Сколько решений имеет система уравнений информатика егэ (4 видео)

Содержание

Задача №23. Решение систем логических уравнений.
Сколько решений имеет система уравнений информатика егэ
23. Логические уравнения — продолжение
🔍 Видео

Видео:Сколько решений имеет логическое уравнение: (A импликация В) ИЛИ (C импликация D). ЕГЭ(информатика)Скачать

Задача №23. Решение систем логических уравнений.

Решение систем логических уравнений методом замены переменных

Метод замены переменных применяется, если некоторые переменные входят в состав уравнений только в виде конкретного выражения, и никак иначе. Тогда это выражение можно обозначить новой переменной.

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, х2, х3, х4, х5, х6, х7, х8, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(x1 → х2) → (х3→ х4) = 1

(х3 → х4) → (х5 → х6) = 1

(х5 → х6) → (х7 → х8) = 1

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, х2, х3, х4, х5, х6, х7, х8, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Сделаем замену переменных:

(x1 → х2) = y1; (х3 → х4) = y2; (х5 → х6) = y3; (х7 → х8) = y4.

Тогда можно записать систему в виде одного уравнения:

(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) = 1. Конъюнкция равна 1 (истинна), когда каждый операнд принимает значение 1. Т.е. каждая из импликаций должна быть истинна, а это выполняется при всех значениях, кроме (1 → 0). Т.е. в таблице значений переменных y1, y2, y3, y4 единица не должна стоять левее нуля:

Т.е. условия выполняются для 5 наборов y1-y4.

Т.к. y1 = x1 → x2, то значение y1 = 0 достигается на единственном наборе x1, x2: (1, 0), а значение y1 = 1 – на трех наборах x1, x2: (0,0) , (0,1), (1,1). Аналогично для y2, y3, y4.

Поскольку каждый набор (x1,x2) для переменной y1 сочетается с каждым набором (x3,x4) для переменной y2 и т.д., то количества наборов переменных x перемножаются:

Кол-во наборов на x1…x8

Сложим количество наборов: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121.

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, . x9, y1, y2, . y9, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, . x9, y1, y2, . y9, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Сделаем замену переменных:

(x1 ≡ y1) = z1, (x2 ≡ y2) = z2,…. ,(x9 ≡ y9) = z9

Систему можно записать в виде одного уравнения:

(¬ z1 ≡ z2) ∧ (¬ z2 ≡ z3) ∧ …..∧ (¬ z8 ≡ z9)

Эквивалентность истинна, только если оба операнда равны. Решениями этого уравнения будут два набора:

z1	z2	z3	z4	z5	z6	z7	z8	z9
0	1	0	1	0	1	0	1	0
1	0	1	0	1	0	1	0	1

Т.к. zi = (xi ≡ yi), то значению zi = 0 соответствуют два набора (xi,yi): (0,1) и (1,0), а значению zi = 1 — два набора (xi,yi): (0,0) и (1,1).

Тогда первому набору z1, z2,…, z9 соответствует 2 9 наборов (x1,y1), (x2,y2),…, (x9,y9).

Столько же соответствует второму набору z1, z2,…, z9. Тогда всего 2 9 +2 9 = 1024 наборов.

Решение систем логических уравнений методом визуального определения рекурсии.

Этот метод применяется, если система уравнений достаточно проста и порядок увеличения количества наборов при добавлении переменных очевиден.

Сколько различных решений имеет система уравнений

где x1, x2, … x10 — логические переменные?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений x1, x2, … x10, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Решим первое уравнение. Дизъюнкция равна 1, если хотя бы один из ее операндов равен 1. Т.е. решениями являются наборы:

Для x1=0 существуют два значения x2 ( 0 и 1), а для x1=1 только одно значение x2 (1), такие, что набор (x1,x2) является решением уравнения. Всего 3 набора.

Добавим переменную x3 и рассмотрим второе уравнение. Оно аналогично первому, значит для x2=0 существуют два значения x3 ( 0 и 1), а для x2=1 только одно значение x3 (1), такие, что набор (x2,x3) является решением уравнения. Всего 4 набора.

Несложно заметить, что при добавлении очередной переменной добавляется один набор. Т.е. рекурсивная формула количества наборов на (i+1) переменных:

N_i₊₁ = N_i + 1. Тогда для десяти переменных получим 11 наборов.

Решение систем логических уравнений различного типа

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x₁, . x₄, y₁. y₄, z₁. z₄, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x₁, . x₄, y₁, . y₄, z₁, . z₄, при которых выполнена данная система равенств.

В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Заметим, что три уравнения системы одинаковы на различных независимых наборах переменных.

Рассмотрим первое уравнение. Конъюнкция истинна (равна 1) только тогда, когда все ее операнды истинны (равны 1). Импликация равна 1 на всех наборах, кроме (1,0). Значит, решением первого уравнения будут такие наборы x1, x2, x3, x4, в которых 1 не стоит левее 0 (5 наборов):

Видео:Сколько решений имеет лог. уравнение (!(A *B) + C) IMP (!A * !B + D) = 1. Информатика, ЕГЭ, логикаСкачать

Сколько решений имеет система уравнений информатика егэ

Сложим количество вариантов: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 364.

Задание 3. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Запишем переменные в строчку: x₁x₂x₃x₄x₅x₆x₇x₈. Импликация ложна только в том случае, когда из истины следует ложь. Условие не выполняется, если в ряде после одинаковых цифр присутствует другая цифра. Например, «11101. » что означает невыполнение второго условия.

Рассмотрим комбинации переменных, удовлетворяющие всем условиям. Выпишем варианты, при которых все цифры чередуются, таких два: 10101010 и 01010101. Теперь для первого варианта, начиная с конца, будем увеличивать количество повторяющихся подряд цифр (настолько, насколько это возможно). Выпишем полученные комбинации: «10101011; 10101111. » таких комбинаций восемь. Аналогично для второго варианта: «01010101; 01010100. «. Таким образом, получаем 8 + 8 = 16 решений.

Задание 4. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Запишем переменные в строчку: x₁x₂x₃x₄x₅x₆x₇. Импликация ложна только в том случае, когда из истины следует ложь. Условие не выполняется, если в ряду после одинаковых цифр присутствует другая цифра. Например, «11101. » что означает невыполнение второго условия.

Рассмотрим комбинации переменных, удовлетворяющие всем условиям. Выпишем варианты, при которых все цифры чередуются, таких два: 1010101 и 0101010. Теперь для первого варианта, начиная с конца, будем увеличивать количество повторяющихся подряд цифр(настолько, насколько это возможно). Выпишем полученные комбинации: «1010111; 1011111. » таких комбинаций восемь. Аналогично для второго варианта: «0101011; 0101111. «. Учтём, что при подсчёте комбинация для второго варианта комбинации 0000000 и 1111111 были учтены дважды. Таким образом, получаем 8 + 8 − 2 = 14 решений.

Задание 5. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x₁, x₂, . x₈, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x₁, x₂, … x₈ при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Построим древо решений первого уравнения:

Заметим, что выражение (x₃ ≡ x₄) в двух случаях равно 1 и в двух случаях равно 0. Таким образом, одно уравнение имеет восемь решений.

Второе уравнение связано с первым только через выражение (x₃ ≡ x₄). Построим древо решений второго уравнения:

Для каждого из значений 0 и 1 выражения (x₃ ≡ x₄) существует четыре набора переменных x₁, x₂. x₄, удовлетворяющих первому уравнению (см. первый рисунок). Таким образом, система из двух уравнений имеет 4 · 4 = 16 решений.

Третье уравнение связано со вторым только через выражение (x₅ ≡ x₆). Построим древо решений третьего уравнения:

Для каждого из значений 0 и 1 выражения (x₅ ≡ x₆) существует 2 · 4 = 8 наборов переменных x₁, x₂. x₆, удовлетворяющих первому уравнению (см. первый и второй рисунок). Таким образом, система из трёх уравнений имеет 8 · 4 = 32 решения.

Задание 6. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x₁, x₂, . x₁₀, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x₁, x₂, … x₁₀ при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Построим древо решений первого уравнения:

Задание 7. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x₁, x₂, . x₁₀, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

Построим древо решений первого уравнения:

Аналогично система из четырёх уравнений будет иметь 64 решения.

Задание 8. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x₁, x₂, . x₈, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

Рассмотрим первое уравнение.

При x₁ = 1 возможны два случая: x₂ = 0 и x₂ = 1. В первом случае x₃ = 1. Во втором — x₃ либо 0, либо 1. При x₁ = 0 также возможны два случая: x₂ = 0 и x₂ = 1. В первом случае x₃ либо 0, либо 1. Во втором — x₃ = 0. Таким образом, уравнение имеет 6 решений (см. рисунок).

Рассмотрим систему из двух уравнений.

Пусть x₁ = 1. При x₂ = 0 возможен лишь один случай: x₃ = 1, переменная x₄ = 0. При x₂ = 1 возможно два случая: x₃ = 0 и x₃ = 1. В первом случае x₄ = 1, во втором — x₄ либо 0, либо 1. Всего имеем 4 варианта.

Пусть x₁ = 0. При x₂ = 1 возможен лишь один случай: x₃ = 0, переменная x₄ = 1. При x₂ = 0 возможно два случая: x₃ = 0 и x₃ = 1. В первом случае x₄ либо 1, либо 0, во втором — x₄ = 0. Всего имеем 4 варианта.

Таким образом, система из двух уравнений имеет 4 + 4 = 8 вариантов (см. рисунок).

Система из трёх уравнений будет иметь 10 решений, из четырёх — 12. Отрицание в последнем уравнении действует только на комбинацию переменных, не связанных с с предыдущими уравнениями. Поэтому, количество решений данной в условии системы совпадает с количеством решений системы из шести однотипных уравнений (системы, в которой в последнем уравнении нет знака отрицания после конъюнкции), и равно 16.

Задание 9. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x₁, x₂, . x₈, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

Построим древо решений первого уравнения:

Задание 10. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x₁, x₂, . x₁₂, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x₁, x₂, … x₁₂ при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Построим древо решений первого уравнения:

Аналогично система из четырёх уравнений будет иметь 64 решения, система из пяти уравнений — 128.

Задание 1. Сколько различных решений имеет уравнение J ∧ ¬ K ∧ L ∧ ¬ M ∧ (N ∨ ¬ N) = 0, где J, K, L, M, N — логические переменные?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений J, K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Выражение (N ∨ ¬ N) ис тин но при любом N, по это му

J ∧ ¬ K ∧ L ∧ ¬ M = 0.

Применим отрицание к обеим частям логического уравнения и используем закон де Моргана ¬ (А ∧ В ) = ¬ А ∨ ¬ В . По лу чим

Логическая сумма равна 1, если хотя бы одно из составляющих ее высказываний равно 1. Поэтому полученному уравнению удовлетворяют любые комбинации логических переменных кроме случая, когда все входящие в уравнение величины равны 0. Каждая из 4 переменных может быть равна либо 1, либо 0, поэтому всевозможных комбинаций 2·2·2·2 = 16. Следовательно, уравнение имеет 16 −1 = 15 решений.

Осталось заметить, что найденные 15 решений соответствуют любому из двух возможных значений значений логической переменной N, поэтому исходное уравнение имеет 30 решений.

Задание 2. Сколько различных решений имеет уравнение

((J → K) → (M ∧ N ∧ L)) ∧ ((J ∧ ¬ K) → ¬ (M ∧ N ∧ L)) ∧ (M → J) = 1

где J, K, L, M, N – логические переменные?

Используем формулы A → B = ¬ A ∨ B и ¬ ( А ∨ В ) = ¬А ∧ ¬В

Рассмотрим первую подформулу:

(J → K) → (M ∧ N ∧ L) = ¬ ( ¬ J ∨ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (J ∧ ¬ K) ∨ (M ∧ N ∧ L)

Рассмотрим вторую подформулу

(J ∧ ¬ K) → ¬ (M ∧ N ∧ L) = ¬ (J ∧ ¬ K) ∨ ¬ (M ∧ N ∧ L) = ( ¬ J ∨ K) ∨ ¬ M ∨ ¬ N ∨ ¬ L

Рассмотрим третью подформулу

1) M → J = 1 сле до ва тель но,

(J ∧ ¬ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬ K) ∨ (1 ∧ N ∧ L) = ¬ K ∨ N ∧ L;

(0 ∨ K) ∨ 0 ∨ ¬ N ∨ ¬ L = K ∨ ¬ N ∨ ¬ L;

¬K ∨ N ∧ L ∧ K ∨ ¬ N ∨ ¬ L = 0 ∨ L ∨ 0 ∨ ¬ L = L ∨ ¬ L = 1 сле до ва тель но , 4 ре ше ния .

(J ∧ ¬ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬ K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = ¬ K;

(¬J ∨ K) ∨ ¬ M ∨ ¬ N ∨ ¬ L = (0 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬ N ∨ ¬ L = K ∨ 1 ∨ ¬ N ∨ ¬ L

K ∨ 1 ∨ ¬ N ∨ ¬ L ∧ ¬ K = 1 ∨ ¬ N ∨ ¬ L сле до ва тель но , 4 ре ше ния .

(J ∧ ¬ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (0 ∧ ¬ K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = 0.

(¬J ∨ K) ∨ ¬ M ∨ ¬ N ∨ ¬ L = (1 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬ N ∨ ¬ L.

Задание 3. Сколько различных решений имеет уравнение:

¬((J → K) → (L ∧ M ∧ N)) ∨ ¬ ((L ∧ M ∧ N) → ( ¬ J ∨ K)) ∨ (M ∧ J) = 0

Используем формулу A → B = ¬ A ∨ B

Рассмотрим первую подформулу:

¬((¬J ∨ K) → (M ∧ N ∧ L)) = ¬ ( ¬ ( ¬ J ∨ K) ∨ (M ∧ N ∧ L)) = ¬ ((J ∧ ¬ K) ∨ (M ∧ N ∧ L)) =

Учитывая, что ¬(А ∨ В ) = ¬А ∧ ¬В ,

= (¬J ∨ K) ∧ ( ¬ M ∨ ¬ N ∨ ¬ L)

Рассмотрим вторую подформулу

¬((L ∧ M ∧ N) → ( ¬ J ∨ K)) = ¬ ( ¬ (L ∧ M ∧ N) ∨ ( ¬ J ∨ K)) = L ∧ M ∧ N ∧ J ∧ ¬ K

Применим отрицание к левой и правой части уравнения, получится

[(J ∧ ¬ K) ∨ (M ∧ N ∧ L)] ∧ [ ¬ L ∨ ¬ M ∨ ¬ N ∨ ¬ J ∨ K] ∧ [ ¬ M ∨ ¬ J] = 1

1) (¬M ∨ ¬ J) = 1, сле до ва тель но ,

0 ∧ ¬ K ∧ ¬ L ∨ ¬ N ∨ K, сле до ва тель но , 0 ре ше ний .

[(0 ∧ ¬ K) ∨ (1 ∧ N ∧ L)] ∧ [ ¬ L ∨ 0 ∨ ¬ N ∨ 1 ∨ K] ∧ [ ¬ M ∨ 1] = N ∧ L ∧ ¬ L ∨ ¬ N ∨ 1 ∨ K = 1 => L=N=1, следовательно, 2 решения.

[(1 ∧ ¬ K) ∨ (0 ∧ N ∧ L)] ∧ [ ¬ L ∨ ¬ 0 ∨ ¬ N ∨ ¬ 1 ∨ K] ∧ [ ¬ 0 ∨ ¬ 1] = 1, сле до ва тель но , 4 ре ше ния .

Задание 4. Сколько различных решений имеет уравнение

((K ∨ L) → (L ∧ M ∧ N)) = 0

где K, L, M, N – логические переменные? В Ответе не нужно перечислять все различные наборы значений K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве Ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

перепишем уравнение, используя более простые обозначения операций:

((K + L) → (L · M · N)) = 0

1) из таблицы истинности операции «импликация» (см. первую задачу) следует, что это равенство верно тогда и только тогда, когда одновременно

K + L = 1 и L · M · N = 0

2) из первого уравнения следует, что хотя бы одна из переменных, K или L, равна 1 (или обе вместе); поэтому рассмотрим три случая

3) если K = 1 и L = 0, то второе равенство выполняется при любых М и N; поскольку существует 4 комбинации двух логических переменных (00, 01, 10 и 11), имеем 4 разных решения

4) если K = 1 и L = 1, то второе равенство выполняется при М · N = 0; существует 3 таких комбинации (00, 01 и 10), имеем еще 3 решения

5) если K = 0, то обязательно L = 1 (из первого уравнения); при этом второе равенство выполняется при М · N = 0; существует 3 таких комбинации (00, 01 и 10), имеем еще 3 решения

6) всего получаем 4 + 3 + 3 = 10 решений.

Задание 5. Сколько различных решений имеет уравнение

где K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать только количество таких наборов.

Выражение истинно в трех случаях, когда (K ∧ L) и (M ∧ N) равны со от вет ствен но 01, 11, 10.

1) «01» K ∧ L = 0; M ∧ N = 1, => M, N равны 1, а K и L любые , кроме как од но вре мен но 1. Сле до ва тель но 3 ре ше ния .

2) «11» K ∧ L = 1; M ∧ N = 1. => 1 ре ше ние .

3) «10» K ∧ L = 1; M ∧ N = 0. => 3 ре ше ния .

Задание 6. Сколько различных решений имеет уравнение

(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0

где X, Y, Z, P – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать только количество таких наборов.

Применим преобразование импликации:

(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0 =>

¬(X ∧ Y ∨ Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;

(¬X ∨ ¬ Y ∧ ¬ Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;

Логическое ИЛИ ложно только в одном случае: когда оба выражения ложны.

(Z ∨ P) = 0 => Z = 0, P = 0.

¬X ∨ ¬ Y ∧ ¬ Z = 0 => ¬ X ∨ ¬ Y ∧ 1 = 0 =>

¬X ∨ ¬ Y = 0 => X = 1; Y = 1.

Следовательно, существует только одно решение уравнения.

Задание 7. Сколько различных решений имеет уравнение

(X ∨ Y ∨ Z) → (X ∧ P) = 1

Применим преобразование импликации:

(X ∨ Y ∨ Z) → (X ∧ P) = 1;

¬(X ∨ Y ∨ Z) ∨ (X ∧ P) = 1;

(¬X ∧ ¬ Y ∧ ¬ Z) ∨ (X ∧ P) = 1; (1)

Логическое «ИЛИ» ложно , когда ложны оба утверждения.

Логическое «И» истинно только тогда, когда истинны оба утверждения.

(¬X ∧ ¬ Y ∧ ¬ Z) = 1 тогда X = 0, Y = 0, Z = 0.

Тогда из (1) следует, что P может быть как 1, так и 0, то есть 2 набора решений.

(¬X ∧ ¬ Y ∧ ¬ Z) = 0, (X ∧ P) = 1.

Тогда P = 1, X = 1.

(0 ∧ ¬ Y ∧ ¬ Z) = 0 => есть 4 ре ше ния .

В итоге 6 решений.

Задание 8. Сколько различных решений имеет уравнение

Логическое И истинно только в одном случае: когда все выражения истинны.

K ∨ L = 1, M ∨ N = 1.

Каждое из уравнений дает по 3 решения.

Рассмотрим уравнение А ∧ В = 1 если и А и В при ни ма ют ис тин ные зна че ния в трех случаях каждое, то в целом уравнение имеет 9 решений.

Следовательно ответ 9.

Задание 9. Сколько различных решений имеет уравнение

((A → B) ∧ C) ∨ (D ∧ ¬ D)= 1,

где A, B, C, D – логические переменные?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений A, B, C, D, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать количество таких наборов.

Логическое «ИЛИ» истинно , когда истинно хотя бы одно из утверждений.

(D ∧ ¬ D)= 0 при любых D.

(A → B) ∧ C) = 1 => C = 1; A → B = 1 => ¬ A ∨ B = 1, что дает нам 3 ва ри ан та ре ше ний при каж дом D.

(D ∧ ¬ D)= 0 при любых D, что дает нам два варианта решений (при D = 1, D = 0).

Следовательно: всего решений 2*3 = 6.

Итого 6 решений.

Задание 10. Сколько различных решений имеет уравнение

(¬K ∨ ¬ L ∨ ¬ M) ∧ (L ∨ ¬ M ∨ ¬ N) = 0

Применим отрицание к обеим частям уравнения:

(K ∧ L ∧ M) ∨ ( ¬ L ∧ M ∧ N) = 1

Логическое ИЛИ истинно в трех случаях.

K ∧ L ∧ M = 1, тогда K, L, M = 1, а ¬ L ∧ M ∧ N = 0. N любое , то есть 2 ре ше ния .

¬L ∧ M ∧ N = 1, тогда N, M = 1; L = 0, K любое , то есть 2 ре ше ния .

Следовательно, ответ 4.

Системы логических уравнений, содержащие не однотипные уравнения

Задание 1. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5 ) = 1

(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) ∧ (y4 → y5 ) = 1

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем три варианта — x1=1, y1=1; x1=0, y1=1; x1=1, y1=0.

2) Логическое И истинно, только тогда, когда истины все утверждения, а импликация ложна только в случае, если из истинного следует ложное.

3) Уравнение (1) описывает ряд переменных . Так как из переменной с более низким номером всегда следует переменная с более высоким, если любую переменную из этого ряда приравнять 1, то все следующие должны также быть равны 1. Для уравнения (2) существует то же самое правило. Иначе говоря, если записать переменные x (или y) в порядке возрастания их номеров, слева будут нули, а справа — единицы.

4) Рассмотрим вариант x1=1, y1=1. Так как первые числа каждого ряда равны 1, то все следующие тоже равны 1. Существует только одна комбинация для этого варианта.

5) Рассмотрим вариант x1=0, y1=1. Для y-ряда все переменные равны 1, для x же существует 5 комбинаций, так как в ряде x может быть от 1 до 5 нолей включительно.

6) Последний вариант рассмотрим аналогично предыдущему. Там существует всего 5 комбинаций.

Правильный ответ: 5+5+1=11 комбинаций.

Задание 2. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5 ) = 1

(y5 → y4) ∧ (y4 → y3) ∧ (y3 → y2) ∧ (y2 → y1 ) = 1

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем x3=1, y3=1.

3) Уравнение (1) описывает ряд переменных . Так как из переменной с более низким номером всегда следует переменная с более высоким, если любую переменную из этого ряда приравнять 1, то все следующие должны также быть равны 1. Для уравнения (2) существует то же самое правило, только наоборот: из переменной с более высоким номером всегда следует переменная с более низким. Иначе говоря, если записать переменные x в порядке возрастания их номеров, справа будут единицы, а слева — нули, в y — напротив, слева единицы, справа — нули.

4) Рассмотрим вариант x3=1, y3=1. Тогда все следующие: x4, x5, y2, y1 тоже равны 1. Остаются переменные x1, x2, y4, y5. Так как x2 следует из x1, для них мы имеем 3 варианта, аналогично для y4 и y5. 3 3=9.

Задание 3. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, y1, y2 y3, y4, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) = 1

(¬y1 ∨ y2) ∧ ( ¬ y2 ∨ y3) ∧ ( ¬ y3 ∨ y4) = 1

(y1 → x1) ∧ (y2 → x2) ∧ (y3 → x3) ∧ (y4 → x4) = 1

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, y1, y2 y3, y4, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Конъюнкция истина тогда и только тогда, когда каждое высказывание истинно.

Для первого выражения это означает, что, если х1 равен 1, то х2, х3 и х4 также равны 1, т. е. для х1. х4 решения существуют только в виде «1111», «0111», «0011», «0001» и «0000».

Применив преобразование импликации ко второму выражению, увидим, что оно аналогично первому.

В третьем выражении из «y» следует соответствующее ему «x», это означает, что если y = 1, то и x = 1.

Следовательно, первому набору для x «1111» соответствует 5 наборов y. Второму — 4, третьему — 3, и. т. д.

Следовательно, ответ: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15.

Задание 4. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5 ) = 1

(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) ∧ (y4 → y5 ) = 1

1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем три варианта — x1=1, y1=1; x1=0, y1=1; x1=0, y1=0.

3) Уравнение (1) описывает ряд переменных . Так как из переменной с более низким номером всегда следует переменная с более высоким, если любую переменную из этого ряда приравнять 1, то все следующие должны также быть равны 1. Для уравнения (2) существует то же самое правило. Иначе говоря, если записать переменные x (или y) в порядке возрастания их номеров, справа будут единицы, а слева — нули.

6) Последний вариант рассмотрим аналогично предыдущему. Там существует всего 25 комбинаций.

Правильный ответ: 25+5+1=31 комбинация.

Задание 5. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, х2, хЗ, х4, х5, хб, y1, у2, уЗ, у4, у5, у6 которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(x1 → х 2) ∧ ( х 2 → хЗ ) ∧ ( хЗ → х 4) ∧ ( х 4 → х 5) ∧ ( х 5 → х 6) = 1

(y1 → y2) ∧ ( у 2 → уЗ ) ∧ ( уЗ → у 4) ∧ ( у 4 → у 5) ∧ ( у 5 → у 6) = 1

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, х2, хЗ, х4, х5, y1, у2, уЗ, у4, у5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем три варианта — x1=1, y1=1; x1=0, y1=1; x1=1, y1=0.

3) Уравнение (1) описывает ряд переменных . Так как из переменной с более низким номером всегда следует переменная с более высоким, если любую переменную из этого ряда приравнять 1, то все следующие должны также быть равны 1. Для уравнения (2) существует то же самое правило. Иначе говоря, если записать переменные x (или y) в порядке возрастания их номеров, справа будут нули, а слева — единицы.

5) Рассмотрим вариант x1=0, y1=1. Для y-ряда все переменные равны 1, для x же существует 6 комбинаций, так как в ряде x может быть от 1 до 6 нолей включительно.

6) Последний вариант рассмотрим аналогично предыдущему. Там существует всего 6 комбинаций.

Правильный ответ: 6+6+1=13 комбинаций.

Задание 6. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, х2, хЗ, х4, х5, y1, у2, уЗ, у4, у5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(x1 → х 2) ∧ ( х 2 → хЗ ) ∧ ( хЗ → х 4) ∧ ( х 4 → х 5 ) = 1

(y1 → y2) ∧ ( у 2 → уЗ ) ∧ ( уЗ → у 4) ∧ ( у 4 → у 5 ) = 1

1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем три варианта — x1=1, y1=1; x1=0, y1=1; x1=1, y1=0.

3) Уравнение (1) описывает ряд переменных . Так как из переменной с более низким номером всегда следует переменная с более высоким, если любую переменную из этого ряда приравнять 1, то все следующие должны также быть равны 1. Для уравнения (2) существует то же самое правило. Иначе говоря, если записать переменные x (или y) в порядке возрастания их номеров, справа будут нули, а слева — единицы.

6) Последний вариант рассмотрим аналогично предыдущему. Там существует всего 5 комбинаций.

Правильный ответ: 5+5+1=11 комбинаций.

Задание 7. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5 ) = 1

(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) ∧ (y4 → y5 ) = 1

1) Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем три варианта: x5=1, y5=1; x5=0, y5=0; x5=0, y5=1.

3) Уравнение (1) описывает ряд переменных . Так как из переменной с более низким номером всегда следует переменная с более высоким, если любую переменную из этого ряда приравнять 1, то все следующие должны также быть равны 1. Для уравнения (2) существует то же самое правило. Иначе говоря, если записать переменные x в порядке возрастания их номеров, справа будут нули, а слева — единицы, в y — так же.

4) Рассмотрим вариант x5=1, y5=1. Тогда остальные переменные могут принимать любые значения: всего таких комбинаций 25.

5) Рассмотрим вариант х5=0, у5=0. Тогда все переменные равны 0, следовательно, 1 комбинация.

6) Рассмотрим вариант х5=0, у5=1. Тогда все переменные х равны 0, а переменные у могут принимать любые значения. Всего таких комбинаций 5.

Задание 8. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, х2, хЗ, х4, х5, у1, у2, уЗ, у4, у5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, х2, хЗ, х4, х5, у1, у2, уЗ, у4, у5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Заметим, что первые два уравнения связаны друг с другом только через третье.

Найдем количество решений первого уравнения. Каждая из переменных x1, . , x5 может принимать только два значения. Импликация ложна только тогда, когда из истины следует ложь. Если записать значения переменных подряд, то можно увидеть, что для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо, чтобы после «1» никогда не стоял «0». Следовательно, получаем такие решения: (x1,x2,x3,x4,x5) = 00000, 00001, 00011, 00111, 01111, 11111.

Во втором уравнении необходимо, чтобы после «0» никогда не стояла «1». Следовательно, получаем такие решения: (y1,y2,y3,y4,y5) = 00000, 10000, 11000, 11100, 11110, 11111. Таким образом, система из двух уравнений имеет 6·6 = 36 решений: для каждого набора переменных y существует 6 наборов переменных x.

Видео:КАК РЕШАТЬ СИСТЕМЫ ЛОГИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. ЕГЭ по информатике. Задание 23Скачать

23. Логические уравнения — продолжение

23. Логические уравнения — продолжение — Сколько различных решений имеет система уравнений

(X₁ ∨ X₂) ∧ (¬X₃ ∨ ¬X₄) = 0

(X₃ ∨ X₄) ∧ (¬X₅ ∨ ¬X₆) = 0

(X₅ ∨ X₆) ∧ (¬X₇ ∨ ¬X₈) = 0

(X₇ _∨ X₈) ∧ (¬X₉ ∨ ¬X₁₀) = 0

где x₁, x₂, …, x₁₀ – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Решение:

x₁	x₂	x3	x4
0	0	0	0
			1
		1	0
			1
	1	1	1
1	0	1	1
	1

x₁x₂	x₃x₄	₅x₆	x₇x₈	x₉x₁₀
00	1	1	1	1	1
01	1	1	1	1	1
10	1	1	1	1	1
11	1	4	7	10	13
16

Ответ: 16

Сколько различных решений имеет система уравнений

(X₁ ≡ X₂) → (X₂ ≡ X₃) = 1

(X₂ ≡ X₃) → (X₃ ≡ X₄) = 1

(X₅ ≡ X₆) → (X₆ ≡ X₇) = 1

где x₁, x₂, …, x₇ – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Решение:

x1	x2	x3
0	0	0
	1	0
	1	1
1	0	0
	0	1
	1	1

x1x2	x2x3	x3x4	x4x5	x5x6	x6x7
00	1	2	3	4	5	6
01	1	1	1	1	1	1
10	1	1	1	1	1	1
11	1	2	3	4	5	6
14

Ответ: 14

Сколько различных решений имеет система логических уравнений

(x₁ ∧ x₂ → x₃) ∧ (x₁ ∨ y₁) = 1

(x₂ ∧ x₃ → x₄) ∧ (x₂ ∨ y₂) = 1

(x₃ ∧ x₄ → x₅) ∧ (x₃ ∨ y₃) = 1

(x₄ ∧ x₅ → x₆) ∧ (x₄ ∨ y₄) = 1

(x₅ ∧ x₆ → x₇) ∧ (x₅ ∨ y₅) = 1

x₆ ∨ y₆ = 1

где x₁, …, x₆, y₁, …, y₆, – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Решение:

x1x2	x2x3	x3x4	x4x5	x5x6	x6x7
00	1	3	5	11	21	43
01	1	3	5	11	21	43
10	1	1	3	5	11	21	42
11	1	3	9	23	57	135	270

Ответ: 398

Сколько различных решений имеет система логических уравнений

(x₁ → y₁) ∧ ((x₂ ∨ y₂) → (x₁ ≡ y₁)) = 1

(x₂ → y₂) ∧ ((x₃ ∨ y₃) → (x₂ ≡ y₂)) = 1

(x₆ → y₆) ∧ ((x₇ ∨ y₇) → (x₆ ≡ y₆)) = 1

x₇ ≡ y₇ = 1

где x₁,x₂,…,x_7, у₁,у₂,…,у₇ – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполняются данные равенства. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Решение:

x₁	y1	x2	y2
0	0	0	0
			1
		1	0
			1
	1	0	0
1	1	0	0
			1
		1	0
			1

x₁y₁	x₂y₂	x₃y₃	x₄y₄	x₅y₅	x₆y₆	x₇y₇
00	1	3	7	17	41	99	239
01	1	2	5	12	29	70	169
10	0	2	5	12	29	70	169
11	1	2	5	12	29	70	169
408

Ответ: 408

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, … x8, y1, y2, … y8, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(x1→x2) / (x1→y1) = 1
(x2→x3) / (x2→y2) = 1
…
(x7→x8) / (x7→y7) = 1
(x8→y8) = 1

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, … x8, y1, y2, … y8, при которых выполнена данная система равенств.

В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Источник: СтатГрад 2017−2018

Решение:

(x1→x2) = 1
(x2→x3) = 1
…
(x7→x8) = 1
(x8→y8) = 1

x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	(x1→y1) для каждого 0’а, y может 0 или 1
0	0	0	0	0	0	0	0	2 8 =256
0	0	0	0	0	0	0	1	2 7 =128
0	0	0	0	0	0	1	1	2 6 =64
0	0	0	0	0	1	1	1	2 5 =32
0	0	0	0	1	1	1	1	2 4 =16
0	0	0	1	1	1	1	1	2 3 =8
0	0	1	1	1	1	1	1	2 2 =4
0	1	1	1	1	1	1	1	2 2 =2
1	1	1	1	1	1	1	1	2 0 =1
256+128+64+32+16+8+4+2+1=511

Ответ: 511

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1 , x2 , … x8 , y1 , y2 , … y8 , которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(x1 ∨ x2) ∧ (x1 ∧ x2 → x3) ∧ (¬x1 ∨ y1) = 1
(x2 ∨ x3) ∧ (x2 ∧ x3 → x4) ∧ (¬x2 ∨ y2) = 1
…
(x6 ∨ x7) ∧ (x6 ∧ x7 → x8) ∧ (¬x6 ∨ y6) = 1
(x7 ∨ x8) ∧ (¬x7 ∨ y7) = 1
¬x8 ∨ y8 = 1

Решение:

(x1+x2) · (¬x1+¬x2+x3) · (¬x1+y1) = 1

x1	x2	x3	y1
0	1	0	0-1
		1
1	0	0	1
		1
1	1	1	1

x1x2	x2x3	x3x4	x4x5	x5x6	x6x7	x7x8
00	0	1	2	2	4	4	8	0
01	1	1	2	2	4	4	8	8·2=16
10	1	2	2	4	4	8	8	8·2=16
11	1	3	5	9	13	21	29	29
61

(x7 ∨ x8) ∧ (¬x7 ∨ y7) = 1
¬x8 ∨ y8 = 1

x7	x8	y7	y8
0	1	0-1	1
1	0	1	0-1
1	1	1	1

Ответ: 6 1

(x1→x2) / (y1→y2) / (y1→x1) = 1
(x2→x3) / (y2→y3) (y2→x2) = 1
…
(x7→x8) / (y7→y8) / (y7→x7) = 1
(y8→x8) = 1

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, … x8, y1, y2, … y8, при которых выполнена данная система равенств.
В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.