Пусть дано уравнение однопараметрического семейства плоских кривых
Дифференцируя (1) по , найдем
Исключая параметр из (1) и (2), получаем дифференциальное уравнение
выражающее свойство, общее всем кривым семейства (1). Уравнение (3) будет искомым дифференциальным уравнением семейства (1).
Если однопараметрическое семейство кривых определяется уравнением
то дифференциальное уравнение этого семейства получим, исключая параметр из уравнений
Пусть теперь имеем соотношение
где — параметры. Дифференцируя (4) раз по и исключая параметры из (4) и полученных уравнений, приходим к соотношению вида
Это дифференциальное уравнение заданного n-параметрического семейства линий (4) в том смысле, что (4) есть общий интеграл уравнения (5).
Пример 1. Найти дифференциальное уравнение семейства гипербол .
Решение. Дифференцируя это уравнение по , получаем
Умножим обе части на , тогда . Подставляя в уравнение семейства найдем .
Пример 2. Найти дифференциальное уравнение семейства линий , где — параметр.
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по :
Из выражения для находим
и, подставляя это выражение для в уравнение семейства линий, получим
Пример 3. Составить дифференциальное уравнение семейства прямых, отстоящих от начала координат на расстояние, равное единице.
Решение. Будем исходить из нормального уравнения прямой
Дифференцируя (6) по , найдем , откуда , следовательно,
Подставив и в (6), получим
Видео:Составить дифференциальное уравнение семейства кривыхСкачать
2°. Задачи на траектории
Пусть дано семейство плоских кривых, зависящее от одного параметра ,
Кривая, образующая в каждой своей точке постоянный угол с проходящей через эту точку кривой семейства (7), называется изогональной траекторией этого семейства; если, в частности, , то — ортогональной траекторией .
Считая семейство (7) заданным, будем разыскивать его изогональные траектории.
А. Ортогональные траектории . Составляем дифференциальное уравнение данного семейства кривых (см. п. 1). Пусть оно имеет вид
Дифференциальное уравнение ортогональных траекторий имеет вид
Общий интеграл этого уравнения дает семейство ортогональных траекторий.
Пусть семейство плоских кривых задано уравнением в полярных координатах
получаем дифференциальное уравнение семейства ортогональных траекторий
Б. Изогональные траектории . Пусть траектории пересекают кривые данного семейства под углом , причем . Можно показать, что дифференциальное уравнение изогональных траекторий имеет вид
Пример 4. Найти ортогональные траектории семейства линий .
Решение. Семейство линий состоит из прямых, проходящих через начало координат. Для нахождения дифференциального уравнения данного семейства дифференцируем по обе части уравнения . Имеем . Исключая параметр из системы уравнений будем иметь дифференциальное уравнение семейства . Заменяя в нем на , получаем дифференциальное уравнение ортогональных траекторий , или . Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными; интегрируя его, найдем уравнение ортогональных траекторий . Ортогональными траекториями являются окружности с центром в начале координат (рис. 15).
Пример 5. Найти уравнение семейства линий, ортогональных к семейству .
Решение. Данное семейство линий представляет собой семейство окружностей, центры которых находятся на оси и которые касаются оси .
Дифференцируя по обе части уравнения данного семейства, найдем . Исключая параметр из уравнений получаем дифференциальное уравнение данного семейства . Дифференциальное уравнение ортогональных траекторий есть
Это уравнение является однородным. Интегрируя его, найдем . Интегральные кривые являются окружностями, центры которых расположены на оси и которые касаются оси (рис. 16).
Пример 6. Найти ортогональные траектории семейства парабол .
Решение. Составляем дифференциальное уравнение семейства парабол. Для этого дифференцируем обе части данного уравнения по . Исключая параметр , найдем , или дифференциальное уравнение данного семейства. Заменяя в уравнении на , получим дифференциальное уравнение ортогональных траекторий
Интегрируя, найдем или 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />. Ортогональным семейством является семейство эллипсов (рис. 17).
Пример 7. Найти ортогональные траектории семейства лемнискат .
Решение. Имеем . Исключая параметр , получим дифференциальное уравнение данного семейства кривых Заменяя на , найдем дифференциальное уравнение семейства ортогональных траекторий откуда . Интегрируя, находим уравнение ортогональных траекторий
Ортогональными траекториями семейства лемнискат являются лемнискаты, ось симметрии которых образуют с полярной осью угол (рис. 18).
Видео:Составить дифференциальные уравнения семейств линийСкачать
Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)
Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5
Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin
Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)
Список математических функций и констант :
• ln(x) — натуральный логарифм
• sh(x) — гиперболический синус
• ch(x) — гиперболический косинус
• th(x) — гиперболический тангенс
• cth(x) — гиперболический котангенс
• sch(x) — гиперболический секанс
• csch(x) — гиперболический косеканс
• arsh(x) — обратный гиперболический синус
• arch(x) — обратный гиперболический косинус
• arth(x) — обратный гиперболический тангенс
• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс
• arsch(x) — обратный гиперболический секанс
• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс
Видео:Линейное дифференциальное уравнение первого порядка (1-x^2)*y'-xy=1Скачать
Дифференциальные уравнения по-шагам
Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать
Результат
Примеры дифференциальных уравнений
- Простейшие дифференциальные ур-ния 1-порядка
- Дифференциальные ур-ния с разделяющимися переменными
- Линейные неоднородные дифференциальные ур-ния 1-го порядка
- Линейные однородные дифференциальные ур-ния 2-го порядка
- Уравнения в полных дифференциалах
- Решение дифференциального уравнения заменой
- Смена y(x) на x в уравнении
- Другие
Указанные выше примеры содержат также:
- квадратные корни sqrt(x),
кубические корни cbrt(x) - тригонометрические функции:
синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x) - показательные функции и экспоненты exp(x)
- обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс actan(x) - натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x) - гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x) - обратные гиперболические функции:
asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x) - число Пи pi
- комплексное число i
Правила ввода
Можно делать следующие операции
2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5
Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте:
📸 Видео
Решить дифф. уравнение и построить интегральные кривыеСкачать
18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать
2. Дифференциальное уравнение семейства кривыхСкачать
Огибающая семейства кривых | Дифференциальные уравненияСкачать
Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятияСкачать
Решите уравнение ★ y'-2y=e^(2x) ★ Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядкаСкачать
Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать
Дифференциальные уравнения, 3 урок, Однородные уравненияСкачать
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 способаСкачать
13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать
7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать
