Составить уравнение диаметра эллипса проходящего через середину его хорды отсекаемой на прямой (7 видео)

Составить уравнение диаметра эллипса проходящего через середину его хорды отсекаемой на прямой

Содержание

Глава 22. Диаметры линий второго порядка
Уравнение кривой второго порядка
ДИАМЕТРЫ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ
Задачи для самостоятельного решения
💡 Видео

Видео:Составляем уравнение окружностиСкачать

Глава 22. Диаметры линий второго порядка

В курсе аналитической геометрии доказывается, что середины параллельных хорд линии второго порядка лежат на одной прямой. Эта прямая называется диаметром линии второго порядка. Диаметр, делящий пополам какую-нибудь хорду (а значит, и все параллельные ей), называется сопряженным этой хорде (и всем хордам, который ей параллельны). Все диаметры эллипса и гиперболы проходят через центр. Если эллипс задан уравнением

(1)

то его диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k , определяется уравнением

Если гипербола задана уравнением

, (2)

то ее диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k , определяется уравнением

Все диаметры параболы параллельны ее оси. Если парабола задана уравнением

то ее диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k , определяется уравнением

Если один из двух диаметров эллипса или гиперболы делит пополам хорды, параллельные другому, то второй диаметр делит пополам хорды, параллельные первому. Такие два диаметра называются взаимно сопряженными.

Если k и k ’ — угловые коэффициенты двух взаимно сопряженных диаметров эллипса (1), то

(3)

Если k и k ’ — угловые коэффициенты дух взаимно сопряженных диаметров гиперболы (2), то

(4).

Соотношения (3) и (4) называются условиями сопряженности диаметров соответственно для эллипса и для гиперболы.

Диаметр линии второго порядка, перпендикулярный к сопряженным хордам, называется главным.

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение кривой второго порядка

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Диаметры кривой. Главные оси. Асимптоты. Уравнение кривой, отнесенной к сопряженным направлениям; уравнение кривой, отнесенной к асимптотам.

Если в кривой второго порядка провести все хорды одного и того же направления, то геометрическое место середин этих хорд представит некоторую прямую, которую называют диаметром, сопряженным данным хордам. Уравнение диаметра:

где есть угловой коэффициент сопряженных хорд. Меняя , т.е. меняя направление хорд, получим бесчисленное множество диаметров; все они проходят через центр кривой. У параболы все диаметры параллельны между собой.

Направление хорд и направление сопряженного им диаметра называются сопряженными направлениями относительно данной кривой. Зависимость между двумя сопряженными направлениями следующая:

Сопряженными диаметрами называются такие два диаметра, из которых каждый делит пополам хорды, параллельные другому. У параболы сопряженных диаметров нет, так как все диаметры имеют одно и тоже направление.

Главными осями кривой называются диаметры, перпендикулярные к сопряженным хордам; их направления называются главными направлениями.

В случае прямоугольной системы координат главные направления определяются из уравнения:

где – угол между одним из главных направлений и направлением оси .

В случае косоугольной системы координат имеем:

Всякая кривая второго порядка имеет два главных направления, за исключением окружности, для которой главные направления неопределенные.

Угловой коэффициент определяется для всех диаметров параболы по формуле:

если для старших коэффициентов параболы введены обозначения:

Главная ось параболы как один из ее диаметров имеет это же направление и в случае прямоугольных координат она изображается уравнением

Второе главное направление параболы перпендикулярно к ее диаметрам, но второй главной оси у параболы нет. Если отнести кривую у двум сопряженным направлениям, т.е. выбрать за оси координат прямые, имеющие сопряженные направления относительно этой кривой, то в уравнение кривой не войдет член с произведением координат (). У параболы кроме того, исчезнет ещё один из старших членов ().

Если центральную кривую отнести к двум сопряженным диаметрам (или к главным осям), то уравнение ее примет вид:

Простейшее уравнение параболы мы получим, поместив начало координат в вершину, т.е. в точку пересечения параболы с главной осью (), выбрав главную ось за ось абсцисс (, и ) и касательную в вершине (она перпендикулярна к оси) за ось ординат:

При таком же выборе осей координат центральная кривая изобразится уравнением

Асимптоты кривой можно рассматривать как те ее диаметры, которые сами себе сопряжены. Угловые коэффициенты асимптот определяются из уравнения

Асимптоты могут быть только у центральных кривых: гипербола имеет две действительные асимптоты, эллипс – две мнимые; в случае пересекающихся прямых асимптоты совпадают с этими прямыми.

Если принять асимптоты гиперболы за оси координат, то уравнение этой гиперболы примет вид:

587. Найти два сопряженных диаметра кривой , из которых один проходит через начало координат.

Решение . Данная кривая центральная, потому что . Уравнение всякого ее диаметра будет где — угловой коэффициент сопряженного диаметра. Так как искомый диаметр проходит через начало координат, то свободный член его уравнения должен равняться нулю, т.е. откуда . Вставив это значение параметра в общее уравнение диаметра и преобразовав его, получим: . Это уравнение одного из искомых диаметров; его угловой коэффициент ; следовательно, уравнение сопряженного диаметра будет:

588. Через точку (1;-2) проведен диаметр кривой . Найти уравнение этого диаметра и диаметра ему сопряженного.

589. Дана кривая . Найти ее диаметр, параллельный оси абсцисс, и диаметр, ему сопряженный.

590. Найти два сопряженных диаметра кривой , из которых один параллелен оси ординат.

591. Дана кривая и один из ее диаметров . Найти диаметр, ему сопряженный.

592. Составить уравнение диаметра кривой , параллельного прямой .

593. Определить диаметр кривой , образующий угол в с осью абсцисс. Угол .

594. Дана кривая: . Найти геометрическое место середин ее хорд: 1) параллельных оси ; 2) параллельных оси ; 3) параллельных прямой .

595. Найти диаметр кривой , проходжящей через середину хорды, отсекаемой этой кривой на прямой .

596. Найти середину хорды, отсекаемой кривой на прямой .

597. Найти такие сопряженные диаметры кривой , которые образуют между собой угол в . Угол .

598. Найти зависимость между угловыми коэффициентами прямых, имеющих сопряженные направления относительно:

1) эллипса ; 2) гиперболы .

599. Через точку (1;-3) провести хорду эллипса , сопряженную диаметру .

600. Найти направления и длину двух сопряженных диаметров эллипса , из которых один проходит через точку (2;3).

601. Найти угол между двумя сопряженными диаметрами эллипса , из которых один образует угол в с большой осью.

602. Определить длину тех сопряженных диаметров эллипса , которые образуют между собой угол .

Указание . В этой задаче удобно воспользоваться теоремами Аполлония: и , где и – полуоси эллипса; и — сопряженные полудиаметры его; – угол между этими сопряженными диаметрами.

603. Даны размеры двух сопряженных диаметров эллипса и и угол между ними . Вычислить длину его осей.

604. Определить угол между двумя сопряженными диаметрами гиперболы , зная, что действительный из этих диаметров втрое больше действительной оси.

605. Найти уравнения двух сопряженных диаметров гиперболы , угол между которыми равняется .

606. Дана парабола: . Написать уравнение диаметра этой параболы:

1) проходящего через начало координат;

2) сопряженного хордам, параллельным оси ;

3) сопряженного хордам, параллельным оси ;

4) образующего угол с сопряженными хордами;

5) перпендикулярного к сопряженным хордам.

Во всех случаях угол

607. Найти диаметр параболы , сопряженный тем хордам, которые наклонены под углом в к оси параболы.

608. Написать уравнение диаметра параболы , сопряженного с прямой .

609. Найти главные оси кривых:

Во всех случаях угол

610. Каковы будут главные оси распавшейся центральной кривой?

611. Найти ось параболы .

Решение . Все диаметры данной параболы имеют угловой коэффициент . Ось параболы есть диаметр, сопряженный перпендикулярным хордам, т.е. хордам с угловым коэффициентом (система координат предполагается прямоугольной). Уравнение всякого диаметра этой параболы будет при мы получим уравнение оси: .

612. Найти ось симметрии и вершину каждой из следующих парабол:

Во всех случаях угол

Указание . Вершина параболы находится как точка пересечение параболы с ее осью.

613. Найти общий диаметр двух кривых:

614. Составить уравнение кривой второго порядка, проходящей через начало координат, если известны две пары сопряженных ее диаметров:

Решение . Угловые коэффициенты сопряженных диаметров удовлетворяют уравнению: . Угловые коэффициенты данных диаметров: и , , ; вставляя эти значения в указанное уравнение, получим:

Координаты центра искомой кривой мы можем определить, решая совместно уравнения двух диаметров: , . Эти координаты должны удовлетворять уравнениям: и которые данном случае перепишутся так: и ; вставим вместо : и вычисленные их значения и тогда получим: и . Кроме того, кривая проходит через начало координат; значит, , и уравнение кривой будет:

615. Две пары прямых:

служат сопряженными диаметрами кривой второго порядка. Составить уравнение этой кривой, зная, что она проходит через точку (1;1).

616. Выяснить особенности в выборе осей координат, если кривые даны следующими уравнениями:

617. Относительно некоторой прямоугольной системы координат кривая дана уравнением: . Преобразовать это уравнение, приняв за оси координат главные оси кривой.

618. Отнести к главным осям кривые, данные относительно прямоугольной системы координат уравнениями:

619. Уравнение кривой, отнесенной к двум сопряженным диаметрам, составляющим угол , имеет вид: . Найти уравнение той же кривой относительно ее главных осей.

620. Отнести к главным осям кривые:

621. Выяснить особенности в выборе осей координат, если параболы даны следующими уравнениями:

622. привести к простейшему виду уравнение параболы ; .

623. Привести к простейшему виду уравнения следующих парабол:

624. Отнести к вершине следующие центральные кривые:

Во всех случаях .

625. Найти асимптоты следующих гипербол:

626. Доказать, что все кривые, уравнения которых отличаются друг от друга только свободными членами, имеют общие асимптоты. Найти, например, асимптоты кривых при различных значениях параметра λ.

627. Доказать, что если две кривые имеют общие асимптоты, то все члены их уравнений, кроме свободных членов, имеют пропорциональные коэффициенты.

628. Составить общее уравнение для всех кривых. Имеющих прямые и своими асимптотами.

629. кривая второго порядка проходит через точку (1;-1) и имеет своими асимптотами две прямые: и . Составить уравнение этой кривой.

630. Составить уравнение кривой, касающейся прямой и имеющей прямые и своими асимптотами.

630*. Какому условию удовлетворяют коэффициенты общего уравнения гиперболы, если гипербола равносторонняя?

631. Какой вид имеет уравнение гиперболы, если одна из осей координат или обе оси параллельны асимптотам?

632. Составить уравнение гиперболы, проходящей через точки (2;1), (-1;-2) и (), при условии, что одна из ее асимптот совпадает с осью абсцисс.

633. Уравнение гиперболы, отнесенной к главным осям, имеет вид: . Преобразовать это уравнение, приняв асимптоты гиперболы за новые оси координат.

634. Отнести гиперболу к ее асимптотам.

635. Как преобразуется уравнение гиперболы , если за оси координат принять ее асимптоты? Угол .

636. Сколько членов второй степени и какие именно могут войти в уравнение: 1) эллипса4 2) гиперболы; 3) параболы?

Преобразование уравнения кривой второго порядка с помощью инвариантов.

Если одна и та же кривая второго порядка, отнесенная к двум различным произвольно выбранным системам координат с координатными углами и , изображается уравнениями:

то имеют место следующие равенства:

т.е. существуют выражения, составленные из коэффициентов уравнения кривой и соответствующего координатного угла, которые не меняют своей величины ни при каком преобразовании декартовых координат. Такие выражения называются инвариантами кривой второго порядка. Мы можем пользоваться тремя вышеприведенными инвариантами:

для упрощения уравнений кривой второго порядка, если только уравнение кривой после преобразования содержит не более трех коэффициентов.

637. Пользуясь инвариантами, отнести к главным осям кривую , зная что .

Решение . Искомое уравнение имеет следующий вид:

Для прямоугольных систем координат инварианты упрощаются, так как и , и мы будем иметь: ; . Найдем числовое значение этих инвариантов, исходя из данного уравнения:

Составим теперь выражения этих же инвариантов через коэффициенты преобразованного уравнения: . Так как инварианты не меняют своей величины при преобразовании координат, то мы можем приравнять между собой найденные для них выражения, содержащие коэффициенты первоначального и преобразованного уравнения;. Из этой системы уравнений мы определяем неизвестные коэффициенты преобразованного уравнения: ;, и искомое уравнение будет . Таким образом, пользуясь инвариантами, можно привести уравнение кривой к простейшему виду, не отыскивая ее центра, осей и не составляя формул преобразования координат.

638. Пользуясь инвариантами, привести к простейшему виду уравнения следующих кривых:

при условии, что все они отнесены к прямоугольной системе координат.

639. Пользуясь инвариантами, упростить уравнения следующих кривых:

Во всех случаях .

640. Упростить уравнения следующих кривых:

640*. Отнести к главным осям кривую , если известно, что .

641. Отнести гиперболу к ее асимптотам, пользуясь инвариантами. Угол .

Решение . Уравнение кривой, отнесенной к асимптотам, имеет вид:

Нам надо найти два неизвестных коэффициента , и новый координатный угол , т.е. угол между асимптотами. Найдем числовую величину инвариантов, пользуясь данным уравнением, при , : . Выражения этих инвариантов в новых коэффициентах будут:

Для определения трех величин , и имеем три уравнения:

Решив их, получим: , ; и ; искомое уравнение будет: . Выбираем направление осей так, чтобы гипербола была расположена в нормальном угле и вертикальном к нему угле; тогда после упрощений получим: .

642. Отнести к асимптотам гиперболы, данные относительно прямоугольной системы координат уравнениями:

643. Относительно некоторой прямоугольной системы координат кривая изображается уравнением . Составить уравнение этой же кривой относительно ее вершины.

Указание . Отнести кривую к вершине – значит принять одну из осей кривой за ось абсцисс, перенести начало координат в вершину и принять касательную в вершине за ось ординат.

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

ДИАМЕТРЫ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ

Диаметром эллипса (гиперболы) называется любая прямая, проходящая через центр эллипса (гиперболы). Диаметром параболы называется любая прямая, параллельная ее оси, а также сама ось.

Произвольная прямая пересекает коническое сечение не более чем в двух точках. Если точек пересечения две, то отрезок прямой с концами в точках пересечения называется хордой. Имеет место следующее свойство конических сечений.

Теорема 3. Середины всех параллельных хорд конического сечения лежат на его диаметре.

Это свойство очевидно, если хорды перпендикулярны оси симметрии. В этом случае середины хорд лежат на этой оси.

Рассмотрим общий случай. Семейство параллельных прямых, не параллельных осям координат, можно задать уравнениями

у = кх + Ь, где к одно и то же для всех прямых.

Уравнения эллипса и гиперболы можно объединить следующей записью:

ах 2 + Ру 2 -1 = 0, ар 0 .

Координаты концов хорд удовлетворяют системе уравнений:

ах 2 + ру 2 -1 = 0,у = кх + Ь.

Исключая у, получим уравнение, которому удовлетворяют абсциссы X] и х₂ концов хорды:

(а + Рк 2 )х 2 + ipkbx + РЬ 2 -1 = 0.

По теореме Виета имеем:

Таким образом, абсцисса середины хорды

Ординату у_с найдем, подставляя х_с в уравнение хорды у = кх + Ь:

Таким образом, середины хорд, параллельных прямой у = кх + Ь, лежат на прямой, проходящей через начало координат — центр эллип-

са (гиперболы). Ее угловой коэффициент к = •

Диаметр у = к’х называется сопряженным по отношению к диаметру у = кх, параллельному хордам данного направления.

Очевидно, свойство сопряженности диаметров взаимно, так как угловой коэффициент диаметра, сопряженного хордам направления

Следствие 1. Условие сопряженности диаметров для эллипса име-

Ь 2 ет вид кк = —- . а

Действительно, для указанных кривых справедлива формула

/7′ а ТТ кк =—. Для эллипса:

Следствие 2. Условие сопряженности диаметров для гиперболы b 2 имеет вид кк = —. а

Доказывается так же, как и выше.

Рассмотрим случай параболы. Координаты концов хорд удовлетворяют системе у 2 — 2рх = д, у = кх + Ь.

Исключая х, получим уравнение для вычисления ординат концов

Отсюда, рассуждая так же, как и выше, получим: у_х + у₂ — .

Середины хорд лежат на одной прямой, параллельной оси Ох (оси параболы).

Замечание 1. Касательные, проведенные в точках пересечения диаметра с эллипсом (гиперболой), параллельны сопряженному диаметру.

Действительно, пусть (х₀; у₀) — точка пересечения диаметра у = кх с эллипсом (гиперболой) ах 2 + (Зу 2 = 1. Уравнение касательной в точке (х₀; у₀) имеет вид ахх^ + Дху₀ -1 = 0. Ее

угловой коэффициент к’ =—-. Так как точка (х₀; у ) лежит на диа-

метре у = кх, то у₀ = кх. Поэтому к’ =—. Отсюда следует параллельность искомых прямых.

Замечание 2. В случае окружности сопряженные диаметры перпендикулярны (середины параллельных хорд окружности лежат на диаметре, перпендикулярном хордам).

Это свойство имеет место для эллипса и гиперболы, если рассматривать их диаметры, совпадающие с осями. Такие диаметры называются главными. Ось параболы является диаметром, он перпендикулярен хордам сопряженного направления.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 18. Написать уравнение прямой, содержащей хорду эл-

х У і липса—h — = 1, проходя-

щую через точку Л(-2;1) и делящуюся этой точкой пополам.

Решение. Хорда ВС сопряжена с диаметром ОА. Уравнение прямой О А: у = — ^х. Угловой коэффициент диаметра ОА равен к = — —. Если к’ — угловой

коэффициент сопряженной хорды, то кк’ = -^- . Тогда

2 ^-1 = |(х + 2), 8х-9у + 25 = 0.

Ответ: 8х-9у + 25 = 0.

Пример 19. Доказать, что в каждом эллипсе сумма квадратов длин его хорд, принадлежащих сопряженным диаметрам, есть величина постоянная.

Решение. Пусть у = кх — уравнение

х 2 у 2 диаметра АВ эллипса—ь -— = 1. Коор-

динаты точек А и В найдем как решения системы:

Ъ 2 + а 2 к 2 ’ lb 2 +а 2 к 2 ’

гг ab kab / —ab —kab

^b 2 +a 2 k 2 ylb 2 +a 2 k 2 ) ^lb 2 +a 2 k 2 у]Ь 2 +а 2 к 2 ^

_jd2 4а 2 & 2 4k 2 a 2 b 2 4a 2 Z> 2 (l + F)

Ь 2 +а 2 к 2 Ь 2 +а 2 к 2 Ь 2 +а 2 к 2

Теперь вычислим CD 2 . Пусть у = к’х — уравнение сопряженного диаметра CD. Применяя формулу (1) для данного случая, получим

4a 2 Z> 2 (l + (F) 2 )

Коэффициенты к и к’ удовлетворяют условию кк’ = —- . Отсю-а

4а 2 Ь 2 (1 + ? 2 ) 4(к 2 а 2 +Ь 4 )

Ь 2 +а 2 к 2 Ь 2 +а 2 к 2

= 4(а 2 + й 2 ) = const.

Пример 20. Найти угол между сопряженными диаметрами гиперболы, один из которых имеет угловой коэффициент к.

— уравнение гиперболы у = кх

и у = к’х — уравнения сопря

Пусть (р — угол между ди

аметрами. Тогда (р=а-а ,

Пример 21. Найти направление тех хорд параболы у 1 = 8х, которые диаметром у = 4 делятся пополам.

Решение. Из теории известно, что диаметр, сопряженный хордам, параллельным прямой у = кх + b , определяется уравнением у = —, к

где р = 4. Отсюда следует: 4 = —, к = 1. Направление указанных хорд к

определяется угловым коэффициентом к = 1.

Видео:§28 Эксцентриситет эллипсаСкачать

Задачи для самостоятельного решения

1. Составить уравнения двух взаимно сопряженных диаметров эллипса 4x 2 +9j^ 2 =1, из которых один параллелен прямой х + 2у — 5 — 0.
2. Составить уравнения двух взаимно сопряженных диаметров эллипса х 2 +3>> 2 =1, из которых один перпендикулярен прямой Зх + 2у-7 = 0.

3. Составить уравнение диаметра гиперболы — — = 1, проходя

щего через середину ее хорды, отсекаемой на прямой х — у + 3 = 0.

4. Дана гипербола ——— = 1. Составить уравнение ее хорды, ко

торая проходит через точку Л(3, -1) и делится точкой А пополам.

5. Составить уравнение диаметра параболы у 1 =12х, проходящего через середину ее хорды, отсекаемой на прямой Зх + у — 5 = 0.
6. Дана параболы у 1 = 20х . Составить уравнение ее хорды, которая проходит через точку А (2, 5) и делится точкой А пополам.