Составить уравнение эллипса если известны его эксцентриситет фокус и уравнение директрисы

Видео:§28 Эксцентриситет эллипсаСкачать

Кривые второго порядка. Эллипс: формулы и задачи

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Понятие о кривых второго порядка

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

,

где A, B, C, D, E, F — числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

Видео:165. Найти фокусы и эксцентриситет эллипса.Скачать

Эллипс, заданный каноническим уравнением

Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначены как и на рисунке ниже.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

,

где a и b (a > b) — длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат — в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат — малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид . Это уравнение окружности радиуса a , а окружность — частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy .

Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением , эллипсом.

Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия — эллипс.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось — это a = 5 , меньшая полуось — это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:

.

Точки и , обозначенные зелёным на большей оси, где

,

называются фокусами.

называется эксцентриситетом эллипса.

Отношение b/a характеризует «сплюснутость» эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

Решение. Делаем несложные умозаключения:

— если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,

— если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

Подставляем и вычисляем:

Результат — каноническое уравнение эллипса:

.

Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет .

Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

.

Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

Составляем каноническое уравнение эллипса:

Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением .

Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:

.

Получаем фокусы эллипса:

Видео:ЭллипсСкачать

Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34

2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0)

3) эксцентриситет , а один из фокусов находится в точке (6; 0)

Видео:Написать каноническое уравнение гиперболы. Дан эксцентриситетСкачать

Продолжаем решать задачи на эллипс вместе

Если — произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

.

Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

,

называются директрисами эллипса (на чертеже — красные линии по краям).

Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса

,

где и — расстояния этой точки до директрис и .

Пример 7. Дан эллипс . Составить уравнение его директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. . Все данные для этого есть. Вычисляем:

.

Получаем уравнение директрис эллипса:

Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки , а директрисами являются прямые .

Решение. Смотрим в уравнение директрис, видим, что в нём можем заменить символ эксцентриситета формулой эксцентриситета как отношение первой координаты фокуса к длине большей полуоси. Так сможем вычислить квадрат длины большей полуоси. Получаем:

.

Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:

Уравнение эллипса готово:

Пример 9. Проверить, находится ли точка на эллипсе . Если находится, найти расстояние от этой точки до фокусов эллипса.

Решение. Подставляем координаты точки x и y в уравнение эллипса, на выходе должно либо получиться равенство левой части уравнения единице (точка находится на эллипсе), либо не получиться это равенство (точка не находится на эллипсе). Получаем:

.

Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.

Приступаем к нахождению расстояния. Для этого нужно вычислить: число c, определяющее первые координаты фокусов, число e — эксцентриситет и числа «эр» с подстрочными индексами 1 и 2 — искомые расстояния. Получаем:

Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.

,

так как из исходного уравнения эллипса .

Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с его фокусами, пересекают касательную к эллипсу под разными углами. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отраэения попадёт в другой. Это свойство лежит в основе аккустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.

Видео:11 класс, 52 урок, ЭллипсСкачать

Сборник задач по линейной алгебре и аналитической геометрии Учебное пособие (стр. 8 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8 9

15.25. Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет , фокус F(3,0) и уравнение соответствующей директрисы х+у-1=0.

15.26. Найти точки пересечения прямой х+2у-7=0 и эллипса х2+4у2=25.

15.27. Найти точки пересечения прямой 3х+10у-25=0 и эллипса .

15.28. Найти точки пересечения прямой 3х-4у-40=0 и эллипса .

15.29. Определить, при каких значениях m прямая у = — х + m 1)пересекает эллипс , 2)касается его, 3)проходит вне этого эллипса.

15.30. Составить уравнение касательной к эллипсу параллельной прямой 3х+2у+7=0.

16.1. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что ее полуоси =6, b=18 (буквой обозначаем полуось гиперболы, расположенную на оси абсцисс).

16.2. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, если расстояние между фокусами 2с=10 и эксцентриситет .

16.3. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, если уравнения асимптот у = и расстояние между вершинами равно 48.

16.4. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если расстояние между директрисами равно и эксцентриситет .

16.5. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, если расстояние между директрисами равно и уравнения асимптот у = .

16.6. Дана гипербола 16х2-9у2 = -144. Найти 1)полуоси и b, 2)фокусы, 3)эксцентриситет, 4)уравнения асимптот, 5) уравнения директрис.

16.7. Вычислить площадь треугольника, образованного асимптотами гиперболы и прямой 9х+2у-24=0.

16.8. Дана гипербола определить фокальные радиусы точки М1.

16.9. Эксцентриситет гиперболы , фокальный радиус ее точки М, проведенный из некоторого фокуса, равен 16. Вычислить расстояние от точки М до односторонней с этим фокусом директрисы.

16.10.Эксцентриситет гиперболы , расстояние от точки М гиперболы до директрисы равно 4. Вычислить расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой директрисой.

16.11. Эксцентриситет гиперболы , центр ее лежит в начале координат, один из фокусов F(12,0). Вычислить расстояние от точки М, гиперболы с абсциссой, равной 13, до директрисы, соответствующей заданному фокусу.

16.12. Эксцентриситет гиперболы , центр ее лежит в начале координат, одна из директрис дана уравнением х = -8. Вычислить расстояние от точки М1 гиперболы с абсциссой, равной 10, до фокуса, соответствующего заданной директрисе.

16.13. Определить точки гиперболы , расстояние которых до правого фокуса равно 4,5.

16.14. Определить точки гиперболы , расстояние которых до левого фокуса равно 7.

16.15. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны точки М1(6,-1) и М2() гиперболы.

16.16. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси ординат симметрично относительно начала координат, если даны точка гиперболы и эксцентриситет .

16.17. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если даны точка М гиперболы и уравнения асимптот у = .

16.18. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, если даны точка М1 гиперболы и уравнения директрис х = .

16.19. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если даны уравнения асимптот у = уравнения директрис х = .

16.20. Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса . Составить уравнения гиперболы, если ее эксцентриситет .

16.21. Составить уравнения гиперболы, фокусы которой лежат в вершинах эллипса , а директрисы проходят через фокусы этого эллипса.

16.22. Найти центр, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис гиперболы 16х2-9у2-64х-54у-161=0.

16.23. Найти центр, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис гиперболы 9х2-16у2+90х+32у-367=0.

16.24. Составить уравнения гиперболы, зная, что расстояние между ее вершинами равно 24 и фокусы F1(-10,2) и F2(16,2).

16.25. Составить уравнение гиперболы, зная, что фокусы F1(3,4) и F2(-3,-4) и расстояние между директрисами равно 3,6.

16.26. Составить уравнение гиперболы, если угол между асимптотами равен 90˚ и фокусы F1(4,-4) и F2(-2,2).

16.27. Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет , фокус F(5,0) и уравнение соответствующей директрисы 5х-16=0.

16.28. Найти точки пересечения прямой 2х-у-10=0 и гиперболы .

16.29. Найти точки пересечения прямой 4х-3у-16=0 и гиперболы .

17.1. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что парабола расположена симметрично относительно оси ОХ и проходит через точку А(9,6).

17.2. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, если парабола расположена симметрично оси ОХ и проходит через точку В(-1,3).

17.3. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, если парабола расположена симметрично относительно оси ОУ и проходит через точку С(1,1).

17.4. Составить уравнения параболы, вершина которой находится в начале координат, если парабола расположена симметрично относительно оси ОУ и проходит через точку D(4,-8).

17.5. Найти фокус F и уравнение директрисы параболы у2=24х.

17.6. Вычислить фокальный радиус точки М параболы у2=20х, если абсцисса точки М равна 7.

17.7. Вычислить фокальный радиус точки М параболы у2=12х, если ордината точки М равна 6.

17.8. На параболе у2=16х найти точки, фокальный радиус которых равен 13.

17.9. Составить уравнение параболы, если дан фокус F(-7,0) и уравнение директрисы х-7=0.

17.10. Найти вершину параболы и ее параметр у2=4-6х.

17.11. Найти вершину и параметр параболы х=-у2+2у-1.

17.12. Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(7,2) и директриса х-5=0.

17.13.Составить уравнение параболы, если ее фокус F(4,3) и директриса у+1=0.

17.14. Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(2,-1) и директриса х-у-1=0.

17.15. Даны вершина параболы А(6,-3) и уравнение ее директрисы

3х-5у+1=0. Найти фокус F этой параболы.

17.16. Даны вершина параболы (-2,-1) и уравнение ее директрисы х+2у-1=0. Составить уравнение этой параболы.

17.17. Определить точки пересечения прямой х+у-3=0 и параболы х2=4у.

17.18. Определить точки пересечения прямой 3х+4у-12=0 и параболы у2=-9х.

17.19. Определить точки пересечения прямой 3х-2у+6=0 и параболы у2=6х.

17.20. Определить при каких значениях углового коэффициента kпрямая

у = kх+2 а)пересекает параболу у2=4х, б)касается ее, в)проходит вне этой параболы.

17.21. Составить уравнение прямой, которая касается параболы у2=8х и параллельна прямой 2х+2у-3=0.

Видео:213. Фокус и директриса параболы.Скачать

Эллипс

Видео:Написать каноническое уравнение эллипса, если известны b и cСкачать

Определение эллипса.

Напомним, что мы назвали эллипсом линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
frac<x^><a^>+frac<y^><b^>=1label
$$
при условии (a geq b > 0).

Из уравнения eqref следует, что для всех точек эллипса (|x| leq a) и (|y| leq b). Значит, эллипс лежит в прямоугольнике со сторонами (2a) и (2b).

Точки пересечения эллипса с осями канонической системы координат, имеющие координаты ((a, 0)), ((-a, 0)), ((0, b)) и ((0, -b)), называются вершинами эллипса. Числа (a) и (b) называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Рис. 8.1. Эллипс

В каноническое уравнение входят только квадраты координат. Поэтому, если координаты ((x, y)) какой-либо точки /(M) ему удовлетворяют, то ему удовлетворяют и координаты ((-x, y)), ((x, -y)) и ((-x, -y)) точек (M_), (M_) и (M_) (рис. 8.1). Следовательно, справедливо следующее утверждение.

Оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипса, а начало канонической системы — его центром симметрии.

Внешний вид эллипса проще всего описать сравнением с окружностью радиуса (a) с центром в центре эллипса: (x^+y^=a^). При каждом (x) таком, что (|x| Рис. 8.2. Сжатие окружности к эллипсу. Ординаты всех точек уменьшаются в отношении (b/a).

Видео:Видеоурок "Гипербола"Скачать

Фокусы, эксценриситет и директрисы эллипса.

У эллипса есть две замечательные точки, которые называются его фокусами.

Фокусами называются точки (F_) и (F_) с координатами ((c, 0)) и ((-c, 0)) в канонической системе координат (рис. 8.3).

Рис. 8.3. Фокусы эллипса.

Для окружности (c=0), и оба фокуса совпадают с центром. Ниже мы будем предполагать, что эллипс не является окружностью.

Отметим, что (varepsilon Утверждение 2.

Расстояние от произвольной точки (M(x, y)), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов (рис. 8.3) является линейной функцией от ее абсциссы (x):
$$
r_=|F_M|=a-varepsilon x, r_=|F_M|=a+varepsilon x.label
$$

Очевидно, что (r_^=(x-c)^+y^). Подставим сюда выражение для (y^), найденное из уравнения эллипса. Мы получим
$$
r_^=x^-2cx+c^+b^-frac<b^x^><a^>.nonumber
$$

Учитывая равенство eqref, это можно преобразовать к виду
$$
r_^=a^-2cx+frac<c^x^><a^>=(a-varepsilon x)^.nonumber
$$
Так как (x leq a) и (varepsilon Утверждение 3.

Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса (2a).

Необходимость. Если мы сложим равенства eqref почленно, то увидим, что
$$
r_+r_=2a.label
$$
Достаточность. Пусть для точки (M(x, y)) выполнено условие eqref, то есть
$$
sqrt<(x-c)^+y^>=2a-sqrt<(x+c)^+y^>.nonumber
$$
Возведем обе части равенства в квадрат и приведем подобные члены:
$$
xc+a^=asqrt<(x+c)^+y^>.label
$$
Это равенство также возведем в квадрат и приведем подобные члены, используя соотношение eqref. Мы придем к (b^x^+a^y^=a^b^), равносильному уравнению эллипса eqref.

Рис. 8.4. Фокусы и директрисы эллипса.

Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету эллипса (varepsilon).

Видео:Уравнение эллипса. Нахождение вершин и фокусовСкачать

Уравнение касательной к эллипсу.

Выведем уравнение касательной к эллипсу, заданному каноническим уравнением. Пусть (M_(x_, y_)) — точка на эллипсе и (y_ neq 0). Через (M_) проходит график некоторой функции (y=f(x)), который целиком лежит на эллипсе. (Для (y_ > 0) это график (f_(x)=bsqrt<1-x^/a^>), для (y_ Утверждение 5.

Касательная к эллипсу в точке (M_(x_, y_)) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.

Рис. 8.5.

📽️ Видео

§29 Эксцентриситет гиперболыСкачать

Лекция 31.1. Кривые второго порядка. ЭллипсСкачать

Фокус и директриса параболы 1Скачать

Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Фокусы эллипсаСкачать

§18 Каноническое уравнение эллипсаСкачать

Эллипс (часть 8). Решение задач. Высшая математика.Скачать

§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

166. Найти каноническое уравнение эллипса.Скачать

7.2. Эллипс. Свойства эллипсаСкачать