Составить уравнение эллипса если расстояние между директрисами равно 72 а между фокусами 2

Условие

Составить каноническое уравнение эллипса, если известно, что:
а) его малая ось равна 24, расстояние между фокусами равно 10;
б) расстояние между фокусами равно 6, эксцентриситет равен 3/5;
в) расстояние между фокусами равно 4, расстояние между директрисами равно 5;
г) расстояние между директрисами равно 32, эксцентриситет равен 0,5.

Решение

а)
малая ось равна 24 ⇒ b=12

расстояние между фокусами равно 10 ⇒ c=5

Каноническое уравнение эллипса

б)
расстояние между фокусами равно 6 ⇒ 2с=6 ⇒ c=3

,эксцентриситет равен 3/5 ⇒ c/a=3/5 ⇒ a=5

Каноническое уравнение эллипса

в)
расстояние между фокусами равно 4 ⇒ 2с=4 ⇒ с=2

расстояние между директрисами равно 5

Каноническое уравнение эллипса

г) расстояние между директрисами равно 32 ⇒ a/ ε =16

Видео:11 класс, 52 урок, ЭллипсСкачать

Кривые второго порядка. Эллипс: формулы и задачи

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Понятие о кривых второго порядка

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

,

где A, B, C, D, E, F — числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

Видео:ЭллипсСкачать

Эллипс, заданный каноническим уравнением

Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначены как и на рисунке ниже.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

,

где a и b (a > b) — длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат — в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат — малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид . Это уравнение окружности радиуса a , а окружность — частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy .

Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением , эллипсом.

Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия — эллипс.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось — это a = 5 , меньшая полуось — это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:

.

Точки и , обозначенные зелёным на большей оси, где

,

называются фокусами.

называется эксцентриситетом эллипса.

Отношение b/a характеризует «сплюснутость» эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

Решение. Делаем несложные умозаключения:

— если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,

— если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

Подставляем и вычисляем:

Результат — каноническое уравнение эллипса:

.

Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет .

Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

.

Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

Составляем каноническое уравнение эллипса:

Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением .

Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:

.

Получаем фокусы эллипса:

Видео:§28 Эксцентриситет эллипсаСкачать

Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34

2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0)

3) эксцентриситет , а один из фокусов находится в точке (6; 0)

Видео:165. Найти фокусы и эксцентриситет эллипса.Скачать

Продолжаем решать задачи на эллипс вместе

Если — произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

.

Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

,

называются директрисами эллипса (на чертеже — красные линии по краям).

Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса

,

где и — расстояния этой точки до директрис и .

Пример 7. Дан эллипс . Составить уравнение его директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. . Все данные для этого есть. Вычисляем:

.

Получаем уравнение директрис эллипса:

Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки , а директрисами являются прямые .

Решение. Смотрим в уравнение директрис, видим, что в нём можем заменить символ эксцентриситета формулой эксцентриситета как отношение первой координаты фокуса к длине большей полуоси. Так сможем вычислить квадрат длины большей полуоси. Получаем:

.

Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:

Уравнение эллипса готово:

Пример 9. Проверить, находится ли точка на эллипсе . Если находится, найти расстояние от этой точки до фокусов эллипса.

Решение. Подставляем координаты точки x и y в уравнение эллипса, на выходе должно либо получиться равенство левой части уравнения единице (точка находится на эллипсе), либо не получиться это равенство (точка не находится на эллипсе). Получаем:

.

Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.

Приступаем к нахождению расстояния. Для этого нужно вычислить: число c, определяющее первые координаты фокусов, число e — эксцентриситет и числа «эр» с подстрочными индексами 1 и 2 — искомые расстояния. Получаем:

Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.

,

так как из исходного уравнения эллипса .

Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с его фокусами, пересекают касательную к эллипсу под разными углами. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отраэения попадёт в другой. Это свойство лежит в основе аккустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.

Видео:Полярные координаты. Полярное уравнение эллипса.Скачать

Написать каноническое уравнение эллипса, если известно, что расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет ε = 3 / 5?

Математика | 5 — 9 классы

Написать каноническое уравнение эллипса, если известно, что расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет ε = 3 / 5.

Канонический вид эллипса имеет вид :

Нужно найти а и b.

Найдем фокальное расстояние$c= frac$.

Зная формулу нахождения b, получим :

Теперь можем составить каноническое уравнение эллипса :

Видео:Фокусы эллипсаСкачать

Составить канонические уравнения : а) эллипса ; б)гиперболы ; в) параболы?

Составить канонические уравнения : а) эллипса ; б)гиперболы ; в) параболы.

Где А, В — точки, лежащие на кривой, F — фокус, a — большая (действительная) полуось, b — малая (мнимая) полуось, Е — эксцентриситет, у = + — kx — уравнения асимптот гиперболы, D — директриса кривой, 2с — фокусное расстояние.

A) 2a = 22, Е = √57 / 11 ; b) k = 2 / 3 ; 2c = 10 √13 ; c) ось симметрии Ox и А(27 ; 9).

Видео:Эллипс. Определение. Уравнение. График. Фокусы. Главные оси. Эксцентриситет - Новиков АлександрСкачать

Написать канонические уравнение гиперболы, если известно, что а)расстояние между фокусами равно 10 и эксцентриситет равен 5 / 3?

Написать канонические уравнение гиперболы, если известно, что а)расстояние между фокусами равно 10 и эксцентриситет равен 5 / 3.

Видео:Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать

Дан эллипс x ^ 2 / 7 + y ^ 2 / 16 = 1?

Дан эллипс x ^ 2 / 7 + y ^ 2 / 16 = 1.

Найдите его эксцентриситет.

Видео:§18 Каноническое уравнение эллипсаСкачать

Построить эллипс 25x ^ 2 + 16y ^ 2 = 400?

Построить эллипс 25x ^ 2 + 16y ^ 2 = 400.

Найти координаты его фокусов, длину осей и эксцентриситет.

Написать уравнение прямой, проходящей через его правый фокус и точку(1 ; — 3).

Пропустил тему и блин застреваю на каждом шагу(.

Видео:Видеоурок "Гипербола"Скачать

Составить уравнение эллипса, фокальное расстояние которого равно 16 и эксцентриситет равен 4 / 5?

Составить уравнение эллипса, фокальное расстояние которого равно 16 и эксцентриситет равен 4 / 5.

Видео:213. Фокус и директриса параболы.Скачать

Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, если длина ее действительной оси равна 12, а расстояние между фокусами равно 20?

Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, если длина ее действительной оси равна 12, а расстояние между фокусами равно 20.

Видео:166. Найти каноническое уравнение эллипса.Скачать

Составить уравнение эллипса с фокусами на оси Ox, если его большая ось равна 16, а эксцентритет e = 0, 8?

Составить уравнение эллипса с фокусами на оси Ox, если его большая ось равна 16, а эксцентритет e = 0, 8.

Видео:Эллипс, парабола и гипербола. Конические сечения | Ботай со мной #055 | Борис Трушин |Скачать

Написать уравнение эллипса, если известно, что расстояние между фокусами эллипса равно 8, а малая полуось b = 3?

Написать уравнение эллипса, если известно, что расстояние между фокусами эллипса равно 8, а малая полуось b = 3.

Видео:Написать каноническое уравнение гиперболы. Дан эксцентриситетСкачать

Найти полуоси, фокусы и эксцентриситет эллипса 4x² + 9y² = 16?

Найти полуоси, фокусы и эксцентриситет эллипса 4x² + 9y² = 16.

Видео:найти уравнение касательной к эллипсуСкачать

Помогите пожалуйста задание решить))))))) Заранее спасибо = )Составить каноническое уравнениеА) эллипсаБ) гиперболыВ) параболы(А, В – точки лежащие на кривой, f — фокус, а — большая (действительная)по?

Помогите пожалуйста задание решить))))))) Заранее спасибо = )

Составить каноническое уравнение

(А, В – точки лежащие на кривой, f — фокус, а — большая (действительная)

полуось, в — малая (мнимая) полуось, е — экцентриситет, у = — + кх — уравнение асимптот

директриса кривой, 2с — фокусное расстояние).

Вопрос Написать каноническое уравнение эллипса, если известно, что расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет ε = 3 / 5?, расположенный на этой странице сайта, относится к категории Математика и соответствует программе для 5 — 9 классов. Если ответ не удовлетворяет в полной мере, найдите с помощью автоматического поиска похожие вопросы, из этой же категории, или сформулируйте вопрос по-своему. Для этого ключевые фразы введите в строку поиска, нажав на кнопку, расположенную вверху страницы. Воспользуйтесь также подсказками посетителей, оставившими комментарии под вопросом.

1)13206 + 98 = 133304 ПРОВЕРКА. 13304 — 98 = 13206 2)7561 + 101017 = 108638 ПРОВЕРКА. 108638 — 7561 = 101017.

Вот я еще схему нарисовала если что.

12, 3 будет ответом этого выражения.

Жёлтых — два Синих — три Красных — два ЗЕЛЁНЫХ — ДВА.

2 букета по 5 2 букета по 7 2 букета по 9.

Надо смешанную дробь превратить в неправильную. Для этого надо целое число умножить на знаменатель и прибавить числитель — это числитель, а знаменатель тот, что у нас был 1)7 1 / 5 = 36 / 5 7 * 5 + 1 = 36 36 / 5 = 36 / 5 2) 4 3 / 10 = 43 / 10 4 * 10..

15 * 3 = 45р — на 45 р три тетради дороже 85 — 45 = 40р отняли разницу в цене тетрадей 40 : 5 = 8р — цена тетради 8 + 15 = 23р цена альбома.

X + 15 — альбомы x — тетради 3(x + 15) + 2x = 85 3x + 45 + 2x = 85 5x = 40 x = 8р тетрадь 8 + 15 = 23р альбом.

11020нужно перевести в граммы, зная что в кг всго 1000 грамм. Значит — 11020 : 1000 = 11, 02 грамм. Так и пиши.

Х (т) — муки — после обеда3, 2х (т) — муки — выдали до обеда. 1) 19 — 4, 3 = 14, 7 (т) — муки выдали всего2) х + 3, 2х = 14, 7 4. 2х = 14, 7 х — 14, 7 : 4, 2 х = 3, 5 (т) — выдалипосле обеда 3, 5 * 3, 2 = 11, 2 (т) — выдали до обеда. Надеюсь помог..

🔥 Видео

§24 Каноническое уравнение параболыСкачать

Длина отрезкаСкачать

169. Фокальные расстояния точки эллипса.Скачать

Эллипс (часть 1). Каноническое уравнение. Высшая математика.Скачать