Сколько решений имеет логическое уравнение

Сколько различных решений имеет уравнение J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M ∧ (N ∨ ¬N) = 0, где J, K, L, M, N — логические переменные?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений J, K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Выражение (N ∨ ¬N) истинно при любом N, поэтому

Применим отрицание к обеим частям логического уравнения и используем закон де Моргана ¬ (А ∧ В) = ¬ А ∨ ¬ В . Получим

Логическая сумма равна 1, если хотя бы одно из составляющих ее высказываний равно 1. Поэтому полученному уравнению удовлетворяют любые комбинации логических переменных кроме случая, когда все входящие в уравнение величины равны 0. Каждая из 4 переменных может быть равна либо 1, либо 0, поэтому всевозможных комбинаций 2·2·2·2 = 16. Следовательно, уравнение имеет 16 −1 = 15 решений.

Осталось заметить, что найденные 15 решений соответствуют любому из двух возможных значений логической переменной N, поэтому исходное уравнение имеет 30 решений.

Видео:Сколько решений имеет лог. уравнение (!(A *B) + C) IMP (!A * !B + D) = 1. Информатика, ЕГЭ, логикаСкачать

Учитель информатики

Видео:Сколько решений имеет логическое уравнение: (A импликация В) ИЛИ (C импликация D). ЕГЭ(информатика)Скачать

Сайт учителя информатики. Технологические карты уроков, Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ, полезный материал и многое другое.

Видео:КАК РЕШАТЬ СИСТЕМЫ ЛОГИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. ЕГЭ по информатике. Задание 23Скачать

§ 18 Алгебра логики

Информатика. 10 класса. Босова Л.Л. Оглавление

§ 18. Алгебра логики

Из курса информатики основной школы вы знаете, что для компьютерных наук большое значение имеет математическая логика, а точнее, её часть, называемая алгеброй логики.

Алгебра логики — раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые с точки зрения их логических значений (истинности или ложности), и логические операции над ними.

Джордж Буль (1815-1864) — английский математик, основоположник алгебры логики. Дж. Буль изучал логику мышления математическими методами и разработал алгебраические методы решения традиционных логических задач. В 1854 году он опубликовал работу, в которой изложил суть алгебры логики, основанной на трёх операциях: and, or, not. Долгое время алгебра логики была известна достаточно узкому классу специалистов. В 1938 году Клод Шеннон применил алгебру логики для описания процесса функционирования релейноконтактных и электронно-ламповых схем.

18.1. Логические высказывания и переменные

Высказывание — это предложение, в отношении которого можно сказать, истинно оно или ложно.

Например, высказывание «Джордж Буль — основоположник алгебры логики» истинно, а высказывание «2 + 2 = 5» ложно.

Что вы можете сказать об истинности или ложности предложения «Данное высказывание — ложь»?

Из имеющихся высказываний можно строить новые высказывания. Для этого используются логические связки — слова и словосочетания «не», «и», «или», «если …, то», «тогда и только тогда» и др.

Высказывания, образованные из других высказываний, называются составными (сложными). Высказывание, никакая часть которого не является высказыванием, называется элементарным (простым).

Например, из двух простых высказываний «Алгебра логики является основой строения логических схем компьютеров» и «Алгебра логики служит математической основой решения сложных логических задач» можно получить составное высказывание «Алгебра логики является основой строения логических схем компьютеров и служит математической основой решения сложных логических задач».

Обоснование истинности или ложности элементарных высказываний не является задачей алгебры логики. Эти вопросы решаются теми науками, к сфере которых относятся элементарные высказывания. Такое сужение интересов позволяет обозначать высказывания символическими именами (например, А, В, С). Так, если обозначить элементарное высказывание «Джордж Буль — основоположник алгебры логики» именем А, а элементарное высказывание «2 + 2 = 5» именем В, то составное высказывание «Джордж Буль — основоположник алгебры логики, и 2 + 2 = 5» можно записать как «А и В». Здесь А, В — логические переменные, «и» — логическая связка.

Логическая переменная — это переменная, которая обозначает любое высказывание и может принимать логические значения «истина» или «ложь».

Для логических значений «истина» и «ложь» могут использоваться следующие обозначения:

Истинность или ложность составных высказываний зависит от истинности или ложности образующих их высказываний и определённой трактовки связок (логических операций над высказываниями).

18.2. Логические операции

Логическая операция полностью может быть описана таблицей истинности, указывающей, какие значения принимает составное высказывание при всех возможных значениях образующих его элементарных высказываний.

Из курса информатики основной школы вам известны логические операции отрицание, конъюнкция и дизъюнкция. Их таблицы истинности представлены ниже.

Логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны, называется конъюнкцией или логическим умножением.

Логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны, называется дизъюнкцией или логическим сложением.

Логическая операция, которая каждому высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному, называется отрицанием или инверсией.

При построении отрицания простого высказывания:

• используется оборот «неверно, что» или к сказуемому добавляется частица «не»;
• в высказывании, содержащем слово «все», это слово заменяется на «некоторые» и наоборот.

Рассмотрим несколько новых логических операций.

Логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое, являющееся ложным тогда и только тогда, когда первое высказывание (посылка) истинно, а второе (следствие) — ложно, называется импликацией или логическим следованием.

Операция импликации обозначается символом ? и задаётся следующей таблицей истинности:

В разговорной речи импликации соответствуют предложения, содержащие связку «если …, то». Эту связку мы используем тогда, когда хотим показать наличие причинно-следственной связи, иначе говоря, зависимость одного события от другого. Например, пусть некоторый человек сказал: «Если завтра будет хорошая погода, то я пойду гулять». Ясно, что человек окажется лжецом лишь в том случае, если погода действительно будет хорошей, а гулять он не пойдёт. Если же погода будет плохой, то, независимо от того, пойдёт он гулять или нет, во лжи его нельзя обвинить: обещание пойти гулять он давал лишь при условии, что погода будет хорошей.

Результат операции импликации, как и других логических операций, определяется истинностью или ложностью логических переменных, а не наличием причинно-следственных связей между высказываниями. Например, абсурдное с житейской точки зрения высказывание «Если 2 > 3, то существуют ведьмы» является истинным с точки зрения алгебры логики.

Логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое, являющееся истинным тогда и только тогда, когда только одно из двух высказываний истинно, называется строгой (исключающей) дизъюнкцией.

Строгая дизъюнкция обозначается символом ? и задаётся следующей таблицей истинности:

В русском языке строгой (разделительной) дизъюнкции соответствует связка «либо». В отличие от обычной дизъюнкции (связка «или») в высказывании, содержащем строгую дизъюнкцию, мы утверждаем, что произойдёт только одно событие.

Например, высказывая утверждение «На сегодняшнем матче Петя сидит на трибуне А либо на трибуне Б», мы считаем, что Петя сидит либо только на трибуне А, либо только на трибуне Б, и что сидеть одновременно на двух трибунах Петя не может.

Логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое, являющееся истинным, когда оба исходных высказывания истинны или оба исходных высказывания ложны, называется эквиваленцией или равнозначностью.

В логике эквиваленция обозначается символом и задаётся следующей таблицей истинности:

В разговорной речи для выражения взаимной обусловленности используется связка «тогда и только тогда, когда», а в математике — «необходимо и достаточно».

Рассмотрим высказывание «Денис пойдёт в бассейн тогда и только тогда, когда он выучит уроки».

Это высказывание истинно (договорённость соблюдается), если истинны оба элементарных высказывания («Денис пойдёт в бассейн», «Денис выучит уроки»). Высказывание истинно (договорённость не нарушается) и в том случае, если оба элементарных высказывания ложны («Денис не пойдёт в бассейн», «Денис не выучит уроки»). Если же одно из двух высказываний ложно («Денис пойдёт в бассейн, хотя и не выучит уроки», «Денис выучит уроки, но не пойдёт в бассейн»), то договорённость нарушается, и составное высказывание становится ложным.

А сейчас посмотрите внимательно на таблицы истинности строгой дизъюнкции и эквиваленции: если на некотором наборе логических переменных результатом строгой дизъюнкции является истина, то на этом же наборе результатом эквиваленции всегда будет ложь, и наоборот.

Можно сделать выводы:

• операция эквиваленции есть отрицание операции строгой дизъюнкции

• операция строгой дизъюнкции есть отрицание операции эквиваленции

На сегодняшний день в алгебре логики не существует унифицированной символики для обозначения логических операций. В таблице 4.1 представлены логические операции и их наиболее распространённые обозначения, используемые как в алгебре логики, так и в некоторых языках программирования. Здесь же приведены речевые обороты, соответствующие логическим операциям.

Таблица 4.1

Логические операции и их обозначения

Операция отрицания выполняется над одним операндом. Такие операции называются одноместными или унарными. Все остальные логические операции, представленные в таблице 4.1, выполняются над двумя операндами и называются двуместными или бинарными.

18.3. Логические выражения

Составное логическое высказывание можно представить в виде логического выражения (формулы), состоящего из логических констант (О, 1), логических переменных, знаков логических операций и скобок.

Для логического выражения справедливо:

1) всякая логическая переменная, а также логические константы (О, 1) есть логическое выражение;
2) если А — логическое выражение, то и — логическое выражение;
3) если А и В — выражения, то, связанные любой бинарной операцией, они также представляют собой логическое выражение.

При преобразовании или вычислении значения логического выражения логические операции выполняются в соответствии с их приоритетом:

1) отрицание;
2) конъюнкция;
3) дизъюнкция, строгая дизъюнкция;
4) импликация, эквиваленция.

Операции одного приоритета выполняются в порядке их следования, слева направо. Как и в арифметике, скобки меняют порядок выполнения операций.

Пример 1. Выясним, какие из приведённых слов удовлетворяют логическому условию (первая буква согласная ? вторая буква согласная) & (последняя буква гласная ? предпоследняя буква гласная):

1) ОЗОН;
2) ИГРА;
3) МАФИЯ;
4) ТРЕНАЖ.

Вычислим значение логического выражения для каждого из данных слов:

Итак, заданному условию удовлетворяют первое и четвёртое слова.

Решение логического уравнения — это один или несколько наборов значений логических переменных, при которых логическое уравнение становится истинным выражением.

Пример 2. Решим логическое уравнение

Дизъюнкция ложна в том и только в том случае, когда ложно каждое из образующих её высказываний. Иными словами, наше уравнение соответствует системе уравнений:

Таким образом, значение переменной D уже найдено. Импликация равна нулю в единственном случае — когда из истины следует ложь. Иначе говоря, в нашем случае: А = 1 и С = 0.

Подставим найденные значения переменных в уравнение

Ответ: А = 1, В = 1, С = 0, D = 0.

Логические уравнения могут иметь не одно, а несколько и даже очень много решений. Зачастую требуется, не выписывая все решения уравнения, указать их количество.

Пример 3. Выясним, сколько различных решений имеет логическое уравнение

Дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно из образующих её высказываний. Решение данного логического уравнения равносильно совокупности, состоящей из двух уравнений:

Первое равенство будет выполняться только при А = 1, В = 1 и С = 0. Поскольку D в этом уравнении не задействовано, оно может принимать любое из двух значений (0 или 1). Таким образом, всего первое уравнение имеет два решения.

Самостоятельно выясните, сколько решений имеет второе уравнение (из совокупности двух уравнений).

Сколько решений имеет исходное уравнение?

Пример 4. Выясним, сколько решений имеет очень простое с виду логическое уравнение х₁ & х₂ ? х₃ & х₄ = 1.

Введём замену переменных. Пусть t₁ = х₁ & х₂, t₂ = х₃ & х₄. Тогда исходное уравнение примет вид: t₁ ? t₂ = 1.

На t₁ никаких ограничений нет, эта переменная может принимать значения 0 и 1. Импликация равна 0 только в случае, когда из истины (1) следует ложь (0). Исключим этот вариант. Построим дерево решений, представив на нём значения переменных t₁ и t₂ при которых t₁ ? t₂ = 1.

Получаем для t₁ и t₂ три набора значений: 00, 01, 11. Первая двоичная цифра в каждом из этих трёх наборов — результат выражения х₁ & х₂, вторая — х₃ & х₄. Рассмотрим первый набор: существует три набора х₁ и х₂ таких, что х₁ & х₂ = 0, другими словами, первый 0 мы можем получить тремя способами. Второй О в этом наборе мы также можем получить тремя способами.

Из курсов информатики и математики основной школы вам известно одно из основных правил комбинаторики — правило умножения. Согласно ему, если элемент А можно выбрать n способами, и при любом выборе А элемент В можно выбрать m способами, то пару (А, В) можно выбрать n • m способами.

Согласно правилу умножения, пару 00 можно получить 3 • 3 = 9 способами.

Что касается пары 01, то первый 0 мы можем получить тремя способами, а для получения 1 существует единственный вариант (х₃ & х₄ = 1 при х₃ = 1 и х₄ = 1). Следовательно, есть ещё три набора переменных х₁, х₂, х₃, х₄, являющихся решением исходного уравнения.

Самостоятельно доведите решение этой задачи до конца.

18.4. Предикаты и их множества истинности

Равенства, неравенства и другие предложения, содержащие переменные, высказываниями не являются, но они становятся высказываниями при замене переменной каким-нибудь конкретным значением. Например, предложение х 2 + у 2 = 1) — множество точек окружности единичного радиуса с центром в начале координат. Следует отметить, что многие задания, выполняемые вами на уроках математики, прямо связаны с предикатами. Например, стандартное задание «Решить квадратное уравнение x 2 — 3x + 2 = 0» фактически означает требование найти множество истинности предиката Р(х) = (x 2 — 3x + 2 = 0).

Из имеющихся предикатов с помощью логических операций можно строить новые предикаты.

Пусть А и В соответственно являются множествами истинности предикатов А(х) и В(х). Тогда пересечение множеств А и В будет являться множеством истинности для предиката А(х) & В(х), а объединение множеств А и В будет множеством истинности для предиката А(х) ? В(х).

Пример 5. Найдём все целые числа 2, превращающие предикат

P(z) = (z > 5) & (z — 2 5) являются целые числа 6, 7, 8 и т. д. Множеством истинности предиката В(z) = (z — 2

Множество истинности исходного предиката — пересечение (общие элементы) множеств истинности образующих его предикатов:

Его мощность |Р| = 11.

Пример 6. Рассмотрим предикат (50 2 ) ? (50 > (х + 1) 2 ), определённый на множестве целых чисел. Найдём множество истинности этого предиката.

Зачастую задания такого рода формулируют несколько иначе.

Например, так: «Найдите все целые числа х, для которых истинно высказывание (50 (х + 1)2)».

Проанализируем отдельно каждый из элементарных предикатов (50 2 ) и (50 > (x + 1) 2 ), решив соответствующие неравенства:

Определим значение исходного предиката на каждом из полученных подмножеств, причём отдельно рассмотрим значение х = -8 (оно попадает в два подмножества) и значение х = 7 (оно не попадает ни в одно подмножество):

Итак, множеством истинности исходного предиката являются целые числа, принадлежащие отрезку [-8; 7]. Наименьшим элементом этого множества является число -8, наибольшим — число 7; мощность множества равна 16.

САМОЕ ГЛАВНОЕ

Высказывание — это предложение, в отношении которого можно сказать, истинно оно или ложно. Высказывания, образованные из других высказываний, называются составными (сложными). Высказывание, никакая часть которого не является высказыванием, называется элементарным (простым). Истинность или ложность составных высказываний зависит от истинности или ложности образующих их высказываний и определённой трактовки связок (логических операций над высказываниями).

Логическая операция полностью может быть описана таблицей истинности, указывающей, какие значения принимает составное высказывание при всех возможных значениях образующих его элементарных высказываний.

Составное логическое высказывание можно представить в виде логического выражения (формулы), состоящего из логических констант (0, 1), логических переменных, знаков логических операций и скобок.

Логические операции имеют следующий приоритет:

1) отрицание;
2) конъюнкция;
3) дизъюнкция, строгая дизъюнкция;
4) импликация, эквиваленция.

Операции одного приоритета выполняются в порядке их следования, слева направо. Скобки меняют порядок выполнения операций.

Предикат — это утверждение, содержащее одну или несколько переменных. Из имеющихся предикатов с помощью логических операций можно строить новые предикаты.

Вопросы и задания

1. Из данных предложений выберите те, которые являются высказываниями. Обоснуйте свой выбор.

1) Как пройти в библиотеку?
2) Коля спросил: «Который час?»
3) Картины Пикассо слишком абстрактны.
4) Компьютеры могут быть построены только на основе двоичной системы счисления.

2. Из каждых трёх выберите два высказывания, являющихся отрицаниями друг друга:

1) «1999 2000», «1999 ? 2000»;
2) «Петя решил все задания контрольной работы», «Петя не решил все задания контрольной работы», «Петя решил не все задания контрольной работы»;
3) «Луна — спутник Земли», «Неверно, что Луна — спутник Земли», «Неверно, что Луна не является спутником Земли »;
4) «Прямая а не параллельна прямой с», «Прямая а перпендикулярна прямой с», «Прямые а и с не пересекаются» (считаем, что прямые а и с лежат в одной плоскости);
5) «Мишень поражена первым выстрелом», «Мишень поражена не первым выстрелом», «Неверно, что мишень поражена не первым выстрелом».

3. Рассмотрите следующие элементарные высказывания: А = «Река Днепр впадает в Чёрное море», В = «45 — простое число», С = «Вена — столица Австрии», D = «0 — натуральное число».

Определите, какие из них истинные, а какие ложные. Составьте сложные высказывания, применяя каждый раз только одну из пяти логических операций

к высказываниям А, В, С и D. Сколько новых высказываний можно получить с помощью отрицания (инверсии)? Конъюнкции? Дизъюнкции? Импликации? Эквиваленции? Сколько всего новых высказываний можно получить? Сколько среди них будет истинных?

4. Представьте каждую пословицу в виде сложного логического высказывания, построенного на основе простых высказываний. Ответ обоснуйте при помощи таблиц истинности.

1) На вкус и цвет товарищей нет.
2) Если долго мучиться, что-нибудь получится.
3) Не зная броду, не суйся в воду.
4) Тяжело в ученье, легко в бою.
5) То не беда, что во ржи лебеда, то беда, что ни ржи, ни лебеды.
6) Где тонко, там и рвётся.
7) Или грудь в крестах, или голова в кустах.
8) За двумя зайцами погонишься — ни одного не поймаешь.
9) И волки сыты, и овцы целы.

5. Подберите вместо А, В, С, D такие высказывания, чтобы полученные сложные высказывания имели смысл:

1) если (А или В и С), то D;
2) если (не А и не В), то (С или D);
3) (А или В) тогда и только тогда, когда (С и не D).

7. Сколько из приведённых чисел Z удовлетворяют логическому условию: ((Z кратно 4) v (Z кратно 5)) ? (Z кратно 6)?
1) 4; 2) 6; 3) 7; 4) 12.

8. Найдите все целые числа Z, для которых истинно высказывание:

9. Какие из высказываний А, В, С должны быть истинны и ка кие ложны, чтобы были ложны следующие высказывания?

10. Даны три числа в различных системах счисления:

Переведите А, В и С в двоичную систему счисления и вы полните поразрядно логические операции (A v В) & С. Отвеп дайте в десятичной системе счисления.

11. Логическое отрицание восьмиразрядного двоичного числа записанное в десятичной системе счисления, равно 217 Определите исходное число в десятичной системе счисления,

12. Определите логическое произведение и логическую сумм> всех двоичных чисел в диапазоне от 16₁₀ до 22₁₀, включая границы. Ответ запишите в восьмеричной системе счисления.

13. Сколько различных решений имеет логическое уравнение?

14. Сколько решений имеет логическое уравнение х₁ & х₂ v х₃ & x₄ = 1?

15. Изобразите в декартовой прямоугольной системе координат множества истинности для следующих предикатов:

16. Предикат ((8x — 6) 65) определён на множестве целых чисел. Найдите его множество истинности. Укажите наибольшее целое число х, при котором предикат превращается в ложное высказывание.

Видео:Урок 27. Логические уравнения. ИКТ 10 класс по ПоляковуСкачать

Сколько решений имеет логическое уравнение

Сло­жим ко­ли­че­ство ва­ри­ан­тов: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 364.

За­да­ние 3. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных на­бо­ров зна­че­ний ло­ги­че­ских пе­ре­мен­ных x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 ко­то­рые удо­вле­тво­ря­ют всем пе­ре­чис­лен­ным ниже усло­ви­ям?

В от­ве­те не нужно пе­ре­чис­лять все раз­лич­ные на­бо­ры зна­че­ний пе­ре­мен­ных x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 при ко­то­рых вы­пол­не­на дан­ная си­сте­ма ра­венств. В ка­че­стве от­ве­та Вам нужно ука­зать ко­ли­че­ство таких на­бо­ров.

За­пи­шем пе­ре­мен­ные в строч­ку: x₁x₂x₃x₄x₅x₆x₇x₈. Им­пли­ка­ция ложна толь­ко в том слу­чае, когда из ис­ти­ны сле­ду­ет ложь. Усло­вие не вы­пол­ня­ет­ся, если в ряде после оди­на­ко­вых цифр при­сут­ству­ет дру­гая цифра. На­при­мер, «11101. » что озна­ча­ет не­вы­пол­не­ние вто­ро­го усло­вия.

Рас­смот­рим ком­би­на­ции пе­ре­мен­ных, удо­вле­тво­ря­ю­щие всем усло­ви­ям. Вы­пи­шем ва­ри­ан­ты, при ко­то­рых все цифры че­ре­ду­ют­ся, таких два: 10101010 и 01010101. Те­перь для пер­во­го ва­ри­ан­та, на­чи­ная с конца, будем уве­ли­чи­вать ко­ли­че­ство по­вто­ря­ю­щих­ся под­ряд цифр (на­столь­ко, на­сколь­ко это воз­мож­но). Вы­пи­шем по­лу­чен­ные ком­би­на­ции: «10101011; 10101111. » таких ком­би­на­ций во­семь. Ана­ло­гич­но для вто­ро­го ва­ри­ан­та: «01010101; 01010100. «. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем 8 + 8 = 16 ре­ше­ний.

За­да­ние 4. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных на­бо­ров зна­че­ний ло­ги­че­ских пе­ре­мен­ных x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, ко­то­рые удо­вле­тво­ря­ют всем пе­ре­чис­лен­ным ниже усло­ви­ям?

В от­ве­те не нужно пе­ре­чис­лять все раз­лич­ные на­бо­ры зна­че­ний пе­ре­мен­ных x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, при ко­то­рых вы­пол­не­на дан­ная си­сте­ма ра­венств. В ка­че­стве от­ве­та Вам нужно ука­зать ко­ли­че­ство таких на­бо­ров.

За­пи­шем пе­ре­мен­ные в строч­ку: x₁x₂x₃x₄x₅x₆x₇. Им­пли­ка­ция ложна толь­ко в том слу­чае, когда из ис­ти­ны сле­ду­ет ложь. Усло­вие не вы­пол­ня­ет­ся, если в ряду после оди­на­ко­вых цифр при­сут­ству­ет дру­гая цифра. На­при­мер, «11101. » что озна­ча­ет не­вы­пол­не­ние вто­ро­го усло­вия.

Рас­смот­рим ком­би­на­ции пе­ре­мен­ных, удо­вле­тво­ря­ю­щие всем усло­ви­ям. Вы­пи­шем ва­ри­ан­ты, при ко­то­рых все цифры че­ре­ду­ют­ся, таких два: 1010101 и 0101010. Те­перь для пер­во­го ва­ри­ан­та, на­чи­ная с конца, будем уве­ли­чи­вать ко­ли­че­ство по­вто­ря­ю­щих­ся под­ряд цифр(на­столь­ко, на­сколь­ко это воз­мож­но). Вы­пи­шем по­лу­чен­ные ком­би­на­ции: «1010111; 1011111. » таких ком­би­на­ций во­семь. Ана­ло­гич­но для вто­ро­го ва­ри­ан­та: «0101011; 0101111. «. Учтём, что при подсчёте ком­би­на­ция для вто­ро­го ва­ри­ан­та ком­би­на­ции 0000000 и 1111111 были учте­ны два­жды. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем 8 + 8 − 2 = 14 ре­ше­ний.

За­да­ние 5. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных на­бо­ров зна­че­ний ло­ги­че­ских пе­ре­мен­ных x₁, x₂, . x₈, ко­то­рые удо­вле­тво­ря­ют всем пе­ре­чис­лен­ным ниже усло­ви­ям?

В от­ве­те не нужно пе­ре­чис­лять все раз­лич­ные на­бо­ры зна­че­ний пе­ре­мен­ных x₁, x₂, … x₈ при ко­то­рых вы­пол­не­на дан­ная си­сте­ма ра­венств. В ка­че­стве от­ве­та Вам нужно ука­зать ко­ли­че­ство таких на­бо­ров.

По­стро­им древо ре­ше­ний пер­во­го урав­не­ния:

За­ме­тим, что вы­ра­же­ние (x₃ ≡ x₄) в двух слу­ча­ях равно 1 и в двух слу­ча­ях равно 0. Таким об­ра­зом, одно урав­не­ние имеет во­семь ре­ше­ний.

Вто­рое урав­не­ние свя­за­но с пер­вым толь­ко через вы­ра­же­ние (x₃ ≡ x₄). По­стро­им древо ре­ше­ний вто­ро­го урав­не­ния:

Для каж­до­го из зна­че­ний 0 и 1 вы­ра­же­ния (x₃ ≡ x₄) су­ще­ству­ет че­ты­ре на­бо­ра пе­ре­мен­ных x₁, x₂. x₄, удо­вле­тво­ря­ю­щих пер­во­му урав­не­нию (см. пер­вый ри­су­нок). Таким об­ра­зом, си­сте­ма из двух урав­не­ний имеет 4 · 4 = 16 ре­ше­ний.

Тре­тье урав­не­ние свя­за­но со вто­рым толь­ко через вы­ра­же­ние (x₅ ≡ x₆). По­стро­им древо ре­ше­ний тре­тье­го урав­не­ния:

Для каж­до­го из зна­че­ний 0 и 1 вы­ра­же­ния (x₅ ≡ x₆) су­ще­ству­ет 2 · 4 = 8 на­бо­ров пе­ре­мен­ных x₁, x₂. x₆, удо­вле­тво­ря­ю­щих пер­во­му урав­не­нию (см. пер­вый и вто­рой ри­су­нок). Таким об­ра­зом, си­сте­ма из трёх урав­не­ний имеет 8 · 4 = 32 ре­ше­ния.

За­да­ние 6. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных на­бо­ров зна­че­ний ло­ги­че­ских пе­ре­мен­ных x₁, x₂, . x₁₀, ко­то­рые удо­вле­тво­ря­ют всем пе­ре­чис­лен­ным ниже усло­ви­ям?

В от­ве­те не нужно пе­ре­чис­лять все раз­лич­ные на­бо­ры зна­че­ний пе­ре­мен­ных x₁, x₂, … x₁₀ при ко­то­рых вы­пол­не­на дан­ная си­сте­ма ра­венств. В ка­че­стве от­ве­та Вам нужно ука­зать ко­ли­че­ство таких на­бо­ров.

По­стро­им древо ре­ше­ний пер­во­го урав­не­ния:

За­ме­тим, что вы­ра­же­ние (x₃ ≡ x₄) в двух слу­ча­ях равно 1 и в двух слу­ча­ях равно 0. Таким об­ра­зом, одно урав­не­ние имеет во­семь ре­ше­ний.

Вто­рое урав­не­ние свя­за­но с пер­вым толь­ко через вы­ра­же­ние (x₃ ≡ x₄). По­стро­им древо ре­ше­ний вто­ро­го урав­не­ния:

Для каж­до­го из зна­че­ний 0 и 1 вы­ра­же­ния (x₃ ≡ x₄) су­ще­ству­ет че­ты­ре на­бо­ра пе­ре­мен­ных x₁, x₂. x₄, удо­вле­тво­ря­ю­щих пер­во­му урав­не­нию (см. пер­вый ри­су­нок). Таким об­ра­зом, си­сте­ма из двух урав­не­ний имеет 4 · 4 = 16 ре­ше­ний.

Тре­тье урав­не­ние свя­за­но со вто­рым толь­ко через вы­ра­же­ние (x₅ ≡ x₆). По­стро­им древо ре­ше­ний тре­тье­го урав­не­ния:

Для каж­до­го из зна­че­ний 0 и 1 вы­ра­же­ния (x₅ ≡ x₆) су­ще­ству­ет 2 · 4 = 8 на­бо­ров пе­ре­мен­ных x₁, x₂. x₆, удо­вле­тво­ря­ю­щих пер­во­му урав­не­нию (см. пер­вый и вто­рой ри­су­нок). Таким об­ра­зом, си­сте­ма из трёх урав­не­ний имеет 8 · 4 = 32 ре­ше­ния, си­сте­ма из четырёх — 64.

За­да­ние 7. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных на­бо­ров зна­че­ний ло­ги­че­ских пе­ре­мен­ных x₁, x₂, . x₁₀, ко­то­рые удо­вле­тво­ря­ют всем пе­ре­чис­лен­ным ниже усло­ви­ям?

В от­ве­те не нужно пе­ре­чис­лять все раз­лич­ные на­бо­ры зна­че­ний пе­ре­мен­ных x₁, x₂, … x₁₀ при ко­то­рых вы­пол­не­на дан­ная си­сте­ма ра­венств. В ка­че­стве от­ве­та Вам нужно ука­зать ко­ли­че­ство таких на­бо­ров.

По­стро­им древо ре­ше­ний пер­во­го урав­не­ния:

За­ме­тим, что вы­ра­же­ние (x₃ ≡ x₄) в двух слу­ча­ях равно 1 и в двух слу­ча­ях равно 0. Таким об­ра­зом, одно урав­не­ние имеет во­семь ре­ше­ний.

Вто­рое урав­не­ние свя­за­но с пер­вым толь­ко через вы­ра­же­ние (x₃ ≡ x₄). По­стро­им древо ре­ше­ний вто­ро­го урав­не­ния:

Для каж­до­го из зна­че­ний 0 и 1 вы­ра­же­ния (x₃ ≡ x₄) су­ще­ству­ет че­ты­ре на­бо­ра пе­ре­мен­ных x₁, x₂. x₄, удо­вле­тво­ря­ю­щих пер­во­му урав­не­нию (см. пер­вый ри­су­нок). Таким об­ра­зом, си­сте­ма из двух урав­не­ний имеет 4 · 4 = 16 ре­ше­ний.

Тре­тье урав­не­ние свя­за­но со вто­рым толь­ко через вы­ра­же­ние (x₅ ≡ x₆). По­стро­им древо ре­ше­ний тре­тье­го урав­не­ния:

Для каж­до­го из зна­че­ний 0 и 1 вы­ра­же­ния (x₅ ≡ x₆) су­ще­ству­ет 2 · 4 = 8 на­бо­ров пе­ре­мен­ных x₁, x₂. x₆, удо­вле­тво­ря­ю­щих пер­во­му урав­не­нию (см. пер­вый и вто­рой ри­су­нок). Таким об­ра­зом, си­сте­ма из трёх урав­не­ний имеет 8 · 4 = 32 ре­ше­ния.

Ана­ло­гич­но си­сте­ма из четырёх урав­не­ний будет иметь 64 ре­ше­ния.

За­да­ние 8. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных на­бо­ров зна­че­ний ло­ги­че­ских пе­ре­мен­ных x₁, x₂, . x₈, ко­то­рые удо­вле­тво­ря­ют всем пе­ре­чис­лен­ным ниже усло­ви­ям?

В от­ве­те не нужно пе­ре­чис­лять все раз­лич­ные на­бо­ры зна­че­ний пе­ре­мен­ных x₁, x₂, … x₈ при ко­то­рых вы­пол­не­на дан­ная си­сте­ма ра­венств. В ка­че­стве от­ве­та Вам нужно ука­зать ко­ли­че­ство таких на­бо­ров.

Рас­смот­рим пер­вое урав­не­ние.

При x₁ = 1 воз­мож­ны два слу­чая: x₂ = 0 и x₂ = 1. В пер­вом слу­чае x₃ = 1. Во вто­ром — x₃ либо 0, либо 1. При x₁ = 0 также воз­мож­ны два слу­чая: x₂ = 0 и x₂ = 1. В пер­вом слу­чае x₃ либо 0, либо 1. Во вто­ром — x₃ = 0. Таким об­ра­зом, урав­не­ние имеет 6 ре­ше­ний (см. ри­су­нок).

Рас­смот­рим си­сте­му из двух урав­не­ний.

Пусть x₁ = 1. При x₂ = 0 воз­мо­жен лишь один слу­чай: x₃ = 1, пе­ре­мен­ная x₄ = 0. При x₂ = 1 воз­мож­но два слу­чая: x₃ = 0 и x₃ = 1. В пер­вом слу­чае x₄ = 1, во вто­ром — x₄ либо 0, либо 1. Всего имеем 4 ва­ри­ан­та.

Пусть x₁ = 0. При x₂ = 1 воз­мо­жен лишь один слу­чай: x₃ = 0, пе­ре­мен­ная x₄ = 1. При x₂ = 0 воз­мож­но два слу­чая: x₃ = 0 и x₃ = 1. В пер­вом слу­чае x₄ либо 1, либо 0, во вто­ром — x₄ = 0. Всего имеем 4 ва­ри­ан­та.

Таким об­ра­зом, си­сте­ма из двух урав­не­ний имеет 4 + 4 = 8 ва­ри­ан­тов (см. ри­су­нок).

Си­сте­ма из трёх урав­не­ний будет иметь 10 ре­ше­ний, из четырёх — 12. От­ри­ца­ние в по­след­нем урав­не­нии дей­ству­ет толь­ко на ком­би­на­цию пе­ре­мен­ных, не свя­зан­ных с с преды­ду­щи­ми урав­не­ни­я­ми. По­это­му, ко­ли­че­ство ре­ше­ний дан­ной в усло­вии си­сте­мы сов­па­да­ет с ко­ли­че­ством ре­ше­ний си­сте­мы из шести од­но­тип­ных урав­не­ний (си­сте­мы, в ко­то­рой в по­след­нем урав­не­нии нет знака от­ри­ца­ния после конъ­юнк­ции), и равно 16.

За­да­ние 9. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных на­бо­ров зна­че­ний ло­ги­че­ских пе­ре­мен­ных x₁, x₂, . x₈, ко­то­рые удо­вле­тво­ря­ют всем пе­ре­чис­лен­ным ниже усло­ви­ям?

В от­ве­те не нужно пе­ре­чис­лять все раз­лич­ные на­бо­ры зна­че­ний пе­ре­мен­ных x₁, x₂, … x₈ при ко­то­рых вы­пол­не­на дан­ная си­сте­ма ра­венств. В ка­че­стве от­ве­та Вам нужно ука­зать ко­ли­че­ство таких на­бо­ров.

По­стро­им древо ре­ше­ний пер­во­го урав­не­ния:

За­ме­тим, что вы­ра­же­ние (x₃ ≡ x₄) в двух слу­ча­ях равно 1 и в двух слу­ча­ях равно 0. Таким об­ра­зом, одно урав­не­ние имеет во­семь ре­ше­ний.

Вто­рое урав­не­ние свя­за­но с пер­вым толь­ко через вы­ра­же­ние (x₃ ≡ x₄). По­стро­им древо ре­ше­ний вто­ро­го урав­не­ния:

Для каж­до­го из зна­че­ний 0 и 1 вы­ра­же­ния (x₃ ≡ x₄) су­ще­ству­ет че­ты­ре на­бо­ра пе­ре­мен­ных x₁, x₂. x₄, удо­вле­тво­ря­ю­щих пер­во­му урав­не­нию (см. пер­вый ри­су­нок). Таким об­ра­зом, си­сте­ма из двух урав­не­ний имеет 4 · 4 = 16 ре­ше­ний.

Тре­тье урав­не­ние свя­за­но со вто­рым толь­ко через вы­ра­же­ние (x₅ ≡ x₆). По­стро­им древо ре­ше­ний тре­тье­го урав­не­ния:

Для каж­до­го из зна­че­ний 0 и 1 вы­ра­же­ния (x₅ ≡ x₆) су­ще­ству­ет 2 · 4 = 8 на­бо­ров пе­ре­мен­ных x₁, x₂. x₆, удо­вле­тво­ря­ю­щих пер­во­му урав­не­нию (см. пер­вый и вто­рой ри­су­нок). Таким об­ра­зом, си­сте­ма из трёх урав­не­ний имеет 8 · 4 = 32 ре­ше­ния.

За­да­ние 10. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных на­бо­ров зна­че­ний ло­ги­че­ских пе­ре­мен­ных x₁, x₂, . x₁₂, ко­то­рые удо­вле­тво­ря­ют всем пе­ре­чис­лен­ным ниже усло­ви­ям?

В от­ве­те не нужно пе­ре­чис­лять все раз­лич­ные на­бо­ры зна­че­ний пе­ре­мен­ных x₁, x₂, … x₁₂ при ко­то­рых вы­пол­не­на дан­ная си­сте­ма ра­венств. В ка­че­стве от­ве­та Вам нужно ука­зать ко­ли­че­ство таких на­бо­ров.

По­стро­им древо ре­ше­ний пер­во­го урав­не­ния:

За­ме­тим, что вы­ра­же­ние (x₃ ≡ x₄) в двух слу­ча­ях равно 1 и в двух слу­ча­ях равно 0. Таким об­ра­зом, одно урав­не­ние имеет во­семь ре­ше­ний.

Вто­рое урав­не­ние свя­за­но с пер­вым толь­ко через вы­ра­же­ние (x₃ ≡ x₄). По­стро­им древо ре­ше­ний вто­ро­го урав­не­ния:

Для каж­до­го из зна­че­ний 0 и 1 вы­ра­же­ния (x₃ ≡ x₄) су­ще­ству­ет че­ты­ре на­бо­ра пе­ре­мен­ных x₁, x₂. x₄, удо­вле­тво­ря­ю­щих пер­во­му урав­не­нию (см. пер­вый ри­су­нок). Таким об­ра­зом, си­сте­ма из двух урав­не­ний имеет 4 · 4 = 16 ре­ше­ний.

Тре­тье урав­не­ние свя­за­но со вто­рым толь­ко через вы­ра­же­ние (x₅ ≡ x₆). По­стро­им древо ре­ше­ний тре­тье­го урав­не­ния:

Для каж­до­го из зна­че­ний 0 и 1 вы­ра­же­ния (x₅ ≡ x₆) су­ще­ству­ет 2 · 4 = 8 на­бо­ров пе­ре­мен­ных x₁, x₂. x₆, удо­вле­тво­ря­ю­щих пер­во­му урав­не­нию (см. пер­вый и вто­рой ри­су­нок). Таким об­ра­зом, си­сте­ма из трёх урав­не­ний имеет 8 · 4 = 32 ре­ше­ния.

Ана­ло­гич­но си­сте­ма из четырёх урав­не­ний будет иметь 64 ре­ше­ния, си­сте­ма из пяти урав­не­ний — 128.

За­да­ние 1. Сколь­ко раз­лич­ных ре­ше­ний имеет урав­не­ние J ∧ ¬ K ∧ L ∧ ¬ M ∧ (N ∨ ¬ N) = 0, где J, K, L, M, N — ло­ги­че­ские пе­ре­мен­ные?

В от­ве­те не нужно пе­ре­чис­лять все раз­лич­ные на­бо­ры зна­че­ний J, K, L, M и N, при ко­то­рых вы­пол­не­но дан­ное ра­вен­ство. В ка­че­стве от­ве­та нужно ука­зать ко­ли­че­ство таких на­бо­ров.

Вы­ра­же­ние (N ∨ ¬ N) ис ­ тин ­ но при любом N, по ­ это ­ му

J ∧ ¬ K ∧ L ∧ ¬ M = 0.

При­ме­ним от­ри­ца­ние к обеим ча­стям ло­ги­че­ско­го урав­не­ния и ис­поль­зу­ем закон де Мор­га­на ¬ (А ∧ В ) = ¬ А ∨ ¬ В . По ­ лу ­ чим

Ло­ги­че­ская сумма равна 1, если хотя бы одно из со­став­ля­ю­щих ее вы­ска­зы­ва­ний равно 1. По­это­му по­лу­чен­но­му урав­не­нию удо­вле­тво­ря­ют любые ком­би­на­ции ло­ги­че­ских пе­ре­мен­ных кроме слу­чая, когда все вхо­дя­щие в урав­не­ние ве­ли­чи­ны равны 0. Каж­дая из 4 пе­ре­мен­ных может быть равна либо 1, либо 0, по­это­му все­воз­мож­ных ком­би­на­ций 2·2·2·2 = 16. Сле­до­ва­тель­но, урав­не­ние имеет 16 −1 = 15 ре­ше­ний.

Оста­лось за­ме­тить, что най­ден­ные 15 ре­ше­ний со­от­вет­ству­ют лю­бо­му из двух воз­мож­ных зна­че­ний зна­че­ний ло­ги­че­ской пе­ре­мен­ной N, по­это­му ис­ход­ное урав­не­ние имеет 30 ре­ше­ний.

За­да­ние 2. Сколь­ко раз­лич­ных ре­ше­ний имеет урав­не­ние

((J → K) → (M ∧ N ∧ L)) ∧ ((J ∧ ¬ K) → ¬ (M ∧ N ∧ L)) ∧ (M → J) = 1

где J, K, L, M, N – ло­ги­че­ские пе­ре­мен­ные?

В от­ве­те не нужно пе­ре­чис­лять все раз­лич­ные на­бо­ры зна­че­ний J, K, L, M и N, при ко­то­рых вы­пол­не­но дан­ное ра­вен­ство. В ка­че­стве от­ве­та нужно ука­зать ко­ли­че­ство таких на­бо­ров.

Ис­поль­зу­ем фор­му­лы A → B = ¬ A ∨ B и ¬ ( А ∨ В ) = ¬А ∧ ¬В

Рас­смот­рим первую под­фор­му­лу:

(J → K) → (M ∧ N ∧ L) = ¬ ( ¬ J ∨ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (J ∧ ¬ K) ∨ (M ∧ N ∧ L)

Рас­смот­рим вто­рую под­фор­му­лу

(J ∧ ¬ K) → ¬ (M ∧ N ∧ L) = ¬ (J ∧ ¬ K) ∨ ¬ (M ∧ N ∧ L) = ( ¬ J ∨ K) ∨ ¬ M ∨ ¬ N ∨ ¬ L

Рас­смот­рим тре­тью под­фор­му­лу

1) M → J = 1 сле ­ до ­ ва ­ тель ­но,

(J ∧ ¬ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬ K) ∨ (1 ∧ N ∧ L) = ¬ K ∨ N ∧ L;

(0 ∨ K) ∨ 0 ∨ ¬ N ∨ ¬ L = K ∨ ¬ N ∨ ¬ L;

¬K ∨ N ∧ L ∧ K ∨ ¬ N ∨ ¬ L = 0 ∨ L ∨ 0 ∨ ¬ L = L ∨ ¬ L = 1 сле ­ до ­ ва ­ тель ­ но , 4 ре ­ ше ­ ния .

(J ∧ ¬ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬ K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = ¬ K;

(¬J ∨ K) ∨ ¬ M ∨ ¬ N ∨ ¬ L = (0 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬ N ∨ ¬ L = K ∨ 1 ∨ ¬ N ∨ ¬ L

K ∨ 1 ∨ ¬ N ∨ ¬ L ∧ ¬ K = 1 ∨ ¬ N ∨ ¬ L сле ­ до ­ ва ­ тель ­ но , 4 ре ­ ше ­ ния .

(J ∧ ¬ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (0 ∧ ¬ K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = 0.

(¬J ∨ K) ∨ ¬ M ∨ ¬ N ∨ ¬ L = (1 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬ N ∨ ¬ L.

За­да­ние 3. Сколь­ко раз­лич­ных ре­ше­ний имеет урав­не­ние:

¬((J → K) → (L ∧ M ∧ N)) ∨ ¬ ((L ∧ M ∧ N) → ( ¬ J ∨ K)) ∨ (M ∧ J) = 0

Ис­поль­зу­ем фор­му­лу A → B = ¬ A ∨ B

Рас­смот­рим первую под­фор­му­лу:

¬((¬J ∨ K) → (M ∧ N ∧ L)) = ¬ ( ¬ ( ¬ J ∨ K) ∨ (M ∧ N ∧ L)) = ¬ ((J ∧ ¬ K) ∨ (M ∧ N ∧ L)) =

Учи­ты­вая, что ¬(А ∨ В ) = ¬А ∧ ¬В ,

= (¬J ∨ K) ∧ ( ¬ M ∨ ¬ N ∨ ¬ L)

Рас­смот­рим вто­рую под­фор­му­лу

¬((L ∧ M ∧ N) → ( ¬ J ∨ K)) = ¬ ( ¬ (L ∧ M ∧ N) ∨ ( ¬ J ∨ K)) = L ∧ M ∧ N ∧ J ∧ ¬ K

При­ме­ним от­ри­ца­ние к левой и пра­вой части урав­не­ния, по­лу­чит­ся

[(J ∧ ¬ K) ∨ (M ∧ N ∧ L)] ∧ [ ¬ L ∨ ¬ M ∨ ¬ N ∨ ¬ J ∨ K] ∧ [ ¬ M ∨ ¬ J] = 1

1) (¬M ∨ ¬ J) = 1, сле ­ до ­ ва ­ тель ­ но ,

0 ∧ ¬ K ∧ ¬ L ∨ ¬ N ∨ K, сле ­ до ­ ва ­ тель ­ но , 0 ре ­ ше ­ ний .

[(0 ∧ ¬ K) ∨ (1 ∧ N ∧ L)] ∧ [ ¬ L ∨ 0 ∨ ¬ N ∨ 1 ∨ K] ∧ [ ¬ M ∨ 1] = N ∧ L ∧ ¬ L ∨ ¬ N ∨ 1 ∨ K = 1 => L=N=1, сле­до­ва­тель­но, 2 ре­ше­ния.

[(1 ∧ ¬ K) ∨ (0 ∧ N ∧ L)] ∧ [ ¬ L ∨ ¬ 0 ∨ ¬ N ∨ ¬ 1 ∨ K] ∧ [ ¬ 0 ∨ ¬ 1] = 1, сле ­ до ­ ва ­ тель ­ но , 4 ре ­ ше ­ ния .

За­да­ние 4. Сколь­ко раз­лич­ных ре­ше­ний имеет урав­не­ние

((K ∨ L) → (L ∧ M ∧ N)) = 0

где K, L, M, N – ло­ги­че­ские пе­ре­мен­ные? В От­ве­те не нужно пе­ре­чис­лять все раз­лич­ные на­бо­ры зна­че­ний K, L, M и N, при ко­то­рых вы­пол­не­но дан­ное ра­вен­ство. В ка­че­стве От­ве­та Вам нужно ука­зать ко­ли­че­ство таких на­бо­ров.

пе­ре­пи­шем урав­не­ние, ис­поль­зуя более про­стые обо­зна­че­ния опе­ра­ций:

((K + L) → (L · M · N)) = 0

1) из таб­ли­цы ис­тин­но­сти опе­ра­ции «им­пли­ка­ция» (см. первую за­да­чу) сле­ду­ет, что это ра­вен­ство верно тогда и толь­ко тогда, когда од­но­вре­мен­но

K + L = 1 и L · M · N = 0

2) из пер­во­го урав­не­ния сле­ду­ет, что хотя бы одна из пе­ре­мен­ных, K или L, равна 1 (или обе вме­сте); по­это­му рас­смот­рим три слу­чая

3) если K = 1 и L = 0, то вто­рое ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся при любых М и N; по­сколь­ку су­ще­ству­ет 4 ком­би­на­ции двух ло­ги­че­ских пе­ре­мен­ных (00, 01, 10 и 11), имеем 4 раз­ных ре­ше­ния

4) если K = 1 и L = 1, то вто­рое ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся при М · N = 0; су­ще­ству­ет 3 таких ком­би­на­ции (00, 01 и 10), имеем еще 3 ре­ше­ния

5) если K = 0, то обя­за­тель­но L = 1 (из пер­во­го урав­не­ния); при этом вто­рое ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся при М · N = 0; су­ще­ству­ет 3 таких ком­би­на­ции (00, 01 и 10), имеем еще 3 ре­ше­ния

6) всего по­лу­ча­ем 4 + 3 + 3 = 10 ре­ше­ний.

За­да­ние 5. Сколь­ко раз­лич­ных ре­ше­ний имеет урав­не­ние

где K, L, M, N – ло­ги­че­ские пе­ре­мен­ные? В от­ве­те не нужно пе­ре­чис­лять все раз­лич­ные на­бо­ры зна­че­ний K, L, M и N, при ко­то­рых вы­пол­не­но дан­ное ра­вен­ство. В ка­че­стве от­ве­та вам нужно ука­зать толь­ко ко­ли­че­ство таких на­бо­ров.

Вы­ра­же­ние ис­тин­но в трех слу­ча­ях, когда (K ∧ L) и (M ∧ N) равны со ­ от ­ вет ­ ствен ­ но 01, 11, 10.

1) «01» K ∧ L = 0; M ∧ N = 1, => M, N равны 1, а K и L любые , кроме как од ­ но ­ вре ­ мен ­ но 1. Сле ­ до ­ ва ­ тель ­ но 3 ре ­ ше ­ ния .

2) «11» K ∧ L = 1; M ∧ N = 1. => 1 ре ­ ше ­ ние .

3) «10» K ∧ L = 1; M ∧ N = 0. => 3 ре ­ ше ­ ния .

За­да­ние 6. Сколь­ко раз­лич­ных ре­ше­ний имеет урав­не­ние

(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0

где X, Y, Z, P – ло­ги­че­ские пе­ре­мен­ные? В от­ве­те не нужно пе­ре­чис­лять все раз­лич­ные на­бо­ры зна­че­ний, при ко­то­рых вы­пол­не­но дан­ное ра­вен­ство. В ка­че­стве от­ве­та вам нужно ука­зать толь­ко ко­ли­че­ство таких на­бо­ров.

При­ме­ним пре­об­ра­зо­ва­ние им­пли­ка­ции:

(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0 =>

¬(X ∧ Y ∨ Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;

(¬X ∨ ¬ Y ∧ ¬ Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;

Ло­ги­че­ское ИЛИ ложно толь­ко в одном слу­чае: когда оба вы­ра­же­ния ложны.

(Z ∨ P) = 0 => Z = 0, P = 0.

¬X ∨ ¬ Y ∧ ¬ Z = 0 => ¬ X ∨ ¬ Y ∧ 1 = 0 =>

¬X ∨ ¬ Y = 0 => X = 1; Y = 1.

Сле­до­ва­тель­но, су­ще­ству­ет толь­ко одно ре­ше­ние урав­не­ния.

За­да­ние 7. Сколь­ко раз­лич­ных ре­ше­ний имеет урав­не­ние

(X ∨ Y ∨ Z) → (X ∧ P) = 1

где X, Y, Z, P – ло­ги­че­ские пе­ре­мен­ные? В от­ве­те не нужно пе­ре­чис­лять все раз­лич­ные на­бо­ры зна­че­ний, при ко­то­рых вы­пол­не­но дан­ное ра­вен­ство. В ка­че­стве от­ве­та вам нужно ука­зать толь­ко ко­ли­че­ство таких на­бо­ров.

При­ме­ним пре­об­ра­зо­ва­ние им­пли­ка­ции:

(X ∨ Y ∨ Z) → (X ∧ P) = 1;

¬(X ∨ Y ∨ Z) ∨ (X ∧ P) = 1;

(¬X ∧ ¬ Y ∧ ¬ Z) ∨ (X ∧ P) = 1; (1)

Ло­ги­че­ское «ИЛИ» ложно , когда ложны оба утвер­жде­ния.

Ло­ги­че­ское «И» ис­тин­но толь­ко тогда, когда ис­тин­ны оба утвер­жде­ния.

(¬X ∧ ¬ Y ∧ ¬ Z) = 1 тогда X = 0, Y = 0, Z = 0.

Тогда из (1) сле­ду­ет, что P может быть как 1, так и 0, то есть 2 на­бо­ра ре­ше­ний.

(¬X ∧ ¬ Y ∧ ¬ Z) = 0, (X ∧ P) = 1.

Тогда P = 1, X = 1.

(0 ∧ ¬ Y ∧ ¬ Z) = 0 => есть 4 ре ­ ше ­ ния .

В итоге 6 ре­ше­ний.

За­да­ние 8. Сколь­ко раз­лич­ных ре­ше­ний имеет урав­не­ние

где K, L, M, N – ло­ги­че­ские пе­ре­мен­ные? В от­ве­те не нужно пе­ре­чис­лять все раз­лич­ные на­бо­ры зна­че­ний K, L, M и N, при ко­то­рых вы­пол­не­но дан­ное ра­вен­ство. В ка­че­стве от­ве­та вам нужно ука­зать толь­ко ко­ли­че­ство таких на­бо­ров.

Ло­ги­че­ское И ис­тин­но толь­ко в одном слу­чае: когда все вы­ра­же­ния ис­тин­ны.

K ∨ L = 1, M ∨ N = 1.

Каж­дое из урав­не­ний дает по 3 ре­ше­ния.

Рас­смот­рим урав­не­ние А ∧ В = 1 если и А и В при ­ ни ­ ма ­ ют ис ­ тин ­ ные зна ­ че ­ ния в трех слу­ча­ях каж­дое, то в целом урав­не­ние имеет 9 ре­ше­ний.

Сле­до­ва­тель­но ответ 9.

За­да­ние 9. Сколь­ко раз­лич­ных ре­ше­ний имеет урав­не­ние

((A → B) ∧ C) ∨ (D ∧ ¬ D)= 1,

где A, B, C, D – ло­ги­че­ские пе­ре­мен­ные?

В от­ве­те не нужно пе­ре­чис­лять все раз­лич­ные на­бо­ры зна­че­ний A, B, C, D, при ко­то­рых вы­пол­не­но дан­ное ра­вен­ство. В ка­че­стве от­ве­та вам нужно ука­зать ко­ли­че­ство таких на­бо­ров.

Ло­ги­че­ское «ИЛИ» ис­тин­но , когда ис­тин­но хотя бы одно из утвер­жде­ний.

(D ∧ ¬ D)= 0 при любых D.

(A → B) ∧ C) = 1 => C = 1; A → B = 1 => ¬ A ∨ B = 1, что дает нам 3 ва ­ ри ­ ан ­ та ре ­ ше ­ ний при каж ­ дом D.

(D ∧ ¬ D)= 0 при любых D, что дает нам два ва­ри­ан­та ре­ше­ний (при D = 1, D = 0).

Сле­до­ва­тель­но: всего ре­ше­ний 2*3 = 6.

Итого 6 ре­ше­ний.

За­да­ние 10. Сколь­ко раз­лич­ных ре­ше­ний имеет урав­не­ние

(¬K ∨ ¬ L ∨ ¬ M) ∧ (L ∨ ¬ M ∨ ¬ N) = 0

где K, L, M, N – ло­ги­че­ские пе­ре­мен­ные? В от­ве­те не нужно пе­ре­чис­лять все раз­лич­ные на­бо­ры зна­че­ний K, L, M и N, при ко­то­рых вы­пол­не­но дан­ное ра­вен­ство. В ка­че­стве от­ве­та вам нужно ука­зать толь­ко ко­ли­че­ство таких на­бо­ров.

При­ме­ним от­ри­ца­ние к обеим ча­стям урав­не­ния:

(K ∧ L ∧ M) ∨ ( ¬ L ∧ M ∧ N) = 1

Ло­ги­че­ское ИЛИ ис­тин­но в трех слу­ча­ях.

K ∧ L ∧ M = 1, тогда K, L, M = 1, а ¬ L ∧ M ∧ N = 0. N любое , то есть 2 ре ­ ше ­ ния .

¬L ∧ M ∧ N = 1, тогда N, M = 1; L = 0, K любое , то есть 2 ре ­ ше ­ ния .

Сле­до­ва­тель­но, ответ 4.

Системы логических уравнений, содержащие не однотипные уравнения

За­да­ние 1. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных на­бо­ров зна­че­ний ло­ги­че­ских пе­ре­мен­ных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, ко­то­рые удо­вле­тво­ря­ют всем пе­ре­чис­лен­ным ниже усло­ви­ям?

(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5 ) = 1

(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) ∧ (y4 → y5 ) = 1

В от­ве­те не нужно пе­ре­чис­лять все раз­лич­ные на­бо­ры зна­че­ний пе­ре­мен­ных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, при ко­то­рых вы­пол­не­на дан­ная си­сте­ма ра­венств. В ка­че­стве от­ве­та Вам нужно ука­зать ко­ли­че­ство таких на­бо­ров.

1) Из по­след­не­го урав­не­ния сле­ду­ет, что гло­баль­но мы имеем три ва­ри­ан­та — x1=1, y1=1; x1=0, y1=1; x1=1, y1=0.

2) Ло­ги­че­ское И ис­тин­но, толь­ко тогда, когда ис­ти­ны все утвер­жде­ния, а им­пли­ка­ция ложна толь­ко в слу­чае, если из ис­тин­но­го сле­ду­ет лож­ное.

3) Урав­не­ние (1) опи­сы­ва­ет ряд пе­ре­мен­ных . Так как из пе­ре­мен­ной с более низ­ким но­ме­ром все­гда сле­ду­ет пе­ре­мен­ная с более вы­со­ким, если любую пе­ре­мен­ную из этого ряда при­рав­нять 1, то все сле­ду­ю­щие долж­ны также быть равны 1. Для урав­не­ния (2) су­ще­ству­ет то же самое пра­ви­ло. Иначе го­во­ря, если за­пи­сать пе­ре­мен­ные x (или y) в по­ряд­ке воз­рас­та­ния их но­ме­ров, слева будут нули, а спра­ва — еди­ни­цы.

4) Рас­смот­рим ва­ри­ант x1=1, y1=1. Так как пер­вые числа каж­до­го ряда равны 1, то все сле­ду­ю­щие тоже равны 1. Су­ще­ству­ет толь­ко одна ком­би­на­ция для этого ва­ри­ан­та.

5) Рас­смот­рим ва­ри­ант x1=0, y1=1. Для y-ряда все пе­ре­мен­ные равны 1, для x же су­ще­ству­ет 5 ком­би­на­ций, так как в ряде x может быть от 1 до 5 нолей вклю­чи­тель­но.

6) По­след­ний ва­ри­ант рас­смот­рим ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му. Там су­ще­ству­ет всего 5 ком­би­на­ций.

Пра­виль­ный ответ: 5+5+1=11 ком­би­на­ций.

За­да­ние 2. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных на­бо­ров зна­че­ний ло­ги­че­ских пе­ре­мен­ных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, ко­то­рые удо­вле­тво­ря­ют всем пе­ре­чис­лен­ным ниже усло­ви­ям?

(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5 ) = 1

(y5 → y4) ∧ (y4 → y3) ∧ (y3 → y2) ∧ (y2 → y1 ) = 1

В от­ве­те не нужно пе­ре­чис­лять все раз­лич­ные на­бо­ры зна­че­ний пе­ре­мен­ных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, при ко­то­рых вы­пол­не­на дан­ная си­сте­ма ра­венств. В ка­че­стве от­ве­та Вам нужно ука­зать ко­ли­че­ство таких на­бо­ров.

1) Из по­след­не­го урав­не­ния сле­ду­ет, что гло­баль­но мы имеем x3=1, y3=1.

2) Ло­ги­че­ское И ис­тин­но, толь­ко тогда, когда ис­ти­ны все утвер­жде­ния, а им­пли­ка­ция ложна толь­ко в слу­чае, если из ис­тин­но­го сле­ду­ет лож­ное.

3) Урав­не­ние (1) опи­сы­ва­ет ряд пе­ре­мен­ных . Так как из пе­ре­мен­ной с более низ­ким но­ме­ром все­гда сле­ду­ет пе­ре­мен­ная с более вы­со­ким, если любую пе­ре­мен­ную из этого ряда при­рав­нять 1, то все сле­ду­ю­щие долж­ны также быть равны 1. Для урав­не­ния (2) су­ще­ству­ет то же самое пра­ви­ло, толь­ко на­о­бо­рот: из пе­ре­мен­ной с более вы­со­ким но­ме­ром все­гда сле­ду­ет пе­ре­мен­ная с более низ­ким. Иначе го­во­ря, если за­пи­сать пе­ре­мен­ные x в по­ряд­ке воз­рас­та­ния их но­ме­ров, спра­ва будут еди­ни­цы, а слева — нули, в y — на­про­тив, слева еди­ни­цы, спра­ва — нули.

4) Рас­смот­рим ва­ри­ант x3=1, y3=1. Тогда все сле­ду­ю­щие: x4, x5, y2, y1 тоже равны 1. Оста­ют­ся пе­ре­мен­ные x1, x2, y4, y5. Так как x2 сле­ду­ет из x1, для них мы имеем 3 ва­ри­ан­та, ана­ло­гич­но для y4 и y5. 3 3=9.

За­да­ние 3. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных на­бо­ров зна­че­ний ло­ги­че­ских пе­ре­мен­ных x1, x2, x3, x4, y1, y2 y3, y4, ко­то­рые удо­вле­тво­ря­ют всем пе­ре­чис­лен­ным ниже усло­ви­ям?

(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) = 1

(¬y1 ∨ y2) ∧ ( ¬ y2 ∨ y3) ∧ ( ¬ y3 ∨ y4) = 1

(y1 → x1) ∧ (y2 → x2) ∧ (y3 → x3) ∧ (y4 → x4) = 1

В от­ве­те не нужно пе­ре­чис­лять все раз­лич­ные на­бо­ры зна­че­ний пе­ре­мен­ных x1, x2, x3, x4, y1, y2 y3, y4, при ко­то­рых вы­пол­не­на дан­ная си­сте­ма ра­венств. В ка­че­стве от­ве­та Вам нужно ука­зать ко­ли­че­ство таких на­бо­ров.

Конъ­юнк­ция ис­ти­на тогда и толь­ко тогда, когда каж­дое вы­ска­зы­ва­ние ис­тин­но.

Для пер­во­го вы­ра­же­ния это озна­ча­ет, что, если х1 равен 1, то х2, х3 и х4 также равны 1, т. е. для х1. х4 ре­ше­ния су­ще­ству­ют толь­ко в виде «1111», «0111», «0011», «0001» и «0000».

При­ме­нив пре­об­ра­зо­ва­ние им­пли­ка­ции ко вто­ро­му вы­ра­же­нию, уви­дим, что оно ана­ло­гич­но пер­во­му.

В тре­тьем вы­ра­же­нии из «y» сле­ду­ет со­от­вет­ству­ю­щее ему «x», это озна­ча­ет, что если y = 1, то и x = 1.

Сле­до­ва­тель­но, пер­во­му на­бо­ру для x «1111» со­от­вет­ству­ет 5 на­бо­ров y. Вто­ро­му — 4, тре­тье­му — 3, и. т. д.

Сле­до­ва­тель­но, ответ: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15.

За­да­ние 4. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных на­бо­ров зна­че­ний ло­ги­че­ских пе­ре­мен­ных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, ко­то­рые удо­вле­тво­ря­ют всем пе­ре­чис­лен­ным ниже усло­ви­ям?

(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5 ) = 1

(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) ∧ (y4 → y5 ) = 1

В от­ве­те не нужно пе­ре­чис­лять все раз­лич­ные на­бо­ры зна­че­ний пе­ре­мен­ных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, при ко­то­рых вы­пол­не­на дан­ная си­сте­ма ра­венств. В ка­че­стве от­ве­та Вам нужно ука­зать ко­ли­че­ство таких на­бо­ров.

1) Из по­след­не­го урав­не­ния сле­ду­ет, что гло­баль­но мы имеем три ва­ри­ан­та — x1=1, y1=1; x1=0, y1=1; x1=0, y1=0.

2) Ло­ги­че­ское И ис­тин­но, толь­ко тогда, когда ис­ти­ны все утвер­жде­ния, а им­пли­ка­ция ложна толь­ко в слу­чае, если из ис­тин­но­го сле­ду­ет лож­ное.

3) Урав­не­ние (1) опи­сы­ва­ет ряд пе­ре­мен­ных . Так как из пе­ре­мен­ной с более низ­ким но­ме­ром все­гда сле­ду­ет пе­ре­мен­ная с более вы­со­ким, если любую пе­ре­мен­ную из этого ряда при­рав­нять 1, то все сле­ду­ю­щие долж­ны также быть равны 1. Для урав­не­ния (2) су­ще­ству­ет то же самое пра­ви­ло. Иначе го­во­ря, если за­пи­сать пе­ре­мен­ные x (или y) в по­ряд­ке воз­рас­та­ния их но­ме­ров, спра­ва будут еди­ни­цы, а слева — нули.

4) Рас­смот­рим ва­ри­ант x1=1, y1=1. Так как пер­вые числа каж­до­го ряда равны 1, то все сле­ду­ю­щие тоже равны 1. Су­ще­ству­ет толь­ко одна ком­би­на­ция для этого ва­ри­ан­та.

5) Рас­смот­рим ва­ри­ант x1=0, y1=1. Для y-ряда все пе­ре­мен­ные равны 1, для x же су­ще­ству­ет 5 ком­би­на­ций, так как в ряде x может быть от 1 до 5 нолей вклю­чи­тель­но.

6) По­след­ний ва­ри­ант рас­смот­рим ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му. Там су­ще­ству­ет всего 25 ком­би­на­ций.

Пра­виль­ный ответ: 25+5+1=31 ком­би­на­ция.

За­да­ние 5. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных на­бо­ров зна­че­ний ло­ги­че­ских пе­ре­мен­ных x1, х2, хЗ, х4, х5, хб, y1, у2, уЗ, у4, у5, у6 ко­то­рые удо­вле­тво­ря­ют всем пе­ре­чис­лен­ным ниже усло­ви­ям?

(x1 → х 2) ∧ ( х 2 → хЗ ) ∧ ( хЗ → х 4) ∧ ( х 4 → х 5) ∧ ( х 5 → х 6) = 1

(y1 → y2) ∧ ( у 2 → уЗ ) ∧ ( уЗ → у 4) ∧ ( у 4 → у 5) ∧ ( у 5 → у 6) = 1

В от­ве­те не нужно пе­ре­чис­лять все раз­лич­ные на­бо­ры зна­че­ний пе­ре­мен­ных x1, х2, хЗ, х4, х5, y1, у2, уЗ, у4, у5, при ко­то­рых вы­пол­не­на дан­ная си­сте­ма ра­венств. В ка­че­стве от­ве­та Вам нужно ука­зать ко­ли­че­ство таких на­бо­ров.

1) Из по­след­не­го урав­не­ния сле­ду­ет, что гло­баль­но мы имеем три ва­ри­ан­та — x1=1, y1=1; x1=0, y1=1; x1=1, y1=0.

2) Ло­ги­че­ское И ис­тин­но, толь­ко тогда, когда ис­ти­ны все утвер­жде­ния, а им­пли­ка­ция ложна толь­ко в слу­чае, если из ис­тин­но­го сле­ду­ет лож­ное.

3) Урав­не­ние (1) опи­сы­ва­ет ряд пе­ре­мен­ных . Так как из пе­ре­мен­ной с более низ­ким но­ме­ром все­гда сле­ду­ет пе­ре­мен­ная с более вы­со­ким, если любую пе­ре­мен­ную из этого ряда при­рав­нять 1, то все сле­ду­ю­щие долж­ны также быть равны 1. Для урав­не­ния (2) су­ще­ству­ет то же самое пра­ви­ло. Иначе го­во­ря, если за­пи­сать пе­ре­мен­ные x (или y) в по­ряд­ке воз­рас­та­ния их но­ме­ров, спра­ва будут нули, а слева — еди­ни­цы.

4) Рас­смот­рим ва­ри­ант x1=1, y1=1. Так как пер­вые числа каж­до­го ряда равны 1, то все сле­ду­ю­щие тоже равны 1. Су­ще­ству­ет толь­ко одна ком­би­на­ция для этого ва­ри­ан­та.

5) Рас­смот­рим ва­ри­ант x1=0, y1=1. Для y-ряда все пе­ре­мен­ные равны 1, для x же су­ще­ству­ет 6 ком­би­на­ций, так как в ряде x может быть от 1 до 6 нолей вклю­чи­тель­но.

6) По­след­ний ва­ри­ант рас­смот­рим ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му. Там су­ще­ству­ет всего 6 ком­би­на­ций.

Пра­виль­ный ответ: 6+6+1=13 ком­би­на­ций.

За­да­ние 6. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных на­бо­ров зна­че­ний ло­ги­че­ских пе­ре­мен­ных x1, х2, хЗ, х4, х5, y1, у2, уЗ, у4, у5, ко­то­рые удо­вле­тво­ря­ют всем пе­ре­чис­лен­ным ниже усло­ви­ям?

(x1 → х 2) ∧ ( х 2 → хЗ ) ∧ ( хЗ → х 4) ∧ ( х 4 → х 5 ) = 1

(y1 → y2) ∧ ( у 2 → уЗ ) ∧ ( уЗ → у 4) ∧ ( у 4 → у 5 ) = 1

В от­ве­те не нужно пе­ре­чис­лять все раз­лич­ные на­бо­ры зна­че­ний пе­ре­мен­ных x1, х2, хЗ, х4, х5, y1, у2, уЗ, у4, у5, при ко­то­рых вы­пол­не­на дан­ная си­сте­ма ра­венств. В ка­че­стве от­ве­та Вам нужно ука­зать ко­ли­че­ство таких на­бо­ров.

1) Из по­след­не­го урав­не­ния сле­ду­ет, что гло­баль­но мы имеем три ва­ри­ан­та — x1=1, y1=1; x1=0, y1=1; x1=1, y1=0.

2) Ло­ги­че­ское И ис­тин­но, толь­ко тогда, когда ис­ти­ны все утвер­жде­ния, а им­пли­ка­ция ложна толь­ко в слу­чае, если из ис­тин­но­го сле­ду­ет лож­ное.

3) Урав­не­ние (1) опи­сы­ва­ет ряд пе­ре­мен­ных . Так как из пе­ре­мен­ной с более низ­ким но­ме­ром все­гда сле­ду­ет пе­ре­мен­ная с более вы­со­ким, если любую пе­ре­мен­ную из этого ряда при­рав­нять 1, то все сле­ду­ю­щие долж­ны также быть равны 1. Для урав­не­ния (2) су­ще­ству­ет то же самое пра­ви­ло. Иначе го­во­ря, если за­пи­сать пе­ре­мен­ные x (или y) в по­ряд­ке воз­рас­та­ния их но­ме­ров, спра­ва будут нули, а слева — еди­ни­цы.

4) Рас­смот­рим ва­ри­ант x1=1, y1=1. Так как пер­вые числа каж­до­го ряда равны 1, то все сле­ду­ю­щие тоже равны 1. Су­ще­ству­ет толь­ко одна ком­би­на­ция для этого ва­ри­ан­та.

5) Рас­смот­рим ва­ри­ант x1=0, y1=1. Для y-ряда все пе­ре­мен­ные равны 1, для x же су­ще­ству­ет 5 ком­би­на­ций, так как в ряде x может быть от 1 до 5 нолей вклю­чи­тель­но.

6) По­след­ний ва­ри­ант рас­смот­рим ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му. Там су­ще­ству­ет всего 5 ком­би­на­ций.

Пра­виль­ный ответ: 5+5+1=11 ком­би­на­ций.

За­да­ние 7. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных на­бо­ров зна­че­ний ло­ги­че­ских пе­ре­мен­ных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, ко­то­рые удо­вле­тво­ря­ют всем пе­ре­чис­лен­ным ниже усло­ви­ям?

(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5 ) = 1

(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) ∧ (y4 → y5 ) = 1

В от­ве­те не нужно пе­ре­чис­лять все раз­лич­ные на­бо­ры зна­че­ний пе­ре­мен­ных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, при ко­то­рых вы­пол­не­на дан­ная си­сте­ма ра­венств. В ка­че­стве от­ве­та Вам нужно ука­зать ко­ли­че­ство таких на­бо­ров.

1) Из по­след­не­го урав­не­ния сле­ду­ет, что гло­баль­но мы имеем три ва­ри­ан­та: x5=1, y5=1; x5=0, y5=0; x5=0, y5=1.

2) Ло­ги­че­ское И ис­тин­но, толь­ко тогда, когда ис­ти­ны все утвер­жде­ния, а им­пли­ка­ция ложна толь­ко в слу­чае, если из ис­тин­но­го сле­ду­ет лож­ное.

3) Урав­не­ние (1) опи­сы­ва­ет ряд пе­ре­мен­ных . Так как из пе­ре­мен­ной с более низ­ким но­ме­ром все­гда сле­ду­ет пе­ре­мен­ная с более вы­со­ким, если любую пе­ре­мен­ную из этого ряда при­рав­нять 1, то все сле­ду­ю­щие долж­ны также быть равны 1. Для урав­не­ния (2) су­ще­ству­ет то же самое пра­ви­ло. Иначе го­во­ря, если за­пи­сать пе­ре­мен­ные x в по­ряд­ке воз­рас­та­ния их но­ме­ров, спра­ва будут нули, а слева — еди­ни­цы, в y — так же.

4) Рас­смот­рим ва­ри­ант x5=1, y5=1. Тогда осталь­ные пе­ре­мен­ные могут при­ни­мать любые зна­че­ния: всего таких ком­би­на­ций 25.

5) Рас­смот­рим ва­ри­ант х5=0, у5=0. Тогда все пе­ре­мен­ные равны 0, сле­до­ва­тель­но, 1 ком­би­на­ция.

6) Рас­смот­рим ва­ри­ант х5=0, у5=1. Тогда все пе­ре­мен­ные х равны 0, а пе­ре­мен­ные у могут при­ни­мать любые зна­че­ния. Всего таких ком­би­на­ций 5.

За­да­ние 8. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных на­бо­ров зна­че­ний ло­ги­че­ских пе­ре­мен­ных x1, х2, хЗ, х4, х5, у1, у2, уЗ, у4, у5, ко­то­рые удо­вле­тво­ря­ют всем пе­ре­чис­лен­ным ниже усло­ви­ям?

В от­ве­те не нужно пе­ре­чис­лять все раз­лич­ные на­бо­ры зна­че­ний пе­ре­мен­ных x1, х2, хЗ, х4, х5, у1, у2, уЗ, у4, у5, при ко­то­рых вы­пол­не­на дан­ная си­сте­ма ра­венств. В ка­че­стве от­ве­та Вам нужно ука­зать ко­ли­че­ство таких на­бо­ров.

За­ме­тим, что пер­вые два урав­не­ния свя­за­ны друг с дру­гом толь­ко через тре­тье.

Най­дем ко­ли­че­ство ре­ше­ний пер­во­го урав­не­ния. Каж­дая из пе­ре­мен­ных x1, . , x5 может при­ни­мать толь­ко два зна­че­ния. Им­пли­ка­ция ложна толь­ко тогда, когда из ис­ти­ны сле­ду­ет ложь. Если за­пи­сать зна­че­ния пе­ре­мен­ных под­ряд, то можно уви­деть, что для того, чтобы ра­вен­ство вы­пол­ня­лось, не­об­хо­ди­мо, чтобы после «1» ни­ко­гда не стоял «0». Сле­до­ва­тель­но, по­лу­ча­ем такие ре­ше­ния: (x1,x2,x3,x4,x5) = 00000, 00001, 00011, 00111, 01111, 11111.

Во вто­ром урав­не­нии не­об­хо­ди­мо, чтобы после «0» ни­ко­гда не сто­я­ла «1». Сле­до­ва­тель­но, по­лу­ча­ем такие ре­ше­ния: (y1,y2,y3,y4,y5) = 00000, 10000, 11000, 11100, 11110, 11111. Таким об­ра­зом, си­сте­ма из двух урав­не­ний имеет 6·6 = 36 ре­ше­ний: для каж­до­го на­бо­ра пе­ре­мен­ных y су­ще­ству­ет 6 на­бо­ров пе­ре­мен­ных x.

🌟 Видео

Системы логических уравнений и логические уравнения - ЕГЭ по Информатике - Задание №23Скачать

Алгебраическое определение количества решений системы линейных уравнений | Алгебра IСкачать

Сколько решений имеет уравнение?Скачать

Построение таблиц истинностиСкачать

#75 Урок 36. Определение количества решений системы уравнений. Алгебра 7 класс.Скачать

Преобразование логических выражений / Упрощение выражений (практика) [Алгебра логики] #6Скачать

Решение логических выражений. Таблицы истинности. [Алгебра логики] #2Скачать

Конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция, отрицание. На примерах из жизни. Логика.Скачать

Логические выражения, таблицы истинности ,структурная логическая схемаСкачать

Системы логических уравнений содержащие НЕОДНОТИПНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Алгебра логики] #8Скачать

Решить систему логических уравнений. Метод декомпозицииСкачать

Информатика 10 класс (Урок№11 - Алгебра логики. Таблицы истинности.)Скачать

Таблица истинностиСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

ПОДГОТОВКА К ЕГЭ. ИНФОРМАТИКА. УРОК 2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛОГИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ОТОБРАЖЕНИЯСкачать