Сложные задачи на системы уравнений 7 класс (3 видео)

Тренажеры по алгебре на тему «Задачи на составление систем уравнений» (7 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тренажер Задачи на составление с/у.

1.Сумма двух чисел равна 131, а их разность -41. Найдите эти числа.

2. У Ивана 25 монет по 25 копеек и по 10 копеек, всего на сумму 1 руб. 50 коп.(1руб=100коп). Сколько 5-копеечных и сколько 10-копеечных монет у Ивана?

3. Брат и сестра, работая летом на почте, заработали 230 руб.Брат заработал на 40 руб больше сестры. Сколько заработал каждый?

4. Николай на выполнение домашней работы по математике затратил на 30 мин больше, чем по географии. Всего на эти два предмета у него ушло 1ч.40мин. Сколько времени потребовалось на каждый предмет?

5. Андрей старше Олега на 4 года, а Олег старше Бориса в 1,5 раза. Вместе им 36 лет. Сколько лет каждому из них?

6. У причала находилось 6 лодок, часть из которых была двухместными, а часть трехместными. Всего в эти лодки может поместиться 14 человек. Сколько двухместных и сколько трехместных лодок было у причала?

7. На одно платье и 3 сарафана пошло 9м ткани, а на 3 таких же платья и 5 таких же сарафанов -19м ткани. Сколько ткани потребуется на одно платье и сколько на один сарафан?

8. Для одной лошади и двух коров выдают ежедневно 34 кг сена, а для двух лошадей и одной коровы – 35 кг сена. Сколько сена выдают ежедневно одной лошади и сколько одной корове?

9. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из двух поселков и встретились через 3 часа. Расстояние между поселками 30 км. Найдите скорость каждого пешехода, если у одного она на 2 км/ч меньше, чем у другого.

10.В городской думе заседало 60 депутатов, представляющие две партии. После выборов число депутатов от первой партии увеличилось на 12%, а от второй партии – уменьшилось на 20%. Сколько депутатов от каждой партии оказалось в городской думе после выборов, если всего было выбрано 56 депутатов?

11, Школьная баскетбольная команда в двух играх заработала 95 очков. Если удвоить количество очков, полученных в первой игре, то это на 5 меньше, чем количество очков, полученных во второй игре. Сколько очков заработала каждая команда в каждой игре?

12. Мотоциклист ехал 3 ч. По проселочной дороге и 0,5ч. По шоссе, всего он проехал 110км. Скорость мотоциклиста по шоссе была на 10 км/ч больше, чем по проселочной дороге. С какой скоростью ехал мотоциклист по шоссе, а с какой – по проселочной дороге?

13. В зале расставили одинаковыми рядами 48 стульев. Рядов оказалось на 8 больше, чем стульев в каждом ряду. Сколько стульев в каждом ряду и сколько рядов в зале?

14. Все имеющиеся яблоки можно разложить в 6 пакетов или в 4 коробки. Сколько кг яблок имеется, если в пакет помещается на 1 кг яблок меньше, чем в коробку?

15. Двое рабочих изготовили по одинаковому количеству деталей. Первый выполнил эту работу за 5ч, а второй за 4ч, так как изготовлял в час на 12 деталей больше первого. Сколько деталей изготовил каждый рабочий?

16. Во время путешествия Николай проделал путь в 1100 км на самолете и на автобусе. На автобусе он пролетел расстояние в 4,5 раза большее, чем проехал на автобусе. Какое расстояние Николай пролетел на самолете?

Содержание

Решение задач с помощью систем линейных уравнений
Алгоритм решения задачи с помощью системы линейных уравнений
Примеры
Решение задач с помощью систем линейных уравнений. 7-й класс
📹 Видео

Видео:Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Решение задач с помощью систем линейных уравнений

Алгоритм решения задачи с помощью системы линейных уравнений

Обозначить неизвестные величины переменными («от смысла к буквам»).
По условию задачи записать уравнения, связывающие обозначенные переменные.
Решить полученную систему уравнений.
Истолковать результат в соответствии с условием задачи («от букв к смыслу»).

Задуманы два числа. Если от первого отнять второе, то получается 10. Если к первому прибавить удвоенное второе, то получается 91. Найдите задуманные числа.

«От смысла к буквам»:

Пусть x и y — задуманные числа.

Уравнения по условию задачи::

Решение системы уравнений:

«От букв к смыслу»:

Задуманы числа 37 и 27.

Примеры

Пример 1. Периметр прямоугольника равен 48 см. Его длина больше ширины в 3 раза.

Найдите стороны прямоугольника.

Пусть a и b — длина и ширина прямоугольника.

$$ <left< begin P = 2(a+b) = 48 \ a = 3b end right.> Rightarrow <left< begin a+b = 24 \ a = 3b end right.> Rightarrow <left< begin 3b+b = 24 \ a = 3b end right.> Rightarrow <left< begin 4b = 24 \ a = 3b end right.> Rightarrow <left< begin a = 18 \ b = 6 end right.> $$

Ответ: длина прямоугольника 18 см, ширина 6 см.

Пример 2. Два программиста из Бомбея, работающие в одном проекте, написали 100500 строк кода. Первый работал 70 дней, второй – 100 дней. Сколько строк писал каждый программист ежедневно, если за первые 30 дней первый написал на 5550 строк больше, чем второй?

Пусть x — ежедневное количество строк для 1-го программиста, y- для 2-го.

$$ <left< begin 70x+100y = 100500 |:10 \ 30x-30y = 5550 |:30 end right.> (-) Rightarrow <left< begin 7x+10y = 10050 \ x-y=185 | times 10 end right.>$$

$$ Rightarrow (+) <left< begin 7x+10y = 10050 \ 10x-10y = 1850 end right.> Rightarrow <left< begin 17x = 11900 \ y = x-185 end right.> Rightarrow <left< begin x = 700 \ y = 515 end right.> $$

Ответ: 700 строк и 515 строк

Пример 3. За 2 кг конфет и 3 кг печенья заплатили 1540 руб. Сколько стоит 1 кг конфет и 1 кг печенья, если 2 кг печенья дороже 1 кг конфет на 210 руб.?

Пусть x — цена за 1 кг конфет, y — за 1 кг печенья.

$$ <left< begin 2x+3y = 1540 \ 2y-x = 210 | times 2 end right.> Rightarrow (+) <left< begin 2x+3y = 1540 \ -2x+4y = 420 end right.> Rightarrow <left< begin 7y = 1960 \ x = 2y-210 end right.> Rightarrow <left< begin x = 350 \ y = 280 end right.> $$

Ответ: 1 кг конфет — 350 руб. и 1 кг печенья — 280 руб.

Пример 4. Катер за 3 ч движения против течения реки и 2 часа по течению проходит 73 км. Найдите собственную скорость катера и скорость течения, если за 4 ч движения по течению катер проходит на 29 км больше, чем за 3 ч движения против течения.

Пусть v — скорость катера (км/ч), u — скорость течения (км/ч).

$$ Rightarrow <left< begin 5v-u = 73 \ v+7u = 29 end right.> Rightarrow <left< begin 5(29-7u)-u = 73 \ v = 29-7u end right.> Rightarrow <left< begin 145-35u-u = 73 \ v = 29-7u end right.> Rightarrow$$

Ответ: скорость катера 15 км/ч и скорость течения 2 км/ч

Пример 5. 5 карандашей и 3 тетрадки вместе стоили 170 руб. После того, как карандаши подешевели на 20%, а тетрадки подорожали на 30%, за 3 карандаша и 5 тетрадок заплатили 284 руб. Найдите первоначальную цену карандаша и тетрадки.

Пусть x – первоначальная цена карандаша, y — тетрадки.

$$ <left< begin 5x+3y = 170 \ 3cdot0,8x+5cdot1,3y = 284 end right.> Rightarrow <left< begin 5x+3y = 170 |times frac \ 2,4x+6,5y = 284 end right.> Rightarrow (-) <left< begin 2,4x+1,44y = 81,6 \ 2,4x+6,5y = 284 end right.> $$

Ответ: карандаш сначала стоил 10 руб., тетрадка — 40 руб.

Пример 6*. Велосипедист планирует добраться из пункта А в пункт В. Если он будет ехать на 3 км/ч быстрее, чем обычно, он доберётся на 1 час раньше. А если он будет ехать на 2 км/ч медленней, чем обычно, то – на 1 час позже. Найдите обычную скорость велосипедиста и время поездки при этой скорости.

Пусть v – обычная скорость велосипедиста (км/ч), t — обычное время (ч).

Расстояние между А и В неизменно, и по условию равно:

Ответ: обычная скорость 12 км/ч, время 5 ч

Пример 7*. В одной бочке налито 12 л, во второй – 32 л. Если первую бочку доверху наполнить водой из второй, то вторая бочка будет наполнена ровно наполовину своего объёма. Если вторую бочку доверху наполнить водой из первой, то первая бочка будет наполнена на 1/6 своего объёма. Найдите объём каждой бочки.

Пусть x — объём первой бочки (л), y – объём второй (л).

Пусть a л перелито из второй бочки, и первая наполнилась до краёв, а во второй воды осталось наполовину:

Теперь пусть b л перелито из первой бочки, и вторая наполнилась до краёв, а в первой воды осталось на 1/6:

$$ <left< begin x+ frac y = 44 | times 2 \ frac x+y = 44 end right.> Rightarrow (-) <left< begin 2x+y = 88 \ frac x+y = 44 end right.> Rightarrow (+) <left< begin 1frac x = 44 \ y = 88-2x end right.> Rightarrow $$

Ответ: первая бочка 24 л, вторая – 40 л

Пример 8*. Если школьник едет в школу на автобусе, а возвращается домой пешком, то он тратит на всю дорогу полтора часа. Если он едет туда и обратно на автобусе, то он тратит полчаса. Сколько времени потратит школьник, если он пойдёт туда и обратно пешком?

Пусть s — расстояние между домом и школой, v — скорость автобуса, u — скорость школьника, t — искомое время, потраченное на дорогу туда и обратно пешком.

По условию задачи:

Из второго уравнения $ frac ~~= frac = 0,25 $. Подставляем в первое уравнение:~~

~~И тогда искомое время:~~

~~$$ t = frac = 2cdot1,25 = 2,5 (ч) $$~~

~~Видео:АЛГЕБРА 7 класс. Решение задач с помощью систем уравненийСкачать~~

Решение задач с помощью систем линейных уравнений. 7-й класс

Разделы: Математика

Класс: 7

Аннотация: Урок объяснения нового материала. На уроке рассматриваются три разных способа решения одной задачи. Тем самым школьники приучаются анализировать условие задачи и выбирать более простой способ решения. Первый опыт применения уравнений для решения текстовых задач у учащихся уже имеется. Различные способы решения систем линейных уравнений уже изучены. И одна из целей урока — показать использование системы уравнений как математической модели реальной ситуации. Использование на уроке технических средств позволяет сделать урок ярким, насыщенным, полным и дает возможность мгновенно осуществить проверку решаемых на уроке заданий. Это очень важно, так как экономится время, а учащиеся, работающие самостоятельно, получают возможность проверить себя и вернуться назад, чтобы устранить свои ошибки. Тем самым осуществляется самоконтроль, внутренняя обратная связь — важнейший фактор самоуправления процесса обучения.

~~Цели~~

~~Показать использование системы линейных уравнений как математической модели реальной ситуации~~

~~Применение знаний по теме «Системы линейных уравнений» для решения текстовых задач.~~

~~Учить анализировать условие задачи и выбирать более простой способ решения.~~

~~Решите задачу, составив числовое выражение:~~

~~Купили 7 тетрадей по 2р. и 2 ручки по 4р. Сколько денег заплатили?~~

~~Турист ехал 2ч на поезде со скоростью 60км/ч и 3ч шел пешком со скоростью 5км/ч. Какое расстояние он преодолел?~~

~~Решите задачу, составив буквенное выражение:~~

~~Купили 10 тетрадей по Х р и 3 ручки по У р. Сколько заплатили за всю покупку?~~

~~Турист ехал 3ч на автобусе со скоростью Х км/ч и 2ч шел пешком со скоростью 4км/ч~~

~~Перейдите от словесной модели к математической:~~

~~Числа В и С равны~~

~~Число А на 18 больше числа В~~

~~Число Х в 6 раз меньше числа У~~

~~Разность Р и Н на 17 больше их частного~~

~~Создайте реальную ситуацию по модели:~~

~~I Этап. Объяснение нового материала.~~

Задача На турбазе имеются палатки и домики. Всего их 25. В каждом домике размещается по 4 человека, в каждой палатке — по 2 человека. Сколько палаток и сколько домиков на турбазе, если на ней отдыхает всего 70 человек?

~~Решим задачу арифметически.~~

~~25*2=50(чел) разместилось бы, если селить по 2~~

~~70-50=20(чел) не расселили~~

~~20:2=10(домиков), т.к. подселяют еще по 2~~

~~Ответ: 10 домиков, 15 палаток.~~

~~Решим эту задачу с помощью уравнения.~~

~~(Вспомним этапы математического моделирования)~~

~~II этап. Составление математической модели.~~

Пусть на турбазе Х палаток, тогда домиков 25-Х. Т. к. в каждой палатке по 2 человека, то 2Х чел живут в палатках. Т. к. в каждом домике по 4 человека, то 4(25-Х) чел. живут в домиках. Зная, что всего на турбазе 70 чел, составим уравнение:

~~III этап. Работа с моделью.~~

IV. этап. Ответ на вопрос задачи: 15 палаток и 10 домиков.

Самый трудный этап в решении задач — составление математической модели. Ученик всегда затрудняется, что удобнее обозначить за Х. Всегда возникает желание обозначить за Х то, о чем спрашивается в задаче. Но в данной задаче два вопроса. Две искомые величины. Можно ли решить эту задачу, введя два неизвестных? Попробуем.

Пусть Х — палаток, а У — домиков. Т. к их всего 25, то Х+У=25. 2Х чел живут в палатках, а 4У чел — в домиках. 2Х+4У=70 Получили два уравнения и оба с двумя незвестными.

~~Как же их решить? Составить систему двух уравнений с двумя неизвестными и решить ее.~~

~~Вспоминаем способы решения систем линейных уравнений.~~

~~Решив систему, получаем тот же ответ: 10 домиков, 15 палаток.~~

Делаем вывод: Система линейных уравнений тоже может быть использована как математическая модель реальной ситуации. Чтобы решить задачу с помощью системы надо ввести два неизвестных и составить два уравнения с ними. Способ решения системы надо выбирать тот, который представляется более уместным, или тот, который больше нравиться. Этапы математического моделирования те же, что и при решении задач с помощью уравнения.

~~Закрепление изученного материала.~~

~~Решите с помощью системы уравнений:~~

1. У причала находилось 6 лодок, часть из которых была двухместными, а часть — трехместными. Всего в эти лодки может поместиться 14 человек. Сколько двухместных и сколько трехместных лодок было у причала?

~~2. В хозяйстве имеются куры и овцы. Сколько тех и других, если у них вместе 19 голов и 46 ног?~~

~~Подведение итогов урока.~~

~~Домашнее задание: параграф 14 , №14.7, 14.14.~~