Системы уравнений с квадратной матрицей это

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Матричный метод может применяться в решении систем линейных уравнений, в которых число неизвестных равно числу уравнений, то есть систем линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов при неизвестных.

Другое условие применимости матричного метода — невырожденность матрицы коэффициентов при неизвестных, то есть неравенство нулю определителя этой матрицы.

Систему линейных уравнений, при выполнении вышеназванных условий, можно представить в матричном виде, а затем решить её путём отыскания обратной матрицы к матрице системы.

Решение систем линейных уравнений матричным методом основано на следующем свойстве обратной матрицы: произведение обратной матрицы и исходной матрицы равно единичной матрице. Обратная матрица обозначается символом Системы уравнений с квадратной матрицей это.

Пусть нужно решить систему линейных уравнений:

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Запишем эту систему уравнений в матричном виде:

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Обозначим отдельно как A матрицу коэффициентов при неизвестных и как B матрицу неизвестных и матрицу свободных членов

Системы уравнений с квадратной матрицей это.

Системы уравнений с квадратной матрицей это

То есть, для нахождения решений системы нужно обе части уравнения умножить на матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных Системы уравнений с квадратной матрицей этои приравнять соответствующие элементы полученных матриц.

Алгоритм решения системы линейных уравнений матричным методом разберём на следующем примере системы линейных уравнений второго порядка.

Пример 1. Решить матричным методом систему линейных уравнений:

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Решение состоит из следующих шагов.

Шаг 1. Составляем следующие матрицы.

Матрица коэффициентов при неизвестных:

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Матрица свободных членов:

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Это сделано для того, чтобы применить в решении уже записанные закономерности, основанные на свойстве обратной матрицы:

Системы уравнений с квадратной матрицей это

По выведенному выше последнему равенству и будем вычислять решения данной системы.

Но сначала проверим, не является ли матрица коэффициентов при неизвестных вырожденной, то есть можем ли вообще применять матричный метод:

Системы уравнений с квадратной матрицей это.

Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, можем применять матричный метод.

Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:

Системы уравнений с квадратной матрицей это.

Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Итак, получили решение:

Системы уравнений с квадратной матрицей это.

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Следовательно, ответ правильный.

Для второго примера выберем систему линейных уравнений третьего порядка.

Пример 2. Решить матричным методом систему линейных уравнений:

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Шаг 1. Составляем следующие матрицы.

Матрица коэффициентов при неизвестных:

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Матрица свободных членов:

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Проверим, не является ли матрица коэффициентов при неизвестных вырожденной:

Системы уравнений с квадратной матрицей это.

Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, можем применять матричный метод.

Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:

Системы уравнений с квадратной матрицей это.

Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Итак, получили решение:

Системы уравнений с квадратной матрицей это.

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Следовательно, ответ правильный.

Решить систему уравнений матричным методом самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Решить матричным методом систему линейных уравнений:

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

Системы уравнений с квадратной матрицей это

где aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x1,…,xn – неизвестные. В обозначении коэффициентов aij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы Системы уравнений с квадратной матрицей это, которую назовём матрицей системы.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b1,…,bm называются свободными членами.

Совокупность n чисел c1,…,cn называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c1,…,cn вместо соответствующих неизвестных x1,…,xn.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

  1. Система может иметь единственное решение.
  2. Система может иметь бесконечное множество решений. Например, Системы уравнений с квадратной матрицей это. Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.
  3. И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, Системы уравнений с квадратной матрицей это, если бы решение существовало, то x1 + x2 равнялось бы одновременно нулю и единице.

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Рассмотрим способы нахождения решений системы.

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Рассмотрим матрицу системы Системы уравнений с квадратной матрицей этои матрицы столбцы неизвестных и свободных членов Системы уравнений с квадратной матрицей это

Системы уравнений с квадратной матрицей это

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

Системы уравнений с квадратной матрицей этоили короче AX=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A -1 , обратную матрице A: Системы уравнений с квадратной матрицей это. Поскольку A -1 A = E и EX = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A -1 B.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A -1 B.

Примеры. Решить системы уравнений.

    Системы уравнений с квадратной матрицей это

Найдем матрицу обратную матрице A.

Системы уравнений с квадратной матрицей это, Системы уравнений с квадратной матрицей это

Таким образом, x = 3, y = – 1.

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Решите матричное уравнение: XA+B=C, где Системы уравнений с квадратной матрицей это

Выразим искомую матрицу X из заданного уравнения.

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Найдем матрицу А -1 .

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Решите матричное уравнение AX+B=C, где Системы уравнений с квадратной матрицей это

Из уравнения получаем Системы уравнений с квадратной матрицей это.

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Следовательно,Системы уравнений с квадратной матрицей это

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

Системы уравнений с квадратной матрицей это

называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение – на A21 и 3-е – на A31:

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Сложим эти уравнения:

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

Системы уравнений с квадратной матрицей это.

Далее рассмотрим коэффициенты при x2:

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Аналогично можно показать, что и Системы уравнений с квадратной матрицей это.

Наконец несложно заметить, что Системы уравнений с квадратной матрицей это

Таким образом, получаем равенство: Системы уравнений с квадратной матрицей это.

Следовательно, Системы уравнений с квадратной матрицей это.

Аналогично выводятся равенства Системы уравнений с квадратной матрицей этои Системы уравнений с квадратной матрицей это, откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Примеры. Решить систему уравнений

    Системы уравнений с квадратной матрицей это

Решите систему уравнений при различных значениях параметра p: Системы уравнений с квадратной матрицей это

Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0.

Системы уравнений с квадратной матрицей это. Поэтому Системы уравнений с квадратной матрицей это.

Системы уравнений с квадратной матрицей это

  1. При Системы уравнений с квадратной матрицей это
  2. При p = 30 получаем систему уравнений Системы уравнений с квадратной матрицей этокоторая не имеет решений.
  3. При p = –30 система принимает вид Системы уравнений с квадратной матрицей этои, следовательно, имеет бесконечное множество решений x=y,y Î R.

Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

Системы уравнений с квадратной матрицей это.

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x1. Для этого второе уравнение разделим на а21 и умножим на –а11, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а31 и умножим на –а11, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье уравнение разделим на Системы уравнений с квадратной матрицей это, умножим на Системы уравнений с квадратной матрицей этои сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Отсюда из последнего уравнения легко найти x3, затем из 2-го уравнения x2 и, наконец, из 1-го – x1.

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.

Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

Системы уравнений с квадратной матрицей это

и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

  1. перестановка строк или столбцов;
  2. умножение строки на число, отличное от нуля;
  3. прибавление к одной строке другие строки.

Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.

    Системы уравнений с квадратной матрицей это

Вернувшись к системе уравнений, будем иметь

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Выпишем расширенную матрицу системы и сведем ее к треугольному виду.

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Вернувшись к системе уравнений, несложно заметить, что третье уравнения системы будет ложным, а значит, система решений не имеет.

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Разделим вторую строку матрицы на 2 и поменяем местами первый и третий столбики. Тогда первый столбец будет соответствовать коэффициентам при неизвестной z, а третий – при x.

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Вернемся к системе уравнений. Системы уравнений с квадратной матрицей это

Из третьего уравнения выразим одну неизвестную через другую и подставим в первое.

Системы уравнений с квадратной матрицей это

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.

Матричный метод решения СЛАУ: пример решения с помощью обратной матрицы

В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.

Метод обратной матрицы — это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.

Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Матричный вид записи: А × X = B

где А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n — матрица системы.

X = x 1 x 2 ⋮ x n — столбец неизвестных,

B = b 1 b 2 ⋮ b n — столбец свободных коэффициентов.

Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X . Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A — 1 :

A — 1 × A × X = A — 1 × B .

Так как А — 1 × А = Е , то Е × X = А — 1 × В или X = А — 1 × В .

Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие d e t A н е р а в е н н у л ю . Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится d e t А .

В том случае, если d e t A н е р а в е н н у л ю , у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если d e t А = 0 , то систему нельзя решить данным методом.

Видео:Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Матричный метод решения систем уравнений

Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы

Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:

2 x 1 — 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 — 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 — x 2 + 5 x 3 = 2

  • Записываем систему в виде матричного уравнения А X = B , где

А = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 , X = x 1 x 2 x 3 , B = 1 3 2 .

  • Выражаем из этого уравнения X :
  • Находим определитель матрицы А :

d e t A = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 = 2 × ( — 2 ) × 5 + 3 × ( — 4 ) × 4 + 3 × ( — 1 ) × 1 — 3 × ( — 2 ) × 3 — — 1 × ( — 4 ) × 5 — 2 × 4 — ( — 1 ) = — 20 — 48 — 3 + 18 + 20 + 8 = — 25

d e t А не равняется 0, следовательно, для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.

  • Находим обратную матрицу А — 1 при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения А i j к соответствующим элементам матрицы А :

А 11 = ( — 1 ) ( 1 + 1 ) — 2 4 — 1 5 = — 10 + 4 = — 6 ,

А 12 = ( — 1 ) 1 + 2 1 4 3 5 = — ( 5 — 12 ) = 7 ,

А 13 = ( — 1 ) 1 + 3 1 — 2 3 — 1 = — 1 + 6 = 5 ,

А 21 = ( — 1 ) 2 + 1 — 4 3 — 1 5 = — ( — 20 + 3 ) = 17 ,

А 22 = ( — 1 ) 2 + 2 2 3 3 5 — 10 — 9 = 1 ,

А 23 = ( — 1 ) 2 + 3 2 — 4 3 — 1 = — ( — 2 + 12 ) = — 10 ,

А 31 = ( — 1 ) 3 + 1 — 4 3 — 2 4 = — 16 + 6 = — 10 ,

А 32 = ( — 1 ) 3 + 2 2 3 1 4 = — ( 8 — 3 ) = — 5 ,

А 33 = ( — 1 ) 3 + 3 2 — 4 1 — 2 = — 4 + 4 = 0 .

  • Записываем союзную матрицу А * , которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А :

А * = — 6 7 5 17 1 — 10 — 10 — 5 0

  • Записываем обратную матрицу согласно формуле:

A — 1 = 1 d e t A ( A * ) T : А — 1 = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 ,

  • Умножаем обратную матрицу А — 1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:

X = A — 1 × B = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 1 3 2 = — 1 25 — 6 + 51 — 20 7 + 3 — 10 5 — 30 + 0 = — 1 0 1

Ответ: x 1 = — 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1

💡 Видео

Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать

Система линейных уравнений.  Общее решение. Метод Гаусса

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvy

Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Матричный метод.Скачать

Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Матричный метод.

Решение системы уравнений методом Крамера 2x2Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера 2x2

Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса

Линейная алгебра: матрицы, определители, метод Крамера. Высшая математикаСкачать

Линейная алгебра: матрицы, определители, метод Крамера. Высшая математика

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ.  | Математика

Решение матричных уравненийСкачать

Решение матричных уравнений

Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера.

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решений

Решение системы уравнений методом обратной матрицы.Скачать

Решение системы уравнений методом обратной матрицы.

Матрицы: начало. Высшая математикаСкачать

Матрицы: начало. Высшая математика

Решение системы трех уравнений по формулам КрамераСкачать

Решение системы трех уравнений по формулам Крамера

Решение системы уравнений методом обратной матрицы - bezbotvyСкачать

Решение системы уравнений методом обратной матрицы - bezbotvy

Математика Без Ху!ни. Система линейных уравнений. Метод Крамера.Скачать

Математика Без Ху!ни. Система линейных уравнений. Метод Крамера.

Задание №20. Экзамен ОГЭ. Система уравнений #shortsСкачать

Задание №20. Экзамен ОГЭ. Система уравнений #shorts
Поделиться или сохранить к себе: