Составить уравнение эллипса если его большая ось равна 10 а расстояние между фокусами 8

Видео:ЭллипсСкачать

Примеры. 1. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и большая ось равна 10.

1. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и большая ось равна 10.

Решение. Из условия задачи 2с=8, 2а=10, следовательно:

с=4, а=5, b 2 =a 2 -c 2 =25-16=9 и уравнение эллипса:

2. Определить фокусы и эксцентриситет эллипса:

Решение. Из уравнения эллипса находим оси эллипса: а=5, b=13. Так как b>a, эллипс вытянут вдоль оси Y. И фокусы расположены на оси Y. Фокусное расстояние с связано с осями эллипса соотношениями: b 2 =a 2 -c 2 для эллипса, вытянутого вдоль оси Х, и а 2 =b 2 —c 2 для эллипса, вытянутого вдоль оси Y. Отсюда с 2 =b 2 -a 2 =169-25=144, то есть

и координаты фокусов; F₁(0,-12), F₂(0,12).

3. Выберите произвольную точку на эллипсе и укажите симметричные ей точки относительно осей и начала координат. Принадлежат ли они эллипсу?

Решение. Пусть (х_0, у₀) — точка, лежащая на эллипсе. Симметричная ей точка относительно оси Y (-х_0, у₀), относительно оси Х (х₀, -у₀), относительно начала координат (-х_0, -у₀). Они тоже лежат на эллипсе, так как в уравнении эллипса содержатся только квадраты координат, а координаты симметричных точек отличаются только знаком. Чтобы подобрать координаты конкретной точки, лежащей на эллипсе, надо взять любое значение х

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Задача 32501 Составить уравнение эллипса, зная.

Условие

Составить уравнение эллипса, зная, что:
а) его большая полуось равна 10 и фокусы суть F1(-6;0), F2(10;0)
б) а=5, F1(-3;5), F2(3;5)
2.
Составить каноническое уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Ох, симметрично относительно начала координат, если:
а)задана точка M1(2 корня из 3;1) эллипса и его малая полуось равна 2
б) заданы две точки эллипса M1(0;7) и M2(8;0)
в)расстояние между фокусами равно 24 и большая ось равна 26
г) экцентриситет равен 7/25 и заданы фокусы (+-7;0)

Все решения

M- середина F_(1)F_(2)
x_(M)=(-6+10)/2=2
y_(M)=0
M(2;0)
Прямая x=2 -оcь симметрии эллипса

О т в е т.(x-2)^2/(10^2)+(y^2/6^2)=1

б) F_(1)(-3;5); F_(2)=(3;5)⇒
c=3
Прямая
y=5 — ось симметрии эллипса

О т в е т.(x^2/5^2)+((y-5)^2/4^2)=1

2. Если фокусы эллипса расположены на оси Ох, симметрично относительно начала координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1

а)
b=2
(x^2/a^2)+(y^2/4)=1
Подставляем координаты точки M_(1):
(12/a^2)+(1/4)=1
(12/a^2)=3/4
a^2=16
О т в е т. (x^2/4^2)+(y^2/2^2)=1

О т в е т. (x^2/8^2)+(y^2/7^2)=1

в)
2с=24 ⇒ с=12
2а=26 ⇒ а=13

b^2=a^2-с^2=13^2-12^2=169-144=25=5^2
О т в е т. (x^2/13^2)+(y^2/5^2)=1

г)
F( ± c;0) ⇒ c=7
ε=с/а
c/a=7/25
a=25
b^2=a^2-c^2=625-49=576=24^2
О т в е т. (x^2/25^2)+(y^2/24^2)=1

Видео:Эллипс (часть 8). Решение задач. Высшая математика.Скачать

Составить уравнение эллипса с центром в начале координат, если большая ось эллипса равна 10, а фокусное расстояние равно 8?

Математика | 10 — 11 классы

Составить уравнение эллипса с центром в начале координат, если большая ось эллипса равна 10, а фокусное расстояние равно 8.

(пожалуйста помогите срочно надо завтра здать.

a = 10 большая полуось

b — малая полуось

b ^ 2 = a ^ 2 — c ^ 2 = 100 — 64 = 36

x ^ 2 / 100 + y ^ 2 / 36 = 1.

Видео:11 класс, 52 урок, ЭллипсСкачать

Записать уравнение окружности, проходящей через фокусы эллипса 24х2 + 25у2 = 600 и имеющей центр в точке А(0 ; 6)?

Записать уравнение окружности, проходящей через фокусы эллипса 24х2 + 25у2 = 600 и имеющей центр в точке А(0 ; 6).

Видео:§28 Эксцентриситет эллипсаСкачать

. Эллипс касается оси ординат в точке (0, 5) и пересекает ось абсцисс в точках (5, 0) и (11, 0)?

. Эллипс касается оси ординат в точке (0, 5) и пересекает ось абсцисс в точках (5, 0) и (11, 0).

Составить уравнение эллипса, если известно, что оси его параллельны осям координат.

Видео:Уравнение эллипса. Нахождение вершин и фокусовСкачать

Составить уравнение эллипса, у которого эксцентриситет равен 0, 8, а фокальные радиусы одной из его точек равны 2 и 3?

Составить уравнение эллипса, у которого эксцентриситет равен 0, 8, а фокальные радиусы одной из его точек равны 2 и 3.

Видео:165. Найти фокусы и эксцентриситет эллипса.Скачать

Составить каноническое уравнение эллипса, если известно, что расстояние между фокусом равна 6, а большая полуось — 5 единицам?

Составить каноническое уравнение эллипса, если известно, что расстояние между фокусом равна 6, а большая полуось — 5 единицам.

Видео:Эллипс. Определение. Уравнение. График. Фокусы. Главные оси. Эксцентриситет - Новиков АлександрСкачать

Построить кривую, заданную уравнением?

Построить кривую, заданную уравнением.

Найти : а) полуоси (для эллипса и гиперболы) ; б) координаты фокусов ; в) эксцентриситет (для эллипса и гиперболы) ; г) уравнения директрис.

Уравнения кривой y2(в квадрате) + 4х — 4 = 0.

Видео:10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функцииСкачать

Составить каноническое уравнение эллипса, если его большая полуось равна 12, а эксцентриситет равен 0, 8?

Составить каноническое уравнение эллипса, если его большая полуось равна 12, а эксцентриситет равен 0, 8.

Найти расстояние между фокусами эллипса.

Видео:§17 Определение эллипсаСкачать

Помогите срочно нужно завтра здать?

Помогите срочно нужно завтра здать!

Видео:Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

Найти полуоси координаты фокусов и эксцентриситет и уравнение директрис эллипса 16х ^ 2 + 25y ^ 2 — 400 = 0?

Найти полуоси координаты фокусов и эксцентриситет и уравнение директрис эллипса 16х ^ 2 + 25y ^ 2 — 400 = 0.

Видео:Фокусы эллипсаСкачать

Составить каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной ОУ , фокус которой в точке F(0 ; — 3) Составить уравнение эллипса , проходящего через точку А(4 ; 6) , фокусы кото?

Составить каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной ОУ , фокус которой в точке F(0 ; — 3) Составить уравнение эллипса , проходящего через точку А(4 ; 6) , фокусы которого совпадают с фокусами гиперболы x ^ 2 — y ^ 2 = 8.

Видео:169. Фокальные расстояния точки эллипса.Скачать

Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что его большая ось равна 10, а фокусы лежат в точках F1(10 ; 0) и F2(14 ; 0)?

Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что его большая ось равна 10, а фокусы лежат в точках F1(10 ; 0) и F2(14 ; 0).

Вы находитесь на странице вопроса Составить уравнение эллипса с центром в начале координат, если большая ось эллипса равна 10, а фокусное расстояние равно 8? из категории Математика. Уровень сложности вопроса рассчитан на учащихся 10 — 11 классов. На странице можно узнать правильный ответ, сверить его со своим вариантом и обсудить возможные версии с другими пользователями сайта посредством обратной связи. Если ответ вызывает сомнения или покажется вам неполным, для проверки найдите ответы на аналогичные вопросы по теме в этой же категории, или создайте новый вопрос, используя ключевые слова: введите вопрос в поисковую строку, нажав кнопку в верхней части страницы.

Короче, например 1) там число БОЛЬШЕ 567 на 94 , то есть 567 + 94 что равно 661 дальше нужно подсказывать.

Видео:166. Найти каноническое уравнение эллипса.Скачать

Кривые второго порядка. Эллипс: формулы и задачи

Видео:Полярные координаты. Полярное уравнение эллипса.Скачать

Понятие о кривых второго порядка

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

,

где A, B, C, D, E, F — числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

Видео:§18 Каноническое уравнение эллипсаСкачать

Эллипс, заданный каноническим уравнением

Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначены как и на рисунке ниже.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

,

где a и b (a > b) — длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат — в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат — малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид . Это уравнение окружности радиуса a , а окружность — частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy .

Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением , эллипсом.

Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия — эллипс.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось — это a = 5 , меньшая полуось — это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:

.

Точки и , обозначенные зелёным на большей оси, где

,

называются фокусами.

называется эксцентриситетом эллипса.

Отношение b/a характеризует «сплюснутость» эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

Решение. Делаем несложные умозаключения:

— если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,

— если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

Подставляем и вычисляем:

Результат — каноническое уравнение эллипса:

.

Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет .

Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

.

Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

Составляем каноническое уравнение эллипса:

Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением .

Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:

.

Получаем фокусы эллипса:

Видео:Видеоурок "Гипербола"Скачать

Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34

2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0)

3) эксцентриситет , а один из фокусов находится в точке (6; 0)

Видео:ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!Скачать

Продолжаем решать задачи на эллипс вместе

Если — произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

.

Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

,

называются директрисами эллипса (на чертеже — красные линии по краям).

Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса

,

где и — расстояния этой точки до директрис и .

Пример 7. Дан эллипс . Составить уравнение его директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. . Все данные для этого есть. Вычисляем:

.

Получаем уравнение директрис эллипса:

Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки , а директрисами являются прямые .

Решение. Смотрим в уравнение директрис, видим, что в нём можем заменить символ эксцентриситета формулой эксцентриситета как отношение первой координаты фокуса к длине большей полуоси. Так сможем вычислить квадрат длины большей полуоси. Получаем:

.

Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:

Уравнение эллипса готово:

Пример 9. Проверить, находится ли точка на эллипсе . Если находится, найти расстояние от этой точки до фокусов эллипса.

Решение. Подставляем координаты точки x и y в уравнение эллипса, на выходе должно либо получиться равенство левой части уравнения единице (точка находится на эллипсе), либо не получиться это равенство (точка не находится на эллипсе). Получаем:

.

Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.

Приступаем к нахождению расстояния. Для этого нужно вычислить: число c, определяющее первые координаты фокусов, число e — эксцентриситет и числа «эр» с подстрочными индексами 1 и 2 — искомые расстояния. Получаем:

Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.

,

так как из исходного уравнения эллипса .

Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с его фокусами, пересекают касательную к эллипсу под разными углами. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отраэения попадёт в другой. Это свойство лежит в основе аккустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.

🔍 Видео

Уравнение эллипсаСкачать

Лекция 14, 2021. Вывод уравнения эллипса и гиперболыСкачать