Составить уравнение гиперболы если ее асимптоты заданы уравнениями у 3 5х

Видео:Математический анализ, 15 урок, АссимптотыСкачать

Определение гиперболы, решаем задачи вместе

Определение гиперболы. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, таких, для которых модуль разности расстояний от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

,

где a и b — длины полуосей, действительной и мнимой.

На чертеже ниже фокусы обозначены как и .

На чертеже ветви гиперболы — бордового цвета.

При a = b гипербола называется равносторонней.

Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если его действительная полуось a = 5 и мнимая = 3.

Решение. Подставляем значения полуосей в формулу канонического уравения гиперболы и получаем:

.

Точки пересечения гиперболы с её действительной осью (т. е. с осью Ox) называются вершинами. Это точки (a, 0) (- a, 0), они обозначены и надписаны на рисунке чёрным.

Точки и , где

,

называются фокусами гиперболы (на чертеже обозначены зелёным, слева и справа от ветвей гиперболы).

называется эксцентриситетом гиперболы.

Гипербола состоит из двух ветвей, лежащих в разных полуплоскостях относительно оси ординат.

Пример 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между фокусами равно 10 и действительная ось равна 8.

Если действительная полуось равна 8, то её половина, т. е. полуось a = 4 ,

Если расстояние между фокусами равно 10, то число c из координат фокусов равно 5.

То есть, для того, чтобы составить уравнение гиперболы, потребуется вычислить квадрат мнимой полуоси b.

Подставляем и вычисляем:

Получаем требуемое в условии задачи каноническое уравнение гиперболы:

.

Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если её действительная ось равна 48 и эксцентриситет .

Решение. Как следует из условия, действительная полуось a = 24 . А эксцентриситет — это пропорция и так как a = 24 , то коэффициент пропорциональности отношения с и a равен 2. Следовательно, c = 26 . Из формулы числа c выражаем квадрат мнимой полуоси и вычисляем:

.

Результат — каноническое уравнение гиперболы:

Если — произвольная точка левой ветви гиперболы () и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

.

Если — произвольная точка правой ветви гиперболы () и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

.

На чертеже расстояния обозначены оранжевыми линиями.

Для каждой точки, находящейся на гиперболе, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

,

называются директрисами гиперболы (на чертеже — прямые ярко-красного цвета).

Из трёх вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки гиперболы

,

где — расстояние от левого фокуса до точки любой ветви гиперболы, — расстояние от правого фокуса до точки любой ветви гиперболы и и — расстояния этой точки до директрис и .

Пример 4. Дана гипербола . Составить уравнение её директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет гиперболы, т. е. . Вычисляем:

.

Получаем уравнение директрис гиперболы:

Многие задачи на директрисы гиперболы аналогичны задачам на директрисы эллипса. В уроке «Эллипс» это пример 7.

Характерной особенностью гиперболы является наличие асимптот — прямых, к которым приближаются точки гиперболы при удалении от центра.

Асимптоты гиперболы определяются уравнениями

.

На чертеже асимптоты — прямые серого цвета, проходящие через начало координат O.

Уравнение гиперболы, отнесённой к асимптотам, имеет вид:

, где .

В том случае, когда угол между асимптотами — прямой, гипербола называется равнобочной, и если асимптоты равнобочной гиперболы выбрать за оси координат, то её уравнение запишется в виде y = k/x , то есть в виде уравения обратной пропорциональной зависимости.

Пример 5. Даны уравнения асимптот гиперболы и координаты точки , лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.

Решение. Дробь в уравнении асимптот гиперболы — это пропорция, следовательно, нужно сначала найти коэффициент пропорциональности отношения . Для этого подставляем в формулу канонического уравнения гиперболы координаты точки M x и y и значения числителя и знаменателя из уравнения асимптоты, кроме того, умножаем каждую дробь в левой части на коэффициент пропорциональности k.

.

Теперь имеем все данные, чтобы получить каноническое уравнение гиперболы. Получаем:

Гипербола обладает оптическим свойством, которое описывается следующим образом: луч, исходящий из источника света, находящегося в одном из фокусов гиперболы, после отражения движется так, как будто он исходит из другого фокуса.

Видео:Написать каноническое уравнение гиперболы. Дан эксцентриситетСкачать

Решить задачи на гиперболу самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) b = 4 , а один из фокусов в точке (5; 0)

2) действительная ось 6, расстояние между фокусами 8

3) один из фокусов в точке (-10; 0), уравнения асимптот гиперболы

Видео:§21 Каноническое уравнение гиперболыСкачать

Гипербола

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек этой же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Просмотр содержимого документа
«Гипербола»

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек этой же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Коническое уравнение гиперболы :

где а – действительная, b – мнимая полуось гиперболы. Числа 2а и 2b называются соответственным действительной и мнимой осями гиперболы. Координаты фокусов : F₁(- с;0),F₂(c;0), с – половина расстояния между фокусами(рис.35).Числа а, b и c связаны соотношением

Точки А и В называются вершинами гипербол, точка О – центром гиперболы, расстояние r₁ и r₂ от произвольной точки М гиперболы до фокусов называются фокальными радиусами этой точки

(, т.к. с a)

Называется эксцентриситетом гиперболы.

Фокальные радиусы определяются формулами : для точек первой величины гиперболы:

r_{1 =} a + x, r₂ = — f + ;

для точек любой ветви:

r₁ = — a + , r₂ = a —

Прямоугольник, центр которого совпадает с точкой Щ, а стороны равны и параллельны осям гиперболы называется основным прямоугольником гиперболы. Диагонали основного прямоугольника гиперболы лежат на двух прямых, называемых асимптотами гиперболы; они определяются уравнениями

y = x.

Две прямые l₁ и l_2, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящей от нее на расстоянии, равном _, называется директрисами гиперболы. Их уравнения

x = и x = —.

Замечания, 1) Если a = b, то гипербола (3.12) называется равносторонней ( равнобочной). Ее уравнение принимает вид

2) если фокусы гиперболы лежат на оси Оy, то уравнение гиперболы имеет вид

— = 1.

Эксцентриситет этой гиперболы равен = , асимптоты определяются уравнениями y = x,

А уравнение директрис y = . Гипербола (3.20) называется сопряженной гиперболе (3.12); она имеет вид , изображенный на рисунке 36;

3) уравнение гиперболы с осями, параллельными координатным, имеет вид

где (x_0; y₀) – координаты центра гиперболы (рис.37).

Задания для практических занятий:

1. Дано уравнение гиперболы =20. Найти:

1) длины его полуосей;

2) координаты фокусов;

3) эксцентриситет гиперболы;

4) уравнения асимптот и директрис;

5) фокальные радиусы точки М (3;2,5)

2. Составить уравнение гиперболы, если ее фокусы лежат на оси Оу и расстояние между ними равно 10, а длина действительной оси равна 8.

3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если:

3) в=6;, уравнения асимптот у=;

4.Найти уравнение гиперболы, фокусы которой находятся в точках F₁ (-2;4) и F₂ (12;4),

а длина мнимой оси равна 6.

5. Найти каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, проходящей через точки М₁ (6;-1) и М₂ (-8;-2)

6. Составить уравнения асимптоты гиперболы . 2 — =1, построить ее.

7. Дан эллипс =40. Найти уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы — в вершинах данного эллипса.

8. Составить уравнение равносторонний гиперболы с фокусами на оси Ох, если гипербола проходит через точку: 1) А (-5;4); 2) В (8;2)

Задания для самостоятельной работы.

1. Составить уравнение гиперболы, если ее вершины находятся в точках

2. Составить уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнениями у= х и она проходит через точку (6; — 4)

3. Составьте уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, если:

1) длины ее действительной оси равна 6, а эксцентриситет равен 5/3;

2) длина мнимой оси равна 8, а эксцентриситет равен

4. Написать каноническое уравнение гиперболы, если:

1) с=10 и уравнение асимптот у=;

2) Е= и расстояние между директрисами ;

3) Е = и точка М ( ) лежит на гиперболе.

5. Найти уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат, зная, что ее мнимая полуось равна 2 и гипербола проходит через точку М (4; ) .Найти расстояние от точки М до правого фокуса.

6. Составить уравнение равносторонней гиперболы с фокусами на оси Оу, если гипербола проходит через точку (— );

7. Дана гипербола =1. Найти софокусный эллипс, проходящий через точку М (4; ).

8. На гиперболе =1 найти точку М, ближайшую к прямой 2х+у-2=0 и вычислить расстояние от точки до этой прямой.

Ответы к заданиям для самостоятельного решения:

1. =1; 2.=1; 3.1) =1; 2)=1; 4.1)=1; 2) =1; 3)=1; 5. =1 ;; 6. =2; 7. =1; 8. (8); .

Видео:Математика без Ху!ни. Нахождение асимптот, построение графика функции.Скачать

Гипербола — определение и вычисление с примерами решения

Гипербола:

Определение: Гиперболой называется геометрическое место точек абсолютное значение разности расстояний от которых до двух выделенных точек

Получим каноническое уравнение гиперболы. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокусы

Рис. 31. Вывод уравнения гиперболы.

Расстояние между фокусами (фокусное расстояние) равно Согласно определению, для гиперболы имеем Из треугольников по теореме Пифагора найдем соответственно.

Следовательно, согласно определению имеем

Возведем обе части равенства в квадрат, получим

Перенося квадратный корень в левую часть, а все остальное в правую часть равенства, находим Раскроем разность квадратов Подставим найденное выражение в уравнение и сократим обе части равенства на 4, тогда оно перейдет в уравнение Вновь возведем обе части равенства в квадрат Раскрывая все скобки в правой части уравнения, получим Соберем неизвестные в левой части, а все известные величины перенесем в правую часть уравнения, получим Введем обозначение для разности, стоящей в скобках Получим Разделив все члены уравнения на величину получаем каноническое уравнение гиперболы: Для знака “+” фокусы гиперболы расположены на оси Ох, вдоль которой вытянута гипербола. Для знака фокусы гиперболы расположены на оси Оу, вдоль которой вытянута гипербола.

Проанализируем полученное уравнение. Если точка М(х;у) принадлежит гиперболе, то ей принадлежат и симметричные точки и следовательно, гипербола симметрична относительно координатных осей, которые в данном случае будут называться осями симметрии гиперболы (Рис. 32). Найдем координаты точек пересечения гиперболы с координатными осями: т.е. точками пересечения гиперболы с осью абсцисс будут точки т.е. гипербола не пересекает ось ординат.

Рис. 32. Асимптоты и параметры гиперболы

Определение: Найденные точки называются вершинами гиперболы.

Докажем, что при возрастании (убывании) переменной х гипербола неограниченно приближается к прямым не пересекая эти прямые. Из уравнения гиперболы находим, что При неограниченном росте (убывании) переменной х величина следовательно, гипербола будет неограниченно приближаться к прямым

Определение: Прямые, к которым неограниченно приближается график гиперболы называются асимптотами гиперболы.

В данном конкретном случае параметр а называется действительной, а параметр b — мнимой полуосями гиперболы.

Определение: Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к действительной полуоси гиперболы

Из определения эксцентриситета гиперболы следует, что он удовлетворяет неравенству Кроме того, эта характеристика описывает форму гиперболы. Для демонстрации этого факта рассмотрим квадрат отношения мнимой полуоси гиперболы к действительной полуоси Если эксцентриситет и гипербола становится равнобочной. Если и гипербола вырождается в два полубесконечных отрезка

Пример:

Составить каноническое уравнение гиперболы, если мнимая полуось b = 5 и гипербола проходит через точку М(4; 5).

Решение:

Для решения задачи воспользуемся каноническим уравнением гиперболы, подставив в него все известные величины:

Следовательно, каноническое уравнение гиперболы имеет вид

Пример:

Составить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы — в вершинах эллипса

Решение:

Для определения координат фокусов и вершин эллипса преобразуем его уравнение к каноническому виду. Эллипс: или Следовательно, большая полуось эллипса а малая полуось Итак, вершины эллипса расположены на оси и на оси Так как то эллипс вытянут вдоль оси абсцисс Ох. Определим расположение фокусов данного эллипса Итак, Согласно условию задачи (см. Рис. 33):

Рис. 33. Параметры эллипса и гиперболы

Вычислим длину мнимой полуоси Уравнение гиперболы имеет вид:

Видео:Асимптоты функции. 10 класс.Скачать

Гипербола в высшей математике

Решая его относительно , получим две явные функции

или одну двузначную функцию

Функция имеет действительные значения только в том случае, если . При функция действительных значений не имеет. Следовательно, если , то точек с координатами, удовлетворяющими уравнению (3), не существует.

При получаем.

При каждому значению соответствуют два значения , поэтому кривая симметрична относительно оси . Так же можно убедиться в симметрии относительно оси . Поэтому в рассуждениях можно ограничиться рассмотрением только первой четверти. В этой четверти при увеличении х значение у будет также увеличиваться (рис. 36).

Кривая, все точки которой имеют координаты, удовлетворяющие уравнению (3), называется гиперболой.

Гипербола в силу симметрии имеет вид, указанный на рис. 37.

Точки пересечения гиперболы с осью называются вершинами гиперболы; на рис. 37 они обозначены буквами и .

Часть гиперболы, расположенная в первой и четвертой четвертях, называется правой ветвью, а часть гиперболы, расположенная во второй и третьей четвертях, — левой ветвью.

Рассмотрим прямую, заданную уравнением . Чтобы не смешивать ординату точки, расположенной на этой прямой, с ординатой точки, расположенной на гиперболе, будем обозначать ординату точки на прямой , а ординату точки на гиперболе через . Тогда , (рассматриваем только кусок правой ветви, расположенной в первой четверти). Найдем разность ординат точек, взятых на прямой и на гиперболе при одинаковых абсциссах:

Умножим и разделим правую часть на

Будем придавать все большие и большие значения, тогда правая часть равенства будет становиться все меньше и меньше, приближаясь к нулю. Следовательно, разность будет приближаться к нулю, а это значит, что точки, расположенные на прямой и гиперболе, будут сближаться. Таким образом, можно сказать, что рассматриваемая часть правой ветви гиперболы по мере удаления от начала координат приближается к прямой .

Вследствие симметрии видно, что часть правой ветви, расположенная в четвертой четверти, будет приближаться к прямой, определяемой уравнением . Также кусок левой ветви, расположенный во второй четверти, приближается к прямой , а кусок левой ветви, расположенный в третьей четверти, — к прямой .

Прямая, к которой неограниченно приближается гипербола при удалении от начала координат, называется асимптотой гиперболы.

Таким образом, гипербола имеет две асимптоты, определяемые уравнениями (рис. 37).

• Парабола
• Многогранник
• Решение задач на вычисление площадей
• Тела вращения: цилиндр, конус, шар
• Правильные многогранники в геометрии
• Многогранники
• Окружность
• Эллипс

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Видеоурок "Гипербола"Скачать

Найти простейшее уравнение гиперболы, если уравнения асимптот y = ±3 / ( 4) x и расстояние между директрисами 12, 8?

Математика | 10 — 11 классы

Найти простейшее уравнение гиперболы, если уравнения асимптот y = ±3 / ( 4) x и расстояние между директрисами 12, 8.

b / a = 3 / 4⇒b = 3a / 4

расстояние между директрисами :

8⇒a² / √(a² + 9a² / 16) = 6.

4⇒a² / √((16a² + 9a²) / 16) = 6.

x² / 64 — y² / 36 = 1.

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

№1. Найти точки пересечения асимптот гиперболы х² — 3у² = 12 с окружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы и проходящей через начало координат?

№1. Найти точки пересечения асимптот гиперболы х² — 3у² = 12 с окружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы и проходящей через начало координат.

№2. Гипербола проходит через точку М(6 ; 3√5 / 2), симметрична относительно осей координат и имеет вещественную полуось а = 4.

Написать уравнения перпендикуляров , опущенных из левого фокуса гиперболы на ее асимптоты.

С подробным решением и объяснением , пожалуйста!

Видео:§23 Построение гиперболыСкачать

Составить канонические уравнения : а) эллипса ; б)гиперболы ; в) параболы?

Составить канонические уравнения : а) эллипса ; б)гиперболы ; в) параболы.

Где А, В — точки, лежащие на кривой, F — фокус, a — большая (действительная) полуось, b — малая (мнимая) полуось, Е — эксцентриситет, у = + — kx — уравнения асимптот гиперболы, D — директриса кривой, 2с — фокусное расстояние.

A) 2a = 22, Е = √57 / 11 ; b) k = 2 / 3 ; 2c = 10 √13 ; c) ось симметрии Ox и А(27 ; 9).

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат и найти фокус, если : 1)директриса задана уравнением x ^ 2 — 4y = 0 2)директриса задана уравнением x + 3 = 0?

Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат и найти фокус, если : 1)директриса задана уравнением x ^ 2 — 4y = 0 2)директриса задана уравнением x + 3 = 0.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Здравствуйте?

Сделал гиперболы, эллипсы, но вот с параболой проблем просто.

___________________ Парабола лежит в полуплоскости , имеет вершину A( — 3 ; 2) и пересекает ось OX в точке C(1 ; 0).

Условие : Найти : параметр, вершину, фокус, уравнение директрисы, расстояние от точки C до фокуса и директрисы.

Видео:Асимптоты функции. Наклонная асимптота. 10 класс.Скачать

Найти уравнение директрисы и фокус параболы (y — 2) ^ 2 = 4(x + 4)?

Найти уравнение директрисы и фокус параболы (y — 2) ^ 2 = 4(x + 4).

Видео:Асимптоты графика функции. Практика. Пример 1.Скачать

Составить уравнение гиперболы по координатам фокусов и уравнениям ее асимптот F( + — 5 ; 0), y = + — 4 / 3x?

Составить уравнение гиперболы по координатам фокусов и уравнениям ее асимптот F( + — 5 ; 0), y = + — 4 / 3x.

Видео:182 Алгебра 9 класс. Найдите Асимптоты гиперболы.Скачать

Построить гиперболу x ^ 2 — 4y ^ 2 = 16 и её асимптоты?

Построить гиперболу x ^ 2 — 4y ^ 2 = 16 и её асимптоты.

Найти фокусы, эксцентриситет и угол между асимптотами.

Видео:Асимптоты функции. Горизонтальная асимптота. 10 класс.Скачать

Помогите пожалуйста задание решить))))))) Заранее спасибо = )Составить каноническое уравнениеА) эллипсаБ) гиперболыВ) параболы(А, В – точки лежащие на кривой, f — фокус, а — большая (действительная)по?

Помогите пожалуйста задание решить))))))) Заранее спасибо = )

Составить каноническое уравнение

(А, В – точки лежащие на кривой, f — фокус, а — большая (действительная)

полуось, в — малая (мнимая) полуось, е — экцентриситет, у = — + кх — уравнение асимптот

директриса кривой, 2с — фокусное расстояние).

Видео:Как построить график функции без таблицыСкачать

Дана гипербола — 16 = 144 Найти уравнение ее асимптот?

Дана гипербола — 16 = 144 Найти уравнение ее асимптот.

Видео:Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

X ^ 2 / 25 — y ^ 2 / 144 = 1 1?

X ^ 2 / 25 — y ^ 2 / 144 = 1 1.

Найти полуоси 2.

Определить координаты фокусов 3.

Вычислить эксцентриситет 4.

Написать уравнение асимптот 5.

Написать уравнение директрис помогитеееее, пожалуйста помогите пожалуйста.

На этой странице находится вопрос Найти простейшее уравнение гиперболы, если уравнения асимптот y = ±3 / ( 4) x и расстояние между директрисами 12, 8?, относящийся к категории Математика. По уровню сложности данный вопрос соответствует знаниям учащихся 10 — 11 классов. Здесь вы найдете правильный ответ, сможете обсудить и сверить свой вариант ответа с мнениями пользователями сайта. С помощью автоматического поиска на этой же странице можно найти похожие вопросы и ответы на них в категории Математика. Если ответы вызывают сомнение, сформулируйте вопрос иначе. Для этого нажмите кнопку вверху.

2x — 5 9 = 7 24. 7 24 + 5 9 = 63 216 + 120 216 = 183 216. 183 216 = 61 72. 61 72÷2 = 30, 5 72.

1)0. 5 2)0. 6 3)1 / 7 4)4 5)9 6)1 / 13 7)1. 5 8)0. 125 9)2 / 13 10)50.

Нет. Тут второе слагаемое — это 6.

А) 10 100 1000 10000 100000 1000000… Добавляется 0 б) 2 1 4 3 6 5 8 7 10 9 12 11… + 2 в)1 9 3 11 5 13 21 1 23… + 10, — 4, + 10 г) 5 6 15 12 25 18 35 24 45 30… + 10, + 6.

Масса = полная масса * процентное содержание m = 13 * 0. 7 = 9. 1 тонн.

13 тонн — 100%13 / 100 = 0. 13 это 1%0. 13 * 70 = 9. 1 т это 70%Ответ : 9. 1 тонн(железа содержится в 13 т железняка).

1) 5 и 6 2) 25 и 3 3) 25 и 6 4) 3 и 5.

1)15 : 8 = 1, 875 — листа в день пишет 1 писец. 2) 1, 875 * 9 = 16, 875 листов за 9 дней. 3)405 : 16, 875 = 24 писца нужно , чтобы написать 405 листов за 9 дней. Ответ : 24 писца.

1)32456 : 4 = 8114 2)8114 * 5 = 40570 3)17015 * 9 = 153135 4)40570 + 153135 = 193705 5)193705 — 47589 = 146116 6)146116 : 2 = 73058 7)73058 + 27255 = 100313.

X = x ^ 3 — 3x — 5D(y) = Rf(x’) = 3x ^ 2 — 3D(y’) = R 3x ^ 2 — 3 = 03(x ^ 2 — 1) = 03 = 0 x ^ 2 = 1 x = 1 ; — 1 + — 1 — 1 + — — — — — — — — o — — — — — — — — — — — — — o — — — — — — — — — — — — >.

🌟 Видео

ГРАФИК ФУНКЦИИ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

Графики функций №3 ГиперболаСкачать

Решение задач на термохимические уравнения. 8 класс.Скачать

Кривые второго порядка. ЗадачиСкачать