Сколько различных решений имеет система уравнений x1 x2 x3 х4 1

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Видео:Сколько решений имеет лог. уравнение (!(A *B) + C) IMP (!A * !B + D) = 1. Информатика, ЕГЭ, логикаСкачать

Калькулятор онлайн.
Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Метод Гаусса, матричный метод, метод Крамера, исследование на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определение количества решений, нахождение нормальной фундаментальной системы решений.

С помощью данной математической программы вы можете решить и исследовать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Ввод дробного числа в виде десятичной дроби.
При вводе десятичной дроби, целую часть от дробной части можно отделять точкой или запятой :
Ввод: -2.34
Результат: ( -234 )

Ввод: -1,15
Результат: ( -115 )

Ввод дробного числа в виде обыкновенной дроби.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: $$ -frac $$

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 5&8/3
Результат: $$ 5frac $$
Помните, что на ноль делить нельзя!

RND CFracNum Fill RND int Fill Start MathJax
Сюда ввести строку с GET параметрами :

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Немного теории.

Видео:Алгебраическое определение количества решений системы линейных уравнений | Алгебра IСкачать

Системы линейных алгебраических уравнений

Основные определения

Система (m) линейных алгебраических уравнений с (n) неизвестными (сокращенно СЛАУ) представляет собой систему вида
( left< begin a_x_1 + a_x_2 + cdots + a_x_n = b_1 \ a_x_1 + a_x_2 + cdots + a_x_n = b_2 \ cdots \ a_x_1 + a_x_2 + cdots + a_x_n = b_m end right. tag )

Уравнения системы называют алгебраическими потому, что левая часть каждого из них есть многочлен от (n) переменных ( x_1 , ldots x_n ), а линейными потому, что эти многочлены имеют первую степень.

Числа (a_ in mathbb ) называют коэффициентами СЛАУ. Их нумеруют двумя индексами: номером уравнения (i) и номером неизвестного (j). Действительные числа ( b_1 , ldots b_m ) называют свободными членами уравнений.

СЛАУ называют однородной, если ( b_1 = b_2 = ldots = b_m = 0 ). Иначе её называют неоднородной.

Решением СЛАУ, да и вообще всякой системы уравнений, называют такой набор значений неизвестных ( x_1^circ, ldots , x_n^circ ), при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество. Любое конкретное решение СЛАУ также называют её частным решением.

Решить СЛАУ — значит решить две задачи:
— выяснить, имеет ли СЛАУ решения;
— найти все решения, если они существуют.

СЛАУ называют совместной, если она имеет какие-либо решения. В противном случае её называют несовместной. Однородная СЛАУ всегда совместна, поскольку нулевой набор значений её неизвестных всегда является решением.

Если СЛАУ (1) имеет решение, и притом единственное, то её называют определенной, а если решение неединственное — то неопределенной. При (m=n), т.е. когда количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, СЛАУ называют квадратной.

Формы записи СЛАУ

Кроме координатной формы (1) записи СЛАУ часто используют и другие её представления.

Рассматривая коэффициенты (a_) СЛАУ при одном неизвестном (x_j) как элементы столбца, а (x_j) как коэффициент, на который умножается столбец, из (1) получаем новую форму записи СЛАУ:
( begin a_ \ a_ \ vdots \ a_ end x_1 + begin a_ \ a_ \ vdots \ a_ end x_2 + ldots + begin a_ \ a_ \ vdots \ a_ end x_n = begin b_1 \ b_2 \ vdots \ b_m end )
или, обозначая столбцы соответственно ( a_1 , ldots , a_n , b ),
( x_1 a_1 + x_2 a_2 + ldots + x_n a_n = b tag )

Таким образом, решение СЛАУ (1) можно трактовать как представление столбца (b) в виде линейной комбинации столбцов ( a_1, ldots, a_n ). Соотношение (2) называют векторной записью СЛАУ.

Поскольку (A ;,; X) и (B) являются матрицами, то запись СЛАУ (1) в виде (AX=B) называют матричной. Если (B=0), то СЛАУ является однородной и в матричной записи имеет вид (AX=0).

Приведенные рассуждения показывают, что задачи :
а) решения СЛАУ (1)
б) представления столбца в виде линейной комбинации данных столбцов
в) решения матричных уравнений вида (AX=B)
являются просто различной формой записи одной и той же задачи.

Критерий совместности СЛАУ

«Триединство» форм записи СЛАУ позволяет легко получить критерий совместности СЛАУ. Напомним, что содержательный смысл это понятие имеет для неоднородных СЛАУ (однородные СЛАУ всегда совместны).

Матрицу
( A = begin a_ & a_ & cdots & a_ \ a_ & a_ & cdots & a_ \ vdots & vdots & ddots & vdots \ a_ & a_ & cdots & a_ end )
называют матрицей (коэффициентов) СЛАУ (1), а матрицу
( (A|B) = left( begin a_ & a_ & cdots & a_ & b_1 \ a_ & a_ & cdots & a_ & b_2 \ vdots & vdots & ddots & vdots & vdots \ a_ & a_ & cdots & a_ & b_m end right) )
расширенной матрицей СЛАУ (1). Расширенная матрица полностью характеризует СЛАУ. Это означает, что по этой матрице однозначно (если сохранить обозначения для неизвестных) восстанавливается сама СЛАУ.

Теорема Кронекера-Капелли. Для совместности СЛАУ (AX=B) необходимо и достаточно, чтобы ранг её матрицы (A) был равен рангу её расширенной матрицы ( (A|B) ).

Формулы Крамера

Теорема. СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет решение, и притом единственное, которое определяется по формулам Крамера :
$$ x_i = frac ;,quad i=overline tag $$
где (Delta_i) — определитель матрицы, получающейся из матрицы (A) заменой (i)-го столбца на столбец свободных членов.

Следствие. Однородная СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет единственное решение — нулевое.

Если матрица СЛАУ не является квадратной невырожденной, то формулы Крамера не работают и приходится использовать другие методы нахождения решений.

Однородные системы

Теорема. Если столбцы ( X^, X^, ldots , X^ ) — решения однородной СЛАУ (AX=0), то любая их линейная комбинация также является решением этой системы.

Следствие. Если однородная СЛАУ имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много решений.

Естественно попытаться найти такие решения ( X^, ldots , X^ ) системы (AX=0), чтобы любое другое решение этой системы представлялось в виде их линейной комбинации и притом единственным образом. Оказывается, что это всегда возможно и приводит к следующему определению.

Определение. Любой набор из (k=n-r) линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной СЛАУ (AX=0), где (n) — количество неизвестных в системе, а (r) — ранг её матрицы (A), называют фундаментальной системой решений этой однородной СЛАУ.

При исследовании и решении однородных систем линейных алгебраических уравнений будем использовать следующую терминологию. Если в матрице (A) однородной СЛАУ (AX=0) фиксировать базисный минор, то ему соответствуют базисные столбцы и, следовательно, набор неизвестных, отвечающих этим столбцам. Указанные неизвестные называют базисными, или зависимыми, а остальные неизвестные — свободными, или независимыми.

Теорема. Пусть дана однородная СЛАУ (AX=0) с (n) неизвестными и ( textA = r ). Тогда существует набор из (k=n-r) решений ( X^, ldots , X^ ) этой СЛАУ, образующих фундаментальную систему решений.

Если в фундаментальной системе решений все значения независимых неизвестных равны нулю, кроме одного, которое равно единице, то такую систему решений называют фундаментальной нормальной системой решений.

Следствие. С помощью нормальной фундаментальной системы решений однородной СЛАУ множество всех решений можно описать формулой :
$$ X = c_1X^ + ldots + c_kX^ $$
где постоянные ( c_i ;, quad i=overline ), принимают произвольные значения.

Следствие. Для существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ необходимо и достаточно, чтобы её матрица была вырождена.

Неоднородные системы

Рассмотрим произвольную СЛАУ (AX=B). Заменив столбец (B) свободных членов нулевым, получим однородную СЛАУ (AX=0), соответствующую неоднородной СЛАУ (AX=B). Справедливо следующее утверждение о структуре произвольного решения неоднородной СЛАУ.

Теорема. Пусть столбец (X^circ) — некоторое решение СЛАУ (AX=B). Произвольный столбец (X) является решением этой СЛАУ тогда и только тогда, когда он имеет представление (X = X^circ + Y ), где (Y) — решение соответствующей однородной СЛАУ (AY=0).

Следствие. Пусть (X’) и (X») — решения неоднородной системы (AX=B). Тогда их разность ( Y = X’ — X» ) является решением соответствующей однородной системы (AY=0).

Эта теорема сводит проблему решения СЛАУ к случаю однородной системы: чтобы описать все решения неоднородной СЛАУ, достаточно энать одно её решение (частное решение) и все решения соответствующей однородной СЛАУ.

Чтобы решить неоднородную систему, надо, во-первых, убедиться, что она совместна (например, по теореме Кронекера-Капелли), а во-вторых, найти частное решение (X^circ) этой системы, чтобы свести её к однородной системе.

Теорема о структуре общего решения СЛАУ. Пусть (X^circ) — частное решение СЛАУ (AX=B) и известна фундаментальная система решений ( X^, ldots , X^ ) соответствующей однородной системы (AX=0). Тогда любое решение СЛАУ (AX=B) можно представить в виде $$ X = X^circ + c_1 X^ + c_2 X^ + ldots + c_k X^ $$
где ( c_i in mathbb ;, quad i=overline ).
Эту формулу называют общим решением СЛАУ.

Видео:МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

Сколько различных решений имеет система уравнений x1 x2 x3 х4 1

РАЗОБРАННЫЕ ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ:

Решение. Все “сомножители”2 имеют форму xf=xi+1, они должны быть равны 1. Это значит, что любые два соседних бита должны быть равны. Существует всего две таких цепочки:

Ответ: два решения.

Задача 2. Сколько различных решений имеет система уравнений
(x1 ˅ x2) ˄ ((x1 ˄ x2) → x3) = 1
(x2 ˅ x3) ˄ ((x2 ˄ x3) → x4) = 1
(x3 ˅ x4) ˄ ((x3 ˄ x4) → x5) = 1
(x4 ˅ x5) ˄ ((x4 ˄ x5) → x6) = 1
(x5 ˅ x6) ˄ ((x5 ˄ x6) → x7) = 1
(x6 ˅ x7) ˄ ((x6 ˄ x7) → x8) = 1
(x7 ˅ x8) = 1
где x1,x2,…,x8 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Решение:
Решим систему с помощью битовых цепочек. Битовая цепочка — это набор единиц и нулей для переменных x1. x8, при которых система будет истинна.

Цепочки строятся по определенным правилам, которые можно вывести из системы. Рассмотрим первое уравнение:

(x1 ˅ x2) ˄ ((x1 ˄ x2) → x3) = 1

Для получения истины выражение (x1 ˅ x2) обязательно должно быть истинно, то есть в уравнении не может быть двух подряд идущих нулей.

Кроме этого, выражение ((x1 ˄ x2) → x3) тоже должно быть истинно. Ложным оно будет в том случае, если x1 и x2 будет равны 1, а x3 — 0. То есть после двух подряд идущих единиц не может быть нуля.

Каждое следующее уравнение связано с предыдущим:

(x1 ˅ x2) ˄ ((x1 ˄ x2) → x3) = 1
(x2 ˅ x3) ˄ ((x2 ˄ x3) → x4) = 1

То есть два правила, которые мы вывели, применяются не только к каждому уравнению, но и ко всей цепочке.

Первая очевидная цепочка для набора иксов — все единицы:

Рассмотрим цепочки, в которых может быть только один нуль. По правилу нуля не может быть после двух единиц:

x1 1 0 1
x2 1 1 0
x3 1 1 1
x4 1 1 1
x5 1 1 1
x6 1 1 1
x7 1 1 1
x8 1 1 1

Рассмотрим цепочки с двумя нулями. По правилу два нуля не могут находиться рядом:

x1 1 0 1 0 1
x2 1 1 0 1 0
x3 1 1 1 0 1
x4 1 1 1 1 0
x5 1 1 1 1 1
x6 1 1 1 1 1
x7 1 1 1 1 1
x8 1 1 1 1 1

Построим оставшиеся цепочки:

x1 1 0 1 0 1 0 1 0 1
x2 1 1 0 1 0 1 0 1 0
x3 1 1 1 0 1 0 1 0 1
x4 1 1 1 1 0 1 0 1 0
x5 1 1 1 1 1 0 1 0 1
x6 1 1 1 1 1 1 0 1 0
x7 1 1 1 1 1 1 1 0 1
x8 1 1 1 1 1 1 1 1 0

Получается, что для данной системы существует 9 различных решений.

Задание: Сколько различных решений имеет система уравнений
((x1 ˄ x2) ˅ (¬x1 ˄ ¬x2)) → ((x3 ˄ x4) ˅ (¬x3 ˄ ¬x4)) = 1
((x3 ˄ x4) ˅ (¬x3 ˄ ¬x4)) → ((x5 ˄ x6) ˅ (¬x5 ˄ ¬x6)) = 1
((x5 ˄ x6) ˅ (¬x5 ˄ ¬x6)) → ((x7 ˄ x8) ˅ (¬x7 ˄ ¬x8)) = 1
((x7 ˄ x8) ˅ (¬x7 ˄ ¬x8)) → ((x9 ˄ x10) ˅ (¬x9 ˄ ¬x10)) = 1
где x1,x2,…,x10 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Для начала давайте рассмотрим одну из частей нашей системы:

Данное выражение будет истинно, если переменные x1 и x2 будут одновременно равны либо единице, либо нулю, что, фактически, совпадает с таблицей истинности для эквиваленции (тождества). То есть мы его можем записать так:

Упростим так всю нашу систему:
(x1 ≡ x2) → (x3 ≡ x4) = 1
(x3 ≡ x4) → (x5 ≡ x6) = 1
(x5 ≡ x6) → (x7 ≡ x8) = 1
(x7 ≡ x8) → (x9 ≡ x10) = 1

Теперь все стало проще. Обратите внимание, что каждая часть следования вполне самостоятельна, например (x1 ≡ x2) никак не связана переменными с (x3 ≡ x4). То есть мы можем упростить нашу систему еще раз:

A → B = 1
B → C = 1
C → D = 1
D → E = 1

Теперь давайте найдем все возможные комбинации переменных А-Е для этой системы. В импликации (следовании) ложь может быть только в одном случае, если первое выражение истинно, а второе — ложно. То есть при построении цепочек мы должны избежать комбинации 1,0:

A | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0
B | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0
C | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0
D | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0
E | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0

Переменные A-E в основной системе являются эквиваленцией, то есть на каждую истину или ложь принимают по два различных варианта. То есть для каждого столбца в нашей таблице предусмотрено 25 = 32 варианта.

Например, первый столбец — 1 1 1 1 1, то есть в каждое тождество системы должно давать 1, а это возможно в двух вариантах иксов: 0 ≡ 0 или 1 ≡ 1, то есть на каждую единицу таблицы приходится два варианта. То же самое и с нулями.

Всего в таблице у нас получилось 6 различных цепочек, каждая принимает по 32 варианта, то есть общее количество комбинаций: 6*32=192 комбинации.

Видео:Сколько решений имеет логическое уравнение: (A импликация В) ИЛИ (C импликация D). ЕГЭ(информатика)Скачать

23. Логические уравнения — продолжение

23. Логические уравнения — продолжение — Сколько различных решений имеет система уравнений

(X₁ ∨ X₂) ∧ (¬X₃ ∨ ¬X₄) = 0

(X₃ ∨ X₄) ∧ (¬X₅ ∨ ¬X₆) = 0

(X₅ ∨ X₆) ∧ (¬X₇ ∨ ¬X₈) = 0

(X_{7 ∨} X₈) ∧ (¬X₉ ∨ ¬X₁₀) = 0

где x₁, x₂, …, x₁₀ – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Решение:

Ответ: 16

Сколько различных решений имеет система уравнений

(X₁ ≡ X₂) → (X₂ ≡ X₃) = 1

(X₂ ≡ X₃) → (X₃ ≡ X₄) = 1

(X₅ ≡ X₆) → (X₆ ≡ X₇) = 1

где x₁, x₂, …, x₇ – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Решение:

Ответ: 14

Сколько различных решений имеет система логических уравнений

(x₁ ∧ x₂ → x₃) ∧ (x₁ ∨ y₁) = 1

(x₂ ∧ x₃ → x₄) ∧ (x₂ ∨ y₂) = 1

(x₃ ∧ x₄ → x₅) ∧ (x₃ ∨ y₃) = 1

(x₄ ∧ x₅ → x₆) ∧ (x₄ ∨ y₄) = 1

(x₅ ∧ x₆ → x₇) ∧ (x₅ ∨ y₅) = 1

x₆ ∨ y₆ = 1

где x₁, …, x₆, y₁, …, y₆, – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Решение:

Ответ: 398

Сколько различных решений имеет система логических уравнений

(x₁ → y₁) ∧ ((x₂ ∨ y₂) → (x₁ ≡ y₁)) = 1

(x₂ → y₂) ∧ ((x₃ ∨ y₃) → (x₂ ≡ y₂)) = 1

(x₆ → y₆) ∧ ((x₇ ∨ y₇) → (x₆ ≡ y₆)) = 1

x₇ ≡ y₇ = 1

где x₁,x₂,…,x_7, у₁,у₂,…,у₇ – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполняются данные равенства. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Решение:

Ответ: 408

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, … x8, y1, y2, … y8, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(x1→x2) / (x1→y1) = 1
(x2→x3) / (x2→y2) = 1
…
(x7→x8) / (x7→y7) = 1
(x8→y8) = 1

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, … x8, y1, y2, … y8, при которых выполнена данная система равенств.

В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Источник: СтатГрад 2017−2018

Решение:

(x1→x2) = 1
(x2→x3) = 1
…
(x7→x8) = 1
(x8→y8) = 1

Ответ: 511

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1 , x2 , … x8 , y1 , y2 , … y8 , которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(x1 ∨ x2) ∧ (x1 ∧ x2 → x3) ∧ (¬x1 ∨ y1) = 1
(x2 ∨ x3) ∧ (x2 ∧ x3 → x4) ∧ (¬x2 ∨ y2) = 1
…
(x6 ∨ x7) ∧ (x6 ∧ x7 → x8) ∧ (¬x6 ∨ y6) = 1
(x7 ∨ x8) ∧ (¬x7 ∨ y7) = 1
¬x8 ∨ y8 = 1

Решение:

(x1+x2) · (¬x1+¬x2+x3) · (¬x1+y1) = 1

(x7 ∨ x8) ∧ (¬x7 ∨ y7) = 1
¬x8 ∨ y8 = 1

Ответ: 6 1

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, … x8, y1, y2, … y8, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(x1→x2) / (y1→y2) / (y1→x1) = 1
(x2→x3) / (y2→y3) (y2→x2) = 1
…
(x7→x8) / (y7→y8) / (y7→x7) = 1
(y8→x8) = 1

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, … x8, y1, y2, … y8, при которых выполнена данная система равенств.
В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

💡 Видео

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

#75 Урок 36. Определение количества решений системы уравнений. Алгебра 7 класс.Скачать

9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

КАК РЕШАТЬ СИСТЕМЫ ЛОГИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. ЕГЭ по информатике. Задание 23Скачать

Решение системы уравнений методом Гаусса. Бесконечное множество решенийСкачать

Математика | Система уравнений на желтую звездочку (feat Золотой Медалист по бегу)Скачать

Решаем систему по-быстрому ➜ x+y=1; x⁴+y⁴=7 ➜ Как решать симметрические системы уравнений?Скачать

Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

23 задание Информатика ЕГЭ Система логических уравнений Часть 7Скачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса 4x4Скачать

23 задание Информатика ЕГЭ Система логических уравнений Часть 10Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера 2x2Скачать

Исследование систем линейных уравнений на совместностьСкачать