Сколько действительных решений имеет уравнение

Линейные алгебраические уравнения — одни из самых простых уравнений, которые мы можем решить. Если в уравнении только одна переменная, решение тривиально, в то время как для системы линейных уравнений существует множество способов найти уникальные решения.

В этой статье нас интересует частный случай линейного уравнения с несколькими переменными. Хорошо известно, что подобное уравнение имеет бесконечное число решений. Мы наложим определённые ограничения и в значительной степени сократим количество решений.

Общая форма интересующего нас уравнения:

где n и m — положительные целые числа.

Наша задача — найти число решений этого уравнения, предполагая, что xᵢ являются целыми числами. Это предположение значительно снижает число решений заданного уравнения.

Видео:Сколько решений имеет лог. уравнение (!(A *B) + C) IMP (!A * !B + D) = 1. Информатика, ЕГЭ, логикаСкачать

Нам нужен метод

Давайте начнём с частного случая общего уравнения:

Нетрудно найти все решения этого уравнения методом простого счёта. Решения заданы парами (x₁, x₂):

Мы видим, что уравнение имеет шесть решений. Также нетрудно предположить, что, если мы заменим правую часть определённым положительным целым числом m, решения будут выглядеть так:

и мы сможем подсчитать число решений — m+1.

Это было просто, верно?

Теперь возьмём немного более сложный вариант с тремя переменными, скажем:

С несколько большими усилиями, чем в предыдущем примере, находим решения в виде наборов из трёх чисел (x₁, x₂, x₃):

Число решений в этом случае равно 10.

Легко представить, что метод прямого счёта может стать очень утомительным для уравнения с большим количеством переменных. Он также становится утомительным, если целое число в правой части уравнения становится больше — например, если в правой части у нас будет 8, а не 3, решений будет уже 45. Разумеется, не хотелось бы искать все эти решения методом прямого счёта.

Значит, нужен эффективный метод.

Видео:Сколько решений имеет уравнение?Скачать

Разрабатываем метод

Существует ещё один способ, которым можно решить предыдущие два уравнения. Давайте снова начнём с этого уравнения:

Одним из решений было (5, 0). Давайте преобразуем его в:

Мы разложили решение на нули и единицы, соответствующие каждому числу. Ненулевую часть (в данном случае 5) мы разложили на соответствующее число единиц, а ноль преобразовали в ноль. Таким же образом мы можем разложить и другое решение:

Мы поменяли прежнее расположение нуля, чтобы получить новое решение. Итак, два числа в парах (обозначенные красным и голубым) разделены нулём (чёрный) в разложенном виде. Таким же образом запишем оставшиеся решения:

Записав решения таким образом, видим закономерность. Кажется, все решения — это просто перестановки нулей и единиц. Вопрос о том, сколько существует решений, становится эквивалентным вопросу как много таких перестановок нулей и единиц может быть сделано, начиная с любой из конфигураций.

В данном случае у нас есть 6 местоположений в разложенной конфигурации для размещения нулей и единиц. Мы можем выбрать простейшее решение в качестве начальной конфигурации:

Теперь всё, что нам нужно найти, это общее число способов, которыми можно заполнить шесть местоположений пятью единицами и одним нулём.

Подобные задачи подсчёта мы можем решить различными способами, но наиболее эффективным будет способ, разработанный в такой области математики как комбинаторика, которая даёт нам формулу для числа способов перестановки r объектов в n местоположений:

где n! (читается как “n факториал”) определяется как произведение всех целых чисел от 1 до n, т.е. n! = 1 × 2 × 3 × ⋅ ⋅ ⋅ × n. Мы также определяем 0! = 1.

Эта формула обычно записывается в компактной форме как:

Теперь, возвращаясь к задаче, мы можем использовать эту формулу для нахождения числа способов перестановки пяти единиц в шести местоположениях:

Это то же самое число, что мы получили методом прямого счёта!

Выглядит многообещающе, поэтому давайте проверим, сможем ли мы найти таким способом число решений второго линейного уравнения:

Некоторые решения можно записать в разложенном виде:

В этот раз нам нужно заполнить тремя единицами и двумя нулями пять местоположений. Используя формулу мы можем найти число способов расположения чисел:

И опять то же число, что мы получили методом прямого счёта. Мы можем также найти число решений для нерешённого случая, где в правой части уравнения 8 вместо 3. Одним из решений будет:

а нам нужно найти число способов разместить 8 единиц в 10 местоположениях, и это будет:

как и утверждалось выше.

Если мы уверены в том, что этот метод работает для всех случаев, нам нужна общая формула. Напомним, что общее уравнение имеет вид:

Простейшее решение этого уравнения:

Поскольку существует n переменных, количество нулей в этом решении равно n-1. Таким образом, разложение выглядит так:

В разложенной конфигурации видим m и n-1 нулей (как утверждалось выше).

Следовательно, общее число местоположений, которые нужно заполнить, равно (m+n-1). Единственное, что остаётся — найти число способов, которыми можно заполнить m+n-1 местоположений m единиц, что определяется по формуле:

Видео:✓ Сколько же решений? | Опять кто-то неправ #019 | Борис Трушин, Valery Volkov & MindYourDecisionsСкачать

Сколько действительных решений имеет уравнение (1 + x ^ 2016)(1 + x) ^ 2014 = (2x) ^ 2015?

Алгебра | 5 — 9 классы

Сколько действительных решений имеет уравнение (1 + x ^ 2016)(1 + x) ^ 2014 = (2x) ^ 2015?

За счет того что графики левой функций ни нечетен и не четен

Можно данное уравнение свести у уравнению , степенями ниже , к примеру $(1+x^)(1+x)^=(2x)\ 1+x^2=2x\ (x-1)^2=0\ x=1$

то есть для любого неравенство , вида $(1+x^)(1+x)^=(2x)^$ уравнению , будет иметь только один действительный корень$x=1$.

Видео:Сколько решений имеет логическое уравнение: (A импликация В) ИЛИ (C импликация D). ЕГЭ(информатика)Скачать

Сколько решений имеет система уравнений?

Сколько решений имеет система уравнений!

Видео:Алгебраическое определение количества решений системы линейных уравнений | Алгебра IСкачать

Решите уравнение : х(х + 1)(х + 2)(х + 3) = 5040?

Решите уравнение : х(х + 1)(х + 2)(х + 3) = 5040.

Сколько действительных корней имеет уравнение?

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

При каких действительных значениях t уравнение 9x ^ + 2tx + 1 = 0 не имеет решений?

При каких действительных значениях t уравнение 9x ^ + 2tx + 1 = 0 не имеет решений?

Видео:Сколько корней имеет уравнение?Скачать

Сколько действительных корней имеет уравнение 9х(квадрат) — 12х + 4?

Сколько действительных корней имеет уравнение 9х(квадрат) — 12х + 4.

Видео:Сколько корней имеет уравнение?Скачать

Сколько действительных решений имеет уравнение (1 + x ^ 2016)(1 + x) ^ 2014 = (2x) ^ 2015?

Сколько действительных решений имеет уравнение (1 + x ^ 2016)(1 + x) ^ 2014 = (2x) ^ 2015?

Видео:#75 Урок 36. Определение количества решений системы уравнений. Алгебра 7 класс.Скачать

ПЛИИИЗ?

Сколько решений имеет система уравнений.

Видео:Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать

Сколько решений имеет система уравнений?

Сколько решений имеет система уравнений?

Видео:Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Сколько действительных кореней имеет уравнение 1 + x — x ^ 2 = |x ^ 3|?

Сколько действительных кореней имеет уравнение 1 + x — x ^ 2 = |x ^ 3|.

Видео:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Сколько действительных корней имеет уравнение (х ^ 3 — 144) ^ 18 = — 156?

Сколько действительных корней имеет уравнение (х ^ 3 — 144) ^ 18 = — 156?

Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Сколько решений имеет система уравнений?

Сколько решений имеет система уравнений.

Вы находитесь на странице вопроса Сколько действительных решений имеет уравнение (1 + x ^ 2016)(1 + x) ^ 2014 = (2x) ^ 2015? из категории Алгебра. Уровень сложности вопроса рассчитан на учащихся 5 — 9 классов. На странице можно узнать правильный ответ, сверить его со своим вариантом и обсудить возможные версии с другими пользователями сайта посредством обратной связи. Если ответ вызывает сомнения или покажется вам неполным, для проверки найдите ответы на аналогичные вопросы по теме в этой же категории, или создайте новый вопрос, используя ключевые слова: введите вопрос в поисковую строку, нажав кнопку в верхней части страницы.

Ответ с решением на картинке.

Вот решение внизу.

Как я поняла вот так вот? Но это не точно у меня там ошибка где х2 = 0 это квадрат поэтому на графике где 0 дугу добавь(кружок), и получится начиная с правой стороны — + — + — и тогда у> = 0, ( — 1, 0)и(0, 5) я там написала где х2 = 0 ниже х = 0, та..

10 кубических см воды = 1 литр воды 40 * 40 * 40 = 64000 64000 / 1000 = 64 Ответ : 64 литра.

Видео:Алгебра 8 класс (Урок№19 - Уравнение х² = а.)Скачать

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение – уравнение вида , где

Числа называются коэффициентами квадратного уравнения.

Квадратное уравнение может иметь два действительных корня, один действительный корень или ни одного.

Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.

Дискриминант квадратного уравнения: .

Если > 0, квадратное уравнение имеет два корня: и .

Если = 0, квадратное уравнение имеет единственный корень .

В этом уравнении , , .

Дискриминант уравнения равен > 0. Уравнение имеет два корня.

В этом уравнении .

Дискриминант уравнения равен . Уравнение имеет единственный корень.

Заметим, что в левой части уравнения находится выражение, которое называют полным квадратом. В самом деле, . Мы применили формулу сокращенного умножения.

Уравнение имеет единственный корень .

В этом уравнении .

Дискриминант уравнения равен .

Дискриминант уравнения равен > 0.

Уравнение имеет два корня.

Полезная теорема для решения квадратных уравнений – теорема Виета.

Если и – корни уравнения , то , .

Например, в нашем уравнении сумма корней равна , а произведение корней равно .

Квадратное уравнение можно решить несколькими способами. Можно вычислять дискриминант, или воспользоваться теоремой Виета, а иногда можно просто угадать один из корней. Или оба корня.

Неполные квадратные уравнения

Квадратное уравнение, в котором один из коэффициентов b или с (или они оба) равны нулю, называется неполным. В таких случаях искать дискриминант не обязательно. Можно решить проще.

1) Рассмотрим уравнение .

В этом уравнении и . Очевидно, – единственный корень уравнения.

2) Рассмотрим уравнение . Здесь , а другие коэффициенты нулю не равны.

Проще всего разложить левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов. Получим:

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

3) Вот похожее уравнение:
.

Поскольку , уравнение можно записать в виде:

4) Пусть теперь не равно нулю и .

Его левую часть можно разложить на множители, вынеся за скобки. Получим:

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Разложение квадратного трехчлена на множители

Здесь и – корни квадратного уравнения .

Запомните эту формулу. Она необходима для решения квадратичных и дробно-рациональных неравенств.

Например, наше уравнение
.

Полезные лайфхаки для решения квадратных уравнений.

1) Намного проще решать квадратное уравнение, если коэффициент а, который умножается на х², положителен. Кажется, что это мелочь, да? Но сколько ошибок на ЕГЭ возникает из-за того, что старшеклассник игнорирует эту «мелочь».

Намного проще умножить его на – 1, чтобы коэффициент а стал положительным. Получим:
.

Дискриминант этого уравнения равен
.

2)Прежде чем решать квадратное уравнение, посмотрите на него внимательно. Может быть, можно сократить обе его части на какое-нибудь не равное нулю число?

Вот, например, уравнение
.

Можно сразу посчитать дискриминант и корни. А можно заметить, что все коэффициенты и делятся на 17. Поделив обе части уравнения на 17, получим:

Здесь можно и не считать дискриминант, а сразу угадать первый корень: . А второй корень легко находится по теореме Виета.

3)Работать с дробными коэффициентами неудобно. Например, уравнение
.

Вы уже догадались, что надо сделать. Умножить обе части уравнения на 100! Получим:

📹 Видео

Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСССкачать

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА решение примеровСкачать

9 класс. Алгебра. Системы уравнений.Скачать

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

Математика это не ИсламСкачать