Смысл дифференциального уравнения эйлера для

Пример 2.1. Рассмотрим пример, который легко решить аналитически. Требуется найти экстремум функционала

при граничных условиях

Найдём частные производные и

Вычислим полную производную по x от

Составляем дифференциальное уравнение Эйлера вида

или, после упрощений

Его общее решение имеет вид

Для нахождения произвольных постоянных C₁ и C₂ подставим решение (2.16) в граничные условия (2.11):

Видно, что система (2.17) имеет единственное решение. Решая эту систему, найдём значения C₁ и C₂:

и тогда уравнение экстремали имеет вид:

Действительно ли на этой кривой достигается экстремум? И если да, то какой: минимум или максимум? Далее, в главе 13, мы рассмотрим достаточные условия экстремума . В частности, мы выведем условие Лежандра: если на экстремали выполняется условие а на функциях, близких к экстремали, для произвольных y‘ имеет место то достигается сильный минимум. В нашем случае это выполняется:

и, следовательно, на нашей экстремали достигается сильный минимум. Проверим этот результат: вычислим на нескольких функциях вида Эти функции удовлетворяют граничным условиям (2.11) и, следовательно, являются допустимыми. Для вычислений применим MATLAB.

Действительно, полученный результат не противоречит выводу о том, что на функции достигается минимум. Но, конечно же, проведенная проверка не доказывает этот факт. Ведь мы проверили только несколько из бесконечного числа функций, графики которых проходят через точки и Доказательством могут служить необходимые и достаточные условия экстремума функционала.

Пример 2.2. Найти экстремаль функционала

при граничных условиях

Выводим уравнение Эйлера вида (2.9). Частные производные:

Уравнение Эйлера после упрощений имеет вид:

Его общее решение

Находим произвольные постоянные из граничных условий (3.22). Подставляем решение (3.25) в эти граничные условия:

Мы видим, что из полученной системы уравнений можно найти только а C₂ может быть произвольной. Поэтому данная вариационная задача имеет бесчисленное множество решений вида

На любой из этих функций функционал принимает постоянное значение (какое − мы сейчас посчитаем). Проверка по достаточному условию Лежандра даёт:

поэтому на экстремалях (3.27) достигается сильный минимум.

Посчитаем значение функционала (2.21) на функциях вида (2.27) и нарисуем несколько экстремалей с помощью MATLAB.

На каждой из наших функций функционал равен нулю.

Видео:Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решатьСкачать

2.2. Частные случаи уравнений Эйлера

Иногда решение уравнения Эйлера существенно упрощается. Рассмотрим соответствующие частные случаи.

2.2.1. Подынтегральная функция F не зависит явно от y‘

Материал этого подраздела изложен в книге.

2.2.2. Подынтегральная функция F линейно зависит от y‘

Материал этого подраздела изложен в книге.

2.2.3. Подынтегральная функция F не зависит явно от y

Материал этого подраздела изложен в книге.

2.2.4. Подынтегральная функция F зависит только от y‘

Материал этого подраздела изложен в книге.

2.2.5. Подынтегральная функция F не зависит явно от x

Материал этого подраздела изложен в книге.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

2.3. Вопросы для самопроверки

1. Какую вариационную задачу мы решаем?
2. Как выводится дифференциальное уравнение Эйлера?
3. Где используется в выводе дифференциального уравнения Эйлера основная лемма вариационного исчисления?
4. Почему обращается в нуль внеинтегральное слагаемое в формуле (2.8) при интегрировании по частям?
5. Чем отличается частная производная от полной?
6. Какие Вы знаете методы решения дифференциальных уравнений порядка?
7. Всегда ли решение вариационной задачи будет единственным? От чего это зависит?
8. Какие частные случаи уравнения Эйлера Вы знаете?
9. В каких случаях уравнение Эйлера перестаёт быть дифференциальным и становится конечным?
10. В каких случаях вариационная задача теряет смысл?
11. Как записывается интеграл уравнения Эйлера, если подынтегральная функция F не зависит явно от y?
12. Каким будет решение уравнения Эйлера, если подынтегральная функция F зависит только от y‘?
13. Как решается уравнение Эйлера, если подынтегральная функция F не зависит явно от y‘?
14. Как решается задача о брахистохроне?

Видео:Дифференциальное уравнение Эйлера. Основное уравнение гидростатикиСкачать

2.4. Примеры выполнения заданий

2.4.1. Задание 1

Найти экстремаль функционала

Исследовать полученную экстремаль на достаточные условия экстремума. Вычислить значение функционала на найденной экстремали и, для сравнения, на прямой, соединяющей точки и Построить график решения.

В этом примере подынтегральная функция является функцией общего вида, поэтому составим уравнение Эйлера в виде (2.9) и решим его. Затем построим график решения. Попутно исследуем на выполнение достаточных условий экстремума и вычислим значение функционала на экстремали и отрезке прямой M₁M₂. Применим для решения задачи MATLAB.

Очистим память. Напечатаем заголовок решаемой задачи. Если хотите, задайте другую строку для вывода (например, свою фамилию). Опишем символические переменные [58]. Для решения уравнения Эйлера используем принятые в MATLAB обозначения производных: Dy для y‘ и D2y для y». Аргумент обозначим x , а функцию − y .

Вводим подынтегральную функцию и граничные условия. Печатаем их. Здесь вы должны поставить свои исходные данные: подынтегральную функцию F и граничные условия x₁, y₁, x₂, y₂.

Начинаем вывод дифференциального уравнения Эйлера (2.9). Найдём частные производные F_y и F_y’. Напечатаем их.

В уравнение Эйлера (2.9) входит полная производная Вычислим её по обычной формуле дифференцирования сложной функции:

Напечатаем её. Напечатаем также величину необходимую для проверки достаточных условий экстремума по признаку Лежандра.

Составим левую часть дифференциального уравнения Эйлера (2.9) и упростим её. Преобразуем символическую переменную Euler в строку.

Мы составили уравнение Эйлера, теперь решим его. Команда dsolve позволяет находить как общее решение дифференциального уравнения, так и частное его решение, удовлетворяющее заданным начальным или граничным условиям. В следующих главах при решении других заданий нам нужно будет иметь общее решение уравнения Эйлера. Найдём его.

Сформируем теперь уравнения для граничных условий. Подставим в найденное аналитическое решение Sol граничные точки x1 и x2 , и приравняем их соответственно y1 и y2 .

Решаем полученную систему конечных уравнений − находим значения произвольных постоянных C1 и C2 . Присваиваем найденные решения символическим константам, полученным при решении дифференциального уравнения. Теперь вычисляем аналитическое решение Sol21 . Такое вычисление сводится к тому, что в него будут подставлены найденные значения констант C1 и C2 . Печатаем найденное уравнение экстремали.

Вычислим значения функционала (2.86) на найденной экстремали и на прямой, соединяющей точки M₁ и M₂. Подставим в подынтегральную функцию F аналитические выражения для этих линий и их производных, а затем проинтегрируем. Напечатаем результаты.

В данном примере условие Лежандра говорит о сильном минимуме, что подтверждается полученным результатом: значение функционала на экстремали меньше, чем на другой допустимой функции. А как в вашем варианте: какой экстремум достигается? И подтверждается ли этот результат сравнением величин Jextr и Jlin ? Если нет, то не забудьте, что найденный экстремум − только локальный, а не глобальный! Попробуйте вычислить значение функционала не на прямой M₁M₂, а на какой-нибудь другой допустимой кривой, достаточно близкой к экстремали. Например, можно наложить на экстремаль несколько полуволн синусоиды, смещённой и деформированной вдоль оси Ox так, что

И, наконец, строим график. Задаём массив аргументов для рисования графика функции и вычисляем значения функции. Рисуем график, подписываем заголовок и координатные оси установленным шрифтом.

2.4.2. Задание 2

Найти экстремаль функционала

Исследовать на выполнение достаточных условий экстремума. Построить график решения.

В этом примере подынтегральная функция не зависит явно от y. Первый интеграл уравнения Эйлера имеет вид (2.43). Составим программу для решения этой вариационной задачи. Вначале введём исходные данные. У нас будет первый интеграл уравнения Эйлера, поэтому ни сама функция y, ни её вторая производная y» нам не нужны, и мы их не описываем. Поставьте свою подынтегральную функцию и граничные условия.

Строим первый интеграл и решаем полученное дифференциальное уравнение. Названия констант C1 и C2 используются в команде dsolve , поэтому при составлении интеграла уравнения Эйлера обозначим константу C . Все использованные здесь функции и операторы MATLAB были описаны ранее, в примере 1.

В переменной Sol получено общее решение, произвольные постоянные обозначены C и C1 . Найдём их. Для этого подставим в Sol граничные точки. Приравняем полученные выражения соответственно y1 и y2 . Тем самым мы сформируем систему уравнений.

Решим полученную систему − найдём произвольные постоянные C и C1 . Подставим их в решение Sol . Ограничим решение 14 знаками. Напечатаем уравнение найденной экстремали.

Дальнейшие действия не отличаются от описанных в примере 1. Рисуем график и и вычисляем F_y’y’, которая нужна для проверки достаточных условий экстремума по признаку Лежандра.

Проанализируйте достаточное условие Лежандра. Достигается ли экстремум на вашей экстремали? Если да, то какой?

2.4.3. Задание 3

Решить задачу о брахистохроне, соединяющей точки и

Мы уже решили эту задачу аналитически. Нам осталось найти значение константы C₁ и параметра в конечной точке t₂ из решения системы уравнений (2.84). Составим программу для решения этого примера. Вначале введём исходные данные задачи. Подставьте свою правую точку.

Составляем систему уравнений (2.84). Левую часть каждого уравнения мы задаём сразу в виде строки. В правой части переводим числа x2 и y2 в их строковые представления с помощью функции num2str . Ранее мы использовали конструкцию char(sym(y2)) . Оба варианта работают правильно − вы можете это проверить. Решаем полученную систему уравнений аналитически. Печатаем решения.

Рисуем график полученной брахистохроны. Выбираем начало координат в левом верхнем углу с помощью команды axis . Задаём границы по оси Ox, чтобы график занимал всё место на рисунке. Выравниваем масштабы по осям координат, чтобы брахистохрона выглядела неискажённой. Надписываем заголовок и метки осей.

Видео:Метод ЭйлераСкачать

2.5. Задание

Для своего варианта функционалов 1, 2, 3 найти экстремали, построить их графики и исследовать на выполнение достаточных условий экстремума.

Видео:Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

Дифференциальное уравнение Эйлера и методы его решения

Более общее уравнение Эйлера имеет вид:
.
Это уравнение подстановкой t = ax+b приводится к более простому виду, которое мы и будем рассматривать.

Видео:Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Приведение дифференциального уравнения Эйлера к уравнению с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим уравнение Эйлера:
(1) .
Оно сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой:
x = e t .
Действительно, тогда
;
;
;

;
;
.

Таким образом, множители, содержащие x m , сокращаются. Остаются члены с постоянными коэффициентами. Однако на практике, для решения уравнений Эйлера, можно применять методы решения линейных ДУ с постоянными коэффициентами без использования указанной выше подстановки.

Видео:Дифференциальное уравнение. Формула ЭйлераСкачать

Решение однородного уравнения Эйлера

Рассмотрим однородное уравнение Эйлера:
(2) .
Ищем решение уравнения (2) в виде
.
;
;
.
.
Подставляем в (2) и сокращаем на x k . Получаем характеристическое уравнение:
.
Решаем его и получаем n корней, которые могут быть комплексными.

Рассмотрим действительные корни. Пусть k_i – кратный корень кратности m . Этим m корням соответствуют m линейно независимых решений:
.

Рассмотрим комплексные корни. Они появляются парами вместе с комплексно сопряженными. Пусть k_i – кратный корень кратности m . Выразим комплексный корень k_i через действительную и мнимую части:
.
Этим m корням и m комплексно сопряженным корням соответствуют 2 m линейно независимых решений:
;
;
.
.

После того как получены n линейно независимых решений, получаем общее решение уравнения (2):
(3) .

Примеры

Видео:Линейное дифференциальное уравнение Коши-ЭйлераСкачать

Решение неоднородного уравнения Эйлера

Рассмотрим неоднородное уравнение Эйлера:
.
Метод вариации постоянных (метод Лагранжа) также применим и к уравнениям Эйлера.

Сначала мы решаем однородное уравнение (2) и получаем его общее решение (3). Затем считаем постоянные функциями от переменной x . Дифференцируем (3) n – 1 раз. Получаем выражения для n – 1 производных y по x . При каждом дифференцировании члены, содержащие производные приравниваем к нулю. Так получаем n – 1 уравнений, связывающих производные . Далее находим n -ю производную y . Подставляем полученные производные в (1) и получаем n -е уравнение, связывающее производные . Из этих уравнений определяем . После чего интегрируя, получаем общее решение уравнения (1).

Пример

Видео:06. Формула ЭйлераСкачать

Неоднородное уравнение Эйлера со специальной неоднородной частью

Рассмотрим уравнение Эйлера со специальной неоднородной частью:
(4)
,
где – многочлены от степеней и , соответственно.

Наиболее простой способ решения такого уравнения заключается в том, чтобы сделать подстановку
,
и решать линейное уравнение с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 14-08-2013 Изменено: 24-10-2020

Видео:дифференциальное уравнение ЭйлераСкачать

Дифференциальное уравнение Эйлера

Напомним, что необходимым условием существования у дифференцируемой функции экстремума в некоторой точке является равенство нулю производной в этой точке: , или, что то же самое, равенство нулю дифференциала функции .

Нашей ближайшей целью будет найти аналог этого условия в вариационном исчислении и выяснить, какому необходимому требованию должна удовлетворять функция, дающая экстремум функционалу.

Мы покажем, что такая функция должна удовлетворять некоторому дифференциальному уравнению. Форма уравнения будет зависеть от вида рассматриваемого функционала. Изложение мы начнем с так называемого простейшего интеграла вариационного исчисления, под которым подразумевают функционал, имеющий следующее интегральное представление:

Функция , стоящая под знаком интеграла, зависит от трех аргументов . Будем считать ее определенной и дважды непрерывно дифференцируемой по аргументу для всех значений, по аргументам же и — в некоторой области плоскости . Ниже предполагается, что мы всегда будем находиться внутри этой области.

Под понимается некоторая функция от

непрерывно дифференцируемая на отрезке , и есть производная от нее.

Геометрически функцию можно изобразить в плоскости некоторой линией , лежащей над отрезком (рис. 3).

Интеграл (9) является обобщением интегралов (3) и (6), с которыми мы встретились в задачах о линии наискорейшего ската и поверхности вращения наименьшей площади. Значение его зависит от выбора функции или от линии , и задача о его минимуме имеет следующий смысл.

Дано некоторое множество функций (10) (линий ). Среди них нужно найти ту функцию (линию ), для которой интеграл имеет наименьшее значение.

Мы должны прежде всего точно определить множество функций, для которых мы будем рассматривать значение интеграла (9). Функции этого множества в вариационном исчислении обычно называют допустимыми к сравнению. Рассмотрим задачу с закрепленными граничными значениями. Множество допустимых функций определяется здесь двумя следующими требованиями:

1) функция непрерывно дифференцируема на отрезке ;

2) на концах отрезка функция принимает заданные наперед значения

В остальном функция может быть совершенно произвольной. Если говорить языком геометрии, мы рассматриваем всевозможные гладкие линии, лежащие над промежутком , которые проходят через две точки и и могут быть заданы уравнением (10). Функцию, доставляющую минимум интегралу, будем считать существующей и назовем ее .

Следующие простые и остроумные соображения, часто применяемые в вариационном исчислении, дают возможность весьма просто выяснить необходимое условие, которому должна удовлетворять . По сути дела они позволяют задачу о минимуме интеграла (9) привести к задаче о минимуме функции.

Рассмотрим семейство функций, зависящее от численного параметра

Чтобы функция при любом была допустимой функцией, мы должны считать непрерывно дифференцируемой и обращающейся в нуль на концах отрезка

Интеграл (9), вычисленный для , будет некоторой функцией параметра

Разность называют вариацией (изменением) функции и обозначают , а разность — полной вариацией интеграла (9). Отсюда и произошло название вариационного исчисления.

Так как функция дает минимальное значение интегралу, то функция должна иметь минимум при , и производная от нее в этой точке обязана обращаться в нуль

Последнее равенство должно выполняться при всякой непрерывно дифференцируемой функции , обращающейся в нуль на концах отрезка . Для получения вытекающего отсюда следствия удобнее второй член в условии (14) преобразовать интегрированием по частям

и придать условию (14) другую форму

Может быть доказана следующая простая лемма.

Пусть выполняются условия:

1) функция непрерывна на отрезке ;

2) функция непрерывно дифференцируема на отрезке и на концах отрезка обращается в нуль.

Если при любой такой функции интеграл равен нулю, то отсюда следует, что .

Действительно, допустим, что в некоторой точке с функция отлична от нуля, и покажем, что тогда заведомо существует такая функция , для которой , вопреки условию леммы.

Так как и непрерывна, наверное существует около точки такой промежуток , в котором будет всюду отличной от нуля и, стало быть, сохранять знак.

Всегда можно построить функцию , непрерывно дифференцируемую на , положительную на и равную нулю всюду вне (рис. 4).

Такой будет, например, , определенная равенствами

Но для такой функции

Последний же интеграл не может быть равен нулю, так как произведение внутри промежутка интегрирования отлично от нуля и сохраняет знак.

Ввиду того, что равенство (15) должно выполняться для всякой , непрерывно дифференцируемой и обращающейся в нуль на концах отрезка , мы можем, согласно лемме, утверждать, что это может быть только в том случае, когда

или после вычисления производной по переменной

Равенство это является дифференциальным уравнением 2-го порядка относительно функции . Оно называется уравнением Эйлера .

Мы можем сделать следующее заключение.

Если функция доставляет интегралу минимум, то она должна удовлетворять дифференциальному уравнению Эйлера (17). Последнее в вариационном исчислении имеет значение, вполне сходное со значением необходимого условия в теории экстремумов функций. Оно позволяет сразу отбросить все допустимые функции, которые этому условию не удовлетворяют, так как на них интеграл заведомо не может достигать минимума. Этим очень сильно сужается круг допустимых функций, подлежащих изучению. Свое внимание мы можем сосредоточить только на решениях уравнения (17).

Сами решения уравнения (17) обладают тем свойством, что производная

для них обращается в нуль при любых , и они аналогичны по своему значению стационарным точкам функции. Поэтому часто говорят, что на решениях (17) интеграл имеет стационарное значение.

В нашей задаче с закрепленными граничными значениями нужно найти далеко не все решения эйлерова уравнения, а только те из них, которые принимают предписанные значения в точках .

Обратим внимание на то, что уравнение Эйлера (17) имеет 2-й порядок. Общее его решение будет содержать две произвольные постоянные

Их нужно определить так, чтобы интегральная кривая проходила через точки и , что доставляет два уравнения для нахождения постоянных и

Во многих случаях эта система имеет только одно решение, и тогда будет существовать только одна интегральная линия, проходящая через точки и .

Разыскание функций, подозрительных на минимум интеграла, мы привели к решению следующей граничной задачи дифференциальных уравнений: на отрезке нужно найти те решения уравнения (17), которые на концах этого отрезка принимают заданные значения .

Часто эту последнюю задачу удается решить при помощи методов, известных в теории дифференциальных уравнений.

Еще раз указываем на то, что каждое решение такой граничной задачи может только подозреваться на минимум и в дальнейшем еще надлежит проверить, будет ли оно или не будет доставлять минимальное значение интегралу. Но в частных случаях, особенно часто встречающихся в приложениях, уравнение Эйлера вполне решает задачу о нахождении минимума интеграла. Пусть нам заранее будет известно, что функция, доставляющая минимум интегралу, существует, и мы допустим, кроме того, что уравнение Эйлера (17) имеет только одно решение, удовлетворяющее граничным условиям (11), и, стало быть, только одна допустимая линия может быть заподозрена на минимум. При этих условиях можно быть уверенным в том, что найденное решение уравнения (17) действительно дает минимум интегралу.

Пример . Ранее было установлено, что [url]задача о линии наискорейшего ската[/url] может быть приведена к нахождению минимума интеграла

на множестве функций, удовлетворяющих граничным условиям .

📺 Видео

Геометрический смысл дифференциального уравненияСкачать

Численное решение задачи Коши методом ЭйлераСкачать

Уравнение Эйлера - bezbotvyСкачать

МЗЭ 2022 Численное решение дифференциальных уравнений. Неявный метод Эйлера. Ложкин С.А.Скачать

Семинар 3. Ужегов. Уравнение Эйлера.Скачать

Курс по ОДУ: Дифференциальное уравнение Эйлера | Занятие 15Скачать

#161. САМАЯ КРАСИВАЯ ФОРМУЛА В МАТЕМАТИКЕ — ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА: e^(iπ)+1=0Скачать

Дифференциальные уравнения. Задача Коши. Метод Эйлера.Скачать

#Дифуры II. Урок 5. Уравнение ЭйлераСкачать