части страницы.

Рассмотрим сокращение дроби на таком примере : нужно сократить дробь. Чтобы сократить дробь, нужно числитель и знаменатель разделить на одно и то же самое малое (возможное) число. То есть, в нашем случае числитель и знаменатель можно разделить на 3..

1)6×30÷100 = 1, 8(кг. ) — желуди 2)6×25÷100 = 1, 5(кг. ) — орехи 3)6×15÷100 = 0, 9(кг) — семена вяза 4)6 — (1, 8 + 1, 5 + 0, 9) = 6 — 4, 2 = 1, 8(кг. ) — семена клена Ответ : 1, 8 кг. Собрано семян клена.

30 + 25 + 15 = 70% — всего, кроме семян клёна 100% = 6кг 100% — 70% = 30% — семян клёна 30% = х 100 / 6 = 30 / х х = 30 * 6 / 100 = 1, 8 кг — семян клёна.

1)18 : 2 = 9 (манат) — школьник 2)18 * 5 = 90 (манат) — за самира и его друзей 3)100 — 90 = 10 (манат) — осталось следовательно с собой могут взять 1 школьника и при этом останется 1 манат (10 — 9 = 1).

7 + 5 = 12 билетовОтвет : 12 билетов купили всего. 1 задача обратная данной : всего купили 12 билетов, из них 5 билетов в театр. Сколько билетов в кино купили? 12 — 5 = 7Ответ : 7 билетов в кино купили.

167 / х = 3, остаток 5 3х + 5 = 167 3х = 167 — 5 х = 162 / 3 х = 54 (36 + 54) / 2 = 90 / 2 = 45.

555 : 3 = 185(м) — выкапывает 1 экскаватор за час. 185 + 15 = 200(м) — выкапывает 2 экскаватор за час 200 * 4 = 800(м) Ответ : 800 метров земли выкапывает второй экскаватор за 4 часа.

555 : 3 = 185(м) первый экскаватор 185 + 15 = 200(м) в час второй экскаватор 200х4 = 800(м) Ответ : 800 м.

Оба угла при основании равны 43 градуса, т. К. это равнобед. Треугольник. Нахождение третьего угла : 180 — 43 + 43 = 94 градуса.

1) 1 + 3 = 4 — Общее количество гирлянд 2) 48 : 4 = 12 — Шариков в каждой гирлянде 3) 12 * 3 = 36 — Понадобилось синих шариков 4) 12 * 1 = 12 — Понадобилось красных шариков.

Видео:Семинар №8 "Кривые второго порядка"Скачать

Гипербола — определение и вычисление с примерами решения

Гипербола:

Определение: Гиперболой называется геометрическое место точек абсолютное значение разности расстояний от которых до двух выделенных точек

Получим каноническое уравнение гиперболы. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокусы

Рис. 31. Вывод уравнения гиперболы.

Расстояние между фокусами (фокусное расстояние) равно Согласно определению, для гиперболы имеем Из треугольников по теореме Пифагора найдем соответственно.

Следовательно, согласно определению имеем

Возведем обе части равенства в квадрат, получим

Перенося квадратный корень в левую часть, а все остальное в правую часть равенства, находим Раскроем разность квадратов Подставим найденное выражение в уравнение и сократим обе части равенства на 4, тогда оно перейдет в уравнение Вновь возведем обе части равенства в квадрат Раскрывая все скобки в правой части уравнения, получим Соберем неизвестные в левой части, а все известные величины перенесем в правую часть уравнения, получим Введем обозначение для разности, стоящей в скобках Получим Разделив все члены уравнения на величину получаем каноническое уравнение гиперболы: Для знака “+” фокусы гиперболы расположены на оси Ох, вдоль которой вытянута гипербола. Для знака фокусы гиперболы расположены на оси Оу, вдоль которой вытянута гипербола.

Проанализируем полученное уравнение. Если точка М(х;у) принадлежит гиперболе, то ей принадлежат и симметричные точки и следовательно, гипербола симметрична относительно координатных осей, которые в данном случае будут называться осями симметрии гиперболы (Рис. 32). Найдем координаты точек пересечения гиперболы с координатными осями: т.е. точками пересечения гиперболы с осью абсцисс будут точки т.е. гипербола не пересекает ось ординат.

Рис. 32. Асимптоты и параметры гиперболы

Определение: Найденные точки называются вершинами гиперболы.

Докажем, что при возрастании (убывании) переменной х гипербола неограниченно приближается к прямым не пересекая эти прямые. Из уравнения гиперболы находим, что При неограниченном росте (убывании) переменной х величина следовательно, гипербола будет неограниченно приближаться к прямым

Определение: Прямые, к которым неограниченно приближается график гиперболы называются асимптотами гиперболы.

В данном конкретном случае параметр а называется действительной, а параметр b — мнимой полуосями гиперболы.

Определение: Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к действительной полуоси гиперболы

Из определения эксцентриситета гиперболы следует, что он удовлетворяет неравенству Кроме того, эта характеристика описывает форму гиперболы. Для демонстрации этого факта рассмотрим квадрат отношения мнимой полуоси гиперболы к действительной полуоси Если эксцентриситет и гипербола становится равнобочной. Если и гипербола вырождается в два полубесконечных отрезка

Пример:

Составить каноническое уравнение гиперболы, если мнимая полуось b = 5 и гипербола проходит через точку М(4; 5).

Решение:

Для решения задачи воспользуемся каноническим уравнением гиперболы, подставив в него все известные величины:

Следовательно, каноническое уравнение гиперболы имеет вид

Пример:

Составить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы — в вершинах эллипса

Решение:

Для определения координат фокусов и вершин эллипса преобразуем его уравнение к каноническому виду. Эллипс: или Следовательно, большая полуось эллипса а малая полуось Итак, вершины эллипса расположены на оси и на оси Так как то эллипс вытянут вдоль оси абсцисс Ох. Определим расположение фокусов данного эллипса Итак, Согласно условию задачи (см. Рис. 33):

Рис. 33. Параметры эллипса и гиперболы

Вычислим длину мнимой полуоси Уравнение гиперболы имеет вид:

Видео:Неполное уравнение второго порядка. Эллипс, гипербола. ЗадачиСкачать

Гипербола в высшей математике

Решая его относительно , получим две явные функции

или одну двузначную функцию

Функция имеет действительные значения только в том случае, если . При функция действительных значений не имеет. Следовательно, если , то точек с координатами, удовлетворяющими уравнению (3), не существует.

При получаем.

При каждому значению соответствуют два значения , поэтому кривая симметрична относительно оси . Так же можно убедиться в симметрии относительно оси . Поэтому в рассуждениях можно ограничиться рассмотрением только первой четверти. В этой четверти при увеличении х значение у будет также увеличиваться (рис. 36).

Кривая, все точки которой имеют координаты, удовлетворяющие уравнению (3), называется гиперболой.

Гипербола в силу симметрии имеет вид, указанный на рис. 37.

Точки пересечения гиперболы с осью называются вершинами гиперболы; на рис. 37 они обозначены буквами и .

Часть гиперболы, расположенная в первой и четвертой четвертях, называется правой ветвью, а часть гиперболы, расположенная во второй и третьей четвертях, — левой ветвью.

Рассмотрим прямую, заданную уравнением . Чтобы не смешивать ординату точки, расположенной на этой прямой, с ординатой точки, расположенной на гиперболе, будем обозначать ординату точки на прямой , а ординату точки на гиперболе через . Тогда , (рассматриваем только кусок правой ветви, расположенной в первой четверти). Найдем разность ординат точек, взятых на прямой и на гиперболе при одинаковых абсциссах:

Умножим и разделим правую часть на

Будем придавать все большие и большие значения, тогда правая часть равенства будет становиться все меньше и меньше, приближаясь к нулю. Следовательно, разность будет приближаться к нулю, а это значит, что точки, расположенные на прямой и гиперболе, будут сближаться. Таким образом, можно сказать, что рассматриваемая часть правой ветви гиперболы по мере удаления от начала координат приближается к прямой .

Вследствие симметрии видно, что часть правой ветви, расположенная в четвертой четверти, будет приближаться к прямой, определяемой уравнением . Также кусок левой ветви, расположенный во второй четверти, приближается к прямой , а кусок левой ветви, расположенный в третьей четверти, — к прямой .

Прямая, к которой неограниченно приближается гипербола при удалении от начала координат, называется асимптотой гиперболы.

Таким образом, гипербола имеет две асимптоты, определяемые уравнениями (рис. 37).

• Парабола
• Многогранник
• Решение задач на вычисление площадей
• Тела вращения: цилиндр, конус, шар
• Правильные многогранники в геометрии
• Многогранники
• Окружность
• Эллипс

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🌟 Видео

Решение задач на термохимические уравнения. 8 класс.Скачать

Задание 23 из ОГЭ Построение графиков функций с модулем | МатематикаСкачать

Обратная пропорциональность. ГИПЕРБОЛА. §10 алгебра 8 классСкачать

Семинар аналитическая геометрия. Решение задач на взаимное расположение кривых второго порядкаСкачать

Эллипс, парабола и гипербола. Конические сечения | Ботай со мной #055 | Борис Трушин |Скачать