Составь алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными методом подстановки

Алгоритм решения системы линейных уравнений методом подстановки

1. Из любого уравнения системы выразить одну переменную через другую.
2. Подставить во второе уравнение системы вместо переменной выражение, полученное на первом шаге.
3. Решить второе уравнение относительно выраженной переменной.
4. Подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге.
5. Найти значение второй переменой.
6. Записать ответ в виде упорядоченной пары найденных значений переменных.

Из второго уравнения выражаем y:

Подставляем выражение для y в первое уравнение:

Шаг 3 Решаем первое уравнение:

Подставляем значение x в выражение для y:

В последовательной записи:

$$ <left< begin 3x+y = 5 \ y-x = 1 end right.> Rightarrow <left< begin 3x+y = 5 \ y = x+1 end right.> Rightarrow <left< begin 3x+(x+1) = 5 \ y = x+1 end right.> Rightarrow <left< begin 4x = 5-1 \ y = x+1 end right.> Rightarrow $$ $$ Rightarrow <left< begin x = 1 \ y = x+1 end right.> Rightarrow <left< begin x = 1 \ y = 2end right.> $$

Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений методом подстановки:

$ а) <left< begin 5x-4y = 3 \ 2x-3y = 4 end right.> Rightarrow <left< begin 5x-4y = 3 \ x = frac = 1,5y+2 end right.> Rightarrow <left< begin 5(1,5y+2)-4y = 3 \ x = 1,5y+2 end right.> Rightarrow $

$ Rightarrow <left< begin 7,5y+10-4y = 3 \ x=1,5y+2 end right.> Rightarrow <left< begin 3,5y = -7 \ x = 1,5y+2 end right.> Rightarrow <left< begin y = -2 \ x = 1,5y+2 end right.> Rightarrow <left< begin x = -1 \ y = -2end right.> $

$ б) <left< begin 4x-3y = 7 \ 3x-4y = 0 end right.> Rightarrow <left< begin 4x-3y = 7 \ y = frac x end right.> Rightarrow <left< begin 4x-3cdot frac x = 7 \ y = frac x end right.> Rightarrow <left< begin (4- frac)x = 7 \ y = frac x end right.> Rightarrow $

$Rightarrow <left< begin x = 7 cdot frac = 4 \ y = frac x = frac cdot 4 = 3 end right.> Rightarrow <left< beginx = 4 \ y = 3 end right.> $

$ в) <left< begin 5a-4b = 9 \ 2a+3b = -1 end right.> Rightarrow <left< begin 5a-4b = 9 \ a = frac = -1,5b-0,5 end right.> Rightarrow <left< begin 5(-1,5b-0,5)-4b = 9 \ a = -1,5b-0,5 end right.> Rightarrow $

$ Rightarrow <left< begin -7,5b-2,5-4b = 9 \ a = -1,5b-0,5 end right.> Rightarrow <left< begin-11,5b = 11,5 \ a = -1,5b-0,5 end right.> Rightarrow <left< begin a = 1 \ b = -1 end right.> $

$ г) <left< begin 7a+4b = 5 \ 3a+2b = 1 end right.> Rightarrow <left< begin 7a+4b = 5 \ b = frac = -1,5a+0,5 end right.> Rightarrow <left< begin 7a+4(-1,5a+0,5) = 5 \ b = -1,5a+0,5 end right.> Rightarrow $

$ Rightarrow <left< begin 7a-6a+2 = 5 \ b = -1,5a+0,5 end right.> Rightarrow <left< begin a = 3 \ b = -1,5cdot3+0,5 = -4 end right.> $

Пример 2. Найдите решение системы уравнений:

$а) <left< begin frac-y = 7 | times 4 \ 3x+ frac = 9 | times 2end right.> Rightarrow <left< begin x-4y = 28 \ 6x+y = 18 end right.> Rightarrow <left< begin x = 4y+28 = 4(y+7) \ 6 cdot 4(y+7)+y = 18 end right.> Rightarrow $

$Rightarrow <left< begin x = 4(y+7) \ 24y+168+y = 18 end right.> Rightarrow <left< begin x = 4(y+7) \ 25y = -150 end right.> Rightarrow <left< beginx = 4(-6+7) = 4 \ y = -6 end right.>$

$ в) <left< begin 3(5x-y)+14 = 5(x+y) \ 2(x-y)+9 = 3(x+2y)-16 end right.> Rightarrow <left< begin 15x-3y+14 = 5x+5y \ 2x-2y+9 = 3x+6y-16 end right.> Rightarrow $

$ Rightarrow <left< begin 10x-8y = -14 |:2 \ x+8y = 25 end right.> Rightarrow <left< begin 5x-4y = -7 \ x = -8y+25 end right.> Rightarrow <left< begin 5(-8y+25)-4y = -7 \ x = -8y+25 end right.> Rightarrow $

$ Rightarrow <left< begin -40y+125-4y = -7 \ x = -8y+25 end right.> Rightarrow <left< begin -44y = -132 \ x = -8y+25 end right.> Rightarrow <left< begin x = 1 \ y = 3 end right.> $

$ г) <left< begin 5-3(2x+7y) = x+y-52 \ 4+3(7x+2y) = 23x end right.> Rightarrow <left< begin 5-6x-21y = x+y-52 \ 4+21x+6y = 23x end right.> Rightarrow <left< begin 7x+22y = 57 \ 2x-6y = 4 |:2 end right.>$

$$ Rightarrow <left< begin 7x+22y = 57 \ x-3y = 2 end right.> Rightarrow <left< begin 7x+22y = 57 \ x = 3y+2 end right.> Rightarrow <left< begin 7(3y+2)+22y = 57 \ x = 3y+2 end right.> Rightarrow $$

$$ Rightarrow <left< begin 21y+14+22y = 57 \ x = 3y+2 end right.> Rightarrow <left< begin 43y = 43 \ x = 3y+2 end right.> Rightarrow <left< begin x = 5 \ y = 1 end right.>$$

Пример 3*. Найдите решение системы уравнений:

Перепишем систему и найдём решение для новых переменных:

$$ <left< begin 3a+8b = 5 \ 12b-a = 2 end right.> Rightarrow <left< begin 3(12b-2)+8b = 5 \ a = 12b-2 end right.> Rightarrow <left< begin 36b-6+8b = 5 \ a = 12b-2 end right.> Rightarrow $$

Видео:ПОСМОТРИ это видео, если хочешь решить систему линейных уравнений! Метод ПодстановкиСкачать

Как решать систему уравнений

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Видео:Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

Основные понятия

Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.

Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.

Видео:Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.

Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.

Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:

Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.

Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.

Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).

Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Видео:Решение систем уравнений. Методом подстановки. Выразить YСкачать

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.

Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:

Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.

Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.

Можно записать систему иначе:

Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.

Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.

Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.

Видео:Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Метод подстановки

Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:

Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.

Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.

Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.

Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.

Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).

Решим систему уравнений методом подстановки

Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.

Пример 1

Решите систему уравнений:

x − y = 4
x + 2y = 10

Выразим x из первого уравнения:

x − y = 4
x = 4 + y

Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:

x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10

Решим второе уравнение относительно переменной y:

4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2

Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:

x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6

Ответ: (6; 2).

Пример 2

Решите систему линейных уравнений:

x + 5y = 7
3x = 4 + 2y

Сначала выразим переменную x из первого уравнения:

x + 5y = 7
x = 7 − 5y

Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:

3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y

Решим второе линейное уравнение в системе:

3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1

Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:

x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2

Ответ: (2; 1).

Пример 3

Решите систему линейных уравнений:

x − 2y = 3
5x + y = 4

Из первого уравнения выразим x:

x − 2y = 3
x = 3 + 2y

Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:

5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1

Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:

x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1

Ответ: (1; −1).

Видео:Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. Практ. часть. 6 класс.Скачать

Метод сложения

Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:

При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.

Решаем получившееся уравнение с одной переменной.

Находим соответствующие значения второй переменной.

Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).

Пример.

Домножим первое уравнение системы на -2, второе оставим без изменений. Система примет вид:

Сложим уравнения, получим

Отсюда y = -3, а, значит, x = 2

Ответ: (2; -3).

Видео:Урок по теме СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ 7 классСкачать

Система линейных уравнений с тремя переменными

Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:

Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).

Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Решение задач

Разберем примеры решения систем уравнений.

Задание 1. Как привести уравнение к стандартному виду ах + by + c = 0?

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y − 4x + 9y = 3

Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки

Выразить у из первого уравнения:

Подставить полученное выражение во второе уравнение:

Найти соответствующие значения у:

Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения

1. Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:

1. Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:

1. Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:

1. Ответ: (1; 1), (1; -1).

Задание 4. Решить систему уравнений

Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.

Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными

При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:

Видео:Решение систем линейных уравнений способом подстановки.Скачать

Системы линейных уравнений с двумя переменными. Часть 1. Метод подстановки для решения системы линейных уравнений с двумя переменными

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Мы научились составлять математическую модель для решения различных прикладных задач. В результате задача сводится к технике – решению уравнения или системы уравнений. На этом уроке мы научимся решать системы уравнений, а именно системы линейных уравнений с двумя переменными.

🎬 Видео

Система уравнений. Метод алгебраического сложенияСкачать

Урок СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 7 КЛАСССкачать

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. Практ. часть. 6 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. Практ. часть. 6 класс.Скачать

7 класс, 38 урок, Метод подстановкиСкачать

Решение систем линейных уравнений МЕТОДОМ ПОДСТАНОВКИ. §27 Алгебра 7 классСкачать

Решение системы уравнений методом Крамера 2x2Скачать

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом сложения. 6 класс.Скачать

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЕГЭ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать

Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать

Решение систем уравнений методом сложенияСкачать