Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Гипербола: формулы, примеры решения задач
Содержание
  1. Определение гиперболы, решаем задачи вместе
  2. Решить задачи на гиперболу самостоятельно, а затем посмотреть решения
  3. Гипербола
  4. Просмотр содержимого документа «Гипербола»
  5. Гипербола — определение и вычисление с примерами решения
  6. Гипербола в высшей математике
  7. Найти простейшее уравнение гиперболы, если уравнения асимптот y = ±3 / ( 4) x и расстояние между директрисами 12, 8?
  8. №1. Найти точки пересечения асимптот гиперболы х² — 3у² = 12 с окружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы и проходящей через начало координат?
  9. Составить канонические уравнения : а) эллипса ; б)гиперболы ; в) параболы?
  10. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат и найти фокус, если : 1)директриса задана уравнением x ^ 2 — 4y = 0 2)директриса задана уравнением x + 3 = 0?
  11. Здравствуйте?
  12. Найти уравнение директрисы и фокус параболы (y — 2) ^ 2 = 4(x + 4)?
  13. Составить уравнение гиперболы по координатам фокусов и уравнениям ее асимптот F( + — 5 ; 0), y = + — 4 / 3x?
  14. Построить гиперболу x ^ 2 — 4y ^ 2 = 16 и её асимптоты?
  15. Помогите пожалуйста задание решить))))))) Заранее спасибо = )Составить каноническое уравнениеА) эллипсаБ) гиперболыВ) параболы(А, В – точки лежащие на кривой, f — фокус, а — большая (действительная)по?
  16. Дана гипербола — 16 = 144 Найти уравнение ее асимптот?
  17. X ^ 2 / 25 — y ^ 2 / 144 = 1 1?
  18. 📽️ Видео

Видео:§21 Каноническое уравнение гиперболыСкачать

§21 Каноническое уравнение гиперболы

Определение гиперболы, решаем задачи вместе

Определение гиперболы. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, таких, для которых модуль разности расстояний от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х,

где a и b — длины полуосей, действительной и мнимой.

На чертеже ниже фокусы обозначены как Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хи Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х.

На чертеже ветви гиперболы — бордового цвета.

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

При a = b гипербола называется равносторонней.

Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если его действительная полуось a = 5 и мнимая = 3.

Решение. Подставляем значения полуосей в формулу канонического уравения гиперболы и получаем:

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х.

Точки пересечения гиперболы с её действительной осью (т. е. с осью Ox) называются вершинами. Это точки (a, 0) (- a, 0), они обозначены и надписаны на рисунке чёрным.

Точки Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хи Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х, где

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х,

называются фокусами гиперболы (на чертеже обозначены зелёным, слева и справа от ветвей гиперболы).

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

называется эксцентриситетом гиперболы.

Гипербола состоит из двух ветвей, лежащих в разных полуплоскостях относительно оси ординат.

Пример 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между фокусами равно 10 и действительная ось равна 8.

Если действительная полуось равна 8, то её половина, т. е. полуось a = 4 ,

Если расстояние между фокусами равно 10, то число c из координат фокусов равно 5.

То есть, для того, чтобы составить уравнение гиперболы, потребуется вычислить квадрат мнимой полуоси b.

Подставляем и вычисляем:

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Получаем требуемое в условии задачи каноническое уравнение гиперболы:

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х.

Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если её действительная ось равна 48 и эксцентриситет Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х.

Решение. Как следует из условия, действительная полуось a = 24 . А эксцентриситет — это пропорция и так как a = 24 , то коэффициент пропорциональности отношения с и a равен 2. Следовательно, c = 26 . Из формулы числа c выражаем квадрат мнимой полуоси и вычисляем:

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х.

Результат — каноническое уравнение гиперболы:

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Если Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х— произвольная точка левой ветви гиперболы (Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х) и Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х— расстояния до этой точки от фокусов Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х, то формулы для расстояний — следующие:

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х.

Если Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х— произвольная точка правой ветви гиперболы (Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х) и Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х— расстояния до этой точки от фокусов Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х, то формулы для расстояний — следующие:

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х.

На чертеже расстояния обозначены оранжевыми линиями.

Для каждой точки, находящейся на гиперболе, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х,

называются директрисами гиперболы (на чертеже — прямые ярко-красного цвета).

Из трёх вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки гиперболы

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х,

где Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х— расстояние от левого фокуса до точки любой ветви гиперболы, Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х— расстояние от правого фокуса до точки любой ветви гиперболы и Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хи Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х— расстояния этой точки до директрис Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хи Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х.

Пример 4. Дана гипербола Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х. Составить уравнение её директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет гиперболы, т. е. Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х. Вычисляем:

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х.

Получаем уравнение директрис гиперболы:

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Многие задачи на директрисы гиперболы аналогичны задачам на директрисы эллипса. В уроке «Эллипс» это пример 7.

Характерной особенностью гиперболы является наличие асимптот — прямых, к которым приближаются точки гиперболы при удалении от центра.

Асимптоты гиперболы определяются уравнениями

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х.

На чертеже асимптоты — прямые серого цвета, проходящие через начало координат O.

Уравнение гиперболы, отнесённой к асимптотам, имеет вид:

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х, где Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х.

В том случае, когда угол между асимптотами — прямой, гипербола называется равнобочной, и если асимптоты равнобочной гиперболы выбрать за оси координат, то её уравнение запишется в виде y = k/x , то есть в виде уравения обратной пропорциональной зависимости.

Пример 5. Даны уравнения асимптот гиперболы Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хи координаты точки Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х, лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.

Решение. Дробь в уравнении асимптот гиперболы — это пропорция, следовательно, нужно сначала найти коэффициент пропорциональности отношения Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х. Для этого подставляем в формулу канонического уравнения гиперболы координаты точки M x и y и значения числителя и знаменателя из уравнения асимптоты, кроме того, умножаем каждую дробь в левой части на коэффициент пропорциональности k.

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х.

Теперь имеем все данные, чтобы получить каноническое уравнение гиперболы. Получаем:

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Гипербола обладает оптическим свойством, которое описывается следующим образом: луч, исходящий из источника света, находящегося в одном из фокусов гиперболы, после отражения движется так, как будто он исходит из другого фокуса.

Видео:Математический анализ, 15 урок, АссимптотыСкачать

Математический анализ, 15 урок, Ассимптоты

Решить задачи на гиперболу самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) b = 4 , а один из фокусов в точке (5; 0)

2) действительная ось 6, расстояние между фокусами 8

3) один из фокусов в точке (-10; 0), уравнения асимптот гиперболы Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Видео:Написать каноническое уравнение гиперболы. Дан эксцентриситетСкачать

Написать каноническое уравнение гиперболы.  Дан эксцентриситет

Гипербола

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек этой же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Просмотр содержимого документа
«Гипербола»

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек этой же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Коническое уравнение гиперболы :

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

где а – действительная, b – мнимая полуось гиперболы. Числа 2а и 2b называются соответственным действительной и мнимой осями гиперболы. Координаты фокусов : F1(- с;0),F2(c;0), с – половина расстояния между фокусами(рис.35).Числа а, b и c связаны соотношением

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Точки А и В называются вершинами гипербол, точка О – центром гиперболы, расстояние r1 и r2 от произвольной точки М гиперболы до фокусов называются фокальными радиусами этой точки

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х(Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х, т.к. с a)

Называется эксцентриситетом гиперболы.

Фокальные радиусы определяются формулами : для точек первой величины гиперболы:

r1 = a + Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хx, r2 = — f + Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х;

для точек любой ветви:

r1 = — a + Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х, r2 = a — Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хСоставить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Прямоугольник, центр которого совпадает с точкой Щ, а стороны равны и параллельны осям гиперболы называется основным прямоугольником гиперболы. Диагонали основного прямоугольника гиперболы лежат на двух прямых, называемых асимптотами гиперболы; они определяются уравнениями

y = Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хСоставить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хx.

Две прямые l1 и l2, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящей от нее на расстоянии, равном Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х, называется директрисами гиперболы. Их уравнения

x = Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хи x = —Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х.

Замечания, 1) Если a = b, то гипербола (3.12) называется равносторонней ( равнобочной). Ее уравнение принимает вид

2) если фокусы гиперболы лежат на оси Оy, то уравнение гиперболы имеет вид

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хСоставить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х= 1.

Эксцентриситет этой гиперболы равен Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х= Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х, асимптоты определяются уравнениями y = Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хx,

А уравнение директрис y = Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х. Гипербола (3.20) называется сопряженной гиперболе (3.12); она имеет вид , изображенный на рисунке 36;

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хСоставить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

3) уравнение гиперболы с осями, параллельными координатным, имеет вид

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хгде (x0; y0) – координаты центра гиперболы (рис.37).

Задания для практических занятий:

1. Дано уравнение гиперболы Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хСоставить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х=20. Найти:

1) длины его полуосей;

2) координаты фокусов;

3) эксцентриситет гиперболы;

4) уравнения асимптот и директрис;

5) фокальные радиусы точки М (3;2,5)

2. Составить уравнение гиперболы, если ее фокусы лежат на оси Оу и расстояние между ними равно 10, а длина действительной оси равна 8.

3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если:

3) в=6;, уравнения асимптот у=Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х;

4.Найти уравнение гиперболы, фокусы которой находятся в точках F1 (-2;4) и F2 (12;4),

а длина мнимой оси равна 6.

5. Найти каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, проходящей через точки М1 (6;-1) и М2 (-8;-2Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х)

6. Составить уравнения асимптоты гиперболы . Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х2 — Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хСоставить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х=1, построить ее.

7. Дан эллипс Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х=40. Найти уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы — в вершинах данного эллипса.

8. Составить уравнение равносторонний гиперболы с фокусами на оси Ох, если гипербола проходит через точку: 1) А (-5;4); 2) В (8;2)

Задания для самостоятельной работы.

1. Составить уравнение гиперболы, если ее вершины находятся в точках

2. Составить уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнениями у= Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хх и она проходит через точку (6; — 4)

3. Составьте уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, если:

1) длины ее действительной оси равна 6, а эксцентриситет равен 5/3;

2) длина мнимой оси равна 8, а эксцентриситет равен Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

4. Написать каноническое уравнение гиперболы, если:

1) с=10 и уравнение асимптот у=Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х;

2) Е= Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хи расстояние между директрисами Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х;

3) Е = Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хи точка М ( Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хСоставить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х) лежит на гиперболе.

5. Найти уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат, зная, что ее мнимая полуось равна 2 и гипербола проходит через точку М (4; Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х) .Найти расстояние от точки М до правого фокуса.

6. Составить уравнение равносторонней гиперболы с фокусами на оси Оу, если гипербола проходит через точку (Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хСоставить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х);

7. Дана гипербола Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х=1. Найти софокусный эллипс, проходящий через точку М (4; Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х).

8. На гиперболе Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х=1 найти точку М, ближайшую к прямой 2х+у-2=0 и вычислить расстояние от точки до этой прямой.

Ответы к заданиям для самостоятельного решения:

1.Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х =1; 2.Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х=1; 3.1) Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х=1; 2)Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х=1; 4.1)=1; 2) =1; 3)=1; 5. =1 ;; 6. =2; 7. =1; 8. (8); .

Видео:Асимптоты функции. 10 класс.Скачать

Асимптоты функции. 10 класс.

Гипербола — определение и вычисление с примерами решения

Гипербола:

Определение: Гиперболой называется геометрическое место точек абсолютное значение разности расстояний от которых до двух выделенных точек Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Получим каноническое уравнение гиперболы. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокусы Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Рис. 31. Вывод уравнения гиперболы.

Расстояние между фокусами (фокусное расстояние) равно Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хСогласно определению, для гиперболы имеем Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хИз треугольников Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хпо теореме Пифагора найдем Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хсоответственно.

Следовательно, согласно определению имеем

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Возведем обе части равенства в квадрат, получим

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Перенося квадратный корень в левую часть, а все остальное в правую часть равенства, находим Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хРаскроем разность квадратов Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хПодставим найденное выражение в уравнение и сократим обе части равенства на 4, тогда оно перейдет в уравнение Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хВновь возведем обе части равенства в квадрат Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хРаскрывая все скобки в правой части уравнения, получим Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хСоберем неизвестные в левой части, а все известные величины перенесем в правую часть уравнения, получим Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хВведем обозначение для разности, стоящей в скобках Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хПолучим Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хРазделив все члены уравнения на величину Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хполучаем каноническое уравнение гиперболы: Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хДля знака “+” фокусы гиперболы расположены на оси Ох, вдоль которой вытянута гипербола. Для знака фокусы гиперболы расположены на оси Оу, вдоль которой вытянута гипербола.

Проанализируем полученное уравнение. Если точка М(х;у) принадлежит гиперболе, то ей принадлежат и симметричные точки Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хи Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хследовательно, гипербола симметрична относительно координатных осей, которые в данном случае будут называться осями симметрии гиперболы (Рис. 32). Найдем координаты точек пересечения гиперболы с координатными осями: Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хт.е. точками пересечения гиперболы с осью абсцисс будут точки Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хт.е. гипербола не пересекает ось ординат.

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Рис. 32. Асимптоты и параметры гиперболы Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Определение: Найденные точки Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хназываются вершинами гиперболы.

Докажем, что при возрастании (убывании) переменной х гипербола неограниченно приближается к прямым Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хне пересекая эти прямые. Из уравнения гиперболы находим, что Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хПри неограниченном росте (убывании) переменной х величина Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хследовательно, гипербола будет неограниченно приближаться к прямым Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Определение: Прямые, к которым неограниченно приближается график гиперболы называются асимптотами гиперболы.

В данном конкретном случае параметр а называется действительной, а параметр b — мнимой полуосями гиперболы.

Определение: Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к действительной полуоси гиперболы Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Из определения эксцентриситета гиперболы следует, что он удовлетворяет неравенству Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хКроме того, эта характеристика описывает форму гиперболы. Для демонстрации этого факта рассмотрим квадрат отношения мнимой полуоси гиперболы к действительной полуоси Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хЕсли эксцентриситет Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хи гипербола становится равнобочной. Если Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хи гипербола вырождается в два полубесконечных отрезкаСоставить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Пример:

Составить каноническое уравнение гиперболы, если мнимая полуось b = 5 и гипербола проходит через точку М(4; 5).

Решение:

Для решения задачи воспользуемся каноническим уравнением гиперболы, подставив в него все известные величины: Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хСледовательно, каноническое уравнение гиперболы имеет видСоставить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Пример:

Составить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы — в вершинах эллипса Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Решение:

Для определения координат фокусов и вершин эллипса преобразуем его уравнение к каноническому виду. Эллипс: Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хили Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хСледовательно, большая полуось эллипса Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5ха малая полуось Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хИтак, вершины эллипса расположены на оси Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хи Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хна оси Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хТак как Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хто эллипс вытянут вдоль оси абсцисс Ох. Определим расположение фокусов данного эллипса Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хИтак, Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хСогласно условию задачи (см. Рис. 33): Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хСоставить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Рис. 33. Параметры эллипса и гиперболы

Вычислим длину мнимой полуоси Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хУравнение гиперболы имеет вид: Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Видео:Видеоурок "Гипербола"Скачать

Видеоурок "Гипербола"

Гипербола в высшей математике

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Решая его относительно Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х, получим две явные функции

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

или одну двузначную функцию

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Функция Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5химеет действительные значения только в том случае, если Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х. При Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хфункция Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хдействительных значений не имеет. Следовательно, если Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х, то точек с координатами, удовлетворяющими уравнению (3), не существует.

При Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хполучаемСоставить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х.

При Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хкаждому значению Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хсоответствуют два значения Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х, поэтому кривая симметрична относительно оси Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х. Так же можно убедиться в симметрии относительно оси Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х. Поэтому в рассуждениях можно ограничиться рассмотрением только первой четверти. В этой четверти при увеличении х значение у будет также увеличиваться (рис. 36).

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Кривая, все точки которой имеют координаты, удовлетворяющие уравнению (3), называется гиперболой.

Гипербола в силу симметрии имеет вид, указанный на рис. 37.

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Точки пересечения гиперболы с осью Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хназываются вершинами гиперболы; на рис. 37 они обозначены буквами Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хи Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х.

Часть гиперболы, расположенная в первой и четвертой четвертях, называется правой ветвью, а часть гиперболы, расположенная во второй и третьей четвертях, — левой ветвью.

Рассмотрим прямую, заданную уравнением Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х. Чтобы не смешивать ординату точки, расположенной на этой прямой, с ординатой точки, расположенной на гиперболе, будем обозначать ординату точки на прямой Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х, а ординату точки на гиперболе через Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х. Тогда Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х, Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х(рассматриваем только кусок правой ветви, расположенной в первой четверти). Найдем разность ординат точек, взятых на прямой и на гиперболе при одинаковых абсциссах:

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Умножим и разделим правую часть наСоставить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Будем придавать Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хвсе большие и большие значения, тогда правая часть равенства Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хбудет становиться все меньше и меньше, приближаясь к нулю. Следовательно, разность Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5хбудет приближаться к нулю, а это значит, что точки, расположенные на прямой и гиперболе, будут сближаться. Таким образом, можно сказать, что рассматриваемая часть правой ветви гиперболы по мере удаления от начала координат приближается к прямой Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х.

Вследствие симметрии видно, что часть правой ветви, расположенная в четвертой четверти, будет приближаться к прямой, определяемой уравнением Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х. Также кусок левой ветви, расположенный во второй четверти, приближается к прямой Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х, а кусок левой ветви, расположенный в третьей четверти, — к прямой Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х.

Прямая, к которой неограниченно приближается гипербола при удалении от начала координат, называется асимптотой гиперболы.

Таким образом, гипербола имеет две асимптоты, определяемые уравнениями Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х(рис. 37).

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Парабола
  • Многогранник
  • Решение задач на вычисление площадей
  • Тела вращения: цилиндр, конус, шар
  • Правильные многогранники в геометрии
  • Многогранники
  • Окружность
  • Эллипс

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Математика без Ху!ни. Нахождение асимптот, построение графика функции.Скачать

Математика без Ху!ни. Нахождение асимптот, построение графика функции.

Найти простейшее уравнение гиперболы, если уравнения асимптот y = ±3 / ( 4) x и расстояние между директрисами 12, 8?

Математика | 10 — 11 классы

Найти простейшее уравнение гиперболы, если уравнения асимптот y = ±3 / ( 4) x и расстояние между директрисами 12, 8.

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

b / a = 3 / 4⇒b = 3a / 4

расстояние между директрисами :

8⇒a² / √(a² + 9a² / 16) = 6.

4⇒a² / √((16a² + 9a²) / 16) = 6.

x² / 64 — y² / 36 = 1.

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

№1. Найти точки пересечения асимптот гиперболы х² — 3у² = 12 с окружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы и проходящей через начало координат?

№1. Найти точки пересечения асимптот гиперболы х² — 3у² = 12 с окружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы и проходящей через начало координат.

№2. Гипербола проходит через точку М(6 ; 3√5 / 2), симметрична относительно осей координат и имеет вещественную полуось а = 4.

Написать уравнения перпендикуляров , опущенных из левого фокуса гиперболы на ее асимптоты.

С подробным решением и объяснением , пожалуйста!

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Видео:§23 Построение гиперболыСкачать

§23 Построение гиперболы

Составить канонические уравнения : а) эллипса ; б)гиперболы ; в) параболы?

Составить канонические уравнения : а) эллипса ; б)гиперболы ; в) параболы.

Где А, В — точки, лежащие на кривой, F — фокус, a — большая (действительная) полуось, b — малая (мнимая) полуось, Е — эксцентриситет, у = + — kx — уравнения асимптот гиперболы, D — директриса кривой, 2с — фокусное расстояние.

A) 2a = 22, Е = √57 / 11 ; b) k = 2 / 3 ; 2c = 10 √13 ; c) ось симметрии Ox и А(27 ; 9).

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Видео:Асимптоты графика функции. Практика. Пример 1.Скачать

Асимптоты графика функции. Практика. Пример 1.

Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат и найти фокус, если : 1)директриса задана уравнением x ^ 2 — 4y = 0 2)директриса задана уравнением x + 3 = 0?

Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат и найти фокус, если : 1)директриса задана уравнением x ^ 2 — 4y = 0 2)директриса задана уравнением x + 3 = 0.

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Здравствуйте?

Сделал гиперболы, эллипсы, но вот с параболой проблем просто.

___________________ Парабола лежит в полуплоскости , имеет вершину A( — 3 ; 2) и пересекает ось OX в точке C(1 ; 0).

Условие : Найти : параметр, вершину, фокус, уравнение директрисы, расстояние от точки C до фокуса и директрисы.

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Видео:182 Алгебра 9 класс. Найдите Асимптоты гиперболы.Скачать

182 Алгебра 9 класс. Найдите Асимптоты гиперболы.

Найти уравнение директрисы и фокус параболы (y — 2) ^ 2 = 4(x + 4)?

Найти уравнение директрисы и фокус параболы (y — 2) ^ 2 = 4(x + 4).

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Видео:Асимптоты функции. Наклонная асимптота. 10 класс.Скачать

Асимптоты функции. Наклонная асимптота. 10 класс.

Составить уравнение гиперболы по координатам фокусов и уравнениям ее асимптот F( + — 5 ; 0), y = + — 4 / 3x?

Составить уравнение гиперболы по координатам фокусов и уравнениям ее асимптот F( + — 5 ; 0), y = + — 4 / 3x.

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Построить гиперболу x ^ 2 — 4y ^ 2 = 16 и её асимптоты?

Построить гиперболу x ^ 2 — 4y ^ 2 = 16 и её асимптоты.

Найти фокусы, эксцентриситет и угол между асимптотами.

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Видео:Асимптоты функции. Горизонтальная асимптота. 10 класс.Скачать

Асимптоты функции. Горизонтальная асимптота. 10 класс.

Помогите пожалуйста задание решить))))))) Заранее спасибо = )Составить каноническое уравнениеА) эллипсаБ) гиперболыВ) параболы(А, В – точки лежащие на кривой, f — фокус, а — большая (действительная)по?

Помогите пожалуйста задание решить))))))) Заранее спасибо = )

Составить каноническое уравнение

(А, В – точки лежащие на кривой, f — фокус, а — большая (действительная)

полуось, в — малая (мнимая) полуось, е — экцентриситет, у = — + кх — уравнение асимптот

директриса кривой, 2с — фокусное расстояние).

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Видео:ГРАФИК ФУНКЦИИ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ГРАФИК ФУНКЦИИ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Дана гипербола — 16 = 144 Найти уравнение ее асимптот?

Дана гипербола — 16 = 144 Найти уравнение ее асимптот.

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Видео:Как построить график функции без таблицыСкачать

Как построить график функции без таблицы

X ^ 2 / 25 — y ^ 2 / 144 = 1 1?

X ^ 2 / 25 — y ^ 2 / 144 = 1 1.

Найти полуоси 2.

Определить координаты фокусов 3.

Вычислить эксцентриситет 4.

Написать уравнение асимптот 5.

Написать уравнение директрис помогитеееее, пожалуйста помогите пожалуйста.

На этой странице находится вопрос Найти простейшее уравнение гиперболы, если уравнения асимптот y = ±3 / ( 4) x и расстояние между директрисами 12, 8?, относящийся к категории Математика. По уровню сложности данный вопрос соответствует знаниям учащихся 10 — 11 классов. Здесь вы найдете правильный ответ, сможете обсудить и сверить свой вариант ответа с мнениями пользователями сайта. С помощью автоматического поиска на этой же странице можно найти похожие вопросы и ответы на них в категории Математика. Если ответы вызывают сомнение, сформулируйте вопрос иначе. Для этого нажмите кнопку вверху.

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

2x — 5 9 = 7 24. 7 24 + 5 9 = 63 216 + 120 216 = 183 216. 183 216 = 61 72. 61 72÷2 = 30, 5 72.

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

1)0. 5 2)0. 6 3)1 / 7 4)4 5)9 6)1 / 13 7)1. 5 8)0. 125 9)2 / 13 10)50.

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Нет. Тут второе слагаемое — это 6.

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

А) 10 100 1000 10000 100000 1000000… Добавляется 0 б) 2 1 4 3 6 5 8 7 10 9 12 11… + 2 в)1 9 3 11 5 13 21 1 23… + 10, — 4, + 10 г) 5 6 15 12 25 18 35 24 45 30… + 10, + 6.

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Масса = полная масса * процентное содержание m = 13 * 0. 7 = 9. 1 тонн.

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

13 тонн — 100%13 / 100 = 0. 13 это 1%0. 13 * 70 = 9. 1 т это 70%Ответ : 9. 1 тонн(железа содержится в 13 т железняка).

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

1) 5 и 6 2) 25 и 3 3) 25 и 6 4) 3 и 5.

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

1)15 : 8 = 1, 875 — листа в день пишет 1 писец. 2) 1, 875 * 9 = 16, 875 листов за 9 дней. 3)405 : 16, 875 = 24 писца нужно , чтобы написать 405 листов за 9 дней. Ответ : 24 писца.

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

1)32456 : 4 = 8114 2)8114 * 5 = 40570 3)17015 * 9 = 153135 4)40570 + 153135 = 193705 5)193705 — 47589 = 146116 6)146116 : 2 = 73058 7)73058 + 27255 = 100313.

Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

X = x ^ 3 — 3x — 5D(y) = Rf(x’) = 3x ^ 2 — 3D(y’) = R 3x ^ 2 — 3 = 03(x ^ 2 — 1) = 03 = 0 x ^ 2 = 1 x = 1 ; — 1 + — 1 — 1 + — — — — — — — — o — — — — — — — — — — — — — o — — — — — — — — — — — — >.

📽️ Видео

Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертеж

Графики функций №3 ГиперболаСкачать

Графики функций №3 Гипербола

Кривые второго порядка. ЗадачиСкачать

Кривые второго порядка. Задачи

Решение задач на термохимические уравнения. 8 класс.Скачать

Решение задач на термохимические уравнения. 8 класс.
Поделиться или сохранить к себе: