52. Более сложные примеры уравнений.
Пример 1 .
5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)
Общий знаменатель есть x 2 – 1, так как x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1). Умножим обе части этого уравнения на x 2 – 1. Получим:
или, после сокращения,
5(x + 1) – 3(x – 1) = 15
5x + 5 – 3x + 3 = 15
Рассмотрим еще уравнение:
5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x 2 – 1)
Решая, как выше, получим:
5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 или 2x = 2 и x = 1.
Посмотрим, оправдываются ли наши равенства, если заменить в каждом из рассмотренных уравнений x найденным числом.
Для первого примера получим:
Видим, что здесь нет места никаким сомнениям: мы нашли такое число для x, что требуемое равенство оправдалось.
Для второго примера получим:
5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) или 5/0 – 3/2 = 15/0
Здесь возникают сомнения: мы встречаемся здесь с делением на нуль, которое невозможно. Если в будущем нам удастся придать определенный, хотя бы и косвенный, смысл этому делению, то тогда мы можем согласиться с тем, что найденное решение x – 1 удовлетворяет нашему уравнению. До этой же поры мы должны признать, что наше уравнение вовсе не имеет решения, имеющего прямой смысл.
Подобные случаи могут иметь место тогда, когда неизвестное входит как-либо в знаменатели дробей, имеющихся в уравнении, причем некоторые из этих знаменателей, при найденном решении, обращаются в нуль.
(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)
Можно сразу видеть, что данное уравнение имеет форму пропорции: отношение числа x + 3 к числу x – 1 равно отношению числа 2x + 3 к числу 2x – 2. Пусть кто-либо, в виду такого обстоятельства, решит применить сюда для освобождения уравнения от дробей основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних). Тогда он получит:
(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)
2x 2 + 6x – 2x – 6 = 2x 2 + 3x – 2x – 3.
Здесь может возбудить опасения, что мы не справимся с этим уравнением, то обстоятельство, что в уравнение входят члены с x 2 . Однако, мы можем от обеих частей уравнения вычесть по 2x 2 — от этого уравнение не нарушится; тогда члены с x 2 уничтожатся, и мы получим:
6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3
Перенесем неизвестные члены влево, известные вправо — получим:
Вспоминая данное уравнение
(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)
мы сейчас же подметим, что найденное значение для x (x = 1) обращает в нуль знаменателей каждой дроби; от такого решения мы, пока не рассмотрели вопроса о делении на нуль, должны отказаться.
Если мы подметим еще, что применение свойства пропорции усложнило дело и что можно было бы получить более простое уравнение, умножая обе части данного на общий знаменатель, а именно на 2(x – 1) — ведь 2x – 2 = 2 (x – 1), то получим:
2(x + 3) = 2x – 3 или 2x + 6 = 2x – 3 или 6 = –3,
Это обстоятельство указывает, что данное уравнение не имеет таких, имеющих прямой смысл решений, которые не обращали бы знаменателей данного уравнения в нуль.
Решим теперь уравнение:
(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)
Умножим обе части уравнения 2(x – 1), т. е. на общий знаменатель, получим:
Найденное решение не обращает в нуль знаменатель и имеет прямой смысл:
или 11 = 11
Если бы кто-либо, вместо умножения обеих частей на 2(x – 1), воспользовался бы свойством пропорции, то получил бы:
(3x + 5)(2x – 2) = (2x + 18)(x – 1) или
6x 2 + 4x – 10 = 2x 2 + 16x – 18.
Здесь уже члены с x 2 не уничтожались бы. Перенеся все неизвестные члены в левую часть, а известные в правую, получили бы
Это уравнение мы теперь решить не сумеем. В дальнейшем мы научимся решать такие уравнения и найдем для него два решения: 1) можно взять x = 2 и 2) можно взять x = 1. Легко проверить оба решения:
1) 2 2 – 3 · 2 = –2 и 2) 1 2 – 3 · 1 = –2
Если мы вспомним начальное уравнение
(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),
то увидим, что теперь мы получим оба его решения: 1) x = 2 есть то решение, которое имеет прямой смысл и не обращает знаменателя в нуль, 2) x = 1 есть то решение, которое обращает знаменателя в нуль и не имеет прямого смысла.
Найдем общего знаменателя дробей, входящих в это уравнение, для чего разложим на множители каждого из знаменателей:
1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),
2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),
3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).
Общий знаменатель равен (x – 3)(x – 2)(x + 1).
Умножим обе части данного уравнения (а его мы теперь можем переписать в виде:
на общего знаменателя (x – 3) (x – 2) (x + 1). Тогда, после сокращения каждой дроби получим:
3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) или
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.
Это решение имеет прямой смысл: оно не обращает в нуль ни одного из знаменателей.
Если бы мы взяли уравнение:
то, поступая совершенно так же, как выше, получили бы
3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2
3x + 3 – 2x + 6 = x – 2
3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,
откуда получили бы
что невозможно. Это обстоятельство показывает, что нельзя найти для последнего уравнения решения, имеющего прямой смысл.
Видео:Сложные уравнения со скобками. Как решать уравнения в несколько действий в 5 классе.Скачать
Решение сложных уравнений. 3 класс.
Овладение детьми способом решения уравнений в начальной школе создает прочную основу для дальнейшего обучения алгебры, химии, физики и других предметов.
Начиная с 3-го класса, ученикам встречаются сложные уравнения, но справиться с ними очень просто.
Дети уже умеют решать простые уравнения, читай об этом здесь.
А эта статья будет посвящена решению сложных уравнений в 2-3 действия.
Очень часто родители, желая помочь, объясняют так: вот смотри, сейчас вот это число перенести в другую часть от знака равенства, надо поменять знак на противоположный: было умножение, меняем на деление; было сложение меняем на вычитание.
В начальной школе это объяснение не срабатывает, т.к. ребенок не знаком с законами алгебры.
Как сложное уравнение привести к тому, которые мы уже умеем решать, а именно к уравнению в 1 действие?
Рассмотрим уравнение в 2 действия:
х + 56 = 98 — 2 — оно достаточно легкое.
Здесь особого труда не будет в решении, потому что ребенок сразу догадается, что сначала надо 98-2.
х + 56 = 98 — 2
х + 56 = 96 – это простое уравнение. А его решаем очень быстро!
Сейчас мы рассмотрим уравнение:
Такое уравнение можно решить несколькими способами.
- У нас здесь неизвестное число х. Мы не знаем, что спрятано за этим числом.
А когда к х + 5 – это число тоже известно.
Закроем его и пусть это будет другое число, например b .
Мы видим, что у нас получилось самое простое уравнение в 1 действие.
2 • b = 30
А чтобы найти а, нам нужно 30 : на 2.
А b не что иное, как х + 5.
х + 5 = 30 : 2
х + 5 = 15
х = 15 – 5
х = 10
Проверку делаем как обычно: переписываем первое уравнение: 2 • (10 + 5) = 30.
30 – переписываем, а левую часть считаем — будет 30.
30 = 30, значит, уравнение решили правильно.
При решении таких сложных уравнений самое главное – понять, что заменить на другое неизвестное число. Когда в уравнении всего 2 действия – это очень просто.
- Более удобно и понятно, как показывает практика, если использовать решение сложных уравнений на основе зависимости между компонентами действий.
Наше уравнение 2 • (х + 5) = 30 читаем так: число 2 умножить на сумму х и пяти, получится 30. В данном случае – нам неизвестна сумма, чтобы ее найти, надо 30:2.
48 : (16 – а) = 4.
Если опять заменять часть уравнения другим неизвестным числом, можно запутаться. Поэтому легче использовать взаимосвязи компонентов и результата действия: число 48 разделить на разность.
Нам неизвестна разность, поэтому сначала нужно узнать чему она равна. Надо 48 : 4.
16 — а = 48 : 4
16 — а = 12 – это простое уравнение.
а = 16 — 12
а = 4
Проверка: 48 : (16 — 4) = 4
Давайте посмотрим еще одно:
Из 96 надо вычесть разность с и 16. Чтобы найти разность, надо 96-94.
Проверка: 96 — (16 — 14) = 94
А сейчас мы переходим к тем уравнениям, у которых не 2, а 3 действия. Как же нам поступать в этом случае? При решении таких сложных уравнения используем знания порядка выполнения действий в выражениях со скобками и без них.
Рассмотрим уравнение: 36 – (8 • у + 5) = 7
Прежде всего, нужно внимательно оценить левую часть уравнения: ту, которая с неизвестным числом. Вы должны четко себе представить какое вы будете делать действие первым, какое – вторым, какое – третьим: сначала делается умножение, потом сложение и последним – вычитание.
И вот то, которое вы будете делать третьим, с него и начнем, т.е. начинаем упрощать уравнение с последнего действия. Последнее действие – вычитание. С него и начнем: из числа 36 вычесть то, что в скобках и получим 7.
Значит, то что в скобках – вычитаемое, чтобы его найти, надо 36 — 7.
По правилам математики в данной записи скобки – не ставим.
8 • у + 5 = 29 – уравнение сложное. Нужно его упростить. Данное уравнение читаем так: к произведению 8 и у прибавили 5 и получилось 29. Нам неизвестно произведение, чтобы его найти, надо 29-5.
8 • у = 24 – это уравнение простое.
Проверка: 36 — (8 • у + 5) = 7 . Правую часть – 7 — переписываем, а левую считаем.
Итак: 7 = 7. Значит, уравнение решили правильно.
(36 + d) : 4 + 8 = 18. Определяем порядок действий: первое – сложение в скобках, второе – деление, третье сложение вне скобок. Значит, все, что до 8 – это первое слагаемое, чтобы его найти, надо 18 — 8
(36 + d) : 4 = 18 — 8
(36 + d) : 4 = 10 – уравнение сложное, теперь последнее действие — :, значит
36 + d = 40 – уравнение простое и его мы решаем легко!
Для удобства и быстроты решения сложных уравнений можете пользоваться данной памяткой
Дело в том, что при кажущейся сложности, если внимательно изучить все приемы, которые я вам сегодня показала, эти уравнения дети будете щелкать как семечки. Обязательно напишите в комментариях, какой способ вам более удобен.
Насколько публикация полезна?
Нажмите на звезду, чтобы оценить!
Средняя оценка 5 / 5. Количество оценок: 58
Видео:Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать
Сложные уравнения 4 класс с ответами
Решить уравнение – значит найти значение неизвестного числа (х, у), при котором равенство будет верным.
Простые уравнения состоят из одного действия.
Сложные уравнения содержат в себе несколько арифметических действий.
Как решать простые уравнения мы подробно рассмотрели в статье «от простого к сложному 2-4 класс»
Сложные уравнения решают, следуя алгоритму:
- Упростить уравнение: найти значение той части, выражения, которое можно решить, привести к ответу
- Перенести неизвестное (х) в одну сторону, цифры в другую, на основе знания нахождения компонентов действий.
- Проверить (пересчитать) правую и левую часть, они должны быть равны. Перепроверять ребята не любят, это и бывает ошибкой на контрольной или самостоятельной работе.
Приведем примеры сложных уравнений с решениями и ответами:
1) Реши уравнения: (Х + 127) х 12 = 8460 (169 х с) : 35 = 845
Ответ: (Х + 127) х 12 = 8460 (169 х с) : 35 = 845
Х + 127 = 8460:12 169 * с = 845*35
Х + 127 = 705 169 *с = 29575
Х = 705 – 127 С = 29575:169
2) Реши уравнения: 3074 + а : 8 = 3524 Х : 8 – 895 = 779
Ответ: 3074 + а : 8 = 3524 Х : 8 – 895 = 779
а : 8 = 3524-3074 х : 8 = 779 +895
а : 8 = 450 х : 8 = 1674
а = 3600 х = 13392
3) Реши уравнения: с * 215 – 4933 = 63222 (а + 532) * 306 = 290700
Ответ: с * 215 – 4933 = 63222 (а + 532) * 306 = 290700
с * 215 = 63222+4933 а + 532 = 290700 : 306
с * 215 = 68155 а + 532 = 950
4) Реши уравнения: 5890 – а : 4 = 5290 6834 – (Х :245) = 6816
Ответ: 5890 – а : 4 = 5290 6834 – (Х :245) = 6816
5890 – 5290 = а : 4 6834 – 6816 = х : 245
600 = а : 4 18 = х : 245
а = 2400 х = 4410
5) Реши уравнения: 8345 + Х : 716 = 8271 Х : 158 + 106 = 315
Ответ: 8345 + Х : 716 = 8271 Х : 158 + 106 = 315
Х:716 = 8345 – 8271 х : 158 = 315 — 106
X:716 = 74 х: 158 = 209
Х = 716*74 х = 209*158
Х = 52984 х = 33022
6) Реши уравнения: 75 х Х + 8569 = 17869 7 х (5115 – с) = 9156
Ответ: 75 х Х + 8569 = 17869 7 х (5115 – с) = 9156
75 х Х = 17869-8569 5115 – с = 9156 : 7
75 х Х = 9300 5115 – с = 1308
Х = 9300:75 с = 5115 — 1308
7) Реши уравнения: 480 – х : 325 = 396 х : 94 + 36 = 54
Ответ: 480 – х : 325 = 396 х : 94 + 36 = 54
х : 325 = 480-396 х : 94 = 54-36
х : 325 = 84 х : 94 = 18
х = 27300 х = 1692
8) Реши уравнение: y + (127 – 127) = 72782 : 241 х : (160 : 8) = 0
Ответ: y + (127 – 127) = 72782 : 241 х : (160 : 8) = 0
у + 0 = 302 х : 20 = 0
у = 302-0 х = 20 * 0
9) Запиши предложение уравнением и реши его: число 30 увеличили на произведение числа 8 и неизвестного числа и получили 78.
10) Запиши предложение уравнением и реши его: Разность неизвестного числа и 15 уменьшили в 2 раза и получили 20.
Решать с ребенком необходимо до автоматизма, до тех пор пока он не усвоит алгоритм решения сложных уравнений и не сделает это самостоятельно.
💡 Видео
Сложные уравнения. Как решить сложное уравнение?Скачать
Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать
Уравнения. 5 классСкачать
Решение уравнений - математика 6 классСкачать
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ |ПОДРОБНОЕ ОБЪЯСНЕНИЕ КАК РЕШИТЬ УРАВНЕНИЯ / ПРОСТЫЕ УРАВНЕНИЯ 2 КЛАСС МАТЕМАТИКАСкачать
Уравнения со скобками - 5 класс (примеры)Скачать
Составление уравнений химических реакций. 1 часть. 8 класс.Скачать
Как решить сложные уравненияСкачать
УРАВНЕНИЕ 4 КЛАСС МАТЕМАТИКА УЧИМСЯ РЕШАТЬ УРАВНЕНИЯ МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШАЕМ УРАВНЕНИЯ #уравнениеСкачать
Уравнение. 5 класс.Скачать
Химические уравнения // Как Составлять Уравнения Реакций // Химия 9 классСкачать
Решение сложных уравнений 4-5 класс.Скачать
Уравнение. Практическая часть - решение задачи. 1 часть. 5 класс.Скачать
Решение задач с помощью уравнений.Скачать
8 класс. Составление уравнений химических реакций.Скачать
Решение уравнений, 6 классСкачать
Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать
Химические уравнения. СЕКРЕТНЫЙ СПОСОБ: Как составлять химические уравнения? Химия 8 классСкачать
