Сложение тригонометрических уравнений в системе

Е.П. Нелин, В.А. Лазарев

АЛГЕБРА

и начала математического

анализа

10 класс

учреждений. Базовый и

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

§ 21. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Работу выполнила: Мусина В.А. студентка группы 45.3

Системы тригонометрических уравнений решаются с помощью тех же методов, что и алгебраические системы, в частности это исключение неизвестных и замена переменных. Исключить неизвестные можно с помощью одного из двух приемов:из одного уравнения выразить какое-то неизвестное (или функцию от него) и подставить его в другие или преобразовать данные уравнения и потом составить из них комбинации, в которых число неизвестных уменьшается.

Задача 1 . Решите систему уравнений

Из первого уравнения находим и подставляем во второе.

Получаем

Замечание. Если бы для нахождения значения y мы не рассмотрели отдельно формулу (1) со знаком «+» и знаком «–», то вместе с верными решениями получили бы и посторонние решения заданной системы.

Действительно, в таком случае имеем

Тогда, например, при n = 0 получаем

Таким образом, кроме решений, которые вошли в ответ, мы имеем еще две возможности:

Но эти пары значений х и у не являются решениями заданной системы, поскольку они не удовлетворяют первому уравнению.

Поэтому следует запомнить:

Когда решение уравнения cos x = а приходится применять для дальнейших преобразований, то удобно записывать его в виде двух формул: отдельно со знаком «+» и отдельно со знаком «–».

Задача 2 . Решите систему уравнений

Почленно сложим и вычтем эти уравнения. Получим равносильну систему

Представим последнюю систему в виде совокупности двух систем, записывая решения второго уравнения отдельно со знаком «+» и отдельно со знаком «–»:

Почленно складывая и вычитая уравнения этих систем, находим x и y:

Замечание. В запись ответа вошли два параметра n и k, которые независимо друг от друга «пробегают» множество целых чисел. Если попробовать при решении заданной системы воспользоваться только одним параметром, например n, то это приведет к потере решений. Таким образом, в каждом случае, когда система тригонометрических уравнений приводится к системе, состоящей из элементарных тригонометрических уравнений (то есть из уравнений вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a), при решении каждого из этих уравнений необходимо использовать свой целочисленный параметр.

Вопросы для контроля

1. Какие методы используются для решения систем тригонометрических уравнений?
2. Объясните, в каком случае при формальном решении системы уравнений мы можем потерять часть решений, а в каком случае —получить посторонние решения. Решите эту систему.

Упражнения

Решите систему уравнений (1–8).

Видео:Решение тригонометрических уравнений и их систем. 10 класс.Скачать

Решение систем тригонометрических уравнений

Системы тригонометрических уравнений бесконечно разнообразны. При их решении используются как общие методы: подстановки, сложения, замены переменной, так и частные, связанные с особенностями преобразований тригонометрических функций.
В этом параграфе мы рассмотрим только некоторые, наиболее характерные, подходы к решению таких систем.

п.1. Системы, в которых одно из уравнений является линейным

Если одно из уравнений системы является линейным, то система решается методом подстановки.

Например:
Решим систему ( begin x+y=fracpi4\ tgx+tgy=1 end )
Из верхнего линейного уравнения выражаем (y) через (x) и подставляем в нижнее: begin begin y=fracpi4-x\ tgx+tgleft(fracpi4-xright)=1 end end Решаем полученное уравнение относительно (x): begin tgx+frac=1Rightarrow frac=1-tgx end ОДЗ: (tgxne -1) begin 1-tgx=(1-tgx)(1+tgx)Rightarrow(1-tgx)(1-1-tgx)=0\ -tgx(1-tgx)=0\ begin left[ begin tgx=0\ tgx=1 end right. \ tgxne -1 end Rightarrow left[ begin tgx=0\ tgx=1 end right. Rightarrow left[ begin x_1=pi k\ x_2=fracpi4+pi k end right. end Получаем две пары решений: begin left[ begin begin x_1=pi k\ y_1=fracpi4-x=fracpi4-pi k end \ begin x_2=fracpi4+pi k\ y_2=fracpi4-left(fracpi4+pi kright)=-pi k end end right. end Ответ: (left)

п.2. Системы с независимыми уравнениями

Если уравнения системы являются независимыми, то они решаются по отдельности. При этом счетчики периодов обязательно должны быть различными (например, (k) и (n), для двух независимых уравнений).

Например:
Решим систему ( begin sin(x-y)=0\ cox(x+y)=1 end )
Уравнения независимы, решаем каждое из них, а затем методом сложения находим (x) и (y): begin begin x-y=pi k\ x+y=2pi n end Rightarrow begin 2x=pi k+2pi n\ 2y=2pi n-pi k end Rightarrow begin x=frac+pi n=fracpi2(k+2n)=fracpi2(2n+k)\ y=pi n-frac=fracpi2(2n-k) end end Ответ: (left(fracpi2(2n+k); fracpi2(2n-k)right))

п.3. Системы с произведениями тригонометрических функций

Системы с произведениями тригонометрических функций и приводимые к ним решаются методом сложения.

Например:
Решим систему ( begin sinx siny=frac<sqrt>\ cosx cosy=frac<sqrt> end )
Добавим и вычтем уравнения и используем формулы косинуса суммы и разности: begin begin cosxcosy+sinxsiny=frac<sqrt>\ cosxcosy-sinxsiny=0 end Rightarrow begin cos(x-y)=frac<sqrt>\ cos(x+y)=0 end end Мы получили систему из двух независимых уравнений. Решаем каждое из них, и затем используем метод сложения, чтобы найти (x) и (y): begin begin x-y=pmfracpi6+2pi k\ x+y=fracpi2+pi n end Rightarrow begin 2x=pmfracpi6+fracpi2+pi(2k+n)\ 2y=fracpi2pmfracpi6+pi(n-2k) end Rightarrow begin x=pmfrac+fracpi4+fracpi2(2k+n)\ y=fracpi4pmfrac+fracpi2(n-2k) end end Получаем две пары решений: begin left[ begin begin x_1=fracpi6+fracpi2(2k+n)\ y_1=fracpi3+fracpi2(n-2k) end \ begin x_2=fracpi3+fracpi2(2k+n)\ y_2=fracpi6+fracpi2(n-2k) end end right. end Ответ: (left)

п.4. Замена переменных в системах тригонометрических уравнений

Системы двух уравнений с двумя тригонометрическими функциями легко решаются с помощью замены переменных.

Например:
Решим систему ( begin tgx-siny=4\ tg^2x+sin^2y=26 end )
Замена переменных: (a=tgx, b=siny) begin begin a-b=4\ a^2+b^2=26 end Rightarrow begin a=b+4\ (b+4)^2+b^2=26 end Rightarrow begin a=b+4\ 2b^2+8b-10=0 end Rightarrow\ Rightarrow begin a=b+4\ b^2+4b-5=0 end Rightarrow begin a=b+4\ (b+5)(b-1)=0 end Rightarrow left[ begin begin a=-1\ b=-5 end \ begin a=5\ b=1 end end right. end Переменная (b=siny) ограничена: (-1leq bleq 1).
(b=-5lt-1) не подходит. Остается вторая пара решений: (begin a=5\ b=1 end )
Возвращаемся к исходным переменным: begin begin tgx=5\ siny=1 end Rightarrow begin x=arctg5+pi k\ y=fracpi2+2pi n end end Ответ: (left(arctg5+pi k; fracpi2+2pi nright))

п.5. Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений: a) ( begin x+y=pi\ sinx+siny=sqrt end )
Из верхнего линейного уравнения выражаем (y) через (x) и подставляем в нижнее: begin begin y=pi-x\ sinx+sin(pi-x)=sqrt end end Решаем полученное уравнение относительно (x): begin sinx+sinx=sqrtRightarrow 2sinx=sqrtRightarrow sinx=frac<sqrt>Rightarrow\ Rightarrow x=(-1)^kfracpi3+pi k= left[ begin fracpi3+2pi k\ frac+2pi k end right. end Получаем две пары решений: begin left[ begin begin x=fracpi3+2pi k\ y=pi-x=pi-fracpi3-2pi k=frac-2pi k end \ begin x=frac+2pi k\ y=pi-x=pi-frac-2pi k=fracpi3-2pi k end end right. end Ответ: (left<left(fracpi3+2pi k; frac-2pi kright), left(frac+2pi k; fracpi3-2pi kright)right>)

б) ( begin sinxcosy=frac34\ cosxsiny=frac14 end )
Добавим и вычтем уравнения и используем формулы синуса суммы и разности: begin begin sinxcosy+cosxsiny=1\ sinxcosy-cosxsinyfrac12 end Rightarrow begin sin(x+y)=1\ sin(x-y)=frac12 end end Мы получили систему из двух независимых уравнений. Решаем каждое из них, и затем используем метод сложения, чтобы найти (x) и (y): begin begin x+y=fracpi2+2pi k\ x-y=(-1)^nfracpi6=pi n end Rightarrow begin 2x=fracpi2+(-1)^nfracpi6+pi(2k+n)\ 2y=fracpi2-(-1)^nfracpi6+pi(2k-n) end Rightarrow\ Rightarrow begin x=fracpi4+(-1)^nfrac+fracpi2(2k+n)\ y=fracpi4-(-1)^nfrac+fracpi2(2k-n) end end Ответ: (left(fracpi4+(-1)^nfrac+fracpi2(2k+n); fracpi4-(-1)^nfrac+fracpi2(2k-n)right))

в) ( begin cosfraccosfrac=frac12\ cosxcosy=frac14 end )
Используем формулу произведения косинусов: $$ cosxcosy=frac12(cos(x+y)+cos(x-y)) $$ Получаем: begin cosfraccosfrac=frac12left(cosleft(frac+fracright)+cosleft(frac-fracright)right)=\ =frac12(cosx+cosy)\ begin frac12(cosx+cosy)=frac12\ cosxcosy=frac14 end Rightarrow begin cosx+cosy=1\ cosxcosy=frac14 end end Замена переменных: (a=cosx, b=cosy) begin begin a+b=1\ ab=frac14 end Rightarrow begin a=1-b\ (1-b)b=frac14 end Rightarrow begin a=1-b\ b^2-b+frac14=0 end Rightarrow begin a=1-b\ left(b-frac12right)^2=0 end Rightarrow begin a=frac12\ b=frac12 end end Возвращаемся к исходным переменным: begin begin cosx=frac12\ cosy=frac12 end Rightarrow begin x=pmfracpi3+2pi k\ y=pmfracpi3+2pi n end end Получаем четыре пары решений.
Ответ: ( left< begin left(-fracpi3+2pi k; -fracpi3+2pi nright), left(fracpi3+2pi k; fracpi3+2pi nright),\ left(-fracpi3+2pi k; fracpi3+2pi nright), left(fracpi3+2pi k; -fracpi3+2pi nright) end right> )

г) ( begin x+y=frac23\ 2cos(pi x)+4cos(pi y)=3 end )
Из верхнего линейного уравнения выражаем (y) через (x) и подставляем в нижнее: begin begin y=frac23-x\ 2cos(pi x)+4cosleft(pileft(frac23-xright)right)=3 end end Решаем полученное уравнение относительно (x): begin 2cos(pi x)+4cosleft(frac-pi xright)=3\ 2cos(pi x)+4left(cosfraccospi x+sinfracsinpi xright)=3\ 2cos(pi x)+left(left(-frac12right)cospi x+frac<sqrt>sinpi xright)=3\ 2cos(pi x)-2cos(pi x)+2sqrtsinpi x=3\ sinpi x=frac<sqrt>Rightarrow pi x= left[ begin fracpi3+2pi k\ frac+2pi k end right. Rightarrow x= left[ begin frac13+2k\ frac23+2k end right. end Получаем две пары решений: begin left[ begin begin x=frac13+2k\ y=frac23-x=frac13-2k end \ begin x=frac23+2k\ y=-2k end end right. end Ответ: (left)

Пример 2*. Решите систему уравнений:
a) ( begin sqrtcosx=0\ 2sin^2x-cosleft(2y-fracpi3right)=0 end )
Первое уравнение является независимым. Решаем его, чтобы найти (x): begin begin left[ begin cos2x=0\ cosx=0 end right.\ cos2xgeq 0 end Rightarrow begin left[ begin 2x=fracpi2+pi k\ x=fracpi2+pi k end right.\ -fracpi2+2pi kleq 2xleqfracpi2+2pi k end Rightarrow begin left[ begin x=fracpi4+frac\ x=fracpi2+pi k end right.\ -fracpi4+pi kleq xleqfracpi4+pi k end end

Семейство решений (x=fracpi2+pi k) не подходит по требованию ОДЗ (закрашенные сектора). Остается только: begin x=fracpi4+frac end

Подставляем полученный (x) во второе уравнение: begin 2sin^2left(fracpi4+fracright)-cosleft(2y-fracpi3right)=0 end Используем формулу понижения степени: (2sin^2x=1-cos2x) begin 2sin^2left(fracpi4+fracright)=1-cosleft(2left(fracpi4+fracright)right)=1-underbrace_=1 end Получаем: begin 1-cosleft(2y-fracpi3right)=0Rightarrow cosleft(2y-fracpi3right)=1Rightarrow 2y-fracpi3=2pi nRightarrow\ Rightarrow 2y=fracpi3+2pi nRightarrow y=fracpi6+pi n end Ответ: (left(fracpi4+frac; fracpi6+pi nright))

б) ( begin tgleft(fracpi4+xright)=2sqrtcos^3y\ tgleft(fracpi4-xright)=2sqrtsin^3y end )
Рассмотрим произведение: $$ tgleft(fracpi4+xright)cdot tgleft(fracpi4-xright)=fraccdot frac=1 $$ Умножим уравнения и получим: begin 1=8cos^3ysin^3y=(2cosysiny)^3=sin^32yRightarrow sin2y=1Rightarrow 2y=fracpi2+2pi k\ y=fracpi4+pi k end Поставляем полученный y в первое уравнение: $$ tgleft(fracpi4+xright)=2sqrtcos^3left(fracpi4+pi kright) $$ Косинус равен ±1, в зависимости от четверти, в которой находится угол (y): begin cosleft(fracpi4+pi kright)= left[ begin frac<sqrt>, y=frac+2pi k\ -frac<sqrt>, y=frac+2pi k end right. end В первом случае: $$ tgleft(fracpi4+xright)=2sqrtcdotleft(frac<sqrt>right)^3=1Rightarrowfracpi4+x=fracpi4+pi nRightarrow x=pi n $$ Во втором случае: $$ tgleft(fracpi4+xright)=2sqrtcdotleft(-frac<sqrt>right)^3=-1Rightarrowfracpi4+x=-fracpi4+pi nRightarrow x=-fracpi2+pi n $$ Получаем две пары решений: begin left[ begin begin x=pi n\ y=fracpi4+2pi k end \ begin x=-fracpi2+pi n\ y=frac+2pi k end end right. end Ответ: (left<left(pi n; fracpi4+2pi kright), left(-fracpi2+pi n; frac+2pi kright)right>)

в) begin begin sqrt=cosx\ 2sinxctgy+1=0 end end ОДЗ: ( begin 1+sinxsinygeq 0\ cosxgeq 0\ cosyne 0 end Rightarrow begin cosxgeq 0\ cosyne 0 end )
(1+sinxsinygeq 0) — это требование всегда выполняется.
Возведем первое уравнение в квадрат: begin 1+sinxsiny=cos^2xRightarrow 1-cos^2x+sinxsiny=0Rightarrow\ Rightarrow sin^2x+sinxsiny=0Rightarrow sinx(sinx+siny)=0Rightarrow left[ begin sinx=0\ sinx+siny=0 end right. end Из второго уравнения следует, что (sinx=0) никогда не является решением ((0+1ne 0)). Значит, остается (sinx+siny=0) begin begin sinx+siny=0\ 2sinxctgy+1=0 end Rightarrow begin siny=-sinx\ ctgy=-frac end Rightarrow cosy=sinycdot ctgy=frac12Rightarrow\ Rightarrow y=pm arccosfrac12+2pi k=pmfracpi3+2pi k\ sinx=-sinyRightarrow left[ begin x=y+pi=pipmfracpi3+2pi n= left[ begin frac+2pi n\ frac+2pi n end right. \ x=-y=pmfracpi3+2pi n end right. end По ОДЗ (cosxgeq 0), подходят только нижние корни.
Получаем две пары решений.
Ответ: (left)

Видео:10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

Способы решения тригонометрических уравнений

Министерство образования и молодёжной политики Чувашской Республики

Муниципальное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №6 г. Чебоксары»

Способы решения тригонометрических уравнений

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №6

Методическая разработка по теме «Способы решения тригонометрических уравнений». В средней школе на изучение данной темы отводится незначительное количество часов. Эта разработка изучит, расширит и углубит математические знания по данной теме.

На экзаменах по математике для поступающих в ВУЗы, олимпиадах часто встречаются задания на решение тригонометрических уравнений.

Все приводимые способы направлены на развитие познавательного интереса к предмету, знакомящие учащихся с новыми идеями и методами, расширяющие представления об изучаемой теме в основной школе.

Уравнения, предлагаемые в данной разработке, интересны, красивы, носят прикладной характер, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся и интерес к предмету и вызвать желание узнать больше.

Основные цели методической разработки:

· знакомство учащихся с основными приемами и методами решения тригонометрических уравнений;

· развитие навыков применения теоретических сведений по данной теме на практике в различных проявлениях;

· развитие творческих способностей;

· повышение интереса к предмету;

· повторение и обобщение знаний по теме «Способы решения тригонометрических уравнений;

· оказание помощи учащимся систематизировании уравнений и нахождении рациональных приемов решения.

Особенность методической разработки.

Использование материала в работе даст положительные результаты при подготовке школьников к сдаче ЕГЭ по математике.

1. Уравнения, приводимые к алгебраическим. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .4

2. Уравнения, решаемые разложением на множители. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

3. Однородные уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

6. Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени. . . . . . . . . . . .8

7. Уравнения вида .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

8. Уравнения смешанного типа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

9. Задания для промежуточного и итогового контроля результатов обучения. .13

10. Тригонометрическое уравнение на ЕГЭ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

11. Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1. Уравнение .

Если для любого t. Если , то формула корней уравнения такова:

2. Уравнение .

При уравнение не имеет решений, так как для любого . Если |a|≤1,то формула для записи всех решений уравнения такова: Удобно записывать не двумя, а одной формулой:

3. Уравнение . Решение данного уравнения имеет вид:.

4. Уравнение . Решение данного уравнения имеет вид:

Способы решения тригонометрических уравнений.

I. Уравнения, приводимые к алгебраическим

Пример. Решить уравнение

Решение. Воспользуемся тем, что . Тогда заданное уравнение можно переписать в виде . После понятных преобразований получим . Введем новую переменную . Тогда уравнение примет вид , откуда находим . Значит,. Из этих уравнений находим, соответственно,

Уравнения для самостоятельного решения:

II. Уравнения, решаемые разложением на множители

Смысл этого метода: если уравнение удается преобразовать к виду , то задача сводится к решению двух уравнений, то есть к решению совокупности уравнений: .

Пример. Решить уравнение .

Решение. Имеем . Значит, приходим к совокупности уравнений . Из первого уравнения находим . Из второго уравнения находим .

Уравнения для самостоятельного решения:

III. Однородные уравнения.

Определение. Уравнение вида, где называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени, уравнение вида ¸называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Итак, дано уравнение . Разделив обе части уравнения почленно на , получим .

Но, внимание! Делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается в нуль (на 0 делить нельзя). Уверены ли мы, что в рассматриваемом случае отличен от 0? Давайте проанализируем. Предположим, что cos x =0. Тогда однородное уравнение asinx+bcosx=0 примет вид asinx=0¸ то есть sinx=0¸ так как a≠0. Получается, что и cosx=0¸ и sinx=0¸ а это невозможно, так как sinx и cosx обращается в нуль в различных точках. Итак, в однородном тригонометрическом уравнении первой степени деление обеих частей уравнения на cosx— вполне благополучная операция.

Пример 1. Решить уравнение 2sinx-3cosx= 0.

Решение. Разделим обе части уравнения почленно на cosx¸ получим . Рассмотрим теперь однородное тригонометрическое уравнение второй степени . Если коэффициент a отличен от нуля, то есть в уравнении содержится член sin2x с каким-то коэффициентом, отличным от нуля, то, рассуждая как и выше, нетрудно убедиться в том, что при интересующих нас значениях переменной cos x не обращается в нуль, а потому можно обе части уравнения разделить почленно на .

Это — квадратное уравнение относительно новой переменной z= tgx .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Разделим обе части уравнения почленно на cos2 x, получим Введя новую переменную получим, . Откуда находим z=1, z=2. Значит, либо tgx=1, либо tgx=2. Из первого уравнения находим Из второго уравнения находим .

Уравнения для самостоятельного решения:

IV. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций.

позволяют сумму или разность синусов или косинусов разложить на множители.

Пример. Решить уравнения: sin5x + sinx=0;

Решение. Преобразовав сумму синусов в произведение, получим

Значит, либо , откуда находим , либо cos2x=0, откуда находим

Уравнения для самостоятельного решения:

V. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму

при решении тригонометрических уравнений.

Уравнения для самостоятельного решения:

VI. Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени

Пример. Решить уравнение

Уравнения для самостоятельного решения:

VII. Уравнения вида

Преобразование выражения Итак, Аналогично можно выражение преобразовать к виду .

Пример.

Здесь Имеем Введём вспомогательный аргумент , удовлетворяющий соотношениям например, . Тогда

Уравнения для самостоятельного решения:

VIII. Уравнения смешанного типа

1. Решите уравнения:

Выбор корней проведём на тригонометрической окружности

y

Ответ:

а)

Ответ:

в)

Ответ:

б)

Ответ:

г)

Ответ:

2. Решите уравнения.

y

Не удовлетворяет условию

Выберем те значения x, которые удовлетворяют условию

Ответ:

а)

Ответ:

в)

Ответ:

б)

Ответ:

г)

Ответ:

3. Решите уравнение.

Данное уравнение равносильно системе:

Решим второе уравнение системы:

не удовлетворяет условию

Выберем те значения х, которые удовлетворяют условию .

Ответ:

4. Решите уравнения.

Число корней на .

Выбор корней проведём на тригонометрической окружности.

Число решений на равно 5.

а)

Найти число решений на .

б) .

Найти число решений на

в)

Найти число решений на .

г) .

Найти число решений на .

5. Основной идеей решения следующих заданий является выражение синуса или косинуса через тангенс или котангенс половинного аргумента (или наоборот). При этом следует иметь в виду, что в формулах область определения «левых частей» равенств – все действительные числа, а область определения «правых частей» — .

Поэтому переход от одного уравнения к другому с использованием этих формул, вообще говоря, сужает ОДЗ на множество π.

Аналогичная ситуация с формулами

Вообще, использование формул, у которых ОДЗ «левых» и «правых» частей не совпадают, может привести либо к потере, либо к появлению посторонних корней.

Примерами таких формул являются:

Ответ:

а) . Ответ: .

в) .

Ответ: .

б) . Ответ: .

г) .

Ответ: .

IX. Задания для промежуточного контроля результатов обучения (ответы даны в скобках).

Уравнения, приводимые к алгебраическим.

Уравнения, решаемые способом разложения на множители.

Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций.

Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму.

Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени.

Уравнения вида .

Уравнения смешанного типа.

1.

2.Найти наименьший корень уравнения на интервале

3.

Тест. Решение тригонометрических уравнений.

1. Найдите корни уравнения на интервале .

а) ; б) ; в) .

2. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

а) ; б) ; в) .

3. Решите уравнение: и найдите сумму корней, принадлежащих интервалу

а) ; б) ; в) .

4. Решите уравнение: и найдите сумму корней, принадлежащих интервалу .

а) ; б) ; в) .

Задания для итогового контроля результатов обучения.

1. Решите уравнения:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

2. Найдите сумму корней управления

на промежутке .

3. Укажите количество корней уравнения

4. Решите уравнения:

а) ;

б) .

1. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) . 2. 16. 3. 3. 4. а) ;

б) .

X. Тригонометрическое уравнение на ЕГЭ.

Решите уравнение . (С2,2007г.)

ОДЗ уравнения:

Используя способ разложения на множители, получим

или .

не удовлетворяет условию ОДЗ уравнения.

.

Используя способ решения однородного уравнения первой степени, получим:

С учетом ОДЗ уравнения решение данного уравнения имеет вид:

1. , , . Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа для 10-11 класса, Москва, Просвещение, 1997 г.

2. , . Факультативный курс по математике: Решение задач: Учебное пособие для 11 кл. средней школы – М., Просвещение, 1999.

3. Журнал «Математика в школе», 2006, № 10.

4. , , . Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика. – М. Интеллект-Центр, 2002-2007 г.

5. . Математика. Гтовимся к ЕГ, 2005.

6. . Алгебра и начала анализа; Учебник для 10-11 кл. средней школы – 2-е изд. – М. Просвещение, 2000.

7. , , . Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. средней школы – 4-е изд. – М. Просвещение, 2002.

8. и др. Алгебра и начала анализа.10-11 кл.: В двух частях. Ч.1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. Ч2: Задач. Для общеобразоват. учреждений.- 5-е изд.-М.:Мнемозина,2004.

🔍 Видео

Решение систем уравнений методом сложенияСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать

ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ 10 класс тригонометрияСкачать

Решение тригонометрических уравнений и их систем. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачиСкачать

✓ Тригонометрические формулы | Борис ТрушинСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Решение тригонометрических уравнений и их систем. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Тригонометрия для Чайников, 10 класс, Уравнения, Урок 7Скачать

Системы тригонометрических уравнений. Способы решений СТУ.Скачать

Решение тригонометрических уравнений. Метод вспомогательного угла. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.Скачать

Формулы приведения - как их легко выучить!Скачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

18+ Математика без Ху!ни. Формулы ПриведенияСкачать

Алгебра 10 класс (Урок№49 - Системы тригонометрических уравнений.)Скачать

Как решают уравнения в России и СШАСкачать