Составить уравнение эллипса если расстояние между фокусами равно 5 и большая полуось равна 6

Условие

Составить уравнение эллипса, зная, что:
а) его большая полуось равна 10 и фокусы суть F1(-6;0), F2(10;0)
б) а=5, F1(-3;5), F2(3;5)
2.
Составить каноническое уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Ох, симметрично относительно начала координат, если:
а)задана точка M1(2 корня из 3;1) эллипса и его малая полуось равна 2
б) заданы две точки эллипса M1(0;7) и M2(8;0)
в)расстояние между фокусами равно 24 и большая ось равна 26
г) экцентриситет равен 7/25 и заданы фокусы (+-7;0)

Все решения

M- середина F_(1)F_(2)
x_(M)=(-6+10)/2=2
y_(M)=0
M(2;0)
Прямая x=2 -оcь симметрии эллипса

О т в е т.(x-2)^2/(10^2)+(y^2/6^2)=1

б) F_(1)(-3;5); F_(2)=(3;5)⇒
c=3
Прямая
y=5 — ось симметрии эллипса

О т в е т.(x^2/5^2)+((y-5)^2/4^2)=1

2. Если фокусы эллипса расположены на оси Ох, симметрично относительно начала координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1

а)
b=2
(x^2/a^2)+(y^2/4)=1
Подставляем координаты точки M_(1):
(12/a^2)+(1/4)=1
(12/a^2)=3/4
a^2=16
О т в е т. (x^2/4^2)+(y^2/2^2)=1

О т в е т. (x^2/8^2)+(y^2/7^2)=1

в)
2с=24 ⇒ с=12
2а=26 ⇒ а=13

b^2=a^2-с^2=13^2-12^2=169-144=25=5^2
О т в е т. (x^2/13^2)+(y^2/5^2)=1

г)
F( ± c;0) ⇒ c=7
ε=с/а
c/a=7/25
a=25
b^2=a^2-c^2=625-49=576=24^2
О т в е т. (x^2/25^2)+(y^2/24^2)=1

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Кривые второго порядка. Эллипс: формулы и задачи

Видео:Эллипс (часть 8). Решение задач. Высшая математика.Скачать

Понятие о кривых второго порядка

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

,

где A, B, C, D, E, F — числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

Видео:ЭллипсСкачать

Эллипс, заданный каноническим уравнением

Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначены как и на рисунке ниже.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

,

где a и b (a > b) — длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат — в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат — малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид . Это уравнение окружности радиуса a , а окружность — частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy .

Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением , эллипсом.

Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия — эллипс.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось — это a = 5 , меньшая полуось — это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:

.

Точки и , обозначенные зелёным на большей оси, где

,

называются фокусами.

называется эксцентриситетом эллипса.

Отношение b/a характеризует «сплюснутость» эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

Решение. Делаем несложные умозаключения:

— если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,

— если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

Подставляем и вычисляем:

Результат — каноническое уравнение эллипса:

.

Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет .

Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

.

Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

Составляем каноническое уравнение эллипса:

Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением .

Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:

.

Получаем фокусы эллипса:

Видео:§28 Эксцентриситет эллипсаСкачать

Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34

2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0)

3) эксцентриситет , а один из фокусов находится в точке (6; 0)

Видео:Видеоурок "Эллипс"Скачать

Продолжаем решать задачи на эллипс вместе

Если — произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

.

Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

,

называются директрисами эллипса (на чертеже — красные линии по краям).

Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса

,

где и — расстояния этой точки до директрис и .

Пример 7. Дан эллипс . Составить уравнение его директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. . Все данные для этого есть. Вычисляем:

.

Получаем уравнение директрис эллипса:

Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки , а директрисами являются прямые .

Решение. Смотрим в уравнение директрис, видим, что в нём можем заменить символ эксцентриситета формулой эксцентриситета как отношение первой координаты фокуса к длине большей полуоси. Так сможем вычислить квадрат длины большей полуоси. Получаем:

.

Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:

Уравнение эллипса готово:

Пример 9. Проверить, находится ли точка на эллипсе . Если находится, найти расстояние от этой точки до фокусов эллипса.

Решение. Подставляем координаты точки x и y в уравнение эллипса, на выходе должно либо получиться равенство левой части уравнения единице (точка находится на эллипсе), либо не получиться это равенство (точка не находится на эллипсе). Получаем:

.

Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.

Приступаем к нахождению расстояния. Для этого нужно вычислить: число c, определяющее первые координаты фокусов, число e — эксцентриситет и числа «эр» с подстрочными индексами 1 и 2 — искомые расстояния. Получаем:

Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.

,

так как из исходного уравнения эллипса .

Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с его фокусами, пересекают касательную к эллипсу под разными углами. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отраэения попадёт в другой. Это свойство лежит в основе аккустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.

Видео:11 класс, 52 урок, ЭллипсСкачать

Составить уравнение эллипса если расстояние между фокусами равно 5 и большая полуось равна 6

Вопрос по математике:

Составить каноническое уравнение эллипса, если известно, что расстояние между фокусом равна 6, а большая полуось -5 единицам.

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

Малая полуось b =sqrt(25-9)=4 уравнение (x^2)/25+(y^2)/16=1

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

• Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
• Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
• Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

• Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
• Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
• Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
• Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Математика.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов.

Видео:Уравнение эллипса. Нахождение вершин и фокусовСкачать

Составить каноническое уравнение эллипса, если известно, что расстояние между фокусом равна 6, а большая полуось — 5 единицам?

Математика | 10 — 11 классы

Составить каноническое уравнение эллипса, если известно, что расстояние между фокусом равна 6, а большая полуось — 5 единицам.

Малая полуось b = sqrt(25 — 9) = 4

уравнение (x ^ 2) / 25 + (y ^ 2) / 16 = 1.

Видео:165. Найти фокусы и эксцентриситет эллипса.Скачать

Записать уравнение окружности, проходящей через фокусы эллипса 24х2 + 25у2 = 600 и имеющей центр в точке А(0 ; 6)?

Записать уравнение окружности, проходящей через фокусы эллипса 24х2 + 25у2 = 600 и имеющей центр в точке А(0 ; 6).

Видео:Фокусы эллипсаСкачать

Дан эллипс 9x² + 25y² = 225 найти а) его полуоси б) фокусы в) эксцентриситет г) уравнения директрис?

Дан эллипс 9x² + 25y² = 225 найти а) его полуоси б) фокусы в) эксцентриситет г) уравнения директрис.

Видео:Урок 14: Эллипс (практика)Скачать

Составьте уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат, E = 0, 6 и 2b = 10 ?

Составьте уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат, E = 0, 6 и 2b = 10 .

Видео:Полярные координаты. Полярное уравнение эллипса.Скачать

Составить простейшие уравнение гиперболы если расстояние между ее вершинами равна 20 а расcтояние между фокусами 30?

Составить простейшие уравнение гиперболы если расстояние между ее вершинами равна 20 а расcтояние между фокусами 30.

Видео:Первый закон Кеплера. ЭллипсСкачать

Составить уравнение эллипса с центром в начале координат, если большая ось эллипса равна 10, а фокусное расстояние равно 8?

Составить уравнение эллипса с центром в начале координат, если большая ось эллипса равна 10, а фокусное расстояние равно 8.

(пожалуйста помогите срочно надо завтра здать.

Видео:Эллипс. Определение. Уравнение. График. Фокусы. Главные оси. Эксцентриситет - Новиков АлександрСкачать

Построить кривую, заданную уравнением?

Построить кривую, заданную уравнением.

Найти : а) полуоси (для эллипса и гиперболы) ; б) координаты фокусов ; в) эксцентриситет (для эллипса и гиперболы) ; г) уравнения директрис.

Уравнения кривой y2(в квадрате) + 4х — 4 = 0.

Видео:Написать каноническое уравнение гиперболы. Дан эксцентриситетСкачать

Составить каноническое уравнение эллипса, если его большая полуось равна 12, а эксцентриситет равен 0, 8?

Составить каноническое уравнение эллипса, если его большая полуось равна 12, а эксцентриситет равен 0, 8.

Найти расстояние между фокусами эллипса.

Видео:Лекция 31.1. Кривые второго порядка. ЭллипсСкачать

Найти полуоси координаты фокусов и эксцентриситет и уравнение директрис эллипса 16х ^ 2 + 25y ^ 2 — 400 = 0?

Найти полуоси координаты фокусов и эксцентриситет и уравнение директрис эллипса 16х ^ 2 + 25y ^ 2 — 400 = 0.

Видео:§17 Определение эллипсаСкачать

Составить каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной ОУ , фокус которой в точке F(0 ; — 3) Составить уравнение эллипса , проходящего через точку А(4 ; 6) , фокусы кото?

Составить каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной ОУ , фокус которой в точке F(0 ; — 3) Составить уравнение эллипса , проходящего через точку А(4 ; 6) , фокусы которого совпадают с фокусами гиперболы x ^ 2 — y ^ 2 = 8.

Видео:166. Найти каноническое уравнение эллипса.Скачать

Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что его большая ось равна 10, а фокусы лежат в точках F1(10 ; 0) и F2(14 ; 0)?

Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что его большая ось равна 10, а фокусы лежат в точках F1(10 ; 0) и F2(14 ; 0).

Вы перешли к вопросу Составить каноническое уравнение эллипса, если известно, что расстояние между фокусом равна 6, а большая полуось — 5 единицам?. Он относится к категории Математика, для 10 — 11 классов. Здесь размещен ответ по заданным параметрам. Если этот вариант ответа не полностью вас удовлетворяет, то с помощью автоматического умного поиска можно найти другие вопросы по этой же теме, в категории Математика. В случае если ответы на похожие вопросы не раскрывают в полном объеме необходимую информацию, то воспользуйтесь кнопкой в верхней части сайта и сформулируйте свой вопрос иначе. Также на этой странице вы сможете ознакомиться с вариантами ответов пользователей.

105) 68 : x = 2 x = 68 : 2 x = 34 106) 84 : x = 4 x = 84 : 4 x = 21 107) 84 : x = 2 x = 84 : 2 x = 42 108) 72 : a = 12 a = 72 : 12 a = 6 109) a : 12 = 6 a = 12·6 a = 72 110) a : 16 = 5 a = 16·5 a = 80 111) 78 : y = 6 y = 78 : 6 y = 13 112) y : 13 = 3..

🎦 Видео

Написать каноническое уравнение эллипса, если известны b и cСкачать

Элипс и параболлаСкачать

Законы КеплераСкачать