Сколько решений имеет уравнение на отрезке

Видео:Отбор корней по окружностиСкачать

Условие

Первообразная y=F(x) некоторой функции y=f(x) определена на интервале (−16; −2) . Определите сколько решений имеет уравнение f(x) = 0 на отрезке [−10; −5] .

Видео:Сколько решений имеет лог. уравнение (!(A *B) + C) IMP (!A * !B + D) = 1. Информатика, ЕГЭ, логикаСкачать

Решение

Формула первообразной имеет следующий вид:

По условию задачи нужно найти точки, в которых функция f(x) равна нулю. Принимая во внимание формулу первообразной, это значит, что, нужно найти точки, в которых F'(x) = 0 , то есть те точки, в которых производная от первообразной равна нулю.

Мы знаем, что производная равна нулю в точках локального экстремума, т.е. функция имеет решения в тех точках, в которых возрастание F(x) сменяется убыванием и наоборот.

На отрезке [−10; −5] видно что это точки: −9; −7; −6 . Значит уравнение f(x) = 0 имеет 3 решения.

Видео:Сколько решений имеет логическое уравнение: (A импликация В) ИЛИ (C импликация D). ЕГЭ(информатика)Скачать

Метод подсчёта количества решений

Линейные алгебраические уравнения — одни из самых простых уравнений, которые мы можем решить. Если в уравнении только одна переменная, решение тривиально, в то время как для системы линейных уравнений существует множество способов найти уникальные решения.

В этой статье нас интересует частный случай линейного уравнения с несколькими переменными. Хорошо известно, что подобное уравнение имеет бесконечное число решений. Мы наложим определённые ограничения и в значительной степени сократим количество решений.

Общая форма интересующего нас уравнения:

где n и m — положительные целые числа.

Наша задача — найти число решений этого уравнения, предполагая, что xᵢ являются целыми числами. Это предположение значительно снижает число решений заданного уравнения.

Видео:#75 Урок 36. Определение количества решений системы уравнений. Алгебра 7 класс.Скачать

Нам нужен метод

Давайте начнём с частного случая общего уравнения:

Нетрудно найти все решения этого уравнения методом простого счёта. Решения заданы парами (x₁, x₂):

Мы видим, что уравнение имеет шесть решений. Также нетрудно предположить, что, если мы заменим правую часть определённым положительным целым числом m, решения будут выглядеть так:

и мы сможем подсчитать число решений — m+1.

Это было просто, верно?

Теперь возьмём немного более сложный вариант с тремя переменными, скажем:

С несколько большими усилиями, чем в предыдущем примере, находим решения в виде наборов из трёх чисел (x₁, x₂, x₃):

Число решений в этом случае равно 10.

Легко представить, что метод прямого счёта может стать очень утомительным для уравнения с большим количеством переменных. Он также становится утомительным, если целое число в правой части уравнения становится больше — например, если в правой части у нас будет 8, а не 3, решений будет уже 45. Разумеется, не хотелось бы искать все эти решения методом прямого счёта.

Значит, нужен эффективный метод.

Видео:3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из ВебиумаСкачать

Разрабатываем метод

Существует ещё один способ, которым можно решить предыдущие два уравнения. Давайте снова начнём с этого уравнения:

Одним из решений было (5, 0). Давайте преобразуем его в:

Мы разложили решение на нули и единицы, соответствующие каждому числу. Ненулевую часть (в данном случае 5) мы разложили на соответствующее число единиц, а ноль преобразовали в ноль. Таким же образом мы можем разложить и другое решение:

Мы поменяли прежнее расположение нуля, чтобы получить новое решение. Итак, два числа в парах (обозначенные красным и голубым) разделены нулём (чёрный) в разложенном виде. Таким же образом запишем оставшиеся решения:

Записав решения таким образом, видим закономерность. Кажется, все решения — это просто перестановки нулей и единиц. Вопрос о том, сколько существует решений, становится эквивалентным вопросу как много таких перестановок нулей и единиц может быть сделано, начиная с любой из конфигураций.

В данном случае у нас есть 6 местоположений в разложенной конфигурации для размещения нулей и единиц. Мы можем выбрать простейшее решение в качестве начальной конфигурации:

Теперь всё, что нам нужно найти, это общее число способов, которыми можно заполнить шесть местоположений пятью единицами и одним нулём.

Подобные задачи подсчёта мы можем решить различными способами, но наиболее эффективным будет способ, разработанный в такой области математики как комбинаторика, которая даёт нам формулу для числа способов перестановки r объектов в n местоположений:

где n! (читается как “n факториал”) определяется как произведение всех целых чисел от 1 до n, т.е. n! = 1 × 2 × 3 × ⋅ ⋅ ⋅ × n. Мы также определяем 0! = 1.

Эта формула обычно записывается в компактной форме как:

Теперь, возвращаясь к задаче, мы можем использовать эту формулу для нахождения числа способов перестановки пяти единиц в шести местоположениях:

Это то же самое число, что мы получили методом прямого счёта!

Выглядит многообещающе, поэтому давайте проверим, сможем ли мы найти таким способом число решений второго линейного уравнения:

Некоторые решения можно записать в разложенном виде:

В этот раз нам нужно заполнить тремя единицами и двумя нулями пять местоположений. Используя формулу мы можем найти число способов расположения чисел:

И опять то же число, что мы получили методом прямого счёта. Мы можем также найти число решений для нерешённого случая, где в правой части уравнения 8 вместо 3. Одним из решений будет:

а нам нужно найти число способов разместить 8 единиц в 10 местоположениях, и это будет:

как и утверждалось выше.

Если мы уверены в том, что этот метод работает для всех случаев, нам нужна общая формула. Напомним, что общее уравнение имеет вид:

Простейшее решение этого уравнения:

Поскольку существует n переменных, количество нулей в этом решении равно n-1. Таким образом, разложение выглядит так:

В разложенной конфигурации видим m и n-1 нулей (как утверждалось выше).

Следовательно, общее число местоположений, которые нужно заполнить, равно (m+n-1). Единственное, что остаётся — найти число способов, которыми можно заполнить m+n-1 местоположений m единиц, что определяется по формуле:

Видео:Три способа отбора корней в задании 13 ЕГЭ профильСкачать

3cos2x — 5cosx = 1 сколько решений имеет уравнение на отрезке [0 ; 2p]?

Алгебра | 10 — 11 классы

3cos2x — 5cosx = 1 сколько решений имеет уравнение на отрезке [0 ; 2p].

3(2(cosx) ^ 2 — 1) — 5cosx — 1 = 0

6((cosx) ^ 2 — 5cosx — 4 = 0

6y ^ 2 — 5y — 4 = 0

x1 = 4 / 3 x2 = — 1 / 2

c0sx не равен 4 / 3 так как |cosx |&lt ; = 1

cosx = — 1 / 2 x = + — arccos( — 1 / 2) + 2пn x = + — 2п / 3 + 2пn n целое число

имеет6 решения x = + — 2п / 3 + 2пn n целое число и х = + — 4п / 3 + 2пn x = + — 11п / 6 + 2пn.

Видео:Находим решение тригонометрического уравнения на целочисленном отрезке Алгебра 10 классСкачать

Сколько корней имеет уравнение cosx * cos4x — cos5x = 0 на промежутке [0 П]?

Сколько корней имеет уравнение cosx * cos4x — cos5x = 0 на промежутке [0 П].

Видео:Алгебраическое определение количества решений системы линейных уравнений | Алгебра IСкачать

Найти все решения тригонометрического уравнения cos2x + sin(2)x = cosx принадлежащие отрезку ( — пи ; пи)?

Найти все решения тригонометрического уравнения cos2x + sin(2)x = cosx принадлежащие отрезку ( — пи ; пи).

Видео:5. Решение волнового уравнения на отрезке методом ФурьеСкачать

А) Решите уравнение 15 cosx = 3 cosx· 5 sinx?

А) Решите уравнение 15 cosx = 3 cosx· 5 sinx.

Б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ 5π ; 13π / 2].

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Найдите решение уравнения sinx = cosx принадлежит отрезку (0 ; 2пи)?

Найдите решение уравнения sinx = cosx принадлежит отрезку (0 ; 2пи).

Видео:8.1 Решение уравнения теплопроводности на отрезкеСкачать

Найдите все принадлежащие отрезку [0 ; 3п] корни уравнения :1) cosx = корень из 2 / 22) cosx = — 1 / 2?

Найдите все принадлежащие отрезку [0 ; 3п] корни уравнения :

1) cosx = корень из 2 / 2

Видео:Находим решение тригометрического уравнения со сложным аргументом на отрезке Алгебра 10 клаСкачать

Сколько корней имеет уравнение cos2x — cosx / sinx = 0 На [ — 2п : 2п]?

Сколько корней имеет уравнение cos2x — cosx / sinx = 0 На [ — 2п : 2п].

Видео:Находим решение тригонометрического уравнения на интервале Алгебра 10 классСкачать

Сколько имеет корней уравнение cosx = x / 10?

Сколько имеет корней уравнение cosx = x / 10.

Видео:10. Волновое уравнение на отрезке. Сложные задачиСкачать

А)Решить уравнение : (25 ^ cosx) ^ sinx = 5 ^ cosxб)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ — 5пи / 2 ; — пи]?

А)Решить уравнение : (25 ^ cosx) ^ sinx = 5 ^ cosx

б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ — 5пи / 2 ; — пи].

Видео:№417. Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) прямая; в) луч?Скачать

Решите уравнение Корень из (sinx * cosx) = — cosx?

Решите уравнение Корень из (sinx * cosx) = — cosx.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Сколько корней имеет уравнение (√2 * cosx — 1) * √ — 4x ^ 2 + 7x — 3 = 0?

Сколько корней имеет уравнение (√2 * cosx — 1) * √ — 4x ^ 2 + 7x — 3 = 0.

Видео:Система уравнений не имеет решений или имеет бесчисленное множество решенийСкачать

8 + cosx + cosx = 4 решите уравнение?

8 + cosx + cosx = 4 решите уравнение.

Вы перешли к вопросу 3cos2x — 5cosx = 1 сколько решений имеет уравнение на отрезке [0 ; 2p]?. Он относится к категории Алгебра, для 10 — 11 классов. Здесь размещен ответ по заданным параметрам. Если этот вариант ответа не полностью вас удовлетворяет, то с помощью автоматического умного поиска можно найти другие вопросы по этой же теме, в категории Алгебра. В случае если ответы на похожие вопросы не раскрывают в полном объеме необходимую информацию, то воспользуйтесь кнопкой в верхней части сайта и сформулируйте свой вопрос иначе. Также на этой странице вы сможете ознакомиться с вариантами ответов пользователей.

1) х * 2 — 1 * 1 = 0 2х = 1 х = 1 / 2 2) 2х * 0 — 1 * 1 = 0 0 — 1 = 0 — 1 = 0 неверно Ответ : нет решений.

📹 Видео

Как решать Диофантовы уравнения ★ 9x+13y=-1 ★ Решите уравнение в целых числахСкачать

№12 в ЕГЭ. Тригонометрическое уравнение и методы отбора корней на отрезке.Скачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать