Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Математика

68. Уравнения с четырьмя и более неизвестными . Теперь ясны следующие соображения: одно уравнение с четырьмя неизвестными имеет бесконечно много решений, причем можно давать произвольные значения трем неизвестным, два уравнения с 4 неизвестными имеют бесконечно много решений, причем произвольные значения можно давать двум неизвестным, три уравнения с 4 неизвестными имеют бесконечно много решений, причем произвольные значения можно давать одному неизвестному, четыре уравнения с 4 неизвестными имеют лишь одно решение (конечно, если ни одно из этих уравнений не есть следствие остальных и не противоречит остальным).

Такие соображения можно продолжить и дальше. Например, 5 уравнений с 8-ю неизвестными имеют бесконечно много решений, причем произвольные значения можно давать трем неизвестным и т. п.

Решать системы уравнений с большим числом неизвестных приходится редко. Следует при этом решении пользоваться по возможности всеми особенностями уравнений, чтобы упростить решение.

Рассмотрим 2 примера. Пример 1:

x + y + 2z – t = 9
x + y – 2z + t = 7
x – y + z + 2t = –9
x – y – z – 2t = 5

Сложив 1-е и 2-е уравнения по частям, мы получим очень простое уравнение только с двумя неизвестными, а именно

2x + 2y = 16 или x + y = 8.

Сложив по частям 3-е и 4-е уравнения, получим:

2x – 2y = –4 или x – y = –2.

Теперь легко решить 2 полученных уравнения (x + y = 8 и x – y = –2), и тогда найдем x = 3 и y = 5.

Подставляя эти значения в 1-е и в 3-е уравнения, получим:

3 + 5 + 2z – t = 9 или 2z – t = 1
3 – 5 + z + 2t = –9 или z + 2t = –7

Подстановка этих значений во 2-е и 4-е уравнения приведет к таким же точно уравнениям.

Теперь остается решить 2 уравнения с 2 неизвестными:

Содержание
  1. Решение СЛАУ 4-го порядка методом Гаусса
  2. Метод Гаусса – теорема, примеры решений
  3. Определения и обозначения
  4. Простейшие преобразования элементов матрицы
  5. Алгоритм решения методом Гаусса пошагово
  6. Шаг 1. Переписываем систему в виде матрицы
  7. Шаг 2. Преобразовываем матрицу: вторую строку в первом столбце приводим к нулю
  8. Шаг 3. Приводим матрицу к ступенчатому виду
  9. Шаг 4. Записываем эквивалентную систему
  10. Шаг 5. Производим проверку (решение системы обратным путём)
  11. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица невырожденная, а количество в ней неизвестных равняется количеству уравнений
  12. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица вырожденная, а количество в ней неизвестных не совпадает с количеством уравнений
  13. Примеры решения методом Гаусса
  14. Заключение
  15. 📹 Видео

Видео:Система с тремя переменнымиСкачать

Система с тремя переменными

Решение СЛАУ 4-го порядка методом Гаусса

В данной статье мы продолжим знакомиться с решениями СЛАУ методом Гаусса.

Теперь мы рассмотрим пример решения матрицы четвёртого порядка, то есть системы уравнений, состоящей из четырёх неизвестных.

Если вы ещё не знаете, как решать этим методом матрицы третьего порядка, то вам необходимо обязательно прочитать эту статью. В ней мы изложили суть данного метода и подробным образом расписали решение подобного задания.

Для того чтобы решить матрицу четвёртого порядка, мы должны воспользоваться тем же алгоритмом решения, что и для матриц третьего порядка.

Необходимо постепенно трансформировать начальную матрицу путём элементарных преобразований с целью получения единичной матрицы из первых четырёх столбцов, в то время как в пятом столбце свободных членов мы получим значения x, y, z, c соответственно. Приступим к практике.

Дана система уравнений:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

1. Составим матрицу:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

2. Преобразуем матрицу:

2.1. Из второй строки вычитаем первую строку:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

2.2. Из третьей строки вычитаем первую строку, умноженную на 3:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

2.3. Из четвертой строки вычитаем первую строку, умноженную на 2:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

2.4. Из четвертой строки вычитаем вторую строку:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

2.5. Прибавляем к третьей строке вторую строку, умноженную на 4:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

2.6. Делим третью строку на -3:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

2.7. Прибавляем к четвертой строке третью строку, умноженную на 6:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

2.8. Делим четвертую строку на 51:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

2.9. Вычитаем из первой строки вторую строку:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

2.10. Вычитаем из первой строки третью строку:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

2.11. Вычитаем из второй строки третью строку:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

2.12. Вычитаем из третьей строки четвертую строку, умноженную на 9:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

2.13. Прибавляем ко второй строке четвертую строку, умноженную на 13:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

2.14. Прибавляем к первой строке четвертую строку, умноженную на 2:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Можете заметить, решение матриц четвёртого порядка является достаточно простым и понятным, если расписывать каждое действие по отдельности. Промежуточные действия можете делать на черновике.

Однако есть вероятность допущения арифметических ошибок. В этих случаях советуем пользоваться калькулятором.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ.  | Математика

Метод Гаусса – теорема, примеры решений

Метод Гаусса – идеальный вариант для решения систем линейных алгебраических уравнений (далее СЛАУ). Благодаря методу Гаусса можно последовательно исключать неизвестные путём элементарных преобразований. Метод Гаусса – это классический метод решения СЛАУ, который и рассмотрен ниже.

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Карл Фридрих Гаусс – немецкий математик, основатель одноименного метода решения СЛАУ

Карл Фридрих Гаусс – был известным великим математиком и его в своё время признали «королём математики». Хотя название «метод Гаусса» является общепринятым, Гаусс не является его автором: метод Гаусса был известен задолго до него. Первое его описание имеется в китайском трактате «Математика в девяти книгах», который составлен между II в. до н. э. и I в. н. э. и представляет собой компиляцию более ранних трудов, написанных примерно в X в. до н. э.

Метод Гаусса – последовательное исключение неизвестных. Этот метод используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений. Хотя уравнения при помощи метода Гаусса решаются легко, но всё же студенты часто не могут найти правильное решение, так как путаются в знаках (плюсы и минусы). Поэтому во время решения СЛАУ необходимо быть предельно внимательным и только тогда можно легко, быстро и правильно решить даже самое сложное уравнение.

У систем линейных алгебраических уравнений есть несколько преимуществ: уравнение не обязательно заранее на совместность; можно решать такие системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равняется нулю; есть возможность при помощи метода Гаусса приводить к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Видео:Решение системы уравнений методом Гаусса 4x4Скачать

Решение системы уравнений методом Гаусса 4x4

Определения и обозначения

Как уже говорилось, метод Гаусса вызывает у студентов некоторые сложности. Однако, если выучить методику и алгоритм решения, сразу же приходит понимание в тонкостях решения.

Для начала систематизируем знания о системах линейных уравнений.

СЛАУ в зависимости от её элементов может иметь:

  1. Одно решение;
  2. много решений;
  3. совсем не иметь решений.

В первых двух случаях СЛАУ называется совместимой, а в третьем случае – несовместима. Если система имеет одно решение, она называется определённой, а если решений больше одного, тогда система называется неопределённой.

Метод Крамера и матричный способ не подходят для решения уравнений, если система имеет бесконечное множество решений. Вот поэтому нам и нужен метод Гаусса, который поможет нам в любом случае найти правильное решение. К элементарным преобразованиям относятся:

  • перемена мест уравнений системы;
  • почленное умножение обеих частей на одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами;
  • сложение к обеим частям одного из уравнений определённых частей другого уравнения.

Итак, когда мы знаем основные правила и обозначения, можно приступать к решению.

Теперь рассмотрим, как решаются системы методом Гаусса на простом примере:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

где а, в, с – заданные коэффициенты, d – заданные свободные члены, x, y, z – неизвестные. Коэффициенты и свободные члены уравнения можно называть его элементами.

Если Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры= Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры= Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры= Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры, тогда система линейных алгебраических уравнений называется однородной, в другом случае – неоднородной.

Множественные числа Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры, Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры, Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыназываются решением СЛАУ, если при подстановке Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры, Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры, Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыв СЛАУ получим числовые тождества.

Система, которую мы написали выше имеет координатную форму. Если её переделать в матричную форму, тогда система будет выглядеть так:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

– это основная матрица СЛАУ.

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

– матрица столбец неизвестных переменных.

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

– матрица столбец свободных членов.

Если к основной матрице Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыдобавить в качестве Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры– ого столбца матрицу-столбец свободных членов, тогда получится расширенная матрица систем линейных уравнений. Как правило, расширенная матрица обозначается буквой Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры, а столбец свободных членов желательно отделить вертикальной линией от остальных столбцов. То есть, расширенная матрица выглядит так:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Если квадратная матрица равна нулю, она называется вырожденная, а если Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры– матрица невырожденная.

Если с системой уравнений: Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Произвести такие действия:

  • умножать обе части любого из уравнений на произвольное и отличное от нуля число Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры;
  • менять местами уравнения;
  • к обеим частям любого из уравнений прибавить определённые части другого уравнения, которые умножаются на произвольное число Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры,

тогда получается эквивалентная система, у которой такое же решение или нет решений совсем.

Теперь можно перейти непосредственно к методу Гаусса.

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.

Простейшие преобразования элементов матрицы

Мы рассмотрели основные определения и уже понимаем, чем нам поможет метод Гаусса в решении системы. Теперь давайте рассмотрим простую систему уравнений. Для этого возьмём самое обычное уравнение, где и используем решение методом Гаусса:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Из уравнения запишем расширенную матрицу:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Из данной матрицы видно, по какому принципу она записана. Вертикальную черту не обязательно ставить, но просто так удобнее решать систему.

На матрице, которая написана выше рассмотрим, какие существуют элементарные преобразования:

1. В матрице строки можно переставлять местами. Например, в нашей матрице спокойно можно переставить первую и вторую строки:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры. Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыСистемы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

2. Если в матрице имеются (или появились) пропорциональные строки (одинаковые), тогда необходимо оставить всего лишь одну строку, а остальные убрать (удалить).

3. Если в ходе преобразований в матрице появилась строка, где находятся одни нули, тогда такую строку тоже нужно удалять.

4. Строку матрицы можно умножать (делить) на любое число, которое отличное от нуля. Такое действие желательно проделывать, так как в будущем проще преобразовывать матрицу.

5. Сейчас рассмотрим преобразование, которое больше всего вызывает затруднение у студентов. Для этого возьмём изначальную нашу матрицу:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Для удобства умножаем первую строку на (-3):

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыСистемы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Теперь ко второй строке прибавляем первую строку, которую умножали на -3. Вот что у нас получается:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

В итоге получилось такое преобразование:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Теперь для проверки можно разделить все коэффициенты первой строки на те же Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыи вот что получается:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

В матрице верхняя строка преобразовалась:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Первую строку делим на Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыи преобразовалась нижняя строка:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

И верхнюю строку поделили на то же самое число Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Как вы можете убедиться, в итоге строка, которую мы прибавляли ни капельки не изменилась, а вот вторая строка поменялась. ВСЕГДА меняется только та строка, к которой прибавляются коэффициенты.

Мы расписали в таких подробностях, чтобы было вам понятно, откуда какая цифра взялась. На практике, например, на контрольной или экзамене матрица так подробно не расписывается. Как правило, в задании решение матрицы оформляется так:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры. Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыСистемы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvy

Алгоритм решения методом Гаусса пошагово

После того, как мы рассмотрели простейшие преобразования, в которых на помощь пришёл метод Гаусса, можем вернуться к нашей системе, которую уже разложили по полочкам и пошагово распишем:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Шаг 1. Переписываем систему в виде матрицы

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Шаг 2. Преобразовываем матрицу: вторую строку в первом столбце приводим к нулю

Как мы привели вторую строку в первом столбце к нулю описано выше. Напомним, что первую строку умножали на Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыи вторую строку прибавили к первой , умноженной на Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры.

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Шаг 3. Приводим матрицу к ступенчатому виду

Теперь вторую строку можно поделить на 2 и получается:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Верхнюю строку делим на Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыи приводим матрицу к ступенчатому виду:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Когда оформляют задание, так и отчёркивают простым карандашом для упрощения работы, а также обводят те числа, которые стоят на “ступеньках”. Хотя в учебниках и другой литературе нет такого понятия, как ступенчатый вид. Как правило, математики такой вид называют трапециевидным или треугольным.

Шаг 4. Записываем эквивалентную систему

После наших элементарных преобразований получилась эквивалентная система:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Шаг 5. Производим проверку (решение системы обратным путём)

Теперь систему нужно решить в обратном направлении, то есть обратным ходом, начиная с последней строки.:

находим Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры: Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры,

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры,

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры.

После Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерынаходим Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры,

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры.

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры.

Как видим, уравнение решено правильно, так как ответы в системе совпадают.

Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица невырожденная, а количество в ней неизвестных равняется количеству уравнений

Как мы уже упоминали, невырожденная матрица бывает тогда, когда Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры. Разберём систему уравнений невырожденной матрицы, где уравнений по количеству столько же, сколько и неизвестных. Эту систему уравнений решим другим способом.

Дана система уравнений:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Для начала нужно решить первое уравнение системы относительно неизвестной переменной Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры. Далее подставим полученное выражение сначала во второе уравнение, а затем в третье, чтобы исключить из них эту переменную.

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Теперь переходим ко второму уравнению системы относительно Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыи полученный результат подставим в третье уравнение.. Это нужно для того, чтобы исключить неизвестную переменную Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Из последнего, третьего уравнения мы видим, что Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры. Из второго уравнения находим Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры. И последнее, находим первое уравнение Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры.

Итак, мы нашли все три неизвестных при помощи последовательного исключения. Такой процесс называют – прямой ход метода Гаусса. Когда последовательно находятся неизвестные переменные, начиная с последнего уравнения, называется обратным ходом метода Гаусса.

Когда выражается Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерычерез Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыи Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыв первом уравнении, а затем подставляется полученное выражение во второе или третье уравнения, тогда, чтобы привести в к такому же результату, необходимо проделать такие действия:

  • берём второе уравнение и к его левой и правой частям прибавляем определённые части из первого уравнения, которые умножаются на Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры,
  • берём третье уравнение и к его левой и правой частям прибавляем определённые части из первого уравнения, которые умножаются на Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры.

И действительно, благодаря такой процедуре у нас есть возможность исключать неизвестную переменную Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерысо второго и третьего уравнения системы:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Возникают нюансы с исключением неизвестных переменных тогда, когда в уравнении системы нет каких-либо неизвестных переменных. Рассмотрим такую систему:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

В этой системе в первом уравнении нет переменной Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыи поэтому у нас нет возможности решить первое уравнение системы относительно Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры, чтобы исключить данную переменную из остальных уравнений. В таком случае выход есть. Нужно всего лишь уравнения переставить местами.

Так как мы описываем уравнения системы, в которых определитель основных матриц отличен от нуля, тогда всегда есть такое уравнение, в котором есть необходимая нам переменная и это уравнение мы можем поставить туда, куда нам нужно.

В примере, который мы рассматриваем, достаточно всего лишь поменять местами первое и второе уравнение.

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Теперь мы можем спокойно разрешить первое уравнение относительно переменной Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыи убрать (исключить) из остальных уравнений в системе. Вот и весь принцип работы с такими, на первый взгляд, сложными системами.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица вырожденная, а количество в ней неизвестных не совпадает с количеством уравнений

Метод Гаусса помогает решать системы уравнений, у которых основная матрица прямоугольная или квадратная, но основная вырожденная матрица может совсем не иметь решений, иметь бесконечное множество решений или иметь всего лишь одно единственное решение.

Рассмотрим, как при помощи метода Гаусса устанавливается совместность или несовместность систем линейных уравнений. В случае, если есть совместность определим все решения или одно решение.

В принципе, исключать неизвестные переменные можно точно так, как описано выше. Однако, есть некоторые непонятные ситуации, которые могут возникнуть в ходе решения:

1. На некоторых этапах в момент исключения неизвестных переменных некоторые уравнения могут обратиться в тождества Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры. В данном случае такие уравнения лишние в системе и их можно смело полностью убирать, а затем продолжать решать уравнение методом Гаусса.

Например, вам попалась подобная система:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

У нас получается такая ситуация

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Как видим, второе уравнение Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры. Соответственно, данное уравнение мы можем из системы удалить, так как оно без надобности.

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыСистемы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Дальше можно продолжать решение системы линейных алгебраических уравнений уравнений традиционным методом Гаусса.

2. При решении уравнений прямым ходом методом Гаусса могут принять не только одно, но и несколько уравнений такой вид: Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры, где Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры– число, которое отличное от нуля. Это говорит о том, что такое уравнение никогда не сможет превратиться в тождество даже при любых значениях неизвестных переменных. То есть, можно выразить по-другому. Если уравнение приняло Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерывид, значит система несовместна, то есть, не имеет решений. Рассмотрим на примере:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Для начала необходимо исключить неизвестную переменную Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыиз всех уравнений данной системы, начиная со второго уравнения. Для этого нужно прибавить к левой и правой частям второго, третьего, четвёртого уравнения части (левую и правую) первого уравнения, которые соответственно, умножаются на (-1), (-2), (-3). Получается:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

В третьем уравнении получилось равенство Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры. Оно не подходит ни для каких значений неизвестных переменных Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры, Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыи Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры, и поэтому, у данной системы нет решений. То есть, говорится, что система не имеет решений.

3. Допустим, что при выполнении прямого хода методом Гаусса нам нужно исключить неизвестную переменную Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры, и ранее, на каком-то этапе у нас уже исключалась вместе с переменной Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры. Как вы поступите в таком случае? При таком положении нам нужно перейти к исключению переменной Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры. Если же Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыуже исключались, тогда переходим к Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры, Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыи т. д.

Рассмотрим систему уравнений на таком этапе, когда уже исключилась переменная Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Такая система уравнений после преобразования выглядит так:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Вы наверное уже обратили внимание, что вместе с Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыисключились Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыи Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры. Поэтому решение методом Гаусса продолжаем исключением переменной Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыиз всех уравнений системы, а начнём мы с третьего уравнения:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Чтобы завершить уравнение прямым ходом метода Гаусса, необходимо исключить последнюю неизвестную переменную Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыиз последнего уравнения:

Допусти, что система уравнений стала:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

В этой системе нет ни одного уравнения, которое бы сводилось к Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры. В данном случае можно было бы говорить о несовместности системы. Дальше непонятно, что же делать? Выход есть всегда. Для начала нужно выписать все неизвестные, которые стоят на первом месте в системе:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

В нашем примере это Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры, Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыи Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры. В левой части системы оставим только неизвестные, которые выделены зелёным квадратом а в правую перенесём известные числа, но с противоположным знаком. Посмотрите на примере, как это выглядит:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Можно придать неизвестным переменным с правой части уравнений свободные (произвольные) значения: Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры, Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры, Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры, где Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры, Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры, Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры– произвольные числа.

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Теперь в правых частях уравнений нашей системы имеются числа и можно приступать к обратному ходу решения методом Гаусса.

В последнем уравнении системы получилось: Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры, и теперь мы легко найдём решение в предпоследнем уравнении: Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры, а из первого уравнения получаем:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры= Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры=Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

В итоге, получился результат, который можно и записать.

Ответ

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры,

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры,

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры,

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры,

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры,

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры.

Видео:Решение систем с тремя переменными. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Решение систем с тремя переменными. Практическая часть. 9 класс.

Примеры решения методом Гаусса

Выше мы подробно расписали решение системы методом Гаусса. Чтобы закрепить материал, решим несколько примеров, в которых опять нам поможет метод Гаусса. Соответственно, начнём с самой простой системы.

Задача

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Решение

Выписываем матрицу, куда добавляем столбец свободных членов:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Прежде всего мы смотрим на элемент, который находится в матрице в левом верхнем углу (первая строка, первый столбец). Для наглядности выделим цифру зелёным квадратом. На этом месте практически всегда стоит единица:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Так как Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерымы должны использовать подходящее элементарное преобразование строк и сделать так, чтобы элемент, который находится в матрице под выделенной цифрой Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыпревратился в Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры. Для этого можно ко второй строке прибавить первую строку и умножить на Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры.Однако, не сильно хочется работать с дробями, поэтому давайте постараемся этого избежать. Для этого нужно вторую строку умножить на Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры(разрешающий элемент данного шага).

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Соответственно, первая строка остаётся неизменной, а вторая поменяется:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Подбираем такое элементарное преобразование строк, чтобы во второй строке в первом столбце образовался Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры. Для этого первую строку нужно умножить на Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыи только после этого ко второй строке прибавить изменённую после умножения на Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерывторую строку. Вот что получилось:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры. Теперь прибавляем со второй строки Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыпервую строку Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры. У нас получился Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры, который записываем во вторую строку в первый столбец. Также решаем и остальные элементы матрицы. Вот что у нас получилось:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Как всегда у нас первая строка осталась без изменений, а вторая с новыми числами.

Итак, у нас получился ступенчатый вид матрицы:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Записываем новую систему уравнений:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Для проверки решаем систему обратным ходом. Для этого находим сначала Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Так как Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерынайден, находим Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры.

Подставляем в изначальную нашу систему уравнений найденные Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыи Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыи Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры.

Как видите из решения, система уравнений решена верно. Запишем ответ.

Ответ

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Выше мы решали систему уравнений в двумя неизвестными, а теперь рассмотрим систему уравнений с тремя неизвестными.

Задача

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Решение

Составляем матрицу, куда вписываем и свободные члены:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Что нам надо? Чтобы вместо цифры 2 появился 0. Для этого подбираем ближайшее число. Например, можно взять цифру -2 и на неё перемножить все элементы первой строки. Значит, умножаем Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры, а потом прибавляем, при этом задействуем вторую строку: Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры. В итоге у нас получился нуль, который записываем во вторую строку в первый столбец. Затем Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры, и Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры. Аналогично, Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыи Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры. И умножаем свободный член Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры. Так и запишем следующую матрицу. Не забывайте, что первая строка остаётся без изменений:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Дальше необходимо проделать те же самые действия по отношению к третьей строке. То есть, первую строку нужно умножать не на (-2), а на цифру 3, так как и в третьей строке нужно коэффициенты привести у нулю. Также первую строку умножаем на 3 и прибавляем третью строку. Получается так:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Теперь нужно обнулить элемент 7, который стоит в третьей строке во втором столбце. Для этого выбираем цифру (-7) и проделываем те же действия. Однако, необходимо задействовать вторую строку. То есть, вторую строку умножаем на (-7) и прибавляем с третьей строкой. Итак, Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры. Записываем результат в третью строку. Такие же действия проделываем и с остальными элементами. Получается новая матрица:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

В результате получилась ступенчатая система уравнений:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Сначала находим Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры: Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры,

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры.

Обратный ход:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Итак, уравнение системы решено верно.

Ответ

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры,

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры,

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры.

Система с четырьмя неизвестными более сложная, так как в ней легко запутаться. Попробуем решить такую систему уравнений.

Задача

Решите систему уравнений методом Гаусса:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Решение

В уравнении Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры, то есть Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры– ведущий член и пусть Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры≠ 0

Из данного уравнения составим расширенную матрицу:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Теперь нужно умножить последние три строки (вторую, третью и четвёртую) на: Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры, Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры, Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры. Затем прибавим полученный результат ко второй, третьей и четвёртой строкам исключаем переменную Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыиз каждой строки, начиная не с первой, а не со второй. Посмотрите, как изменилась наша новая матрица и в Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерытеперь стоит 0.

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Поменяем вторую и третью строку местами и получим:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Получилось так, что Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры= Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыb и тогда, умножая вторую строку на (-7/4) и результат данной строки, прибавляя к четвёртой, можно исключить переменную Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыиз третьей и четвёртой строк:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Получилась такая матрица:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Также, учитывая, что Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры= Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры, умножим третью строку на: 13,5/8 = 27/16, и, полученный результат прибавим к четвёртой, чтобы исключить переменную Системы уравнений с четырьмя неизвестными примерыи получаем новую систему уравнений:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Теперь необходимо решить уравнение обратным ходом и найдём из последнего, четвёртого уравнения Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры,

из третьего: Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры= Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры= Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры= Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

второе уравнение находим: Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры= Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры= Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры= 2,

из первого уравнения: Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры= Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры.

Значит, решение системы такое: (1, 2, -1, -2).

Ответ

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры,

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры,

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры,

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры.

Добавим ещё несколько примеров для закрепления материла, но без такого подробного описания, как предыдущие системы уравнений.

Задача

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Решение

Записываем расширенную матрицу системы:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Сначала смотрим на левое верхнее число:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Как выше уже было сказано, на этом месте должна стоять единица, но не обязательно. Производим такие действия: первую строку умножаем на -3, а потом ко второй строке прибавляем первую:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Производим следующие действия: первую строку умножаем на -1. Затем к третьей строки прибавляем вторую:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Теперь вторую строку умножаем на 1, а затем к третьей строке прибавляем вторую:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Получился ступенчатый вид уравнения:

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры,

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры,

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры,

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры,

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры.

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры.

Ответ

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры,

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры,

Системы уравнений с четырьмя неизвестными примеры.

Видео:Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.

Заключение

Итак, вы видите, что метод Гаусса – интересный и простой способ решения систем линейных алгебраических уравнений. Путём элементарных преобразований нужно из системы исключать неизвестные переменные, чтобы систему превратить в ступенчатый вид. Данный метод удобен тем, что всегда можно проверить, правильно ли решено уравнение. Нужно просто подставить найденные неизвестные в изначальную систему уравнений.

Если элементы определителя не равняются нулю, тогда лучше обратиться к методу Крамера, а если же элементы нулевые, тогда такие системы очень удобно решать благодаря методу Гаусса.

Предлагаем ещё почитать учебники, в которых также описаны решения систем методом Гаусса.

Литература для общего развития:

📹 Видео

Решение системы уравнений методом Крамера 4x4Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера 4x4

Решение системы трех уравнений по формулам КрамераСкачать

Решение системы трех уравнений по формулам Крамера

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.

Решение системы уравнений методом Гаусса. Бесконечное множество решенийСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса. Бесконечное множество решений

Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать

Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.

9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравнений

Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Матричный метод решения систем уравнений

Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Решение систем уравнений методом подстановки

Решение системы уравнений с тремя неизвестными с помощью формул Крамера | Высшая математикаСкачать

Решение системы уравнений с тремя неизвестными с помощью формул Крамера | Высшая математика

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решений

Решение матричных уравненийСкачать

Решение матричных уравнений
Поделиться или сохранить к себе: