Скорость роста популяции бактерий n со временем t в часах описывается дифференциальным уравнением

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Дифференциальные уравнения в биологии и медицине: динамика численности популяции. Процесс передачи инфекции в период эпидемии

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 09 Декабря 2011 в 15:48, реферат

Краткое описание

Данный реферат посвящен способам измерения изменений, происходящих в популяции: динамике численности и процессу передачи инфекции во время эпидемии. В первой части реферата раскрываются некоторые биологические и медицинские понятия, во второй дается описание дифференциальных уравнений.

Содержание

Введение
1. Биологические и медицинские понятия
1.1. Понятие популяции.
1.2. Факторы, регулирующие численность популяции.
1.3. Инфекционные заболевания и эпидемии.
2. Дифференциальные уравнения.
2.1. Определение дифференциальных уравнений и их классификация.
2.2. Дифференциальные уравнения в биологии и медицине.
2.3. Процесс передачи инфекции и эпидемии.
Задачи
Заключение
Список литературы.

Прикрепленные файлы: 1 файл

Видео:Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решатьСкачать

реферат по математике дифференциальные уравнения в биологии и медицине.docx

Решение: Определим х (t) как размер популяции бактерий в момент времени t. Тогда по условию скорость роста равна 0,1 x (t), т.е. . Это дифференциальное уравнение первого порядка. Любая дифференцируемая функция, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению, называется решением этого уравнения.

Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию Если обозначает размер популяции бактерий после t часов роста, то чему равен размер через 10 часов?

Здесь . Общее решение имеет вид . Решением, удовлетворяющим начальному заданному условию является

После 10 часов роста размер популяции становится равным

Популяция бактерий увеличивается таким образом, что удельная скорость роста в момент t (время выражается в часах) составляет величину 1/(1 + 2t). Допустим, что начальной популяции соответствует х (0) = 1000. Какой будет популяция после 4 ч роста?

Удельная скорость роста равна Это однородное линейное уравнение первого порядка. При Интегрируя его получаем. , где k – постоянная интегрирования. Переход по экспонентам дает

, тогда решение Поскольку x(0)=1000

Тогда через 4 часа размер популяции будет равен = 3000

Дифференциальные уравнения широко применяются во многих научных областях, в том числе и в медицине и биологии. С их помощью можно рассчитать размер популяции и предсказать изменения численности, как крупных млекопитающих, так и болезнетворных бактерий. Это позволяет нам прогнозировать скорость передачи инфекции, распространения эпидемии и принимать профилактические меры заранее.

Список использованной литературы

1.Гроссман С. Тернер Дж. Математика для биологов: перевод с англ./предисл и коммент. Ю.М. Свирежева. – М. Высшая школа, 1983 – 383 с., ил.

2. Биология. В 2 кн. Кн. 2: Учебник для медиц. Спец. Вузов/ В.Н.Ярыгин, В.И.Васильева, И.Н. Волков, В.В.Синельщикова; под ред. В.Н.Ярыгина.- 5-е изд., испр. И доп. – М.: Высш. шк., 2003. – 334с.,ил.

3. Н. Бейли Математика в биологии и медицине. Издательство «МИР» Москва, 1970

Видео:Определяем тип ДУ 1Скачать

Решение задач

Пример 1. Найти общие интегралы уравнения:

(x + 1)3 dy – (y – 2)2dx = 0.

Разделим переменные в данном уравнении, деля его обе части на (x + 1)3 (y – 2)2.

Получено интегрируя первое слагаемое по y, а второе по x, получим искомое общее решение:

Пример2 Найти частное решение дифференциального уравнения dy = (x – 1 )dx при x0 = 2, y0 = 5.

ln|y| = 0,5×2 – x + lnC.

Есть правило: если в решении содержится логарифм, то константу интегрирования С также записываем как lnC. Умножим (0,5х2 – х) на lne, (lne = 1)

ln|y| = lne0.5x – x + lnC;

– это общее решение дифференциального уравнения. Найдём частное решение. Для этого вычислим С при х0 = 2 и у0 = 5.

Пример3 Решить уравнение 2ydy + dx = 0.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Проинтегрируем оба слагаемых:

Пример4 Концентрация лекарственного вещества в крови животного уменьшается вследствие выведения вещества из организма. Скорость уменьшения концентрации пропорциональна концентрации вещества в данный момент. Определить зависимость концентрации данного вещества в крови от времени, если в начальный момент времени она была равна 0,2 мг/л, а через 23 часа уменьшилась вдвое.

Скорость изменения концентрации и концентрации и концентрация C в любой момент времени t связана соотношением:

где k – коэффициент пропорциональности, который не зависит от времени. Знак «–» поставлен потому, что концентрация убывает с ростом времени.

Решаем это уравнение 1-го порядка методом разделения переменных:

После интегрирования это дает:

ln C=–kt+lnC0, C=C0e–kt.

Подставляя сюда концентрацию при t=0, найдем C0=0,2мг/л.

При t=23 часа 0,1 = 0,2e–23k или 2 = e23k.

Закон изменения концентрации:

Пример5 По Ньютону скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности температур тела и воздуха. Если температура воздуха 20°C, и тело в течении 20 минут охладилось от 100°C до 60°C, то через сколько времени t° тела станет равной 30°C?

Обозначим температуру тела T:

dT=–k(T–20), dT=kdt, ln|T–20|=kt+C.

Найдем С из начальных условий при t=0, T=l00°C:

Найдем k из дополнительных условий: за 20 минут температура тела уменьшилась на 40°C:при t=20 мин T=60°C: 60 – 20 = 80 e20k, 40=80e20k,e20k=1,k=–ln2, T–20=80e–ln2t.

Вычислим теперь, через сколько времени температура тела станет равной 30°C:

30 – 20=80e–ln2t, t = 20ln23=60(мин).

Пример6 Популяция бактерий x(t) растет так, что скорость ее роста в момент времени t (t-часы) равна одной десятой от размера популяции. Описать этот процесс роста дифференциальным уравнением. Чему равен размер популяции спустя 10 часов, если начальное условие x(0) = 1000?

Пусть x(t) – размер популяции в момент времени t. Скорость роста dx. Тогда по условию скорость роста dx в момент времени t равна 0,1x. Это дифференциальное уравнение 1-го порядка. Решим его: dx = 0,1dt;

x=1000·e0,1t – частное решение.

После 10 часов размер популяции становится равным:

Видео:11. Уравнения в полных дифференциалахСкачать

Основная образовательная программа (стр. 37 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

16) Что такое сетевая информационная модель?

17) На какие этапы можно разделить процесс разработки моделей и их исследование на компьютере?

18) Что такое регрессионная модель?

19) Что такое имитационная модель?

20) Что такое качественная модель?

21) Каковы принципы имитационного моделирования?

22) Какова специфика моделирования живых систем?

Тема: «Разностные уравнения и их приложения»

1) Что называется разностным уравнением?

2) Как определяется порядок разностного уравнения?

3) Что называется линейным разностным уравнением первого порядка?

4) Какой вид имеет линейное разностное уравнение первого порядка?

5) Как найти общее решение линейного уравнения первого порядка?

6) Что называется линейным разностным уравнением второго порядка?

7) Что называется однородным линейным разностным уравнением второго порядка?

8) В каком виде ищется решение однородного линейного уравнения второго порядка?

9) Что называется характеристическим уравнением разностного уравнения?

10) Какие случаи нужно рассматривать при решении характеристического уравнения?

11) В чем суть метода вариации постоянных, для разностных уравнений второго порядка?

12) Что называется моделью Фибоначчи?

13) Что называется дискретной моделью Мальтуса?

14) Что называется дискретной моделью Скеллама?

15) Что называется дискретной моделью Морана?

Тема: «Модели биологических систем, описываемые одним дифференциальным уравнением первого порядка»

1) Какое дифференциальное уравнение называется автономной?

2) Что означает стационарное состояние?

3) Как определяется устойчивое состояние равновесия?

4) Как выглядит математическое определение устойчивости состояния равновесия?

5) Что означает «состояние равновесия устойчиво по Ляпунову»?

6) Какое стационарное состояние называется асимптотически устойчивым?

7) Какое стационарное состояние называется неустойчивым?

8) Что называется аттрактором?

9) В чем суть метода Ляпунова исследования устойчивости стационарного состояния?

Тема: «Дифференциальные уравнения и их приложения»

1) Что называется дифференциальным уравнением?

2) Как определяется порядок дифференциального уравнения?

3) Как найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка?

4) Как найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка?

5) Что называется непрерывной моделью?

6) Что называется моделями с не перекрывающимися поколениями?

7) Что называется моделями с перекрывающимися поколениями?

8) Что такое дискретное логистическое уравнение?

9) Что такое монотонное решение?

10) Что такое затухающее решение?

11) Что такое матричные модели популяций?

Тема: «Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений»

1) Что такое фазовая плоскость?

2) Что такое фазовый портрет?

3) Что такое главная изоклина?

4) В чем суть метода изоклин?

5) Что такое УЗЕЛ?

6) Что такое СЕДЛО?

7) Что такое ФОКУС?

8) Что такое ЦЕНТР?

9) Что такое фазовая траектория?

Тема: «Исследование устойчивости стационарных состояний нелинейных систем второго порядка»

1) В чем суть метода Ляпунова?

2) Что такое модель Вольтерра?

3) Что такое уравнение Лотки?

4) В чем суть метода функций Ляпунова?

Тема: «Проблема быстрых и медленных переменных»

1) Что такое быстрая переменная?

2) Что такое медленная переменная?

3) Как формулируется теорема Тихонова?

4) Какая система называется вырожденной?

5) Что такое кризисы?

6) Что такое фазопараметрическая диаграмма?

7) Что такое катастрофа?

8) Что такое складка?

9) Что такое сборка?

Тема: «Мульти стационарные системы»

1) Какой вид имеет система уравнений, описывающий явление конкуренции между двумя одинаковыми видами?

2) Что означает триггер?

3) Как происходит силовое переключение?

4) Как происходит параметрическое переключение?

5) Какие стадии эволюции формирования единого генетического кода можно выделить?

6) Что означает модель отбора?

Видео:Решение задач по физике, химии, биологии с применением знаний о производной функции. STEAM урокСкачать

Типовые контрольные задания по дисциплине «Математическое моделирование в проблемах окружающей среды» для проверки освоения пройденного материала по темам

Периодичность проведения контрольных работ – одна контрольная работа в каждом рейтинговом периоде 7 семестра (всего 3 контрольных работы в семестре). Контрольные работы проводятся для всего курса студентов.

Контрольная работа №1

1. На одну из сторон монеты нанесена цифра 1, а на другую – цифра 2. Монету повторно подбрасывают и записывают суммарный счет результатов. Определим как вероятность того, что суммарный счет принимает некоторое значение n . Докажите, . Полагая , получите значение .

2. Согласно наблюдениям, скорость роста популяции бактерий в момент t (время выражается в часах) равна размеру популяции , поделенному на 5. Опишите этот процесс роста дифференциальным уравнением для . Каков порядок этого уравнения?

1. При изучении голодания масса испытуемого за 30 дней уменьшилась со 140 до 110 фунтов. Установлено, что ежедневная потеря массы была пропорциональна массе испытуемого. Обозначим массу испытуемого после n дней голодания через . Какому разностному уравнению удовлетворяет ? Найдите массу испытуемого после 15 дней голодания.

2. Дрожжи в растворе сахара растут таким образом, что их масса увеличивается со скоростью, равной половине массы в момент t (время выражается в часах). Опишите изменение массы дрожжей с помощью дифференциального уравнения. Каков порядок этого дифференциального уравнения?

1. Радий распадается со скоростью 1% в каждые 25 лет. Рассмотрим образец, содержащий граммов радия. Определим как количество радия, оставшегося в образце после 25 n . Составьте разностное уравнение для и найдите его решение. Сколько радия останется после 100 лет?

2. Бактерии, служащие пищей для популяции простейших, поступающие в экспериментальную среду с постоянной скоростью . Установлено, что они потребляются со скоростью, пропорциональной квадрату их концентрации. Концентрация бактерий в среде в момент t удовлетворяет, таким образом, уравнению первого порядка , где r – положительная постоянная пропорциональности.

а) Выразите концентрацию бактерий через .

б) Какова равновесная концентрация бактерий, т. е. при каком значении с производная обращается в нуль?

1. Каждой весной зоолог выпускает в озеро 100 рыб определенного вида, и так продолжается в течении нескольких лет до тех пор, пока запас этой рыбы в озере не достигнет 2000. Определим как численность рыб после n -го выпуска. Если установлено, что , и если , то сколько лет будет длиться эта программа?

2. У некоторых птиц общее время, затрачиваемое на питание, колеблется от минимального значения 2 ч. В день (летом) до максимального значения 8 ч. В день (зимой). Считая, что изменения затрат времени на питание описываются уравнением гармонического осциллятора, определите длительность суточных затрат на питание как функцию времени года.

1. При построении математической модели популяции предполагалось, что пара родительских особей дает ровно n потомков с вероятностью , которая удовлетворяет уравнению . Выразите через . Найдите и используя соотношение .

2. В благоприятных условиях выращивают две популяции мух. Для популяции I удельная скорость роста составляет 0,1 (время выражается в днях). Для популяции II аналогичная скорость составляет 0,08. Определим как суммарную численность популяций в момент t . Найдите дифференциальное уравнение второго порядка, которому удовлетворяет .

1. Реакция организма на лекарства через n часов после инъекции выражается показателем , измеряемым в некоторых подходящих единицах. Допустим, что показатель удовлетворяет разностному уравнению . Найдите , если .

2. Популяция бактерий возрастает от начального размера в 100 ед. до предельного (равновесного) размера в 100000 ед. Пусть в течение первого часа она увеличивается до 120 ед. Считая, что рост популяции подчиняется логистическому уравнению, найдите ее размер как функцию времени.

1. Определим как вероятность того, что тяжелобольной проживет по крайней мере еще n дней. Найдите вероятность того, что больной проживет не менее 5 дней, если b . Чему равно математическое ожидание числа дней жизни больного?

2. В популяцию большого размера занесено инфекционное заболевание. Доля людей перенесших заболевание, возрастает со временем, Пусть обозначает долю людей, переболевших этой болезнью за t лет после ее возникновения в популяции, и пусть Найдите для всех моментов t >0, если . За сколько лет доля переболевших достигнет 90%?

1. В эксперименте с голоданием масса у двух испытуемых за 30 дней убывала от 140 и 170 фунтов до 110 и 125 фунтов соответственно. Было установлено, что еженедельные потери массы каждого испытуемого пропорциональны его массе. Определим как суммарную массу обоих испытуемых после n дней голодания. Найдите разностное уравнение второго порядка, которому удовлетворяет . Чему равна суммарная масса после 15 дней голодания?

2. Допустим, что уравнение первого порядка отражает скорость роста популяции в момент времени t . Дайте биологическую интерпретацию каждому члену уравнения. Найдите размеры популяции в моменты t =0,1; t =0,2; t =0,5, если начальный размер составляет .

1. Два сосуществующих вида дрозофилы выращивают в подходящей среде. В каждом поколении популяции вида I увеличивается на 60%, а популяция вида II – на 40%. Какова суммарная численность обеих популяций, если первоначально имелось по 1000 мух каждого вида? Для суммарной численности найдите разностное уравнение второго порядка.

2. Согласно наблюдениям, скорость роста популяции бактерий в момент t (время выражается в часах) равна размеру популяции , поделенному на 5. Опишите этот процесс роста дифференциальным уравнением для . Каков порядок этого уравнения?

1. С целью анализа распространения инфекционных заболеваний в одной школе ведется запись вспышек кори. Согласно полученным оценкам, вероятность возникновения хотя бы одного нового случая заболевания спустя n недель после вспышки удовлетворяет уравнению . Найдите , если и . После скольких недель вероятность нового случая кори становится меньше 10%?

2. Дрожжи в растворе сахара растут таким образом, что их масса увеличивается со скоростью, равной половине массы в момент t (время выражается в часах). Опишите изменение массы дрожжей с помощью дифференциального уравнения. Каков порядок этого дифференциального уравнения?

Контрольная работа №2

1. Выяснить при каких значениях параметра q величина :
а) растет, не меняя знака;

б) убывает, не меняя знака;

в) совершает колебания с убывающей амплитудой;

г) совершает колебания с возрастающей амплитудой, если

где n велико и продолжает расти.

Выяснить при каких значениях параметра q величина :
а) растет, не меняя знака;

б) убывает, не меняя знака;

в) совершает колебания с убывающей амплитудой;

г) совершает колебания с возрастающей амплитудой, если

где n велико и продолжает расти.

Выяснить при каких значениях параметра q величина :
а) растет, не меняя знака;

б) убывает, не меняя знака;

в) совершает колебания с убывающей амплитудой;

г) совершает колебания с возрастающей амплитудой, если

где n велико и продолжает расти.

Выяснить при каких значениях параметра q величина :
а) растет, не меняя знака;

б) убывает, не меняя знака;

в) совершает колебания с убывающей амплитудой;

г) совершает колебания с возрастающей амплитудой, если

где n велико и продолжает расти.

Выяснить при каких значениях параметра q величина :
а) растет, не меняя знака;

б) убывает, не меняя знака;

в) совершает колебания с убывающей амплитудой;

г) совершает колебания с возрастающей амплитудой, если

где n велико и продолжает расти.

Выяснить при каких значениях параметра q величина :
а) растет, не меняя знака;

б) убывает, не меняя знака;

в) совершает колебания с убывающей амплитудой;

г) совершает колебания с возрастающей амплитудой, если

где n велико и продолжает расти.

Выяснить при каких значениях параметра q величина :
а) растет, не меняя знака;

б) убывает, не меняя знака;

в) совершает колебания с убывающей амплитудой;

г) совершает колебания с возрастающей амплитудой, если

где n велико и продолжает расти.

Выяснить при каких значениях параметра q величина :
а) растет, не меняя знака;

б) убывает, не меняя знака;

в) совершает колебания с убывающей амплитудой;

г) совершает колебания с возрастающей амплитудой, если

где n велико и продолжает расти.

Выяснить при каких значениях параметра q величина :
а) растет, не меняя знака;

б) убывает, не меняя знака;

в) совершает колебания с убывающей амплитудой;

г) совершает колебания с возрастающей амплитудой, если

где n велико и продолжает расти.

Выяснить при каких значениях параметра q величина :
а) растет, не меняя знака;

б) убывает, не меняя знака;

в) совершает колебания с убывающей амплитудой;

г) совершает колебания с возрастающей амплитудой, если

где n велико и продолжает расти.

Контрольная работа №3

1. Динамика численности популяции рыб в водоеме удовлетворяет экспоненциальному закону развития

где k =0,15 (1/сут.). Считая найти:

а) концентрацию рыб при t =5 сут.;

б) интервал между двумя последовательными делениями;

в) через какое время последовательность популяции рыб будет равно 270000.

Динамика численности популяции рыб в водоеме удовлетворяет экспоненциальному закону развития

где k =0,25 (1/сут.). Считая найти:

а) концентрацию рыб при t =3 сут.;

б) интервал между двумя последовательными делениями;

в) через какое время последовательность популяции рыб будет равно 40000.

Динамика численности популяции рыб в водоеме удовлетворяет экспоненциальному закону развития

где k =0,25 (1/сут.). Считая найти:

а) концентрацию рыб при t =4 сут.;

б) интервал между двумя последовательными делениями;

в) через какое время последовательность популяции рыб будет равно 90000.

Динамика численности популяции рыб в водоеме удовлетворяет экспоненциальному закону развития

где k =0,35 (1/сут.). Считая найти:

а) концентрацию рыб при t =4 сут.;

б) интервал между двумя последовательными делениями;

в) через какое время последовательность популяции рыб будет равно 150000.

Динамика численности популяции рыб в водоеме удовлетворяет экспоненциальному закону развития

где k =0,25 (1/сут.). Считая найти:

а) концентрацию рыб при t =3 сут.;

б) интервал между двумя последовательными делениями;

в) через какое время последовательность популяции рыб будет равно 40000.

Динамика численности популяции рыб в водоеме удовлетворяет экспоненциальному закону развития

где k =0,45 (1/сут.). Считая найти:

а) концентрацию рыб при t =4сут.;

б) интервал между двумя последовательными делениями;

в) через какое время последовательность популяции рыб будет равно 140000.

Динамика численности популяции рыб в водоеме удовлетворяет экспоненциальному закону развития

где k =0,15 (1/сут.). Считая найти:

а) концентрацию рыб при t =3 сут.;

б) интервал между двумя последовательными делениями;

в) через какое время последовательность популяции рыб будет равно 30000.

Динамика численности популяции рыб в водоеме удовлетворяет экспоненциальному закону развития

где k =0,5 (1/сут.). Считая найти:

а) концентрацию рыб при t =5 сут.;

б) интервал между двумя последовательными делениями;

в) через какое время последовательность популяции рыб будет равно 20000.

Динамика численности популяции рыб в водоеме удовлетворяет экспоненциальному закону развития

где k =0,25 (1/сут.). Считая найти:

а) концентрацию рыб при t =2 сут.;

б) интервал между двумя последовательными делениями;

в) через какое время последовательность популяции рыб будет равно 60000.

Динамика численности популяции рыб в водоеме удовлетворяет экспоненциальному закону развития

где k =0,35 (1/сут.). Считая найти:

а) концентрацию рыб при t =5 сут.;

б) интервал между двумя последовательными делениями;

в) через какое время последовательность популяции рыб будет равно 50000.

Итоговая государственная аттестация

К видам итоговых аттестационных испытаний итоговой государст венной аттестации выпускников КБГУ относятся:

— защита выпускной квалификационной работы;

Конкретный перечень обязательных итоговых аттестационных испыта­ ний устанавливается государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования в части требований к итоговой государст­ венной аттестации выпускника и утверждается Минобразованием России.

Выпускные квалификационные работы выполняются в формах, соот ветствующих определенным ступеням высшего профессионального образо вания: для квалификации (степени) бакалавр — в форме бакалаврской работы;
для квалификации «дипломированный специалист» — в форме дипломной ра­ боты (проекта); для квалификации (степени) магистр — в форме магистер­ ской диссертации.

Темы выпускных квалификационных работ в КБГУ определяются выпускающими кафедрами КБГУ, обсуждаются и рекомендуются для утвер­ждения Учеными советами факультетов (институтов). Студенту может пре­ доставляться право выбора темы выпускной квалификационной работы вплоть до предложения своей тематики с необходимым обоснованием целе­ сообразности ее разработки. Для подготовки выпускной квалификационной работы студенту назначается руководитель (при необходимости консультан­ты). Темы выпускных квалификационных работ, руководители и рецензенты утверждаются в установленные сроки (не позднее шести месяцев до начала работы ГАК) приказом по вузу.

Выпускные квалификационные работы, выполненные по заверше­ нии основных образовательных программ, оформляются с учетом соответст вующих методических рекомендаций, подписываются автором и руководи телем работы, и представляются на кафедру, где она выполнена. Выпускающая кафедра рассматривает выпускную квалификационную работу студента
на соответствие требованиям ФГОС и методическим рекомендациям по
оформлению, разработанным в КБГУ, и после ее одобрения (что удостоверяется подписью зав. кафедрой) направляется заблаговременно (не менее одной
недели до защиты ГАК) на рецензирование.

Рецензия и отзыв руководителя составляется в соответствии с методи­ ческими рекомендациями, разработанными в КБГУ. При этом рецензент должен сосредоточить внимание на качестве, выполненной работы и дать прямую оценку выполненной выпускником работы на соответствие требова­ ниям ФГОС. Отзыв руководителя должен содержать упорядоченное перечис­ ление качеств выпускника, выявленных в ходе его работы над заданием. Особое внимание руководителя должно быть направлено на оценку соответ­ствия выпускника требованиям к его личностным характеристикам (само­стоятельность, ответственность, умение организовать свой труд и др.).

Условия и сроки выполнения выпускных квалификационных работ
устанавливаются Ученым советом КБГУ на основании настоящего Положе­ ния, соответствующих государственных образовательных стандартов высше­го профессионального образования в части, касающейся требований к итоговой государственной аттестации выпускников, и рекомендаций учебно-
методических объединений высших учебных заведений.

Программы государственных экзаменов (по отдельным дисципли­ нам, итоговый междисциплинарный экзамен по направлениям подготовки (специальностям) и т. п.) и критерии оценки выпускных квалификационных работ утверждаются Ученым советом университета с учетом рекомендаций учебно-методических объединений вузов не позднее, чем за шесть месяцев до начала итоговой аттестации (в приложениях 1 — 2 приведены формы ти­ тульных листов программ итоговых экзаменов).

Государственные экзаменационные билеты утверждаются председате­лем государственной аттестационной комиссии и представляются в учебный отдел (в 3-х экземплярах). С согласия председателя (устного, письменного) билеты может утверждать его заместитель. Формы бланков государственных экзаменационных билетов приведены в приложениях.

Итоговые аттестационные испытания, входящие в перечень обязатель­ных итоговых аттестационных испытаний, не могут быть заменены оценкой качества освоения образовательных программ путем осуществления текуще­го контроля успеваемости и промежуточной аттестации студента.

Видео:#161. САМАЯ КРАСИВАЯ ФОРМУЛА В МАТЕМАТИКЕ — ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА: e^(iπ)+1=0Скачать

Бельтра Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии. (13 стр.)

Приближенное значение числа e

В 1618 году Непер уже упоминает это число в своих логарифмических таблицах как основание натуральных логарифмов log c (x) или, в сокращенном виде, ln(х). Обозначение в виде буквы е ввел математик Леонард Эйлер в 1727 году. Среди любопытных фактов, связанных с этим числом, выделяются те, что относятся к экспоненциальной функции е. Во-первых, производной функции f(х) = еявляется эта же самая функция, то есть f’(х) = е. Производная в точке х = 0 равна f’(х) = 1. Во-вторых, интерес представляет интеграл этой функции: Наконец, сумма бесконечного числа членов ряда 1/0! + 1/1! + 1/2! + … + 1/n! равна числу е.

Обратите внимание, что знаменателями членов ряда являются факториалы последовательных чисел, которые определяются, к примеру, так: 4!= 4·3·2·1. Если бы ряд имел вид 1 + х + х/2! + х/3! + х/4! + … + х/n! то сумма этого ряда приближалась бы к экспоненциальной функции е.

Подобные соотношения наблюдаются при изучении множества явлений. В частности, к ним относится экспоненциальный рост населения, проанализированный Мальтусом. Примером экспоненциального роста является рост колонии бактерий.

Пусть N — начальное число бактерий Escherichia coli в лабораторной чашке Петри, r — показатель роста численности бактерий. Тогда N t — численность бактерий в колонии в момент времени t — будет определяться следующим выражением:

Так как следующее поколение бактерий образуется каждые 30 минут, по прошествии некоторого времени в чашке Петри будет находиться несколько миллионов бактерий. Другой пример, представляющий практический интерес для математической биологии, — это распределение Пуассона, или закон распределения вероятностей, описывающий случайные события, имеющие малую вероятность. Допустим, мы подвергли чашку Петри с культурой бактерий Escherichia coli ультрафиолетовому излучению. Вероятность получения определенного числа мутантов х будет равна:

где λ — параметр закона распределения вероятностей. Число е также фигурирует в гиперболических функциях, широко применяющихся в биологии.

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Глава 3
Микробиолог, покорившийся хаосу

Представьте себе микробиолога, который хочет провести ряд экспериментов, требующих достаточно много бактерий Escherichia coli. Для этого он выращивает культуру в чашке Петри. Обозначим начальное число бактерий в чашке Петри через y 0 . Благодаря современным теориям математической биологии известно, что рост популяции описывается дифференциальным уравнением у’ = r·у. Это означает, что скорость роста численности бактерий у’ равна численности бактерий в момент времени t, умноженной на r, где r — мгновенный уровень роста.

Важно отметить, что рост численности бактерий будет описываться этим дифференциальным уравнением при условии, что питательные вещества в среде с бактериями не должны заканчиваться. Похожую ситуацию можно воспроизвести в микробиологической лаборатории с помощью хемостата, о чем мы уже рассказывали. Также рост бактерий не должен быть ограничен физическим пространством. Это означает, что культуре должно быть предоставлено, по меньшей мере в теории, неограниченное пространство для все новых и новых поколений. Если бы эти условия были возможны в природе, мы имели бы дело со сценарием экспоненциального роста, описанным Томасом Мальтусом в 1798 году.

Дифференциальное уравнение у’ = r·у и его ограничения

Решив дифференциальное уравнение у’ = r·у, получим следующее выражение:

Это выражение означает, что число бактерий у в определенный момент времени t будет равно начальной численности бактерий у 0 , умноженной на экспоненту. Здесь экспонента — это число е, возведенное в степень, равную произведению r на время t.

Значение параметра r нельзя определить в результате наблюдений, но можно найти путем оценки или по справочнику. Напомним, что приближенное значение числа е равно 2,71828.

Обратите внимание, что число бактерий будет возрастать экспоненциально при соблюдении указанных условий. Зная выражение, приведенное в начале этого раздела, микробиолог сможет определить, сколько времени потребуется, чтобы получить необходимое количество бактерий.

Сканер, показывающий рост группы бактерий Escherichia coli.

Однако он должен обеспечить поступление к культуре Е. coli неограниченного количества питательных веществ и предоставить им необходимое физическое пространство. Для этого микробиолог может подсчитать максимальное число бактерий, которое уместится в лабораторной посуде. Обозначим это параметр через k (максимальная численность колонии бактерий также называется поддерживающей емкостью среды). Следовательно, в уравнение мальтусовской модели у’ = r·у следует ввести дополнительный множитель (k — у). Мы получили дифференциальное уравнение, отражающее новое ограничение — максимальный размер популяции, способной уместиться в той или иной среде:

Это выражение, как вы знаете из предыдущей главы, называется уравнением Ферхюльста и ввел его бельгийский математик Пьер Франсуа Ферхюльст в 1838 году. Очевидно, что если численность бактерий у растет, значение k — у уменьшается, и наоборот, с уменьшением численности бактерий у значение k — у увеличивается, что обеспечивает регулирование размеров колонии. Этот механизм регуляции подобен тому, который используется в термостате и называется механизмом обратной связи.

Обратите внимание, что в примере с бактериями (и многими другими живыми существами) их максимальная численность может достигать нескольких миллионов. Работать со столь большими числами неудобно, но ничто не мешает нам обозначить максимальный размер популяции через 1. Проведя это изменение масштаба, получим, что размер популяции будет варьироваться от 0 до 1 и составлять, например, 0,67, 0,16 и т. д. Зная, какой величине соответствует 1, можно определить фактический размер популяции. С учетом изменения масштаба дифференциальное уравнение будет выглядеть так:

Перед тем как рассмотреть уравнение подробнее, выполним последнее действие: заменим у’ на y·(t + 1), у — на у(t). Эти величины обозначают численность бактерий в момент времени t + 1 в будущем и в настоящий момент времени t соответственно. Теперь исходное дифференциальное уравнение приняло вид:

у(t + 1) = r·у(t)·(1 — у(t)).

Именно это выражение использовал биолог Роберт Мэй в 1976 году при компьютерном моделировании роста популяций.

Четыре эксперимента в качестве примера

Допустим, что микробиолог проводит четыре эксперимента на компьютере. Обозначим их 1, 2, 3 и 4. Показатель мгновенного роста r составит 0,4; 2,4; 3,0 и 3,6 соответственно. Во всех экспериментах исходная численность бактерий у(0) одинакова.

Будем считать, что начальное число бактерий составляет 70 % от их максимальной численности в сосуде, то есть 1. Следовательно, у(0) будет равно 0,7. Обратите внимание, что в каждом из четырех экспериментов будет применяться разное значение r, позволяющее определить численность бактерий у(t +1) для каждого момента времени t.

🎦 Видео

Михальский А.И. Управление биомед. Лекция 4. Моделирование роста опухолевых клеток.Скачать

Составить дифференциальные уравнения семейств линийСкачать

ЗАЧЕМ НУЖНЫ ЭТИ... производные! Математика на QWERTY.Скачать

Поле направлений дифференциального уравнения первого порядкаСкачать

Как распознать талантливого математикаСкачать

Дифференциальные уравнения для самых маленькихСкачать

Видеоурок в 11 классе "Математические модели в биологии"Скачать

Дифференциальные уравнения 1. Вязкое торможениеСкачать

Задача на составление дифференциального уравненияСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать