Системы уравнений с квадратами двух переменных

п.1. Метод подстановки

Вариант 1
Шаг 1. Из одного уравнения выразить y через x: y(x).
Шаг 2. Подставить полученное выражение во второе уравнение и найти x.
Шаг 3. Подставить найденный x в y(x) и найти y.
Шаг 4. Записать полученные пары решений. Работа завершена.

Вариант 2
Шаг 1. Из одного уравнения выразить x через y: x(y).
Шаг 2. Подставить полученное выражение во второе уравнение и найти y.
Шаг 3. Подставить найденный y в x(y) и найти x.
Шаг 4. Записать полученные пары решений. Работа завершена.

п.2. Метод сложения

п.3. Метод замены переменных

Иногда удобно ввести новые переменные и решить систему для них.
А затем, вернуться к исходным переменным и найти их значения.

п.4. Графический метод

Графический метод подробно рассмотрен в §15 данного справочника.

п.5. Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений:
а) ( left< begin mathrm & \ mathrm & endright. )
Решаем методом подстановки: ( left< begin mathrm & \ mathrm & endright. )
Для нижнего уравнения: ( mathrm )
Подставляем в верхнее уравнение: ( mathrm )

б) ( left< begin mathrm & \ mathrm & endright. )
Замена переменных: ( left< begin mathrm & \ mathrm & endright. )
Выразим (x 2 + y 2 ) через a и b:
x 2 + y 2 = (x 2 + y 2 + 2xy) – 2xy = (x + y) 2 – 2xy = a 2 – 2b
Подставляем: ( left< begin mathrm & \ mathrm & endright.Rightarrow left< begin mathrm & \ mathrm & endright. )
Решаем нижнее уравнение: 2b 2 – 9b + 10 = 0 $$ mathrm< D=9^2-4cdot 2cdot 10=1, b=frac> = left[begin mathrm & \ mathrm & endright. $$ Возвращаемся к исходным переменным: ( left[begin left<begin mathrm & \ mathrm & endright.& \ left<begin mathrm & \ mathrm & endright. endright. )

Видео:Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать

Урок в 9-м классе «Система уравнений, сводящихся к квадратным»

Разделы: Математика

Цели урока:

1. Повторить ранее изученные различные способы решения уравнений, сводящихся к квадратным.
2. Научить сотрудничеству учеников посредством работы в малых группах, а так же взаимопомощи в процессе обучения. 3. Развитие познавательного интереса, интереса к педагогической деятельности.

Форма проведения: Работа в малых группах, с участием консультантов.

ХОД УРОКА

I. Организация начала урока.

Деление на группы

II. Сообщение учащимся цели предстоящей работы. Мотивация учения.

III. Интеллектуальная разминка. (Приложение 1)

Разминка в форме тестовых заданий. Подготовка к ЕГЭ.

IV. Проверка индивидуального домашнего задания, направленного на повторение основных понятий, основополагающих знаний, умений, способов действий. У доски работают консультанты. На предыдущем уроке им было задано индивидуальное домашнее задание.

Системы нелинейных уравнений, сводящихся к квадратным. (Приложение 2)

Решить систему уравнений

Решение: Если вычесть второе уравнение из первого, получим Значит надо решить систему уравнений

откуда . Корнями этого квадратного уравнения служат . Если y₁=3, то из находим х₁=1. Если же .

Ответ:

Ответ:

Метод введения новых неизвестных при решении систем уравнений. (Приложение 3)

Решить систему уравнений

Решение. Обозначим через u, а через v. Тогда система примет вид

То есть получится система двух линейных уравнений с двумя неизвестными u и v. Из первого уравнения выражаем u через v: и подставляя во второе уравнение, получим , откуда v=2. Теперь находим u=1 и решаем уравнения

Ответ:

Ответ:

Решить систему уравнений

Решение. Заметим, что для решений системы выполняется условие . В самом деле, из первого уравнения системы следует, что если , а числа не удовлетворяют второму уравнению системы. Разделим первое уравнение на . Получится уравнение

Введем вспомогательное неизвестное . Уравнение примет вид . Это квадратное уравнение, имеющее корни . Таким образом, из первого уравнения мы получаем, что либо либо . Осталось подставить выражения и (рассмотрев оба случая) во второе уравнение системы. В первом случае получится уравнение , откуда ; соответственно . Во втором случае получается уравнение , откуда ; соответственно

Ответ:

Возможный способ оформления

разделим первое уравнение на , получим

Пусть , тогда

Ответ:

V. Работа в малых группах.

Решите систему уравнений

Решите систему уравнений

VI. Подведение итогов урока.

VII. Задание на дом.

Задание по группам. Группа консультантов выполняет № 624 (4, 6, 8).

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Системы уравнений, сводящиеся к квадратным

Вы будете перенаправлены на Автор24

В этой статье мы рассмотрим примеры решения таких систем уравнений с одной и двумя переменными, которые сводятся к решению квадратных уравнений. Существует множество видов таких систем. Охватить все виды таких систем уравнений в рамках одной статьи нельзя. Мы не будем вдаваться здесь в терминологию самих уравнений, а просто на примерах рассмотрим решения некоторых из них.

Видео:Математика | Система уравнений на желтую звездочку (feat Золотой Медалист по бегу)Скачать

Системы с одной переменной

Классическим случаем систем, которые сводятся к квадратным можно непосредственно считать системы, которые и состоят из квадратных уравнений. Приведем такой пример.

Решим первое уравнение с помощью формул.

Найдем для начала для нашего уравнения значение дискриминанта.

$D=(sqrt)^2-4cdot 2cdot (-7)=7+56=63$

Так как $63$ – положительное число, то мы приходим к первому случаю (два корня). Найдем их по выше найденным формулам.

Решим второе уравнение вынесением общего множителя (как частный случай квадратного уравнения).

Выбирая общий корень, получим

Видео:Системы уравнений с двумя переменными. Алгебра 9 классСкачать

Системы с двумя неизвестными

Рассмотрим систему с двумя уравнениями, которая имеет в своем составе одно уравнение первой степени, а второе уравнение второй степени. Для ее решения нам нужно будет из линейного уравнения выразить одну из переменных и подставить в другое, тем самым и получив квадратное уравнение. Далее решение уже очевидно. Рассмотрим пример:

Вначале выражаем из второго $x$

Подставляя в первое и производим элементарные преобразования

Мы перешли к решению квадратного уравнения. Сделаем это с помощью формул. Найдем дискриминант:

Найдем вторую переменную.

Для первого корня:

Для второго корня:

Готовые работы на аналогичную тему

Рассмотрим теперь систему в которой оба уравнения имеют вторую степень и покажем немного другой ход его приведения к решению квадратного уравнения.

Разделив на $y^2$ второе уравнение, получим

Сделаем в нем следующую замену $frac=q$, получим квадратное уравнение

Решая его с помощью формул, будем получать

Используя первый корень, получим $x=-y$, подставим в первое

Используя второй корень, получим $x=frac y$, подставим в первое

Так же нужно не забыть, что мы делили на $y^2$ и, поэтому, проверить, нет ли решения при $y=0$:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 24 06 2021

📺 Видео

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

Бондарев А.А. - 5. Доклад "О некоторых классах обеспечения неустойчивости"Скачать

9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

Решение систем уравнений второй степени. Алгебра, 9 классСкачать

Системы уравнений с двумя переменными - 9 класс алгебраСкачать

Уравнение с двумя переменными и его график. Алгебра, 9 классСкачать

Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера 2x2Скачать

Решение системы неравенств с двумя переменными. 9 класс.Скачать

Графический способ решения систем уравнений. Алгебра, 9 классСкачать

Система уравнений. Метод алгебраического сложенияСкачать

Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

ПРОСТЕЙШИЙ метод решения систем квадратных неравенствСкачать

Решение систем уравнений второй степениСкачать

ПОСМОТРИ это видео, если хочешь решить систему линейных уравнений! Метод ПодстановкиСкачать

Алгебра 9 класс. Решение систем уравнений методом замены переменныхСкачать