Сколько существует различных решений системы логических уравнений (7 видео)

Содержание

Задача №23. Решение систем логических уравнений.
Решение систем логических уравнений — Основы логики
Сколько существует различных решений системы логических уравнений
🔍 Видео

Видео:Сколько решений имеет логическое уравнение: (A импликация В) ИЛИ (C импликация D). ЕГЭ(информатика)Скачать

Задача №23. Решение систем логических уравнений.

Решение систем логических уравнений методом замены переменных

Метод замены переменных применяется, если некоторые переменные входят в состав уравнений только в виде конкретного выражения, и никак иначе. Тогда это выражение можно обозначить новой переменной.

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, х2, х3, х4, х5, х6, х7, х8, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(x1 → х2) → (х3→ х4) = 1

(х3 → х4) → (х5 → х6) = 1

(х5 → х6) → (х7 → х8) = 1

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, х2, х3, х4, х5, х6, х7, х8, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Сделаем замену переменных:

(x1 → х2) = y1; (х3 → х4) = y2; (х5 → х6) = y3; (х7 → х8) = y4.

Тогда можно записать систему в виде одного уравнения:

(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) = 1. Конъюнкция равна 1 (истинна), когда каждый операнд принимает значение 1. Т.е. каждая из импликаций должна быть истинна, а это выполняется при всех значениях, кроме (1 → 0). Т.е. в таблице значений переменных y1, y2, y3, y4 единица не должна стоять левее нуля:

Т.е. условия выполняются для 5 наборов y1-y4.

Т.к. y1 = x1 → x2, то значение y1 = 0 достигается на единственном наборе x1, x2: (1, 0), а значение y1 = 1 – на трех наборах x1, x2: (0,0) , (0,1), (1,1). Аналогично для y2, y3, y4.

Поскольку каждый набор (x1,x2) для переменной y1 сочетается с каждым набором (x3,x4) для переменной y2 и т.д., то количества наборов переменных x перемножаются:

Кол-во наборов на x1…x8

Сложим количество наборов: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121.

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, . x9, y1, y2, . y9, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, . x9, y1, y2, . y9, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Сделаем замену переменных:

(x1 ≡ y1) = z1, (x2 ≡ y2) = z2,…. ,(x9 ≡ y9) = z9

Систему можно записать в виде одного уравнения:

(¬ z1 ≡ z2) ∧ (¬ z2 ≡ z3) ∧ …..∧ (¬ z8 ≡ z9)

Эквивалентность истинна, только если оба операнда равны. Решениями этого уравнения будут два набора:

z1	z2	z3	z4	z5	z6	z7	z8	z9
0	1	0	1	0	1	0	1	0
1	0	1	0	1	0	1	0	1

Т.к. zi = (xi ≡ yi), то значению zi = 0 соответствуют два набора (xi,yi): (0,1) и (1,0), а значению zi = 1 — два набора (xi,yi): (0,0) и (1,1).

Тогда первому набору z1, z2,…, z9 соответствует 2 9 наборов (x1,y1), (x2,y2),…, (x9,y9).

Столько же соответствует второму набору z1, z2,…, z9. Тогда всего 2 9 +2 9 = 1024 наборов.

Решение систем логических уравнений методом визуального определения рекурсии.

Этот метод применяется, если система уравнений достаточно проста и порядок увеличения количества наборов при добавлении переменных очевиден.

Сколько различных решений имеет система уравнений

где x1, x2, … x10 — логические переменные?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений x1, x2, … x10, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Решим первое уравнение. Дизъюнкция равна 1, если хотя бы один из ее операндов равен 1. Т.е. решениями являются наборы:

Для x1=0 существуют два значения x2 ( 0 и 1), а для x1=1 только одно значение x2 (1), такие, что набор (x1,x2) является решением уравнения. Всего 3 набора.

Добавим переменную x3 и рассмотрим второе уравнение. Оно аналогично первому, значит для x2=0 существуют два значения x3 ( 0 и 1), а для x2=1 только одно значение x3 (1), такие, что набор (x2,x3) является решением уравнения. Всего 4 набора.

Несложно заметить, что при добавлении очередной переменной добавляется один набор. Т.е. рекурсивная формула количества наборов на (i+1) переменных:

N_i₊₁ = N_i + 1. Тогда для десяти переменных получим 11 наборов.

Решение систем логических уравнений различного типа

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x₁, . x₄, y₁. y₄, z₁. z₄, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x₁, . x₄, y₁, . y₄, z₁, . z₄, при которых выполнена данная система равенств.

В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Заметим, что три уравнения системы одинаковы на различных независимых наборах переменных.

Рассмотрим первое уравнение. Конъюнкция истинна (равна 1) только тогда, когда все ее операнды истинны (равны 1). Импликация равна 1 на всех наборах, кроме (1,0). Значит, решением первого уравнения будут такие наборы x1, x2, x3, x4, в которых 1 не стоит левее 0 (5 наборов):

Видео:КАК РЕШАТЬ СИСТЕМЫ ЛОГИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. ЕГЭ по информатике. Задание 23Скачать

Решение систем логических уравнений — Основы логики

В алгебре логики изучаются логические операции, производимые над высказываниями. Такие высказывания могут быть истинными или ложными. Применяя к простым высказываниям логические операции, можно строить составные высказывания.

Основные логические операции

• Отрицание (инверсия, логическое НЕ)

Смысл операции: результат меняется на противоположный (вместо истины — ложь, вместо лжи — истина).

• Логическое сложение (дизъюнкция, логическое ИЛИ)

Смысл операции: результат — истина, если хотя бы один операнд — истина (операндом называется то значение или та переменная, над которым (которой) осуществляется операция).

Обозначения: V или +.

• Логическое умножение (конъюнкция, логическое И)

Смысл операции: результат — истина, если оба операнда — истина.

Обозначения: Λ или &.

• Исключающее ИЛИ (сложение по модулю 2, строгая дизъюнкция)

Смысл операции: результат — истина, если операнды различны.

Смысл операции: из лжи может следовать что угодно, а из истины — только истина.

Смысл операции: результат — истина, если операнды одинаковы.

Если в логическом выражении используется несколько логических операций, то их порядок определяется приоритетами логических операций:

Операцию “импликация” можно выразить через “ИЛИ” и “НЕ”:

Операцию “эквиваленция” также можно выразить через “ИЛИ” и “НЕ”:

Поразрядные (побитовые) логические операции

Кроме обычных логических операций, применимых по отношению к логическим переменным, возможны поразрядные (побитовые) логические операции, выполняемые для пар “одноименных” (соответствующих одним и тем же разрядам) битов двух целых чисел. При этом двоичное значение 1 рассматривается как “истина”, а значение 0 — как “ложь”. Результатом выполнения поразрядной логической операции является целое число.

Для каждой пары битов выполняется логическая операция “И”.

Для каждой пары битов выполняется логическая операция “ИЛИ”.

Основные законы алгебры логики

Закон непротиворечия (высказывание не может быть одновременно истинным и ложным)

Закон исключения третьего (либо высказывание, либо его отрицание должно быть истинным)

Закон двойного отрицания

Законы де Моргана

Законы рефлексивности (идемпотенции)

Свойства логических констант 1 и 0

Полезно запомнить следующее правило: если известно количество решений уравнения F(x₁, х₂, . х_n) = 1, то количество возможных решений “противоположного” уравнения F(x₁, х₂, . х_n) = 0 равно разности количества всех возможных комбинаций значений переменных х₁, х₂. х_n (которое равно 2 n ) и количества решений уравнения F(x₁, х₂, . х_n) = 1 (и, соответственно, наоборот):

Это правило легко доказать, рассмотрев полную таблицу истинности логической функции F(x₁, х₂, . х_n): если исключить из нее строки, соответствующие значению F = 1, то останутся строки, соответствующие значению F = 0,и наоборот.

Разбор типовых задач

Задача 1. Сколько различных решений имеет система уравнений

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений х₁, х₂, . х₁₀, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа вам нужно указать количество таких наборов.

1) Анализируется первое уравнение:

Последняя выполняемая операция здесь — И, поэтому:

Следует обратить внимание: в обеих частях записаны одни и те же тождества, только в первом случае они записаны “как есть”, а во втором — с отрицаниями. Тогда, если (х₁ ≡ х₂) = 1 и (х₃ ≡ х₄) = 1, то первая запись будет истинной, но тогда ¬(x₁ ≡ х₂) и ¬(х₃ ≡ х₄) оба будут ложными, и вторая запись ложна. И наоборот, при (х₁ ≡ х₂) = 0 и (х₃ ≡ х₄) = 0 первая запись будет ложной, а вторая (с отрицаниями) — истинной. Не подходит ни тот, ни другой вариант. “Спасает положение” то, что тождества в обеих записях соединены операцией ИЛИ, т.е. оба раза достаточно, чтобы единице было равно хотя бы одно из этих тождеств.

Вывод: чтобы первое уравнение системы было равно 1, нужно, чтобы либо (х₁ ≡ х₂) = 1 и (х₃ ≡ х₄) = 0, либо, наоборот, (х₁ ≡ х₂) = 0 и (х₃ ≡ х₄) = 1.

Первое из этих “либо” даёт такие варианты значений переменных, когда х₁ и х₂ одинаковы, а х₃ и х₄ различны:

Второе “либо”, аналогично, даёт варианты, в которых, наоборот, х₁ и х₂ различны, а х₃ и х₄ одинаковы:

Всего — 8 вариантов.

2) Добавляется в анализ второе уравнение:

Рассуждая аналогично и учитывая, что для х₃ и х₄ возможные варианты “унаследованы” от предыдущего уравнения, получается, что в вариантах значений х₅, х₆, добавленных этим вторым уравнением, для одинаковых значений х₃ и х₄ должны быть разными значения х₅ и х₆, а для различных значений х₃ и х₄ — одинаковые значения х₅ и х₆:

Итого из 8 предыдущих вариантов благодаря второму уравнению получается 16 (вдвое больше).

3) Очевидно, такая тенденция сохранится и дальше, ведь уравнения системы — типовые. Значит, добавление в рассмотрение третьего уравнения, пропущенного в записи системы и использующего переменные х₅, х₆, х₇, x₈, снова удвоит количество вариантов значений переменных: из 16 их получится 32.

Аналогично, последнее, четвёртое уравнение системы (переменные х₇, х₈, х₉, х₁₀) снова удваивает количество вариантов, “унаследованное” от предыдущего уравнения. В итоге для всей системы уравнений получается 64 возможных варианта значений переменных x₁ — x₁₀.

Ответ: 64 варианта значений переменных.

Задача 2. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x₁, х₂, х₃, х₄, х₅, у₁, у₂, у₃, у₄, у₅, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x₁, х₂, х₃, х₄, х₅, y₁, у₂, у₃, у₄, у₅, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа вам нужно указать количество таких наборов.

Как и всегда при решении задач с системами логических уравнений, нужно сначала проанализировать каждое уравнение в отдельности. При этом, первое и второе уравнения заданной системы практически идентичны (с точностью до имён переменных — “игреки” вместо “иксов”), и это существенно облегчает работу.

Анализируя первое уравнение:

Таблица истинности логической операции следования: единственная ситуация, при которой её результат равен нулю, — когда из единицы следует нуль, а во всех других случаях эта операция возвращает единицу:

Кроме того, поскольку все отдельные операции следования в первом уравнении соединены операцией И, для выполнения заданного в нём равенства требуется, чтобы все операции следования давали в результате единицу.

Чтобы найти все возможные комбинации значений переменных, задействованных в первом уравнении, удобнее всего выполнить построение дерева решений: это позволит не запутаться и не пропустить какие-то варианты. При построении дерева на каждом его очередном шаге анализируется очередная пара переменных и для каждой имеющейся ветви определяются дальнейшие варианты ветвления. Слева указываются логические операции следования, которые и анализируются на соответствующих шагах (уровнях дерева). Ключевым моментом при построении дерева является уже отмеченный выше факт, что для получения единичного результата из нуля может следовать любое значение второй переменной, а из единицы — только единица.

Основную идею при построении данного дерева можно условно выразить фразой: “размножаются только нули”. То есть если имеется начало набора значений пяти переменных, которое на данный момент завершается нулём, то продолжить его можно как нулём, так и единицей (в дереве имеется ветвление), но если текущая последовательность заканчивается единицей, то продолжать её можно только единицей, и в дереве не будет никакого ветвления, а только продолжение уже существующей ветви.

Полный набор возможных значений переменных, удовлетворяющих первому уравнению, тогда содержится в самой нижней строке построенного дерева (в его “листьях”): (х₁х₂х₃х₄х₅) = (00000), (00001), (00011), (00111), (01111), (11111).

Второе уравнение по структуре полностью совпадает с первым. Поэтому анализировать его нет необходимости, и можно сразу записать набор возможных для него значений переменных: (y₁y₂y₃y₄y₅) = (00000), (00001), (00011), (00111), (01111), (11111).

Если бы в условии задачи присутствовали только рассмотренные два уравнения, то, поскольку в них нет общих переменных, решением этой системы уравнений были бы все возможные попарные сочетания найденных наборов значений “иксов” и “игреков”. Именно третье уравнение, в котором одной логической операцией связаны один из “иксов” и один из “игреков”, является “ключом”, определяющим выбор: какие из найденных комбинаций наборов значений (х₁х₂х₃х₄х₅) и (y₁y₂y₃y₄y₅) подходят, а какие — нет.

Запись этого третьего уравнения:

Согласно ему, из всех найденных пар наборов значений “иксов” и “игреков” для решения подходят только такие, в которых значения указанных переменных соответствуют истинности заданной логической операции, т.е.:

• когда в наборе значений (y₁y₂y₃y₄y₅) пятая цифра равна нулю, в пару с ним годятся любые наборы значений (х₁х₂х₃х₄х₅), поскольку, что бы в них ни стояло в пятой позиции (0 или 1), результат операции у₅→ х₅ = 1 в любом случае будет равен 1 (см. таблицу истинности для этой операции);

• когда в наборе значений (y₁y₂y₃y₄y₅) пятая цифра равна единице, в пару с ним годятся только такие наборы значений (х₁х₂х₃х₄х₅), в которых пятая цифра равна 1.

Удобнее и нагляднее всего расписать все получаемые комбинации значений х и y виде таблицы (“матрицы решений”). Анализируемые цифры в ней выделены подчеркиванием.

Видео:Сколько решений имеет лог. уравнение (!(A *B) + C) IMP (!A * !B + D) = 1. Информатика, ЕГЭ, логикаСкачать

Сколько существует различных решений системы логических уравнений

Сложим количество вариантов: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 364.

Задание 3. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Запишем переменные в строчку: x₁x₂x₃x₄x₅x₆x₇x₈. Импликация ложна только в том случае, когда из истины следует ложь. Условие не выполняется, если в ряде после одинаковых цифр присутствует другая цифра. Например, «11101. » что означает невыполнение второго условия.

Рассмотрим комбинации переменных, удовлетворяющие всем условиям. Выпишем варианты, при которых все цифры чередуются, таких два: 10101010 и 01010101. Теперь для первого варианта, начиная с конца, будем увеличивать количество повторяющихся подряд цифр (настолько, насколько это возможно). Выпишем полученные комбинации: «10101011; 10101111. » таких комбинаций восемь. Аналогично для второго варианта: «01010101; 01010100. «. Таким образом, получаем 8 + 8 = 16 решений.

Задание 4. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Запишем переменные в строчку: x₁x₂x₃x₄x₅x₆x₇. Импликация ложна только в том случае, когда из истины следует ложь. Условие не выполняется, если в ряду после одинаковых цифр присутствует другая цифра. Например, «11101. » что означает невыполнение второго условия.

Рассмотрим комбинации переменных, удовлетворяющие всем условиям. Выпишем варианты, при которых все цифры чередуются, таких два: 1010101 и 0101010. Теперь для первого варианта, начиная с конца, будем увеличивать количество повторяющихся подряд цифр(настолько, насколько это возможно). Выпишем полученные комбинации: «1010111; 1011111. » таких комбинаций восемь. Аналогично для второго варианта: «0101011; 0101111. «. Учтём, что при подсчёте комбинация для второго варианта комбинации 0000000 и 1111111 были учтены дважды. Таким образом, получаем 8 + 8 − 2 = 14 решений.

Задание 5. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x₁, x₂, . x₈, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x₁, x₂, … x₈ при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Построим древо решений первого уравнения:

Заметим, что выражение (x₃ ≡ x₄) в двух случаях равно 1 и в двух случаях равно 0. Таким образом, одно уравнение имеет восемь решений.

Второе уравнение связано с первым только через выражение (x₃ ≡ x₄). Построим древо решений второго уравнения:

Для каждого из значений 0 и 1 выражения (x₃ ≡ x₄) существует четыре набора переменных x₁, x₂. x₄, удовлетворяющих первому уравнению (см. первый рисунок). Таким образом, система из двух уравнений имеет 4 · 4 = 16 решений.

Третье уравнение связано со вторым только через выражение (x₅ ≡ x₆). Построим древо решений третьего уравнения:

Для каждого из значений 0 и 1 выражения (x₅ ≡ x₆) существует 2 · 4 = 8 наборов переменных x₁, x₂. x₆, удовлетворяющих первому уравнению (см. первый и второй рисунок). Таким образом, система из трёх уравнений имеет 8 · 4 = 32 решения.

Задание 6. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x₁, x₂, . x₁₀, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x₁, x₂, … x₁₀ при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Построим древо решений первого уравнения:

Задание 7. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x₁, x₂, . x₁₀, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

Построим древо решений первого уравнения:

Аналогично система из четырёх уравнений будет иметь 64 решения.

Задание 8. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x₁, x₂, . x₈, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

Рассмотрим первое уравнение.

При x₁ = 1 возможны два случая: x₂ = 0 и x₂ = 1. В первом случае x₃ = 1. Во втором — x₃ либо 0, либо 1. При x₁ = 0 также возможны два случая: x₂ = 0 и x₂ = 1. В первом случае x₃ либо 0, либо 1. Во втором — x₃ = 0. Таким образом, уравнение имеет 6 решений (см. рисунок).

Рассмотрим систему из двух уравнений.

Пусть x₁ = 1. При x₂ = 0 возможен лишь один случай: x₃ = 1, переменная x₄ = 0. При x₂ = 1 возможно два случая: x₃ = 0 и x₃ = 1. В первом случае x₄ = 1, во втором — x₄ либо 0, либо 1. Всего имеем 4 варианта.

Пусть x₁ = 0. При x₂ = 1 возможен лишь один случай: x₃ = 0, переменная x₄ = 1. При x₂ = 0 возможно два случая: x₃ = 0 и x₃ = 1. В первом случае x₄ либо 1, либо 0, во втором — x₄ = 0. Всего имеем 4 варианта.

Таким образом, система из двух уравнений имеет 4 + 4 = 8 вариантов (см. рисунок).

Система из трёх уравнений будет иметь 10 решений, из четырёх — 12. Отрицание в последнем уравнении действует только на комбинацию переменных, не связанных с с предыдущими уравнениями. Поэтому, количество решений данной в условии системы совпадает с количеством решений системы из шести однотипных уравнений (системы, в которой в последнем уравнении нет знака отрицания после конъюнкции), и равно 16.

Задание 9. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x₁, x₂, . x₈, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

Построим древо решений первого уравнения:

Задание 10. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x₁, x₂, . x₁₂, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x₁, x₂, … x₁₂ при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Построим древо решений первого уравнения:

Аналогично система из четырёх уравнений будет иметь 64 решения, система из пяти уравнений — 128.

Задание 1. Сколько различных решений имеет уравнение J ∧ ¬ K ∧ L ∧ ¬ M ∧ (N ∨ ¬ N) = 0, где J, K, L, M, N — логические переменные?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений J, K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Выражение (N ∨ ¬ N) ис тин но при любом N, по это му

J ∧ ¬ K ∧ L ∧ ¬ M = 0.

Применим отрицание к обеим частям логического уравнения и используем закон де Моргана ¬ (А ∧ В ) = ¬ А ∨ ¬ В . По лу чим

Логическая сумма равна 1, если хотя бы одно из составляющих ее высказываний равно 1. Поэтому полученному уравнению удовлетворяют любые комбинации логических переменных кроме случая, когда все входящие в уравнение величины равны 0. Каждая из 4 переменных может быть равна либо 1, либо 0, поэтому всевозможных комбинаций 2·2·2·2 = 16. Следовательно, уравнение имеет 16 −1 = 15 решений.

Осталось заметить, что найденные 15 решений соответствуют любому из двух возможных значений значений логической переменной N, поэтому исходное уравнение имеет 30 решений.

Задание 2. Сколько различных решений имеет уравнение

((J → K) → (M ∧ N ∧ L)) ∧ ((J ∧ ¬ K) → ¬ (M ∧ N ∧ L)) ∧ (M → J) = 1

где J, K, L, M, N – логические переменные?

Используем формулы A → B = ¬ A ∨ B и ¬ ( А ∨ В ) = ¬А ∧ ¬В

Рассмотрим первую подформулу:

(J → K) → (M ∧ N ∧ L) = ¬ ( ¬ J ∨ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (J ∧ ¬ K) ∨ (M ∧ N ∧ L)

Рассмотрим вторую подформулу

(J ∧ ¬ K) → ¬ (M ∧ N ∧ L) = ¬ (J ∧ ¬ K) ∨ ¬ (M ∧ N ∧ L) = ( ¬ J ∨ K) ∨ ¬ M ∨ ¬ N ∨ ¬ L

Рассмотрим третью подформулу

1) M → J = 1 сле до ва тель но,

(J ∧ ¬ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬ K) ∨ (1 ∧ N ∧ L) = ¬ K ∨ N ∧ L;

(0 ∨ K) ∨ 0 ∨ ¬ N ∨ ¬ L = K ∨ ¬ N ∨ ¬ L;

¬K ∨ N ∧ L ∧ K ∨ ¬ N ∨ ¬ L = 0 ∨ L ∨ 0 ∨ ¬ L = L ∨ ¬ L = 1 сле до ва тель но , 4 ре ше ния .

(J ∧ ¬ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬ K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = ¬ K;

(¬J ∨ K) ∨ ¬ M ∨ ¬ N ∨ ¬ L = (0 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬ N ∨ ¬ L = K ∨ 1 ∨ ¬ N ∨ ¬ L

K ∨ 1 ∨ ¬ N ∨ ¬ L ∧ ¬ K = 1 ∨ ¬ N ∨ ¬ L сле до ва тель но , 4 ре ше ния .

(J ∧ ¬ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (0 ∧ ¬ K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = 0.

(¬J ∨ K) ∨ ¬ M ∨ ¬ N ∨ ¬ L = (1 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬ N ∨ ¬ L.

Задание 3. Сколько различных решений имеет уравнение:

¬((J → K) → (L ∧ M ∧ N)) ∨ ¬ ((L ∧ M ∧ N) → ( ¬ J ∨ K)) ∨ (M ∧ J) = 0

Используем формулу A → B = ¬ A ∨ B

Рассмотрим первую подформулу:

¬((¬J ∨ K) → (M ∧ N ∧ L)) = ¬ ( ¬ ( ¬ J ∨ K) ∨ (M ∧ N ∧ L)) = ¬ ((J ∧ ¬ K) ∨ (M ∧ N ∧ L)) =

Учитывая, что ¬(А ∨ В ) = ¬А ∧ ¬В ,

= (¬J ∨ K) ∧ ( ¬ M ∨ ¬ N ∨ ¬ L)

Рассмотрим вторую подформулу

¬((L ∧ M ∧ N) → ( ¬ J ∨ K)) = ¬ ( ¬ (L ∧ M ∧ N) ∨ ( ¬ J ∨ K)) = L ∧ M ∧ N ∧ J ∧ ¬ K

Применим отрицание к левой и правой части уравнения, получится

[(J ∧ ¬ K) ∨ (M ∧ N ∧ L)] ∧ [ ¬ L ∨ ¬ M ∨ ¬ N ∨ ¬ J ∨ K] ∧ [ ¬ M ∨ ¬ J] = 1

1) (¬M ∨ ¬ J) = 1, сле до ва тель но ,

0 ∧ ¬ K ∧ ¬ L ∨ ¬ N ∨ K, сле до ва тель но , 0 ре ше ний .

[(0 ∧ ¬ K) ∨ (1 ∧ N ∧ L)] ∧ [ ¬ L ∨ 0 ∨ ¬ N ∨ 1 ∨ K] ∧ [ ¬ M ∨ 1] = N ∧ L ∧ ¬ L ∨ ¬ N ∨ 1 ∨ K = 1 => L=N=1, следовательно, 2 решения.

[(1 ∧ ¬ K) ∨ (0 ∧ N ∧ L)] ∧ [ ¬ L ∨ ¬ 0 ∨ ¬ N ∨ ¬ 1 ∨ K] ∧ [ ¬ 0 ∨ ¬ 1] = 1, сле до ва тель но , 4 ре ше ния .

Задание 4. Сколько различных решений имеет уравнение

((K ∨ L) → (L ∧ M ∧ N)) = 0

где K, L, M, N – логические переменные? В Ответе не нужно перечислять все различные наборы значений K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве Ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

перепишем уравнение, используя более простые обозначения операций:

((K + L) → (L · M · N)) = 0

1) из таблицы истинности операции «импликация» (см. первую задачу) следует, что это равенство верно тогда и только тогда, когда одновременно

K + L = 1 и L · M · N = 0

2) из первого уравнения следует, что хотя бы одна из переменных, K или L, равна 1 (или обе вместе); поэтому рассмотрим три случая

3) если K = 1 и L = 0, то второе равенство выполняется при любых М и N; поскольку существует 4 комбинации двух логических переменных (00, 01, 10 и 11), имеем 4 разных решения

4) если K = 1 и L = 1, то второе равенство выполняется при М · N = 0; существует 3 таких комбинации (00, 01 и 10), имеем еще 3 решения

5) если K = 0, то обязательно L = 1 (из первого уравнения); при этом второе равенство выполняется при М · N = 0; существует 3 таких комбинации (00, 01 и 10), имеем еще 3 решения

6) всего получаем 4 + 3 + 3 = 10 решений.

Задание 5. Сколько различных решений имеет уравнение

где K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать только количество таких наборов.

Выражение истинно в трех случаях, когда (K ∧ L) и (M ∧ N) равны со от вет ствен но 01, 11, 10.

1) «01» K ∧ L = 0; M ∧ N = 1, => M, N равны 1, а K и L любые , кроме как од но вре мен но 1. Сле до ва тель но 3 ре ше ния .

2) «11» K ∧ L = 1; M ∧ N = 1. => 1 ре ше ние .

3) «10» K ∧ L = 1; M ∧ N = 0. => 3 ре ше ния .

Задание 6. Сколько различных решений имеет уравнение

(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0

где X, Y, Z, P – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать только количество таких наборов.

Применим преобразование импликации:

(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0 =>

¬(X ∧ Y ∨ Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;

(¬X ∨ ¬ Y ∧ ¬ Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;

Логическое ИЛИ ложно только в одном случае: когда оба выражения ложны.

(Z ∨ P) = 0 => Z = 0, P = 0.

¬X ∨ ¬ Y ∧ ¬ Z = 0 => ¬ X ∨ ¬ Y ∧ 1 = 0 =>

¬X ∨ ¬ Y = 0 => X = 1; Y = 1.

Следовательно, существует только одно решение уравнения.

Задание 7. Сколько различных решений имеет уравнение

(X ∨ Y ∨ Z) → (X ∧ P) = 1

Применим преобразование импликации:

(X ∨ Y ∨ Z) → (X ∧ P) = 1;

¬(X ∨ Y ∨ Z) ∨ (X ∧ P) = 1;

(¬X ∧ ¬ Y ∧ ¬ Z) ∨ (X ∧ P) = 1; (1)

Логическое «ИЛИ» ложно , когда ложны оба утверждения.

Логическое «И» истинно только тогда, когда истинны оба утверждения.

(¬X ∧ ¬ Y ∧ ¬ Z) = 1 тогда X = 0, Y = 0, Z = 0.

Тогда из (1) следует, что P может быть как 1, так и 0, то есть 2 набора решений.

(¬X ∧ ¬ Y ∧ ¬ Z) = 0, (X ∧ P) = 1.

Тогда P = 1, X = 1.

(0 ∧ ¬ Y ∧ ¬ Z) = 0 => есть 4 ре ше ния .

В итоге 6 решений.

Задание 8. Сколько различных решений имеет уравнение

Логическое И истинно только в одном случае: когда все выражения истинны.

K ∨ L = 1, M ∨ N = 1.

Каждое из уравнений дает по 3 решения.

Рассмотрим уравнение А ∧ В = 1 если и А и В при ни ма ют ис тин ные зна че ния в трех случаях каждое, то в целом уравнение имеет 9 решений.

Следовательно ответ 9.

Задание 9. Сколько различных решений имеет уравнение

((A → B) ∧ C) ∨ (D ∧ ¬ D)= 1,

где A, B, C, D – логические переменные?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений A, B, C, D, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать количество таких наборов.

Логическое «ИЛИ» истинно , когда истинно хотя бы одно из утверждений.

(D ∧ ¬ D)= 0 при любых D.

(A → B) ∧ C) = 1 => C = 1; A → B = 1 => ¬ A ∨ B = 1, что дает нам 3 ва ри ан та ре ше ний при каж дом D.

(D ∧ ¬ D)= 0 при любых D, что дает нам два варианта решений (при D = 1, D = 0).

Следовательно: всего решений 2*3 = 6.

Итого 6 решений.

Задание 10. Сколько различных решений имеет уравнение

(¬K ∨ ¬ L ∨ ¬ M) ∧ (L ∨ ¬ M ∨ ¬ N) = 0

Применим отрицание к обеим частям уравнения:

(K ∧ L ∧ M) ∨ ( ¬ L ∧ M ∧ N) = 1

Логическое ИЛИ истинно в трех случаях.

K ∧ L ∧ M = 1, тогда K, L, M = 1, а ¬ L ∧ M ∧ N = 0. N любое , то есть 2 ре ше ния .

¬L ∧ M ∧ N = 1, тогда N, M = 1; L = 0, K любое , то есть 2 ре ше ния .

Следовательно, ответ 4.

Системы логических уравнений, содержащие не однотипные уравнения

Задание 1. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5 ) = 1

(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) ∧ (y4 → y5 ) = 1

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем три варианта — x1=1, y1=1; x1=0, y1=1; x1=1, y1=0.

2) Логическое И истинно, только тогда, когда истины все утверждения, а импликация ложна только в случае, если из истинного следует ложное.

3) Уравнение (1) описывает ряд переменных . Так как из переменной с более низким номером всегда следует переменная с более высоким, если любую переменную из этого ряда приравнять 1, то все следующие должны также быть равны 1. Для уравнения (2) существует то же самое правило. Иначе говоря, если записать переменные x (или y) в порядке возрастания их номеров, слева будут нули, а справа — единицы.

4) Рассмотрим вариант x1=1, y1=1. Так как первые числа каждого ряда равны 1, то все следующие тоже равны 1. Существует только одна комбинация для этого варианта.

5) Рассмотрим вариант x1=0, y1=1. Для y-ряда все переменные равны 1, для x же существует 5 комбинаций, так как в ряде x может быть от 1 до 5 нолей включительно.

6) Последний вариант рассмотрим аналогично предыдущему. Там существует всего 5 комбинаций.

Правильный ответ: 5+5+1=11 комбинаций.

Задание 2. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5 ) = 1

(y5 → y4) ∧ (y4 → y3) ∧ (y3 → y2) ∧ (y2 → y1 ) = 1

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем x3=1, y3=1.

3) Уравнение (1) описывает ряд переменных . Так как из переменной с более низким номером всегда следует переменная с более высоким, если любую переменную из этого ряда приравнять 1, то все следующие должны также быть равны 1. Для уравнения (2) существует то же самое правило, только наоборот: из переменной с более высоким номером всегда следует переменная с более низким. Иначе говоря, если записать переменные x в порядке возрастания их номеров, справа будут единицы, а слева — нули, в y — напротив, слева единицы, справа — нули.

4) Рассмотрим вариант x3=1, y3=1. Тогда все следующие: x4, x5, y2, y1 тоже равны 1. Остаются переменные x1, x2, y4, y5. Так как x2 следует из x1, для них мы имеем 3 варианта, аналогично для y4 и y5. 3 3=9.

Задание 3. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, y1, y2 y3, y4, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) = 1

(¬y1 ∨ y2) ∧ ( ¬ y2 ∨ y3) ∧ ( ¬ y3 ∨ y4) = 1

(y1 → x1) ∧ (y2 → x2) ∧ (y3 → x3) ∧ (y4 → x4) = 1

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, y1, y2 y3, y4, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Конъюнкция истина тогда и только тогда, когда каждое высказывание истинно.

Для первого выражения это означает, что, если х1 равен 1, то х2, х3 и х4 также равны 1, т. е. для х1. х4 решения существуют только в виде «1111», «0111», «0011», «0001» и «0000».

Применив преобразование импликации ко второму выражению, увидим, что оно аналогично первому.

В третьем выражении из «y» следует соответствующее ему «x», это означает, что если y = 1, то и x = 1.

Следовательно, первому набору для x «1111» соответствует 5 наборов y. Второму — 4, третьему — 3, и. т. д.

Следовательно, ответ: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15.

Задание 4. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5 ) = 1

(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) ∧ (y4 → y5 ) = 1

1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем три варианта — x1=1, y1=1; x1=0, y1=1; x1=0, y1=0.

3) Уравнение (1) описывает ряд переменных . Так как из переменной с более низким номером всегда следует переменная с более высоким, если любую переменную из этого ряда приравнять 1, то все следующие должны также быть равны 1. Для уравнения (2) существует то же самое правило. Иначе говоря, если записать переменные x (или y) в порядке возрастания их номеров, справа будут единицы, а слева — нули.

6) Последний вариант рассмотрим аналогично предыдущему. Там существует всего 25 комбинаций.

Правильный ответ: 25+5+1=31 комбинация.

Задание 5. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, х2, хЗ, х4, х5, хб, y1, у2, уЗ, у4, у5, у6 которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(x1 → х 2) ∧ ( х 2 → хЗ ) ∧ ( хЗ → х 4) ∧ ( х 4 → х 5) ∧ ( х 5 → х 6) = 1

(y1 → y2) ∧ ( у 2 → уЗ ) ∧ ( уЗ → у 4) ∧ ( у 4 → у 5) ∧ ( у 5 → у 6) = 1

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, х2, хЗ, х4, х5, y1, у2, уЗ, у4, у5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем три варианта — x1=1, y1=1; x1=0, y1=1; x1=1, y1=0.

3) Уравнение (1) описывает ряд переменных . Так как из переменной с более низким номером всегда следует переменная с более высоким, если любую переменную из этого ряда приравнять 1, то все следующие должны также быть равны 1. Для уравнения (2) существует то же самое правило. Иначе говоря, если записать переменные x (или y) в порядке возрастания их номеров, справа будут нули, а слева — единицы.

5) Рассмотрим вариант x1=0, y1=1. Для y-ряда все переменные равны 1, для x же существует 6 комбинаций, так как в ряде x может быть от 1 до 6 нолей включительно.

6) Последний вариант рассмотрим аналогично предыдущему. Там существует всего 6 комбинаций.

Правильный ответ: 6+6+1=13 комбинаций.

Задание 6. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, х2, хЗ, х4, х5, y1, у2, уЗ, у4, у5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(x1 → х 2) ∧ ( х 2 → хЗ ) ∧ ( хЗ → х 4) ∧ ( х 4 → х 5 ) = 1

(y1 → y2) ∧ ( у 2 → уЗ ) ∧ ( уЗ → у 4) ∧ ( у 4 → у 5 ) = 1

1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем три варианта — x1=1, y1=1; x1=0, y1=1; x1=1, y1=0.

3) Уравнение (1) описывает ряд переменных . Так как из переменной с более низким номером всегда следует переменная с более высоким, если любую переменную из этого ряда приравнять 1, то все следующие должны также быть равны 1. Для уравнения (2) существует то же самое правило. Иначе говоря, если записать переменные x (или y) в порядке возрастания их номеров, справа будут нули, а слева — единицы.

6) Последний вариант рассмотрим аналогично предыдущему. Там существует всего 5 комбинаций.

Правильный ответ: 5+5+1=11 комбинаций.

Задание 7. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5 ) = 1

(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) ∧ (y4 → y5 ) = 1

1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем три варианта: x5=1, y5=1; x5=0, y5=0; x5=0, y5=1.

3) Уравнение (1) описывает ряд переменных . Так как из переменной с более низким номером всегда следует переменная с более высоким, если любую переменную из этого ряда приравнять 1, то все следующие должны также быть равны 1. Для уравнения (2) существует то же самое правило. Иначе говоря, если записать переменные x в порядке возрастания их номеров, справа будут нули, а слева — единицы, в y — так же.

4) Рассмотрим вариант x5=1, y5=1. Тогда остальные переменные могут принимать любые значения: всего таких комбинаций 25.

5) Рассмотрим вариант х5=0, у5=0. Тогда все переменные равны 0, следовательно, 1 комбинация.

6) Рассмотрим вариант х5=0, у5=1. Тогда все переменные х равны 0, а переменные у могут принимать любые значения. Всего таких комбинаций 5.

Задание 8. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, х2, хЗ, х4, х5, у1, у2, уЗ, у4, у5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, х2, хЗ, х4, х5, у1, у2, уЗ, у4, у5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Заметим, что первые два уравнения связаны друг с другом только через третье.

Найдем количество решений первого уравнения. Каждая из переменных x1, . , x5 может принимать только два значения. Импликация ложна только тогда, когда из истины следует ложь. Если записать значения переменных подряд, то можно увидеть, что для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо, чтобы после «1» никогда не стоял «0». Следовательно, получаем такие решения: (x1,x2,x3,x4,x5) = 00000, 00001, 00011, 00111, 01111, 11111.

Во втором уравнении необходимо, чтобы после «0» никогда не стояла «1». Следовательно, получаем такие решения: (y1,y2,y3,y4,y5) = 00000, 10000, 11000, 11100, 11110, 11111. Таким образом, система из двух уравнений имеет 6·6 = 36 решений: для каждого набора переменных y существует 6 наборов переменных x.