Составить дифференциальное уравнение движения точки относительно подвижной системы координат (2 видео)

ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Содержание

Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки
iSopromat.ru
Дифференциальные уравнения движения материальной точки в теоретической механике
Частные случаи дифференциального уравнения движения материальной точки
Дифференциальные уравнения относительного движения точки
Пример решения задачи №1
Пример решения задачи №2
Пример решения задачи №3
💥 Видео

Видео:Динамика относительного движения точки.Скачать

Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки

В предыдущих главах исходили из основного закона классической механики (второго закона Ньютона), который справедлив для движения по отношению к инерциальным системам отсчета. Напомним, что инерциальной («неподвижной») является такая система отсчета, по отношению к которой выполняется закон инерции. Во многих случаях необходимо исследовать движение точки по отношению к неинерциальной системе отсчета, например, по отношению к какому-либо движущемуся объекту (кораблю, автомобилю и т. д.).

Пусть материальная точка М под действием системы сил F_]y F₂, . F_n движется относительно системы отсчета Oxyz, которая, в

свою очередь, движется относительно инерциальной системы отсчета («неподвижных осей») O_xx_xy_xZ-

Для решения задач динамики относительного движения материальной точки, т. е. движения материальной точки по отношению к неинерциальным, произвольно движущимся системам отсчета, необходимо найти зависимость между относительным ускорением точки а_г и действующими на нее силами.

Для абсолютного движения (по отношению к «неподвижной» системе отсчета O_xx_xy_xZ) основной закон динамики имеет вид

Из кинематики известно, что абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений: относительного а_г, переносного а_е и кориолисова а_к, т. е. а -а_г +а_е + а_к. Подставив это значение а в равенство (15.1) и оставив в левой части уравнения та_г, получим

Векторные величины Ф_е и Ф_к (численно равные произведениям та_е и та_к и направленные противоположно ускорениям а_е и а_к) называют соответственно переносной и кориолисовой силами инерции.

Тогда уравнение (15.2) примет вид

Уравнение (15.4) представляет собой основное уравнение динамики для относительного движения материальной точки. Сравнивая равенства (15.1) и (15.4), заключаем, что уравнения движения материальной точки в неинерциальной системе координат составляются аналогично уравнениям абсолютного движения, но при этом к действующим на точку силам добавляются переносная и кориолисова силы инерции. Добавление сил Ф_е и Ф_к (не являющихся физическими силами, т. е. воздействиями на точку других тел) отражает кинематику движения подвижной системы отсчета Oxyz по отношению к инерциальной («неподвижной») системе отсчета O_xx_xy_xZ-

Действительно, равенство (15.2) можно представить в виде:

В правой части этого равенства первое слагаемое выражает ускорение, которое точке сообщают действующие силы F_k, а два других слагаемых являются ускорениями, которые точка имеет вследствие движения подвижной системы отсчета. Все ускорения правой части этого равенства определяются относительно инерциальной («неподвижной») системы отсчета, а результат, т. е. а_г, будет определен по отношению к подвижной системе отсчета.

Заметим, что действующие на точку силы F_k сообщают ей ускорение, равное Z F_k/m, в любой системе координат; но по отношению к инерциальной системе отсчета это будет всей величиной ускорения точки, а по отношению к неинерциальной системе отсчета — только его частью.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Пусть подвижные оси по отношению к «неподвижным» осям движутся поступательно. В этом случае угловая скорость вращения подвижных осей Oxyz будет со = 0, отсюда Ф_к = -2т(й>х V_r ) = 0, и закон относительного движения (15.4) принимает вид:

Отметим также, что при поступательном движении подвижной системы отсчета переносные силы инерции для всех материальных точек переносного пространства будут одинаковы, т. е. не будут зависеть от положения, занимаемого точкой в подвижной системе отсчета.

2. Пусть подвижные оси перемещаются по отношению к «неподвижным» поступательно, равномерно и прямолинейно. При таком движении осей Oxyz имеем кинематические характеристики: со = 0, а х =0, а» =0. Так как со = 0, то Ф_к =0, а из второго и третьего равенств получим, что а_е = 0 и, следовательно, Ф_е =0. Тогда равенство (15.4) принимает вид

Сопоставляя равенства (15.5) и (15.1), видим, что в рассматриваемом случае дифференциальное уравнение относительного движения материальной точки совпадает с дифференциальным уравнением ее движения по отношению к неподвижным осям. Из полученного результата следует, что никаким механическим экспериментом нельзя обнаружить, находится ли данная система отсчета в покое или совершает поступательное, равномерное и прямолинейное движение по отношению к «неподвижной» системе отсчета. В этом и состоит открытый Галилеем (1638) принцип относительности классической механики.

По отношению к такой движущейся системе отсчета, как и по отношению к неподвижной, при условии Y,F_k =0 будет выполняться закон инерции. Поэтому все системы отсчета, движущиеся поступательно, равномерно и прямолинейно, а также покоящиеся, называются инерциальными. Заметим, что совпадение дифференциальных уравнений движений по отношению к «неподвижным» и подвижным осям не означает одинаковости самих движений. Ведь законы движения точки в каждой системе отсчета будут получены путем интегрирования дифференциальных уравнений. Постоянные интегрирования в уравнениях движения по отношению к разным системам отсчета будут различны, так как начальные скорости точки (являющиеся начальными условиями) по отношению к каждой системе отсчета (у которых имеется взаимное движение) будут различными.

3. Состояние относительного покоя. В этом случае по отношению к подвижным осям точка имеет такие кинематические характеристики: а_г = 0 и V_r =0 и, следовательно, Ф_к = -2m(coxV_r) =0. Тогда равенство (15.4) принимает вид

Это уравнение является уравнением относительного равновесия (покоя) точки. Заметим, что при относительном покое к точке должны быть приложены такие внешние силы, которые бы «компенсировали» переносное движение, т. е. чтобы разность ускорений Y,F_k/m-a_e была равна нулю.

Задача 15.1. Определить период малых колебаний в вертикальной плоскости математического маятника (масса материальной точки т, невесомая нерастяжимая нить маятника длиной /), точка О подвеса которого движется вверх по вертикали с ускорением w (рис. 15.1).

Решение. Рассмотрим движение материальной точки как сложное, считая движение ползуна О и связанной с ним системы отсчета Оху (движется поступательно вверх с ускорением w) переносным, а движение маятника по дуге окружности радиусом ОМ= I — относительным движением по отношению к подвижной системе отсчета Оху. Длину дуги О_хМ обозначим через 5.

Так как переносное движение является поступательным (следовательно, , то после подстановки выражений для величин уравнение (б) примет вид:

Ограничимся рассмотрением малых колебаний маятника, считая угол

Ф малым и полагая приближенно sin ф — ф. Тогда, обозначив к = (g+ w)/l, предыдущее уравнение примет вид

Это дифференциальное уравнение совпадает по виду с дифференциальным уравнением (14.2) свободных прямолинейных колебаний точки, и, пользуясь результатами, полученными при его решении, определим период качания маятника:

Задача 15.2. Горизонтальная трубка ЛВ вращается вокруг вертикальной оси Z (рис. 15.2, а) с постоянной угловой скоростью со = 2 с» 1 . Внутри трубки находится шарик М массой т — 1 кг, который к точке А прикреплен пружиной; коэффициент жесткости пружины с — 8 Н/м, длина пружины в ненапряженном состоянии / = 0,5 м. В начальный момент времени /₀ = 0 шарик находился в точке М₀ на расстоянии АМ₀ — s₀ = 1,2 м и имел скорость относительно трубки V_Q — 1,6 м/с, направленную от оси вращения. Определить закон движения шарика по трубке; в момент времени t_x — л/2 с найти силу давления шарика на стенку трубки и силу упругости пружины.

Решение. 1. Рассмотрим движение шарика М как сложное, считая его движение вдоль трубки относительным, а вращение трубки и связанной с ней подвижной системы отсчета Oxyz — переносным движением. Начало координат О подвижной системы отсчета совместим с трубкой в точке расположения незакрепленного конца недеформированной пружины (т. е. АО — /), а ось у направим вдоль трубки от оси вращения.

Рассмотрим шарик в произвольном положении М, при котором пружина растянута, а направления векторов V_r и а_г совпадают с направлением оси у (рис. 15.2, б). Hji шарик действуют сила тяжести Р, сила_упруго- сти F и реакция трубки N, которую представим составляющими N_x и N_z.

Для составления уравнения относительного движения шарика присоединим к этим силам переносную силу инерции Ф_е =-та_е и кориолисову силу

инерции Ф_к—та_к; так как вращение трубки равномерное (со = const), то а_е=а» и сила Ф_е направлена от оси вращения (эту силу называют еще центробежной силой инерции).

Уравнение относительного движения в векторной форме будет иметь вид

Чтобы получить дифференциальное уравнение движения точки М по трубке, спроецируем равенство (а) на ось Оу:

В нашем случае Ф_е — та п _е — т& 2 (1 + у); F—cy. Подставив эти выражения в уравнение (б), представим его в виде

Решение неоднородного дифференциального уравнения (в) ищем как сумму общего решения (14.3) соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, т. е. у — у + _у₂> где yj = = С, cos kt + С₂ sin kt и у₂ = D/k 2 .

Найдем еще закон изменения скорости V_r = у:

По начальным условиям при t₀ = 0 у₀ = 1,6 м/с, y_Q = s₀ — I = 0,7 м, которым должны удовлетворять функции (г) и (д), найдем С_<= 0,2 м, С₂ = = 0,8 м. Вычислим D/k 2 — 0,5 м. В результате общее решение (г) примет окончательный вид, м:

Это уравнение и определяет искомый закон относительного движения шарика по трубке, из которого видно, что это будет колебательное движение с круговой частотой к — 2 с -1 .

2. Рассмотрим воздействия на движущийся шарик в момент времени — л/2 с.

Сила упругости пружины F будет F, = су_<, где у_х = 0,2 cos л + 0,8 sin л + + 0,5 = 0,3 м. Тогда находим F, = 8 ? 0,3 = 2,4 Н.

Определим реакцию трубки. Для этого спроецируем векторное равенство (а) на оси Ох и Oz:

Кориолисова сила инерции Ф_к = та_К — т2ыу. Из равенства (д), подставив значения С, = 0,2, С₂ = 0,8 и t_x = л/2 с, определим у_х = —1,6 м/с. Тогда при t_x — л/2 с получим Ф_к = 1 • 2 • 2 • (—1,6) =^6,4 Н. Знаки величин у_х и Ф_к указывают, что реальные векторы ^ и Ф_к в момент времени = л/2 с будут противоположны показанным на рис. 15.2.

Подставив в равенства (е), (ж) значения Ф_к и P=mg, находим N_xj = —6,4 кН, N_z| = 9,81 Н. Реакция трубки при t_x = л/2 с будет

Давление шарика на трубку в момент^времени t_x будет численно равно N_x и направлено противоположно силе N_x.

Видео:Дифференциальные уравнения движения точкиСкачать

iSopromat.ru

Составление систем дифференциальных уравнений относительного движения точки массой m под действием сил.

Уравнение второго основного закона динамики для абсолютного движения точки массой m имеет вид

где a – абсолютное ускорение точки;
F_i – силы, действующие на точку, включая реакции связей.

Абсолютное ускорение точки в сложном движении определяется как геометрическая сумма трех ускорений: переносного a_пер , относительного a_отн и кориолисова a_кор, т.е.

Подставляя это выражение в (7.1), получим

Введем в рассмотрение два вектора

и назовем их переносной и кориолисовой силами инерции.

Подставим эти векторы в уравнение (7.2):

Уравнение (7.3) представляет собой основное уравнение динамики относительного движения материальной точки.

В случае равномерного и поступательного переносного движения Ф_пер= 0, Ф_кор= 0 и уравнение (7.3) ничем не отличается от уравнения (7.1). Во всех инерциальных системах отсчета уравнение движения точки записывается одинаково. В этом заключается принцип относительности классической механики.

Проецируя уравнение (7.3) на оси подвижной декартовой системы координат, получим дифференциальные уравнения относительного движения точки

Дифференциальные уравнения относительного движения отличаются от дифференциальных уравнений абсолютного движения наличием в правой части уравнений проекций на соответствующие оси переносной и кориолисовой сил инерции.

Рассмотрим частные случаи относительного движения материальной точки:

_кор

_пер

Уравнение (7.6) представляет собой уравнение относительного покоя точки.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Видео:Динамика материальной точки в НИСО. Нелинейное дифференциальное уравнение движенияСкачать

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в теоретической механике

Содержание:

Дифференциальные уравнения движения материальной точки:

Используя основной закон динамики, можно вывести дифференциальные уравнения движения материальной точки в различных системах координат. По аксиоме о связях и силах реакций связей можно получить дифференциальные уравнения движения и несвободной точки так же, как и для свободной, только ко всем приложенным к точке силам надо добавить силы реакций связей.

Силы реакций связей при движении точки могут зависеть в общем случае не только от вида наложенных на точку связей и приложенных к ней сил, но и от характера ее движения, например от ее скорости при движении в воздухе или в какой-либо другой сопротивляющейся среде. В дальнейшем не будем делать различия между свободной и несвободной материальными точками. Обозначая равнодействующую всех заданных сил и сил реакций связей

Из кинематики точки известно, что ускорение выражается через радиус-вектор (рис. 3):

Дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме имеет вид

Если спроецировать обе части уравнений (7) или (8) на координатные оси, то можно получить дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на эти оси.

В декартовой системе координат в общем случае

Проекции ускорения на координатные оси можно выразить через вторые производные по времени от координат движущейся точки:

Рис. 3

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в прямоугольной декартовой системе координат имеют вид

Видео:Динамика. Введение, дифференциальные уравнения движения точки, прямая и обратная задачи динамики.Скачать

Частные случаи дифференциального уравнения движения материальной точки

Если известно, что материальная точка движется в одной и той же плоскости, то, принимая ее за координатную плоскость , имеем

Так как , то, следовательно, . В случае движения точки по прямой линии, направив по ней координатную ось , получим одно дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки

Так как при движении , то, следовательно, . Для естественных подвижных осей координат (рис. 4), проецируя обе части (7) на эти оси, получаем:

где и — соответственно проекции ускорения и равнодействующей силы на касательную, главную нормаль и бинормаль к траектории в рассматриваемом положении движущейся точки. Учитывая, что

где — радиус кривизны траектории, дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на естественные оси имеют вид

Второе уравнение из (12) можно преобразовать:

где — угловая скорость вращения касательной к траектории движущейся точки и, следовательно, — угол смежности между касательными в двух бесконечно близких точках.

Дифференциальные уравнения (12) можно представить в виде

Рис. 4

Эта форма дифференциальных уравнений движения точки удобна при исследовании некоторых случаев полета снарядов и ракет, особенно по траектории, лежащей в плоскости. Тогда будет углом между касательной к траектории и любой осью, лежащей в плоскости траектории.

Дифференциальные уравнения движения точки можно представить в любой другой системе координат. Для этого надо знать выражения проекций ускорения на эти оси координат.

Видео:Дифференциальное уравнение движения материальной точки.Скачать

Дифференциальные уравнения относительного движения точки

Кориолисовыми силами инерции называют две векторные величины, имеющие размерность силы и добавляемые к силам, приложенным к материальной частице, для определения ее относительного ускорения

Все дифференциальные уравнения движения, с которыми мы ознакомились в этой главе, относятся к абсолютному движению, т. е. к движению по отношению к инерциальной системе отсчета. Для написания дифференциальных уравнений движения точки (или частицы) относительно подвижных осей подставим в основное уравнение динамики (123) вместо абсолютного ускорения точки его выражение (110):

(153)

имеющую размерность силы, равную произведению массы материальной частицы на ее переносное ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют переносной силой инерции Кориолиса.

(154)

равную произведению массы материальной частицы на ее кориолисово ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют поворотной силой инерции Кориолиса.

(155 / )

или в проекциях на оси координат:

(155)

Таким образом, относительное движение материальной точки можно описать такими же (по форме) дифференциальными уравнениями, как и абсолютное, но к действующим на точку силам нужно прибавить две кориолисовы силы инерции: переносную и поворотную.

Эти величины следует отличать от даламберовых сил инерции (см. гл. XX), введение которых позволяет решать задачи динамики методом статики.

Пример решения задачи №1

Определить амплитуду вынужденных колебаний в относительном движении вибрографа для записи вертикальных колебаний фундамента (рис. 171), совершающего вместе с фундаментом колебания по закону χ = a sin pt, если вес груза равен G и жесткость пружины с.

Рис. 171

Решение. Рама жестко соединена с фундаментом и участвует в его колебаниях, как и вращающийся барабан В, на котором груз G, перемещаясь вверх и вниз, записывает колебания фундамента. Вертикальные перемещения х’ груза G по отношению к раме являются относительными и по отношению к барабану, если пренебречь его вращением. Уравнение этих относительных перемещений можно составить как уравнение абсолютного движения, если к заданным силам добавить переносную кориолисову силу, равную и противоположную произведению вектора переносного ускорения на массу груза. Переносная сила инерции груза равна

Напишем дифференциальное уравнение относительных колебаний груза, сократив на m:

x’ + k 2 χ’ = ар 2 sin pt.

где Пренебрегая свободными колебаниями груза, напишем уравнение (149′) установившегося вынужденного колебания груза:

Амплитуда этих колебаний тем менее отличается от амплитуды колебаний фундамента, чем меньше собственная частота k прибора сравнительно с частотой р, т. е. чем меньше жесткость пружины и чем больше масса груза.

Ответ.

Пример решения задачи №2

Ползун G (рис. 172) может скользить по хорде AB равномерно вращающегося горизонтального диска, к точкам А и В которой он прикреплен двумя одинаковыми пружинами жесткостью каждая. Принимая ползун за точку массы т и пренебрегая трением, определить зависимость периода τ его колебаний в относительном движении по хорде от угловой скорости ω диска.

Рис. 172

Решение. Построим оси подвижной системы координат с началом в точке О (в положении относительного равновесия ползуна), направив Ox’ но хорде.

Определим силы, действующие на ползун. Если ползун отклонится от равновесного положения О на величину х’, то одна из пружин сожмется, а другая растянется. Согласно закону Гука сила каждой из пружин пропорциональна деформации х’ и направлена к точке О. Следовательно, на ползун действует активная сила

Кроме активной силы, надо учесть действие кориолисовых сил: Φ_e—переносной и Φ_c-поворотной.
Переносная сила инерции равна произведению массы т ползуна на его переносное ускорение: и направлена против переносного ускорения, т. е. от центра C диска. Чтобы определить проекцию этой силы на Ox’, надо ее модуль умножить на направляющий косинус, который при OG = х’ равен .

Поворотная сила Кориолиса равна произведению массы ползуна иа кориолисово ускорение 2ωx’ и направлена против этого ускорения. Таким образом, чтобы определить направление поворотной силы Кориолиса, надо вектор относительной скорости повернуть на 90° против переносного вращения. Находим, что поворотная сила инерции действует перпендикулярно AB и проекция ее на Ox’ равна нулю.

При найденных значениях активных сил и кориолисовых сил дифференциальное уравнение относительного движения ползуна по хорде имеет вид:

mх’ = — cx’ + mω 2 x’= — (с—mω 2 )x’.

Это уравнение выражает гармоническое колебание с периодом

Ответ. и не зависит от положения хорды.

Пример решения задачи №3

Составить дифференциальное уравнение относительного движения ползуна, описанного в предыдущей задаче, считая, что при его движении вдоль хорды AB возникает трение, пропорциональное нормальному давлению на хорду.

Решение. Нормальное давление обусловлено поворотной силой инерции и нормальной составляющей переносной силы инерции.

Поворотная сила ползуна Φ_с=2mωx’ переменна по величине и направлению. Она направлена перпендикулярно к хорде AB, но в сторону положительных значений у’, если точка G движется в сторону отрицательных значений х’, т. е, если х’ 2 h. Эта составляющая в рассматриваемом механизме всегда направлена в сторону положительных у’, а потому в суммарном давлении обе кориолисовы силы складываются при х’ 0, и дифференциальное уравнение относительного движения точки имеет вид

mх’ =— (с—mω 2 ) x’ — fm (2ωx’ ± ω2h),

причем знак второго слагаемого в скобках надо брать положительным при х’ 0. Решение такого уравнения при движении точки G влево и вправо получается, конечно, различным. Если Л — 0 и хорда является диаметром, то вместо кулонова трения получается вязкое демпфирование, зависящее от скорости.

Рекомендую подробно изучить предмет:

Теоретическая механика

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Две основные задачи динамики точки
Прямолинейное движение точки
Криволинейное движение материальной точки
Движение несвободной материальной точки
Сложное движение точки
Сложение движение твердого тела
Кинематика сплошной среды
Аксиомы классической механики

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.