Составить каноническое уравнение перпендикуляра опущенного из точки на ось oz

Условие

Написать уравнение перпендикулярно, опущенный из точки А(2;-3;4) на ось Оу

Решение

М- проекция точки А на ось Оу.

Составляем уравнение прямой, проходящей через две точки:
(x-2)/(0-2)=(y+3)/(-3-(-3))=(z-4)/(-0-4)

(x-2)/(-2)=(y+3)/(0)=(z-4)/(-4) — каноническое уравнение

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

1.3.2. Аналитическая геометрия в пространстве

1. Всякая плоскость в координатном пространстве OXYZ имеет векторное уравнение следующего вида: r ¦ п = p. Здесь

r = xi + yj + zk — радиус-вектор текущей точки плоскости

M(x, у, z); п = i cosa + j cos b + k cosg — единичный вектор, имеющий направление перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат, a, b, g — углы, образованные этим перпендикуляром с осями координат OX, OY, OZ, и р — длина этого перпендикуляра.

При переходе к координатам это уравнение принимает вид xcos a + ycos b + zcos g — p = 0 (нормальное уравнение плоскости).

2. Уравнение всякой плоскости может быть записано также в виде Ах + Ву +Cz + D = 0 (общее уравнение). Здесь А, B, C можно рассматривать как координаты некоторого вектора

N = Ai + Bj + Ck, перпендикулярного к плоскости. Для приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду все члены уравнения надо умножить на нормирующий множитель

где знак перед радикалом противоположен знаку свободного члена D в общем уравнении плоскости.

3. Частные случаи расположения плоскости, определяемой уравнением Ах + Ву +Cz + D = 0:

А = 0; плоскость параллельна оси ОХ;

В = 0; плоскость параллельна оси О^

C = 0; плоскость параллельна оси ОZ;

D = 0; плоскость проходит через начало координат;

А = В = 0; плоскость перпендикулярна оси ОZ (параллельна плоскости ХОY);

А = C = 0; плоскость перпендикулярна оси ОY (параллельна плоскости ХОZ);

В = C = 0; плоскость перпендикулярна оси ОХ (параллельна плоскости YОZ);

А = D = 0; плоскость проходит через ось ОХ;

В = D = 0; плоскость проходит через ось OY;

C = D = 0; плоскость проходит через ось OZ;

А = В = D = 0; плоскость совпадает с плоскостью XOY (z = 0);

А = C = D = 0; плоскость совпадает с плоскостью XOZ (у = 0);

B = C = D = 0; плоскость совпадает с плоскостью YOZ (х = 0).

Если в общем уравнении Ах + By +Cz + D = 0 коэффициент D ф 0, то, разделив все члены уравнения на — D, можно уравнение

плоскости привести к виду^ здесь

. Это уравнение плоскости называется уравнением в отрезках: в нем а — абсцисса точки пересечения плоскости с осью OX, b и с — соответственно ордината и аппликата точек пересечения плоскости с осями OY и OZ.

4. Угол j между плоскостями А1х + В1У + Qz + D1 = 0 и А2х + В2У +C2z + D2 = 0 определяется по формуле

Условие параллельности плоскостей:

Условие перпендикулярности плоскостей:

5. Расстояние от точки М0(х0; у0; z0) до плоскости, определяемой уравнениемНаходится по формуле

Оно равно взятому по абсолютной величине результату подстановки координат точки в нормальное уравнение плоскости; знак результата этой подстановки характеризует взаимное расположение точки M0 и начала координат относительно данной плоскости: этот знак положителен, если точка M0 и начало координат расположены по разные стороны от плоскости, и отрицателен, если они расположены по одну сторону от плоскости.

6. Уравнение плоскости, проходящей через точку М0(х0; у0; z0)

и перпендикулярной к вектору N = Ai + Bj + Ck, имеет вид А(х — х0) + B(y — у0) + C(z — z0) = 0. При произвольных А, В и C последнее уравнение определяет некоторую плоскость, принадлежащую к связке плоскостей, проходящих через точку М0. Его часто поэтому называют уравнением связки плоскостей.

7. Уравнение А1х + B1y +C1z + D1 + А(А2х + B^y +C2z + D2) = 0 при произвольном I определяет некоторую плоскость, проходящую через прямую, по которой пересекаются плоскости, определяемые уравнениями

некоторую плоскость, принадлежащую пучку плоскостей, проходящих через эту прямую (в силу чего такое уравнение часто называют уравнением пучка плоскостей). Если плоскости, определяемые уравнениями I и II, параллельны, то пучок плоскостей превращается в совокупность плоскостей, параллельных этим плоскостям.

8. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M1(r 1Х M1(Jj), M3(r 3) (Л = x1i + yd + z1k; r2 = x2i + У2 j + z2k; r3 = x3i + y3 j + z3 к), проще всего найти из условия компланарности векторов r — T1, r2 — rl, r3 — rl, где r = xi + yj+zk — радиус-вектор текущей точки искомой плоскости M:

или в координатной форме:

Пример 1.21. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей x + у + 5z — 1 = 0, 2x + 3у — z + 2 = 0 и через точку М(3, 2, 1).

Решение. Воспользуемся уравнением пучка плоскостей

Значение I определяем из условия, что координаты точки М должны удовлетворять этому уравнению:

Получаем искомое уравнение в виде:

или, умножая на 13 и приводя подобные члены, в виде:

Пример 1.22. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей x + 3у + 5z — 4 = 0 и X — у — 2z + 7 = 0 и параллельной оси оу.

Решение. Воспользуемся уравнением пучка x + 3у + 5z — 4 + + l(x — у — 2z + 7) = 0, преобразуем уравнение к виду (1 + Х)х + (3 -1)у + (5 — 2l)z + (71 — 4) = 0.

Так как искомая плоскость параллельна оси ординат, то коэффициент при у должен равняться нулю, т. е. 3 — l = 0, I = 3. Подставив значение I в уравнение пучка, получаем

Пример 1.23. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М (2; -1; 4) и N(3; 2; -1) перпендикулярно к плоскости X + у + z — 3 = 0.

Решение. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через первую из данных точек:

Условие прохождения этой плоскости через вторую точку и условие перпендикулярности определяются равенствами:

Исключая коэффициенты А, В и C из системы уравнений

получаем искомое уравнение в виде:

Пример 1.24. Из точки P(2; 3; -5) на координатные плоскости опущены перпендикуляры. Найти уравнение плоскости, проходящей через их основания.

Решение. Основаниями перпендикуляров, опущенных на координатные плоскости, будут следующие точки М1(2; 3; 0), М2(2; 0; -5), М3(0; 3; -5). Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки М1, М2, М3, для чего воспользуемся уравнением

Пример 1.25. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (2; 3; 5) и перпендикулярной к вектору

Решение. Достаточно воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данному вектору:

1. Прямая может быть задана уравнениями 2-х плоскостей

пересекающихся по этой прямой.

2. Исключив поочередно х и у из предыдущих уравнений, получим уравнения х = аz + с, у = bz + d. Здесь прямая определена двумя плоскостями, проектирующими ее на плоскости хoz и yoz.

3. Если даны две точки M(x1, у1, z1) и N(x2, у2, z2), то уравнения прямой, проходящей через них, будут иметь вид:

4. Так называемые канонические уравнения

определяют прямую, проходящую через точку M(x1, у1, z1)

и параллельную вектору S = li + mj + nk. В частности, эти уравнения могут быть записаны в виде:

где a, b и g — углы, образованные прямой с осями координат.

5. От канонических уравнений прямой, вводя параметр t, нетрудно перейти к параметрическим уравнениям прямой:

6. Угол между двумя прямыми, заданными их каноническими

деляется по формуле

перпендикулярности двух прямых:

условие параллельности двух прямых:

7. Необходимое и достаточное условие расположения двух прямых, заданных их каноническими уравнениями, в одной плоскости (условие компланарности двух прямых):

Если величины /1, т, П1 непропорциональны величинам /2, m2, «2, то указанное соотношение является необходимым и достаточным условием пересечения двух прямых в пространстве.

условие параллельности прямой и плоскости: условие перпендикулярности прямой и плоскости:

Определяется по формуле

9. Для определения точки пересечения прямой

С плоскостью Ах + Ву + Cz + D = 0 нужно решить совместно их уравнения, для чего следует воспользоваться параметрическими уравнениями прямой x = /t + X0, у = mt + у0, z = nt + z0:

а) если А/ + Вт + Cn ф 0, то прямая пересекает плоскость в одной точке;

б) если А/ + Вт + Cn = 0 и Ах0 + Ву0 + Cz0 + D ф 0, то прямая параллельна плоскости;

в) если А/ + Вт + Cn = 0 и Ах0 + Ву0 + Cz0 + D = 0, то прямая лежит в плоскости.

Пример 1.26. Привести к каноническому виду уравнения прямой 2х — у + 3z — 1 = 0 и 5х + 4у — z — 7 = 0.

Решение. Исключив вначале у, а затем z, получим:

Если разрешим каждое из уравнений относительно х, то будем иметь:

отсюда

Второй способ: найдем вектор S = li + mj + nk, параллельный искомой прямой. Так как он должен быть перпендикулярен к нормальным векторам заданных плоскостей N1 = 2i — j + 3k и N2= 5i + 4 j — k, то за него можно принять векторное произведение векторов N1 и N2.

Таким образом, l = -11; m = 17; n = 13.

За точку M1(x1, у1, z1), через которую проходит искомая прямая, можно принять точку пересечения ее с любой из координатных плоскостей, например с плоскостью yoz. Т ак как при этом x1 = 0, то координаты y1 и z1 этой точки определятся из системы уравнений заданных плоскостей, если в них положить х = 0:

Решая эту систему, находим у1 = 2; z1 = 1.

Итак, искомая прямая определяется уравнениями:

Мы получили прежний ответ.

Пример 1.27. Построить прямую

Решение. Искомую прямую можно построить как линию пересечения плоскостей. Для этого напишем уравнения плоскостей, которыми определена прямая, в отрезках на осях:

Пример 1.28. Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую

Решение. Составим уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной заданной прямой: 2х + 3у + z = 0. (Для этой плоскости можно принять А = l; B = m; C = n; D = 0; использовано условие перпендикулярности прямой и плоскости, см. п. 8 введения к настоящему разделу).

Найдем точку пересечения этой плоскости и данной прямой. Параметрические уравнения прямой имеют вид:

Построив данные плоскости, мы получим искомую прямую как линию пересечения этих плоскостей (рис. 20).

Для определения t имеем уравнение:

Остается составить уравнения прямой, проходящей через начало координат и через точку М (см. п. 3 введения к настоящему разделу):

Пример 1.29. В уравнениях прямойОпределить

параметр n так, чтобы эта прямая пересекалась с прямой

, и найти точку их пересечения.

Решение. Для нахождения параметра n используем условие пересечения 2-х прямых:

Следовательно, уравнения пересекающихся прямых таковы: искомой:

Для вычисления координат точки пересечения этих прямых выразим из первого уравнения х и у через z: х = 2z, у = -3z. Подставляя их значения в равенствоИмеем,

отсюда z = 1. Зная z, находим х и у: х = 2z = 2, у = -3z = -3. Следовательно M(2; -3; 1).

Пример 1.30. Прямая задана каноническими уравнениями

Составить общие уравнения этой прямой.

Решение. Канонические уравнения прямой можно записать в виде системы двух независимых уравнений:

Получили общие уравнения прямой, которая теперь задана пересечением 2-х плоскостей, одна из которых 5х — 3у — 13 = 0 параллельна оси Oz, а другая х + 3z — 11 = 0 параллельна оси Oy.

Пример 1.31. Найти координаты точки M, делящей попалам отрезок прямой

заключенный между плоскостями хoz и xoy.

Решение. Найдем точку А пересечения прямой с плоскостью хoz, полагая в уравнениях прямой у = 0. Тогда получим:

отсюда x = 2,6; z = 2,8. Тогда А(2,6; 0; 2,8).

отсюда X = 11, у = 14, или В(11; 14; 0).

Определяем координаты точки М, делящей отрезок АВ пополам:

Следовательно, координаты искомой точки М будут: М(6,8; 7; 1,4).

Пример 1.32. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

Решение. Составим уравнение пучка плоскостей, проходящих через первую из данных прямых:

которое делим на а ф 0, и пусть b /а = I:

Аналогично, полагая в уравнениях прямой z = 0, найдем координаты точки В пересечения прямой с плоскостью хоу:

В этом пучке нужно выбрать плоскость, параллельную 2-й данной прямой. Из условия параллельности плоскости и прямой, имеем:

Подставляя I = 1 в уравнение пучка плоскостей, получим: Тогда искомое уравнение плоскости будет:

Пример 1.33. Дана прямая Найти ее проекцию на плоскость

Решение. Нужно найти плоскость, которая проходит через данную прямую перпендикулярно к данной плоскости; тогда искомая проекция определится как пересечение этой плоскости с данной.

Составим уравнение пучка плоскостей, проходящих через данную прямую:

Эта плоскость должна быть перпендикулярной к данной плоскости, что можно записать как:

Тогда уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и перпендикулярной данной плоскости, будет:

Проекция данной прямой на данную плоскость определяется как прямая пересечения плоскостей:

Запишем эту прямую в каноническом виде. Найдем на прямой какую-либо точку. Для этого положим, например х0 = 1, и система запишется в виде:

Отсюда, у0 = 1, z0 = 0, т. е. точка M(1; 1; 0) принадлежит искомой прямой.

Направляющий вектор прямой S = (l; m; n) найдем из того условия, что он перпендикулярен нормальным векторам

N1 = (2; -3; -2) и N2 = (5; 2; 2) плоскостей, определяющих искомую прямую.

В качестве S берем векторное произведение векторов N1 и N2 , т. е.

Тогда искомое уравнение в каноническом виде будет:

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Составить каноническое уравнение перпендикуляра, опущенного из точки A(4, 0, — 1) на прямую : x + 2 / 1 = y — 1 / 2 = z / 3?

Математика | 1 — 4 классы

Составить каноническое уравнение перпендикуляра, опущенного из точки A(4, 0, — 1) на прямую : x + 2 / 1 = y — 1 / 2 = z / 3.

Пусть заданы точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и

уравнение плоскости, проходящей через данные точки М1 и М2

и произвольную точку М(х, у, z) параллельно

Векторы и вектор должны быть

Е. () = 0 Уравнение плоскости :

Видео:10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать

Народ, пожалуйста помогите, надо на завтра?

Народ, пожалуйста помогите, надо на завтра.

Найти уравнение и длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую х — у + 15 = 0, а так же координаты основания этого перпендикуляра.

Видео:Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Написать каноническое уравнение перпендикуляра, проведенного из точки А(3 ; — 5 ; 1) на плоскость 2x — y + 5z + 3 = 0?

Написать каноническое уравнение перпендикуляра, проведенного из точки А(3 ; — 5 ; 1) на плоскость 2x — y + 5z + 3 = 0.

Видео:12. Уравнения прямой в пространстве Решение задачСкачать

Какие из следущих утверждений верны : 1)ЧЕРЕЗ ДАННУЮ ТОЧКУ К ПРЯМОЙ МОЖНО ПРОВЕСТИ НЕСКОЛЬОК ПЕРПЕНДИКУЛЯРОВ?

Какие из следущих утверждений верны : 1)ЧЕРЕЗ ДАННУЮ ТОЧКУ К ПРЯМОЙ МОЖНО ПРОВЕСТИ НЕСКОЛЬОК ПЕРПЕНДИКУЛЯРОВ.

2)РАССТОЯНИЕ ОТ ОТЧКИ ДО ПРЯМОЙ РАВНО ДЛИНЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРА, ПРОВЕДЕННОГО ОТ ЭТОЙ ТОЧКИ К ПРЯМОЙ.

3)ЧЕРЕЗ ДАННУЮ ТОЧКУ К ПРЯМОЙ МОЖНО ПРОВЕСТИ ЕДИНСТВЕННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР.

4)ДВЕ ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ ВСЕГДА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ.

Видео:3. Частные случаи общего уравнения плоскости Неполные уравнения плоскостиСкачать

Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А(6 ; 2) на прямую х — 4у — 7 = 0?

Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А(6 ; 2) на прямую х — 4у — 7 = 0.

Видео:1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать

Найти основание F перпендикуляра, опущенного из точки М ( — 3 ; 4) на прямую L : 2х — 3у — 6 = 0?

Найти основание F перпендикуляра, опущенного из точки М ( — 3 ; 4) на прямую L : 2х — 3у — 6 = 0.

Видео:Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

Всем привет помогите пожалуйста решить уравнения : — Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника А (5, — 4), В ( — 1, 3), С ( — 3, — 2)?

Всем привет помогите пожалуйста решить уравнения : — Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника А (5, — 4), В ( — 1, 3), С ( — 3, — 2).

Параллельно противоположным сторонам.

— Даны вершины треугольника А (2, — 2), В (3, — 5), и С (5, 7).

Составить уровнение перпендикуляра, опущенного из вершины С на биссектрису внутреннего угла при вершине А.

— Через точки М1 ( — 1, 2) и М2 (2, 3) проведена прямая.

Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.

Видео:Видеоурок "Общие уравнения прямой"Скачать

Составить каноническое уравнение гиперболы, зная к = 1 / 3, 2а = 64?

Составить каноническое уравнение гиперболы, зная к = 1 / 3, 2а = 64.

Видео:Видеоурок "Параметрические уравнения прямой"Скачать

Найти уравнение перпендикуляров к прямой 3x + 5y — 15 = 0, проведенных через точки пересечения данной прямой с осями координат?

Найти уравнение перпендикуляров к прямой 3x + 5y — 15 = 0, проведенных через точки пересечения данной прямой с осями координат.

Видео:11. Прямая в пространстве и ее уравненияСкачать

Проведите перпендикуляр к прямой а через точку : 1) E 2) через точку F?

Проведите перпендикуляр к прямой а через точку : 1) E 2) через точку F.

Видео:4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примерыСкачать

Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки (2 ; 3 ; — 1) на плоскость y = 5?

Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки (2 ; 3 ; — 1) на плоскость y = 5.

Перед вами страница с вопросом Составить каноническое уравнение перпендикуляра, опущенного из точки A(4, 0, — 1) на прямую : x + 2 / 1 = y — 1 / 2 = z / 3?, который относится к категории Математика. Уровень сложности соответствует учебной программе для учащихся 1 — 4 классов. Здесь вы найдете не только правильный ответ, но и сможете ознакомиться с вариантами пользователей, а также обсудить тему и выбрать подходящую версию. Если среди найденных ответов не окажется варианта, полностью раскрывающего тему, воспользуйтесь «умным поиском», который откроет все похожие ответы, или создайте собственный вопрос, нажав кнопку в верхней части страницы.

5 + х = 5 х = 5 — 5 х = 0. У + 15 = 15 у = 15 — 15 у = 0. Х — 4 = 0 х = — 4. 28 — а = 28 а = 28 + 28 а = 56.

А) x = 5 — 5 = 0 b)y = 15 — 15 = 0 c)x = 0 + 4 = 4 d)a = 28 — 28 = 0.

А) 280, 70, 350, 20 б) 4600, 14000, 800, 3200 в) 3000, 9000, 26000, 25000 г) 5000000, 32000000.

А)280, 70, 350, 20 б)4600, 14000, 800, 3200 в) 3000, 9000, 26000, 25000 г)5000000, 32000000.

Представим, что x — это сколько страниц занимает расскуз, тогда x×3 — это сколько страниц занимает повесть x + (x×3) = 68 x + 3x = 68 4x = 68 x = 68 : 4 x = 17 — рассказ 17×3 = 51 — повесть.

Т. к. Собрали всего 61 орех, а вова собрал четное число, то остальные дети в сумме собрали нечетное количество( т. К. 61 — четное число = нечетное) и т. К. они собирали только нечетное количество значит детей было нечетное число( т. К. нечетное п..

1) 33 : 3 = 11 (кусков) картона разрезали 2) 17 — 11 = 6 (кусков) картона Ответ : 6 кусков картона осталось неразрезанными.

1)1000 : 100 = 10 2)904 3)450 : 10 = 45 4)1000 : 10 = 100 5)200 — 100 = 100.

1) 7(х + у) / 21 = х + у / 3 2)4(2m — n) / 4m = 2m — n / m 3)3(3a + 4b) / 3 = 3a + 4b 4)9(5c + 2d) / 27d = 5c + 2d / 3d 5)x(5 — y) / x = 5 — y 6)2m(3n — 2) / 2m = 3n — 2.

Возможно одинакого. Если Аня поймала 4, а Вера — 1 Боря — 3, Гена — 2.

💥 Видео

Каноническое уравнение прямой в пространстве Преход от общего уравненияСкачать

Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Линейная функция. Составить уравнение прямой проходящей через точку и перпендикулярно прямой.Скачать

Видеоурок "Гипербола"Скачать

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать