Сколько решений имеет уравнение x + y + z = 8:
a) в целых неотрицательных числах;
b) в целых положительных числах?
Сколько можно составить из цифр 1, 2, 3, 4:
a) двузначных чисел;
b) двузначных чисел с различными цифрами;
- Вопрос задан более трёх лет назад
- 4989 просмотров
Вы поставили совершенно верный тег — Комбинаторика. Этот раздел математики и начинался как метод подсчета количества различных вариантов/комбинаций.
Наиболее часто задачи на комбинаторику подразумевают последовательное фиксирование количества состояний переменных одной за одной.
Давайте начнем со второй задачи — она несколько проще.
2а) Первую цифру двузначного числа с заданными условиями можно выбрать 4 способами; после того как первая цифра определена, вторую можно выбрать снова 4 способами. Итого вариантов 4х4=16.
2б) Первую цифру двузначного числа с заданными условиями можно выбрать 4 способами; после того как первая цифра определена, вторую можно выбрать уже только тремя способами, т.к. цифра не может совпасть с той которая на первой позиции. Итого вариантов 4х3=12.
1а) Целых неотрицательных, которые могут сыграть роль «x», — 9 (от 0 до 8 включительно). После того как «x» зафиксирован, «y» может быть выбран (8-x+1) способами, например, если х=7, то остается для «y» только 0 и 1. После того как «х» и «y» зафиксированы, «z» всегда можно выбрать только 1 способом, следовательно, количество вариантов решений он не увеличивает. Осталось посчитать сумму кол-ва возможных комбинаций (считаем по «y»-кам) = (9+8+7+. +1) — по формуле суммы арифметической прогрессии — 10*9/2 = 45. И соответственно, Ваш ответ неверен.
1б) Аналогично, но уменьшая кол-во «x»-ов до 6 (от 1 до 6 включительно), а кол-во «y» до (7-х) способов. Сумма (6+5+. +1) = 7*6/2 = 21.
Видео:Показать, что уравнение x³+y³+z³=41 не имеет решений в целых числахСкачать
Сколько решений в целых неотрицательных числах имеет уравнение a b c d e 2020
а) Сколько решений в неотрицательных целых числах имеет уравнение a + b = 99?
б) Сколько решений в неотрицательных целых числах имеет система уравнений
в) Сколько решений в неотрицательных целых числах имеет уравнение a + b + c =99?
а) Для любого 
существует ровно одно значение b, удовлетворяющее уравнению. Всего таких a сто штук.
б) Первое уравнение системы имеет ровно 100 решений. Второе уравнение, аналогично, имеет ровно 100 решений. Для каждой пары (a;b), удовлетворяющей первому уравнению, существует ровно 100 пар (c;d), удовлетворяющих второму уравнению. Поэтому общее количество решений системы равно 
в) Пусть a=0. Получим уравнение b+с=99. Тогда существует ровно 100 пар (b;c), удовлетворяющих уравнению. Пусть теперь а=1. Получим уравнение b+с=98. Аналогично, существует ровно 99 пар (b;c), удовлетворяющих уравнению. И так далее, для а=99 существует ровно 1 пара (b;c), удовлетворяющая уравнению. Таким образом, всего получается 
решений.
Ответ: а) 100; б) 10000; в) 5050.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); Видео:Классический способ решения Диофантовых уравнений ➜ Решите уравнение в целых числах ➜ 13x-7y=6Скачать  Метод подсчёта количества решений
Линейные алгебраические уравнения — одни из самых простых уравнений, которые мы можем решить. Если в уравнении только одна переменная, решение тривиально, в то время как для системы линейных уравнений существует множество способов найти уникальные решения. В этой статье нас интересует частный случай линейного уравнения с несколькими переменными. Хорошо известно, что подобное уравнение имеет бесконечное число решений. Мы наложим определённые ограничения и в значительной степени сократим количество решений. Общая форма интересующего нас уравнения:
где n и m — положительные целые числа. Наша задача — найти число решений этого уравнения, предполагая, что xᵢ являются целыми числами. Это предположение значительно снижает число решений заданного уравнения. Видео:Как решать Диофантовы уравнения ★ 9x+13y=-1 ★ Решите уравнение в целых числахСкачать  Нам нужен методДавайте начнём с частного случая общего уравнения:
Нетрудно найти все решения этого уравнения методом простого счёта. Решения заданы парами (x₁, x₂):
Мы видим, что уравнение имеет шесть решений. Также нетрудно предположить, что, если мы заменим правую часть определённым положительным целым числом m, решения будут выглядеть так:
и мы сможем подсчитать число решений — m+1. Это было просто, верно? Теперь возьмём немного более сложный вариант с тремя переменными, скажем:
С несколько большими усилиями, чем в предыдущем примере, находим решения в виде наборов из трёх чисел (x₁, x₂, x₃):
Число решений в этом случае равно 10. Легко представить, что метод прямого счёта может стать очень утомительным для уравнения с большим количеством переменных. Он также становится утомительным, если целое число в правой части уравнения становится больше — например, если в правой части у нас будет 8, а не 3, решений будет уже 45. Разумеется, не хотелось бы искать все эти решения методом прямого счёта. Значит, нужен эффективный метод. Видео:ПЕРЕЧНЕВЫЕ ОЛИМПИАДЫ. Диофантовы уравненияСкачать  Разрабатываем методСуществует ещё один способ, которым можно решить предыдущие два уравнения. Давайте снова начнём с этого уравнения:
Одним из решений было (5, 0). Давайте преобразуем его в:
Мы разложили решение на нули и единицы, соответствующие каждому числу. Ненулевую часть (в данном случае 5) мы разложили на соответствующее число единиц, а ноль преобразовали в ноль. Таким же образом мы можем разложить и другое решение:
Мы поменяли прежнее расположение нуля, чтобы получить новое решение. Итак, два числа в парах (обозначенные красным и голубым) разделены нулём (чёрный) в разложенном виде. Таким же образом запишем оставшиеся решения:
Записав решения таким образом, видим закономерность. Кажется, все решения — это просто перестановки нулей и единиц. Вопрос о том, сколько существует решений, становится эквивалентным вопросу как много таких перестановок нулей и единиц может быть сделано, начиная с любой из конфигураций. В данном случае у нас есть 6 местоположений в разложенной конфигурации для размещения нулей и единиц. Мы можем выбрать простейшее решение в качестве начальной конфигурации:
Теперь всё, что нам нужно найти, это общее число способов, которыми можно заполнить шесть местоположений пятью единицами и одним нулём. Подобные задачи подсчёта мы можем решить различными способами, но наиболее эффективным будет способ, разработанный в такой области математики как комбинаторика, которая даёт нам формулу для числа способов перестановки r объектов в n местоположений:
где n! (читается как “n факториал”) определяется как произведение всех целых чисел от 1 до n, т.е. n! = 1 × 2 × 3 × ⋅ ⋅ ⋅ × n. Мы также определяем 0! = 1. Эта формула обычно записывается в компактной форме как:
Теперь, возвращаясь к задаче, мы можем использовать эту формулу для нахождения числа способов перестановки пяти единиц в шести местоположениях:
Это то же самое число, что мы получили методом прямого счёта! Выглядит многообещающе, поэтому давайте проверим, сможем ли мы найти таким способом число решений второго линейного уравнения:
Некоторые решения можно записать в разложенном виде:
В этот раз нам нужно заполнить тремя единицами и двумя нулями пять местоположений. Используя формулу мы можем найти число способов расположения чисел:
И опять то же число, что мы получили методом прямого счёта. Мы можем также найти число решений для нерешённого случая, где в правой части уравнения 8 вместо 3. Одним из решений будет:
а нам нужно найти число способов разместить 8 единиц в 10 местоположениях, и это будет:
как и утверждалось выше. Если мы уверены в том, что этот метод работает для всех случаев, нам нужна общая формула. Напомним, что общее уравнение имеет вид:
Простейшее решение этого уравнения:
Поскольку существует n переменных, количество нулей в этом решении равно n-1. Таким образом, разложение выглядит так:
В разложенной конфигурации видим m и n-1 нулей (как утверждалось выше). Следовательно, общее число местоположений, которые нужно заполнить, равно (m+n-1). Единственное, что остаётся — найти число способов, которыми можно заполнить m+n-1 местоположений m единиц, что определяется по формуле: 🔍 ВидеоМатематика. Линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд»Скачать  Решите уравнение в целых числах 3x^2+5y^2=345 ✱ Диофантовы уравнения ✱ Как решать?Скачать  О решении уравнений в целых числахСкачать  Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать  Вебинар: Решение линейных уравнений в целых числах. Метод цепных дробейСкачать  9 класс, 26 урок, Комбинаторные задачиСкачать  ✓ Задача про 200.000 | Ботай со мной #095 | Борис ТрушинСкачать  Вступительная в 10 класс. Президентский физико-математический лицей №239. 2020 год. 1 вариант.Скачать  Нелинейное диофантово уравнение в простых числах (Олимпиады)Скачать  Математика это не ИсламСкачать  Сложение и вычитание рациональных чисел. 6 класс.Скачать  Диофантовы уравнения x³-y³=91Скачать  Уравнение в натуральных числах. Задача для любителей диофантовых уравнений и олимпиадСкачать  100 задач абитуриента #1- 35Скачать  как ЛЕГКО сложить отрицательные числа , ПРИМЕРЫСкачать  17. Решение линейных уравнений в целых числах. Часть 2. Алексей Савватеев. 100 уроков математики 6+Скачать  |
