Слау из 4 уравнений решили методом обратной матрицы число неизвестных слау могло быть (2 видео)

Матричный метод решения СЛАУ: пример решения с помощью обратной матрицы

В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.

Метод обратной матрицы — это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.

Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Матричный вид записи: А × X = B

где А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n — матрица системы.

X = x 1 x 2 ⋮ x n — столбец неизвестных,

B = b 1 b 2 ⋮ b n — столбец свободных коэффициентов.

Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X . Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A — 1 :

A — 1 × A × X = A — 1 × B .

Так как А — 1 × А = Е , то Е × X = А — 1 × В или X = А — 1 × В .

Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие d e t A н е р а в е н н у л ю . Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится d e t А .

В том случае, если d e t A н е р а в е н н у л ю , у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если d e t А = 0 , то систему нельзя решить данным методом.

Содержание

Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы
Решение СЛАУ методом обратной матрицы
Алгоритм решения
Решение систем линейных уравнений
🌟 Видео

Видео:Решение системы уравнений методом обратной матрицы - bezbotvyСкачать

Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы

Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:

2 x 1 — 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 — 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 — x 2 + 5 x 3 = 2

Записываем систему в виде матричного уравнения А X = B , где

А = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 , X = x 1 x 2 x 3 , B = 1 3 2 .

Выражаем из этого уравнения X :

Находим определитель матрицы А :

d e t A = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 = 2 × ( — 2 ) × 5 + 3 × ( — 4 ) × 4 + 3 × ( — 1 ) × 1 — 3 × ( — 2 ) × 3 — — 1 × ( — 4 ) × 5 — 2 × 4 — ( — 1 ) = — 20 — 48 — 3 + 18 + 20 + 8 = — 25

d e t А не равняется 0, следовательно, для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.

Находим обратную матрицу А — 1 при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения А i j к соответствующим элементам матрицы А :

А 11 = ( — 1 ) ( 1 + 1 ) — 2 4 — 1 5 = — 10 + 4 = — 6 ,

А 12 = ( — 1 ) 1 + 2 1 4 3 5 = — ( 5 — 12 ) = 7 ,

А 13 = ( — 1 ) 1 + 3 1 — 2 3 — 1 = — 1 + 6 = 5 ,

А 21 = ( — 1 ) 2 + 1 — 4 3 — 1 5 = — ( — 20 + 3 ) = 17 ,

А 22 = ( — 1 ) 2 + 2 2 3 3 5 — 10 — 9 = 1 ,

А 23 = ( — 1 ) 2 + 3 2 — 4 3 — 1 = — ( — 2 + 12 ) = — 10 ,

А 31 = ( — 1 ) 3 + 1 — 4 3 — 2 4 = — 16 + 6 = — 10 ,

А 32 = ( — 1 ) 3 + 2 2 3 1 4 = — ( 8 — 3 ) = — 5 ,

А 33 = ( — 1 ) 3 + 3 2 — 4 1 — 2 = — 4 + 4 = 0 .

Записываем союзную матрицу А * , которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А :

А * = — 6 7 5 17 1 — 10 — 10 — 5 0

Записываем обратную матрицу согласно формуле:

A — 1 = 1 d e t A ( A * ) T : А — 1 = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 ,

Умножаем обратную матрицу А — 1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:

X = A — 1 × B = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 1 3 2 = — 1 25 — 6 + 51 — 20 7 + 3 — 10 5 — 30 + 0 = — 1 0 1

Ответ: x 1 = — 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1

Видео:Решение системы уравнений методом обратной матрицы.Скачать

Решение СЛАУ методом обратной матрицы

Напомним, что решением системы линейных уравнений называется всякая совокупность чисел <x₁, x₂, . x_n> , подстановка которых в эту систему вместо соответствующих неизвестных обращает каждое уравнение системы в тождество.
Система линейных алгебраических уравнений обычно записывается как (для 3-х переменных):

2x₁-3x₂+x₃ = 4
-x₁+2x₂+5x₃ = 10
3x₁-x₂+3x₃ = -1

или

2x-3y+z = 4
-z+2y+5z = 10
3x-y+3z = -1

См. также Решение матричных уравнений.</x

Видео:Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Матричный метод.Скачать

Алгоритм решения

Вычисляется определитель матрицы A . Если определитель равен нулю, то конец решения. Система имеет бесконечное множество решений.
При определителе отличном от нуля, через алгебраические дополнения находится обратная матрица A -1 .
Вектор решения X =<x₁, x₂, . x_n> получается умножением обратной матрицы на вектор результата B .

Пример №1 . Найти решение системы матричным методом. Запишем матрицу в виде:

2	3	1
-2	1	0
1	2	-2

Вектор B:
B T = (3,-2,-1)
Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.
Найдем главный определитель.
∆ = 2•(1•(-2)-2•0)-(-2•(3•(-2)-2•1))+1•(3•0-1•1) = -21
Итак, определитель -21 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.
Транспонированная матрица

A T =

2	-2	1
3	1	2
1	0	-2

Алгебраические дополнения.

A_1,1 = (-1) 1+1

1	2
0	-2

∆_1,1 = (1•(-2)-0•2) = -2

A_1,2 = (-1) 1+2

3	2
1	-2

∆_1,2 = -(3•(-2)-1•2) = 8

A_1,3 = (-1) 1+3

3	1
1	0

∆_1,3 = (3•0-1•1) = -1

A_2,1 = (-1) 2+1

-2	1
0	-2

∆_2,1 = -(-2•(-2)-0•1) = -4

A_2,2 = (-1) 2+2

2	1
1	-2

∆_2,2 = (2•(-2)-1•1) = -5

A_2,3 = (-1) 2+3

2	-2
1	0

∆_2,3 = -(2•0-1•(-2)) = -2

A_3,1 = (-1) 3+1

-2	1
1	2

∆_3,1 = (-2•2-1•1) = -5

A_3,2 = (-1) 3+2

2	1
3	2

∆_3,2 = -(2•2-3•1) = -1

A_3,3 = (-1) 3+3

2	-2
3	1

∆_3,3 = (2•1-3•(-2)) = 8

Обратная матрица:

A -1 = -1/21

-2	8	-1
-4	-5	-2
-5	-1	8

Вектор результатов X = A -1 • B

X = -1/21

-2	8	-1
-4	-5	-2
-5	-1	8

-2

-1

X T = (1,0,1)
x₁ = -21 / _-21 = 1
x₂ = 0 / _-21 = 0
x₃ = -21 / _-21 = 1
Проверка:
2•1+3•0+1•1 = 3
-2•1+1•0+0•1 = -2
1•1+2•0+-2•1 = -1

Запишем матрицу в виде:

Вектор B:
B T = (1,2,3,4)
Главный определитель
Минор для (1,1):

= 3•(3•2-6•2)-5•(3•2-6•1)+7•(3•2-3•1) = 3
Определитель минора
∆ = 2•(-3)-3•0+5•3-4•3 = -3

Вектор результатов X
X = A -1 ∙ B

Пример №3 . Систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы. Сделать проверку полученного решения.
Решение:xls

Пример №4 . Записать систему уравнений в матричной форме и решить с помощью обратной матрицы.
Решение:xls

Пример №5 . Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется: 1) найти ее решение с помощью формул Крамера; 2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления.
Методические рекомендации. После решения методом Крамера, найдите кнопку «Решение методом обратной матрицы для исходных данных». Вы получите соответствующее решение. Таким образом, данные вновь заполнять не придется.
Решение. Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B — матрицу-столбец свободных членов:

-1	3	0
3	-2	1
2	1	-1

Вектор B:
B T =(4,-3,-3)
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.
Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А -1 . Умножив обе части уравнения на А -1 , получим: А -1 *А*Х = А -1 *B, А -1 *А=Е.
Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А -1 .
Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.
Найдем главный определитель.
∆=-1•(-2•(-1)-1•1)-3•(3•(-1)-1•0)+2•(3•1-(-2•0))=14
Итак, определитель 14 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.
Пусть имеем невырожденную матрицу А:

a₁₁	a₁₂	a₁₃
a₂₁	a₂₂	a₂₃
a₃₁	a₃₂	a₃₃

Тогда:

A=1/∆

A₁₁	A₂₁	A₃₁
A₁₂	A₂₂	A₃₂
A₁₃	A₂₃	A₃₃

где A_ij — алгебраическое дополнение элемента a_ij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1) i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.
Транспонированная матрица

A T =

-1	3	2
3	-2	1
0	1	-1

Вычисляем алгебраические дополнения.

A_1,1=(-1) 1+1

-2	1
1	-1

∆_1,1=(-2•(-1)-1•1)=1

A_1,2=(-1) 1+2

3	1
0	-1

∆_1,2=-(3•(-1)-0•1)=3

A_1,3=(-1) 1+3

3	-2
0	1

∆_1,3=(3•1-0•(-2))=3

A_2,1=(-1) 2+1

3	2
1	-1

∆_2,1=-(3•(-1)-1•2)=5

A_2,2=(-1) 2+2

-1	2
0	-1

∆_2,2=(-1•(-1)-0•2)=1

A_2,3=(-1) 2+3

-1	3
0	1

∆_2,3=-(-1•1-0•3)=1

A_3,1=(-1) 3+1

3	2
-2	1

∆_3,1=(3•1-(-2•2))=7

A_3,2=(-1) 3+2

-1	2
3	1

∆_3,2=-(-1•1-3•2)=7

A_3,3=(-1) 3+3

-1	3
3	-2

∆_3,3=(-1•(-2)-3•3)=-7
Обратная матрица

A -1 =1/14

1	3	3
5	1	1
7	7	-7

Вектор результатов X
X=A -1 • B

X=1/14

1	3	3
5	1	1
7	7	-7

-3

X=1/14

-3))

X=1/14

-14

X T =(-1,1,2)
x₁= -14 / ₁₄=-1
x₂= 14 / ₁₄=1
x₃= 28 / ₁₄=2
Проверка.
-1•-1+3•1+0•2=4
3•-1+-2•1+1•2=-3
2•-1+1•1+-1•2=-3
doc:xls
Ответ: -1,1,2.

Пример №6 . Решить неоднородную систему линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы.

Видео:Обратная матрицаСкачать

Решение систем линейных уравнений

Эта страничка поможет решить Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, матричным методом или методом Крамера, исследовать их на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определить количество решений, найти общее, частное и базисные решения.

Введите коэффициенты при неизвестных в поля. Если Ваше уравнение имеет меньшее количество неизвестных, то оставьте пустыми поля при переменных, не входящих в ваше уравнение. Можно использовать дроби ( 13/31 ).