Составить уравнение гиперболы если расстояние между директрисами равно 8 3

Видео:Написать каноническое уравнение гиперболы. Дан эксцентриситетСкачать

Определение гиперболы, решаем задачи вместе

Определение гиперболы. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, таких, для которых модуль разности расстояний от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

,

где a и b — длины полуосей, действительной и мнимой.

На чертеже ниже фокусы обозначены как и .

На чертеже ветви гиперболы — бордового цвета.

При a = b гипербола называется равносторонней.

Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если его действительная полуось a = 5 и мнимая = 3.

Решение. Подставляем значения полуосей в формулу канонического уравения гиперболы и получаем:

.

Точки пересечения гиперболы с её действительной осью (т. е. с осью Ox) называются вершинами. Это точки (a, 0) (- a, 0), они обозначены и надписаны на рисунке чёрным.

Точки и , где

,

называются фокусами гиперболы (на чертеже обозначены зелёным, слева и справа от ветвей гиперболы).

называется эксцентриситетом гиперболы.

Гипербола состоит из двух ветвей, лежащих в разных полуплоскостях относительно оси ординат.

Пример 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между фокусами равно 10 и действительная ось равна 8.

Если действительная полуось равна 8, то её половина, т. е. полуось a = 4 ,

Если расстояние между фокусами равно 10, то число c из координат фокусов равно 5.

То есть, для того, чтобы составить уравнение гиперболы, потребуется вычислить квадрат мнимой полуоси b.

Подставляем и вычисляем:

Получаем требуемое в условии задачи каноническое уравнение гиперболы:

.

Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если её действительная ось равна 48 и эксцентриситет .

Решение. Как следует из условия, действительная полуось a = 24 . А эксцентриситет — это пропорция и так как a = 24 , то коэффициент пропорциональности отношения с и a равен 2. Следовательно, c = 26 . Из формулы числа c выражаем квадрат мнимой полуоси и вычисляем:

.

Результат — каноническое уравнение гиперболы:

Если — произвольная точка левой ветви гиперболы () и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

.

Если — произвольная точка правой ветви гиперболы () и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

.

На чертеже расстояния обозначены оранжевыми линиями.

Для каждой точки, находящейся на гиперболе, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

,

называются директрисами гиперболы (на чертеже — прямые ярко-красного цвета).

Из трёх вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки гиперболы

,

где — расстояние от левого фокуса до точки любой ветви гиперболы, — расстояние от правого фокуса до точки любой ветви гиперболы и и — расстояния этой точки до директрис и .

Пример 4. Дана гипербола . Составить уравнение её директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет гиперболы, т. е. . Вычисляем:

.

Получаем уравнение директрис гиперболы:

Многие задачи на директрисы гиперболы аналогичны задачам на директрисы эллипса. В уроке «Эллипс» это пример 7.

Характерной особенностью гиперболы является наличие асимптот — прямых, к которым приближаются точки гиперболы при удалении от центра.

Асимптоты гиперболы определяются уравнениями

.

На чертеже асимптоты — прямые серого цвета, проходящие через начало координат O.

Уравнение гиперболы, отнесённой к асимптотам, имеет вид:

, где .

В том случае, когда угол между асимптотами — прямой, гипербола называется равнобочной, и если асимптоты равнобочной гиперболы выбрать за оси координат, то её уравнение запишется в виде y = k/x , то есть в виде уравения обратной пропорциональной зависимости.

Пример 5. Даны уравнения асимптот гиперболы и координаты точки , лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.

Решение. Дробь в уравнении асимптот гиперболы — это пропорция, следовательно, нужно сначала найти коэффициент пропорциональности отношения . Для этого подставляем в формулу канонического уравнения гиперболы координаты точки M x и y и значения числителя и знаменателя из уравнения асимптоты, кроме того, умножаем каждую дробь в левой части на коэффициент пропорциональности k.

.

Теперь имеем все данные, чтобы получить каноническое уравнение гиперболы. Получаем:

Гипербола обладает оптическим свойством, которое описывается следующим образом: луч, исходящий из источника света, находящегося в одном из фокусов гиперболы, после отражения движется так, как будто он исходит из другого фокуса.

Видео:Видеоурок "Гипербола"Скачать

Решить задачи на гиперболу самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) b = 4 , а один из фокусов в точке (5; 0)

2) действительная ось 6, расстояние между фокусами 8

3) один из фокусов в точке (-10; 0), уравнения асимптот гиперболы

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Найти простейшее уравнение гиперболы, если уравнения асимптот y = ±3 / ( 4) x и расстояние между директрисами 12, 8?

Математика | 10 — 11 классы

Найти простейшее уравнение гиперболы, если уравнения асимптот y = ±3 / ( 4) x и расстояние между директрисами 12, 8.

b / a = 3 / 4⇒b = 3a / 4

расстояние между директрисами :

8⇒a² / √(a² + 9a² / 16) = 6.

4⇒a² / √((16a² + 9a²) / 16) = 6.

x² / 64 — y² / 36 = 1.

Видео:§21 Каноническое уравнение гиперболыСкачать

№1. Найти точки пересечения асимптот гиперболы х² — 3у² = 12 с окружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы и проходящей через начало координат?

№1. Найти точки пересечения асимптот гиперболы х² — 3у² = 12 с окружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы и проходящей через начало координат.

№2. Гипербола проходит через точку М(6 ; 3√5 / 2), симметрична относительно осей координат и имеет вещественную полуось а = 4.

Написать уравнения перпендикуляров , опущенных из левого фокуса гиперболы на ее асимптоты.

С подробным решением и объяснением , пожалуйста!

Видео:Лекция 31.2. Кривые второго порядка. Гипербола.Скачать

Составить канонические уравнения : а) эллипса ; б)гиперболы ; в) параболы?

Составить канонические уравнения : а) эллипса ; б)гиперболы ; в) параболы.

Где А, В — точки, лежащие на кривой, F — фокус, a — большая (действительная) полуось, b — малая (мнимая) полуось, Е — эксцентриситет, у = + — kx — уравнения асимптот гиперболы, D — директриса кривой, 2с — фокусное расстояние.

A) 2a = 22, Е = √57 / 11 ; b) k = 2 / 3 ; 2c = 10 √13 ; c) ось симметрии Ox и А(27 ; 9).

Видео:§23 Построение гиперболыСкачать

Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат и найти фокус, если : 1)директриса задана уравнением x ^ 2 — 4y = 0 2)директриса задана уравнением x + 3 = 0?

Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат и найти фокус, если : 1)директриса задана уравнением x ^ 2 — 4y = 0 2)директриса задана уравнением x + 3 = 0.

Видео:Эллипс (часть 8). Решение задач. Высшая математика.Скачать

Здравствуйте?

Сделал гиперболы, эллипсы, но вот с параболой проблем просто.

___________________ Парабола лежит в полуплоскости , имеет вершину A( — 3 ; 2) и пересекает ось OX в точке C(1 ; 0).

Условие : Найти : параметр, вершину, фокус, уравнение директрисы, расстояние от точки C до фокуса и директрисы.

Видео:§29 Эксцентриситет гиперболыСкачать

Найти уравнение директрисы и фокус параболы (y — 2) ^ 2 = 4(x + 4)?

Найти уравнение директрисы и фокус параболы (y — 2) ^ 2 = 4(x + 4).

Видео:Эту задачу ГРИГОРИЙ ПЕРЕЛЬМАН решил в 10-м классеСкачать

Составить уравнение гиперболы по координатам фокусов и уравнениям ее асимптот F( + — 5 ; 0), y = + — 4 / 3x?

Составить уравнение гиперболы по координатам фокусов и уравнениям ее асимптот F( + — 5 ; 0), y = + — 4 / 3x.

Видео:Неполное уравнение второго порядка. Эллипс, гипербола. ЗадачиСкачать

Построить гиперболу x ^ 2 — 4y ^ 2 = 16 и её асимптоты?

Построить гиперболу x ^ 2 — 4y ^ 2 = 16 и её асимптоты.

Найти фокусы, эксцентриситет и угол между асимптотами.

Видео:Фокусы гиперболыСкачать

Помогите пожалуйста задание решить))))))) Заранее спасибо = )Составить каноническое уравнениеА) эллипсаБ) гиперболыВ) параболы(А, В – точки лежащие на кривой, f — фокус, а — большая (действительная)по?

Помогите пожалуйста задание решить))))))) Заранее спасибо = )

Составить каноническое уравнение

(А, В – точки лежащие на кривой, f — фокус, а — большая (действительная)

полуось, в — малая (мнимая) полуось, е — экцентриситет, у = — + кх — уравнение асимптот

директриса кривой, 2с — фокусное расстояние).

Видео:Лекция 14, 2021. Вывод уравнения эллипса и гиперболыСкачать

Дана гипербола — 16 = 144 Найти уравнение ее асимптот?

Дана гипербола — 16 = 144 Найти уравнение ее асимптот.

Видео:213. Фокус и директриса параболы.Скачать

X ^ 2 / 25 — y ^ 2 / 144 = 1 1?

X ^ 2 / 25 — y ^ 2 / 144 = 1 1.

Найти полуоси 2.

Определить координаты фокусов 3.

Вычислить эксцентриситет 4.

Написать уравнение асимптот 5.

Написать уравнение директрис помогитеееее, пожалуйста помогите пожалуйста.

На этой странице находится вопрос Найти простейшее уравнение гиперболы, если уравнения асимптот y = ±3 / ( 4) x и расстояние между директрисами 12, 8?, относящийся к категории Математика. По уровню сложности данный вопрос соответствует знаниям учащихся 10 — 11 классов. Здесь вы найдете правильный ответ, сможете обсудить и сверить свой вариант ответа с мнениями пользователями сайта. С помощью автоматического поиска на этой же странице можно найти похожие вопросы и ответы на них в категории Математика. Если ответы вызывают сомнение, сформулируйте вопрос иначе. Для этого нажмите кнопку вверху.

Яблони — 18 Груши — 18 : 2 Сливы — 18 : 2 + 11 Получается, яблонь — 18 груш = 9, слив = 20.

1) 18 : 2 = 9 груш 2) 9 + 11 = 20 сливовых деревьев.

1)4 — 3 = 1(т) разница в количествп тигров 2)240 + 80 = 320(кг) вес одного тигра 3) 320 * 3 = 960(кг) вес трех тигров 4)960 + 240 = 1200(кг) вес трех медведей 5)1200 : 3 = 400(кг) ответ : 400кг вес медведя.

Переводим с языка математики на русский язык. ЗАДАЧА 1) Три бурых медведя весят на 240 кг больше трех тигров. 2) Четыре тигра весят на 80 кг больше трех бурых медведей. НАЙТИ М = ? — вес бурого медведя. РЕШЕНИЕ 1) 3 * М = 3 * Т + 240 2) 4 * Т = ..

65 — 22 + n 43 + n 43 + 30 = 73 поставь ❤️.

65 — 22 + n 43 + n 43 + 30 = 73 .

1. Продано — 7 / 12 Составило — 80, 5кг. Решение : 1)80, 5 = 80 5 / 10 = 805 / 10. 2)805 / 10 — 7 / 12 = 79 11 / 12кг(осталось продать) 2. Не поняла.

1)8 + 4 = 12(т) — собрал свеклы 2)8 + 12 = 20(т) — собрал всего овощей 3)8 : 2 = 4(т) — переработал моркови на сок 4)12 : 4 = 3(т) — переработал свеклы на сок 5)4 + 3 = 7(т) — переработал овощей на сок всего 6)20 — 7 = 13(т) — увезли всего овощей в м..

Номер 337 1)8 1 / 4 2)13 17 / 18 3) — — — — 4)99 49 / 50 номер 338 1) 10 + х — — — — — — — — — — — = 16 х = (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5) 2)х = (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7).

Видео:Всё о квадратичной функции. Парабола | Математика TutorOnlineСкачать

Гипербола

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек этой же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Просмотр содержимого документа
«Гипербола»

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек этой же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Коническое уравнение гиперболы :

где а – действительная, b – мнимая полуось гиперболы. Числа 2а и 2b называются соответственным действительной и мнимой осями гиперболы. Координаты фокусов : F₁(- с;0),F₂(c;0), с – половина расстояния между фокусами(рис.35).Числа а, b и c связаны соотношением

Точки А и В называются вершинами гипербол, точка О – центром гиперболы, расстояние r₁ и r₂ от произвольной точки М гиперболы до фокусов называются фокальными радиусами этой точки

(, т.к. с a)

Называется эксцентриситетом гиперболы.

Фокальные радиусы определяются формулами : для точек первой величины гиперболы:

r_{1 =} a + x, r₂ = — f + ;

для точек любой ветви:

r₁ = — a + , r₂ = a —

Прямоугольник, центр которого совпадает с точкой Щ, а стороны равны и параллельны осям гиперболы называется основным прямоугольником гиперболы. Диагонали основного прямоугольника гиперболы лежат на двух прямых, называемых асимптотами гиперболы; они определяются уравнениями

y = x.

Две прямые l₁ и l_2, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящей от нее на расстоянии, равном _, называется директрисами гиперболы. Их уравнения

x = и x = —.

Замечания, 1) Если a = b, то гипербола (3.12) называется равносторонней ( равнобочной). Ее уравнение принимает вид

2) если фокусы гиперболы лежат на оси Оy, то уравнение гиперболы имеет вид

— = 1.

Эксцентриситет этой гиперболы равен = , асимптоты определяются уравнениями y = x,

А уравнение директрис y = . Гипербола (3.20) называется сопряженной гиперболе (3.12); она имеет вид , изображенный на рисунке 36;

3) уравнение гиперболы с осями, параллельными координатным, имеет вид

где (x_0; y₀) – координаты центра гиперболы (рис.37).

Задания для практических занятий:

1. Дано уравнение гиперболы =20. Найти:

1) длины его полуосей;

2) координаты фокусов;

3) эксцентриситет гиперболы;

4) уравнения асимптот и директрис;

5) фокальные радиусы точки М (3;2,5)

2. Составить уравнение гиперболы, если ее фокусы лежат на оси Оу и расстояние между ними равно 10, а длина действительной оси равна 8.

3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если:

3) в=6;, уравнения асимптот у=;

4.Найти уравнение гиперболы, фокусы которой находятся в точках F₁ (-2;4) и F₂ (12;4),

а длина мнимой оси равна 6.

5. Найти каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, проходящей через точки М₁ (6;-1) и М₂ (-8;-2)

6. Составить уравнения асимптоты гиперболы . 2 — =1, построить ее.

7. Дан эллипс =40. Найти уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы — в вершинах данного эллипса.

8. Составить уравнение равносторонний гиперболы с фокусами на оси Ох, если гипербола проходит через точку: 1) А (-5;4); 2) В (8;2)

Задания для самостоятельной работы.

1. Составить уравнение гиперболы, если ее вершины находятся в точках

2. Составить уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнениями у= х и она проходит через точку (6; — 4)

3. Составьте уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, если:

1) длины ее действительной оси равна 6, а эксцентриситет равен 5/3;

2) длина мнимой оси равна 8, а эксцентриситет равен

4. Написать каноническое уравнение гиперболы, если:

1) с=10 и уравнение асимптот у=;

2) Е= и расстояние между директрисами ;

3) Е = и точка М ( ) лежит на гиперболе.

5. Найти уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат, зная, что ее мнимая полуось равна 2 и гипербола проходит через точку М (4; ) .Найти расстояние от точки М до правого фокуса.

6. Составить уравнение равносторонней гиперболы с фокусами на оси Оу, если гипербола проходит через точку (— );

7. Дана гипербола =1. Найти софокусный эллипс, проходящий через точку М (4; ).

8. На гиперболе =1 найти точку М, ближайшую к прямой 2х+у-2=0 и вычислить расстояние от точки до этой прямой.

Ответы к заданиям для самостоятельного решения:

1. =1; 2.=1; 3.1) =1; 2)=1; 4.1)=1; 2) =1; 3)=1; 5. =1 ;; 6. =2; 7. =1; 8. (8); .

📽️ Видео

Овчинников А. В. - Аналитическая геометрия - Эллипс, гипербола, параболаСкачать

11 класс, 53 урок, ГиперболаСкачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Семинар аналитическая геометрия. Решение задач на взаимное расположение кривых второго порядкаСкачать

Гипербола. Функция k/x и её графикСкачать

Контрольная работа "Кривые и поверхности второго порядка". Демонстрационный вариант.Скачать