Системы уравнений и неравенств задачи

Алгоритм решения линейного неравенства

1. Раскрыть скобки (если они есть), перенести иксы в левую часть, числа в правую и привести подобные слагаемые. Должно получиться неравенство одного из следующих видов:

a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b

1. Пусть получилось неравенство вида a x ≤ b. Для того, чтобы его решить, необходимо поделить левую и правую часть неравенства на коэффициент a.

• Если a > 0 то неравенство приобретает вид x ≤ b a .

• Если a 0 , то знак неравенства меняется на противоположный , неравенство приобретает вид x ≥ b a .

1. Записываем ответ в соответствии с правилами, указанными в таблице числовых промежутков.

Примеры решения линейных неравенств:

№1. Решить неравенство 3 ( 2 − x ) > 18.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

− 3 x > 18 − 6 − 3 x > 12 | ÷ ( − 3 )

Делим обе части неравенства на ( -3 ) – коэффициент, который стоит перед x . Так как − 3 0 , знак неравенства поменяется на противоположный . x 12 − 3 ⇒ x − 4 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 )

№2. Решить неравество 6 x + 4 ≥ 3 ( x + 1 ) − 14.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 x + 4 ≥ 3 x + 3 − 14

6 x − 3 x ≥ 3 − 14 − 4

3 x ≥ − 15 | ÷ 3 Делим обе части неравенства на ( 3 ) – коэффициент, который стоит перед x . Так как 3 > 0, знак неравенства после деления меняться не будет.

x ≥ − 15 3 ⇒ x ≥ − 5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно).

№1. Решить неравенство 6 x − 1 ≤ 2 ( 3 x − 0,5 ).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 x − 6 x ≤ − 1 + 1

Получили верное неравенство, которое не зависит от переменной x . Возникает вопрос, какие значения может принимать переменная x , чтобы неравенство выполнялось? Любые! Какое бы значение мы ни взяли, оно все равно сократится и результат неравенства будет верным. Рассмотрим три варианта записи ответа.

Ответ:

1. x – любое число
2. x ∈ ( − ∞ ; + ∞ )
3. x ∈ ℝ

№2. Решить неравенство x + 3 ( 2 − 3 x ) > − 4 ( 2 x − 12 ).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

x + 6 − 9 x > − 8 x + 48

− 8 x + 8 x > 48 − 6

Получили неверное равенство, которое не зависит от переменной x . Какие бы значения мы ни подставляли в исходное неравенство, результат окажется одним и тем же – неверное неравенство. Ни при каких значениях x исходное неравенство не станет верным. Данное неравенство не имеет решений. Запишем ответ.

Квадратные неравенства

Квадратные неравенства – это неравенства вида: a x 2 + b x + c > 0 a x 2 + b x + c ≥ 0 a x 2 + b x + c 0 a x 2 + b x + c ≤ 0 где a, b, c — некоторые числа, причем a ≠ 0, x — переменная.

Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.

Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4).

Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов

1. Решить уравнение a x 2 + b x + c = 0 и найти корни x 1 и x 2 .

1. Отметить на числовой прямой корни трехчлена.

Если знак неравенства строгий > , , точки будут выколотые.

Если знак неравенства нестрогий ≥ , ≤ , точки будут жирные (заштрихованный).

1. Расставить знаки на интервалах. Для этого надо выбрать точку из любого промежутка (в примере взята точка A ) и подставить её значение в выражение a x 2 + b x + c вместо x .

Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

1. Выбрать подходящие интервалы (или интервал).

Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.

Если знак неравенства или ≤ в ответ выбираем интервалы со знаком -.

Примеры решения квадратных неравенств:

№1. Решить неравенство x 2 ≥ x + 12.

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

a = 1, b = − 1, c = − 12

D = b 2 − 4 a c = ( − 1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 12 ) = 1 + 48 = 49

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 1 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 1 ± 7 2 = [ 1 + 7 2 = 8 2 = 4 1 − 7 2 = − 6 2 = − 3

Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 6 . Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 − x − 1 = 6 2 − 6 − 1 = 29 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

В ответ пойдут два интервала. В математике для объединения нескольких интервалов используется знак объединения: ∪ .

Точки -3 и 4 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ] ∪ [ 4 ; + ∞ )

№2. Решить неравенство − 3 x − 2 ≥ x 2 .

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

a = − 1, b = − 3, c = − 2

D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) = 9 − 8 = 1

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 1 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 1 − 2 = [ 3 + 1 − 2 = 4 − 2 = − 2 3 − 1 − 2 = 2 − 2 = − 1

x 1 = − 2, x 2 = − 1

Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0 . Подставляем эту точку в исходное выражение:

− x 2 − 3 x − 2 = − ( 0 ) 2 − 3 ⋅ 0 − 2 = − 2 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет − .

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства ≥ , выбираем в ответ интервал со знаком +.

Точки -2 и -1 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ: x ∈ [ − 2 ; − 1 ]

№3. Решить неравенство 4 x 2 + 3 x .

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

a = − 1, b = − 3, c = 4

D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 4 = 9 + 16 = 25

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 25 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 5 − 2 = [ 3 + 5 − 2 = 8 − 2 = − 4 3 − 5 − 2 = − 2 − 2 = 1

Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение:

− x 2 − 3 x + 4 = − ( 2 ) 2 − 3 ⋅ 2 + 4 = − 6 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 , будет -.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства , выбираем в ответ интервалы со знаком − .

Точки -4 и 1 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

№4. Решить неравенство x 2 − 5 x 6.

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

a = 1, b = − 5, c = − 6

D = b 2 − 4 a c = ( − 5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 25 + 25 = 49

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 5 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 5 ± 7 2 = [ 5 + 7 2 = 12 2 = 6 5 − 7 2 = − 2 2 = − 1

Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 10. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 − 5 x − 6 = 10 2 − 5 ⋅ 10 − 6 = 100 − 50 − 6 = 44 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства , выбираем в ответ интервал со знаком -.

Точки -1 и 6 будут в круглых скобках, так как они выколотые

Ответ: x ∈ ( − 1 ; 6 )

№5. Решить неравенство x 2 4.

Решение:

Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения.

( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ [ x − 2 = 0 x + 2 = 0 [ x = 2 x = − 2

Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 3 . Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 − 4 = 3 2 − 4 = 9 − 4 = 5 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства , выбираем в ответ интервал со знаком − .

Точки -2 и 2 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ: x ∈ ( − 2 ; 2 )

№6. Решить неравенство x 2 + x ≥ 0.

Решение:

Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения x 2 + x = 0.

x ( x + 1 ) = 0 ⇔ [ x = 0 x + 1 = 0 [ x = 0 x = − 1

Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 1 . Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 + x = 1 2 + 1 = 2 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства ≥ , выбираем в ответ интервалы со знаком +.

В ответ пойдут два интервала. Точки -1 и 0 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ 0 ; + ∞ )

Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже.

Дробно рациональные неравенства

Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:

f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).

Примеры дробно рациональных неравенств:

x − 1 x + 3 0 3 ( x + 8 ) ≤ 5 x 2 − 1 x > 0 x + 20 x ≥ x + 3

Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.

Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:

1. Привести неравенство к одному из следующих видов (в зависимости от знака в исходном неравенстве):

f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

1. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0. Найти нули числителя .

1. Приравнять знаменатель дроби к нулю g ( x ) = 0. Найти нули знаменателя .

В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.

1. Нанести нули числителя и нули знаменателя на ось x .

Вне зависимости от знака неравенства
при нанесении на ось x нули знаменателя всегда выколотые .

Если знак неравенства строгий ,
при нанесении на ось x нули числителя выколотые .

Если знак неравенства нестрогий ,
при нанесении на ось x нули числителя жирные .

1. Расставить знаки на интервалах.

1. Выбрать подходящие интервалы и записать ответ.

Примеры решения дробно рациональных неравенств:

№1. Решить неравенство x − 1 x + 3 > 0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

1. Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду f ( x ) g ( x ) > 0.

1. Приравниваем числитель к нулю f ( x ) = 0.

x = 1 — это ноль числителя . Поскольку знак неравенства строгий, ноль числителя при нанесени на ось x будет выколотым. Запомним это.

1. Приравниваем знаменатель к нулю g ( x ) = 0.

x = − 3 — это ноль знаменателя . При нанесении на ось x точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства) .

1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x .

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

1. Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) : x − 1 x + 3 = 2 − 1 2 + 3 = 1 5 > 0,

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства > , выбираем в ответ интервалы со знаком +.

В ответ пойдут два интервала. Точки -3 и 1 будут в круглых скобках, так как обе они выколотые.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

№2. Решить неравенство 3 ( x + 8 ) ≤ 5.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

1. Привести неравенство к виду f ( x ) g ( x ) ≤ 0.

3 ( x + 8 ) − 5 x + 8 ≤ 0

3 x + 8 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0

3 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0

3 − 5 x − 40 x + 8 ≤ 0

− 5 x − 37 x + 8 ≤ 0

1. Приравнять числитель к нулю f ( x ) = 0.

x = − 37 5 = − 37 5 = − 7,4

x = − 7,4 — ноль числителя . Поскольку знак неравенства нестрогий, при нанесении этой точки на ось x точка будет жирной.

1. Приравнять знаменатель к нулю g ( x ) = 0.

x = − 8 — это ноль знаменателя . При нанесении на ось x , точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x .

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

1. Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) :

− 5 x − 37 x + 8 = − 5 ⋅ 0 − 37 0 + 8 = − 37 8 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет -.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства ≤ , выбираем в ответ интервалы со знаком -.

В ответ пойдут два интервала. Точка -8 будет в круглой скобке, так как она выколотая, точка -7,4 будет в квадратных скобках, так как она жирная.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 8 ) ∪ [ − 7,4 ; + ∞ )

№3. Решить неравенство x 2 − 1 x > 0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

1. Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду f ( x ) g ( x ) > 0.

1. Приравнять числитель к нулю f ( x ) = 0.

( x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 ⇒ [ x − 1 = 0 x + 1 = 0 [ x = 1 x = − 1

x 1 = 1, x 2 = − 1 — нули числителя . Поскольку знак неравенства строгий, при нанесении этих точек на ось x точки будут выколотыми.

1. Приравнять знаменатель к нулю g ( x ) = 0.

x = 0 — это ноль знаменателя . При нанесении на ось x , точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x .

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.

1. Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) :

x 2 − 1 x = 2 2 − 1 2 = 4 − 1 2 = 3 2 > 0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства > , выбираем в ответ интервалы со знаком +.

В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ: x ∈ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

Системы неравенств

Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы неравенств:

Алгоритм решения системы неравенств

1. Решить первое неравенство системы, изобразить его графически на оси x .

1. Решить второе неравенство системы, изобразить его графически на оси x .

1. Нанести решения первого и второго неравенств на ось x .

1. Выбрать в ответ те участки, в которых решение первого и второго неравенств пересекаются. Записать ответ.

Примеры решений систем неравенств:

№1. Решить систему неравенств < 2 x − 3 ≤ 5 7 − 3 x ≤ 1

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

1. Решаем первое неравенство системы.

2 x ≤ 8 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется.

Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

1. Решаем второе неравенство системы.

− 3 x ≤ − 6 | ÷ ( − 3 ), поскольку − 3 0, знак неравенства после деления меняется на противоположный.

Графическая интерпретация решения:

Точка 2 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

1. Наносим оба решения на ось x .

1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается на отрезке от 2 до 4 . Точки 2 и 4 в ответе буду в квадратных скобках, так как обе они жирные.

№2. Решить систему неравенств < 2 x − 1 ≤ 5 1 − 3 x − 2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

1. Решаем первое неравенство системы.

2 x ≤ 6 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется.

Точка 3 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

1. Решаем второе неравенство системы.

3 x − 3 | ÷ 3 , поскольку 3 > 0, знак неравенства после деления сохраняется.

Графическая интерпретация решения:

Точка -1 на графике выколотая, так как знак неравенства строгий.

1. Наносим оба решения на ось x .

1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается на самом левом участке. Точка -1 будет в ответе в круглых скобках, так как она выколотая.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 )

№3. Решить систему неравенств 5 − x

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

1. Решаем первое неравенство системы.

Графическая интерпретация решения:

1. Решаем второе неравенство системы

2 x > 12 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется.

Графическая интерпретация решения:

1. Наносим оба решения на ось x .

1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений.

№4. Решить систему неравенств 0 2 x + 3 ≤ x 2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

1. Решаем первое неравенство системы.

Графическая интерпретация решения первого неравенства:

1. Решаем второе неравенство системы

Решаем методом интервалов.

a = − 1, b = 2, c = 3

D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 3 = 4 + 12 = 16

D > 0 — два различных действительных корня.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 2 ± 16 2 ⋅ ( − 1 ) = − 2 ± 4 − 2 = [ − 2 − 4 − 2 = − 6 − 2 = 3 − 2 + 4 − 2 = 2 − 2 = − 1

Наносим точки на ось x и расставляем знаки на интервалах. Поскольку знак неравенства нестрогий, обе точки будут заштрихованными.

Графическая интерпретация решения второго неравенства:

1. Наносим оба решения на ось x .

1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается в двух интервалах. Для того, чтобы в ответе объединить два интервала, используется знак объединения ∪ .

Точка -4 будет в круглой скобке, так как она выколотая, а точки -1 и 3 в квадратных, так как они жирные.

Видео:Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

«Приемы решения систем уравнений и неравенств».
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Элективный курс для учащихся 10 класса.

«Приемы решения систем уравнений и неравенств».

Видео:Решение системы неравенств с двумя переменными. 9 класс.Скачать

Скачать:

Видео:Решение системы неравенствСкачать

Предварительный просмотр:

Элективный курс для учащихся 10 класса.

«Приемы решения систем уравнений и неравенств».

I. Уравнения n-ой степени с одним неизвестным 4-5c

Уравнения 3-ей степени 5-6с.

II.Методы решения систем линейных алгебраических 6-8с.

уравнений с несколькими неизвестными

1.Определители второго и третьего порядка.

2. Правило Крамера.

III. Системы линейных неравенств 8-13с

(на координатной плоскости)

IV.Нелинейные системы 13-15с

V.Иррациональные системы 16-17с.

8.Системы из 3-ёх уравнений с тремя неизвестными

9.Задачи на составление систем уравнений 18-20с.

Список литературы 21с.

Расширенный углубленный вариант базового курса «Решение систем уравнений и неравенств». На уроках алгебры мы рассматриваем решение линейных ,квадратных уравнений с одной переменной, систем линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными способом подстановки и способом почленного сложения. На ЕГЭ предлагаются задания. в которых требуется решить более сложные уравнения- уравнения третьей или четвертой степеней, системы линейных алгебраических уравнений с несколькими неизвестными, нелинейные системы, системы линейных неравенств (на координатной плоскости), иррациональные системы .

В частности к системам уравнений часто сводятся текстовые алгебраические задачи. Этот раздел алгебры считается одним из трудных, т.к. нет единых способов решения систем. Кроме того, системы, вызывают больше затруднений т.к. требуют знаний свойств уравнений, умения выполнять алгебраические преобразования, высокой логической культуры, хорошей техники исследования. И данные темы, рассмотренные на элективных занятиях расширят кругозор учащихся и помогут им в подготовке к ЕГЭ.

Цель курса : Формировать и развивать :

1. интеллектуальные, исследовательские, практические умения при помощи решения систем уравнений и неравенств;
2. умения самостоятельно приобретать и применять знания;
3. творческие способности, умения вести дискуссию.

В процессе курса учащиеся познакомятся с решением систем методом Гаусса, формулой Крамера. Научатся решать уравнения 3-ей степени.

Курс полезен для подготовки к экзаменам, для обучения на 1 курсе учебного заведения.

Курс рассчитан на 20 часов.

I. Уравнения n-ой степени с одним неизвестным -3ч.

Уравнения 3-ей степени

II.Методы решения систем линейных алгебраических

уравнений с несколькими неизвестными -4ч.

1.Определители второго и третьего порядка.

2. Правило Крамера.

III. Системы линейных неравенств -2ч.

(на координатной плоскости)

IV.Нелинейные системы -4ч

V.Иррациональные системы -3ч.

VI.Задачи на составление систем уравнений -4ч.

Основные формы работы с учащимися семинар-практикум. По каждой теме ученик сдаёт зачёт по решению каждого типа систем.

I. Уравнение n-ой степени с одним неизвестным.

Рассмотрим решение уравнений вида а n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 +…+a 1 x +a 0 =0, где все коэффициенты а 0 , а 1 ,а 2 . а n ,( а n ≠ 0) целые числа.

Теорема . Если все коэффициенты а 0 , а 1 ,а 2 . а n ,( а n ≠ 0) многочлена

Р n (х) =а n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 +…+а 1 x +a 0 =0, целые числа и рациональное число p/q

( p/q -несократимая дробь, p ЄZ, qЄN) является корнем многочлена, то коэффициент а 0 делится на p, а коэффициент а n делится q.

Док-во . Пусть рациональное число p/q( p/q -несократимая дробь, p ЄZ, qЄN) является корнем многочлена Р n (х), т.е. справедливо равенство

a n ∙ p n /q n + a n-1 ∙ p n-1 /q n -1 + … + a 1 ∙ p/q + a 0 =0.

Умножим это равенство на q n и получим a n p n + a n-1 p n-1 q +…+ a 1 pq n-1 + a 0 q n =0.

Все слагаемые в левой части этого равенства-целые числа. Их сумма. а также сумма всех слагаемых, кроме последнего, делятся на p, следовательно, последнее слагаемое a 0 q n делится на p,но тогда a 0 делится на p, т.к. q n не делится на p и числа p и q не имеют общих делителей, отличных от 1. Сумма всех слагаемых, а также, сумма всех слагаемых, кроме первого, делятся на q , следовательно, первое слагаемое a n p n делится на q,но тогда a n делится на q, т. к. p n не делится на q, ч.т.д.

Следствие . Пусть коэффициент а n многочлена с целыми коэффициентами

Р n (х) =x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 +…+а 1 x +a 0 равен 1, тогда если этот многочлен имеет корень, то этот корень -целое число и является делителем свободного члена.

Рассмотрим решение уравнения третьей степени.

Найдем делители свободного члена: ±1, ±2, ±3, ±6.

Подберем число, при котором многочлен Р(х) = 0.

Р(1) = 1 – 6 + 11 – 6 = 0, т.е. х = 1 является корнем нашего многочлена.

Разделим многочлен на (х – 1).

х 3 – 6х 2 + 11х х – 1

х 3 – х 2 х 2 – 5х + 6

6х – 6 Решим уравнение

6х – 6 х 2 – 5х + 6 = 0 => х 1 = 2, х 2 = 3.

Ответ: х 1 = 2, х 2 = 3.х=1

2. Разложить многочлен х 3 + х 2 – х – 1 на множители .

Найдем делители свободного члена: ±1.

Подберем число, при котором многочлен Р(х)= х 3 + х 2 – х – 1 превращается в 0.

Р(1) = 1 + 1 – 1 – 1 = 0. т.е. х = 1 является корнем нашего многочлен.

Разделим Р(х) на (х – 1).

х 3 + х 2 – х – 1 х – 1

х 3 — х 2 х 2 + 2х + 1

Решим уравнение х 2 + 2х + 1 = 0 => х 1,2 = -1.

Итак, х 3 + х 2 – х – 1 = (х – 1)(х + 1) 2

3.Рассмотреть решение уравнения х 4 -4х 3 +12х-9=0

Задания для самостоятельного решения.

1. 3х 3 -2 х 2 + х – 2 = 0. х = 1.
2. 2х 3 + х 2 — 5х + 2 = 0. х = -2, х = 1, х = 1/2.
3. 3х 3 -2 х 2 — 16 х – 15 = 0. х = 3.
4. х 3 — 6х 2 + 15х — 14 = 0. х = 2.
5. х 3 + 5х 2 + 8х + 4 = 0. х = -1, х = -2.
6. х 3 + 7х 2 + 16х + 12 = 0. х = -3, х = -2.
7. х 3 — 3х — 2 = 0. х = -1, х = 2.
8. х 3 + 3х — 4 = 0. х = 1.
9. х 4 -3х 3 +6х — 4=0 х= 1, 2, , .
10. х 5 +3х 3 +2х =0 х=0

II. Системы линейных уравнений и неравенств .

1. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными .

Определители второго порядка. Правило Крамера.

Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными: а 1 х + b 1 y = c 1,

a 2 x + b 2 y = c 2.

Число  назовем определителем системы и обозначим a 1 b 1

 = = a 1 b 2 – a 2 b 1

Обозначим  х и  у – вспомогательные определители.

с 1 b 1 a 1 с 1

 х = = с 1 b 2 –с 2 b 1  у = = a 1 с 2 – a 2 с 1

с 2 b 2 a 2 с 2

Корни системы находятся по формулам: х = , у = .

Определители , х,  у, имеющие две строки и два столбца, называют определителями второго порядка .

Формулы х = , у = выражают правило Крамера для нахождения решения системы в том случае, когда   0.

Рассмотрим решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

1. Решить систему уравнений

 = = 21 –(-10)= 31,  х = = 62,  у = = -31.

Задания для самостоятельного решения:

1). 3 4 2). 2 -3 3). 1 8 4). 0,1 -0,5

-1 2 -5 4 2 0 2 -10

 = 10  = — 7  = — 16  = 0.

1. Решить систему уравнений:

1). 3х – 4у = 7, 2). 6х + 7у = 9, 3). 9х – 11у = 1, 4). 3х – 5у = -8,

2х + 5у = -3. 5х – у = -13. 6х – 7у = 2. 7х – 4у = -2.

Ответ:(1,- 1) Ответ:(- 2, 3) Ответ:(5, 4) Ответ:(22/23, 50/23)

4.Доказать, что при любом значении а данная система имеет единственное решение, и найти это решение.

1). 3х + ау = а, 2). ах + 4у = — а,

ах – 2у = а 2 + 4. –х + 5ау = 1.

Ответ: (а, — 2). Ответ: (- 1, 0)

5.Найти все значения а и b, при которых система уравнений

а). не имеет решений; б). имеет множество решений; в). имеет единственное решение.

Ответ: а) а = — 12, b = 36. б) а = — 12, b  36. в) а  — 12.

2. Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Определители третьего порядка.

Рассмотрим систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными.

а 1 х + b 1 y + c 1 z = d 1,

a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2,

a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3.

 = a 2 b 2 c 2 = a 1 b 2 c 3 + a 2 b 3 c 1 + a 3 c 2 b 1 – a 3 b 2 c 1 – b 3 c 2 a 1 – a 2 b 1 c 3

Покажем правило вычисления определителя.

а 1 b 1 c 1 а 1 b 1 c 1 а 1 b 1 c 1 а 1 b 1 c 1 а 1 b 1 c 1 а 1 b 1 с 1

a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 с 2

a 3 b 3 c 3 a 3 b 3 c 3 a 3 b 3 c 3 a 3 b 3 c 3 a 3 b 3 c 3 a 3 b 3 с 3

d 1 b 1 c 1 а 1 d 1 c 1 а 1 b 1 d 1

 х = d 2 b 2 c 2  у = a 2 d 2 c 2  z = a 2 b 2 d 2

d 3 b 3 c 3 a 3 d 3 c 3 a 3 b 3 d 3

Корни системы находятся по формулам: х = , у = , z = при   0.

Изложенный способ решения называют правилом Крамера.

Задания для самостоятельного решения:

1. Решить систему уравнений

2 -1 3 14 -1 3 2 14 3 2 -1 14

 = 4 5 -2 = -95, х = -3 5 -2 = -190,  у = 4 -3 -2 = 95,  z = 4 5 -3 = -285

1 -6 1 11 -6 1 1 11 1 1 -6 11

х = = 2, у = = -1, z = = 3.

1). 2 3 0 2) 2 1 7 3). 2 3 5 4). 4 8 5 5). 3 -5 8 6). 1 0 -4

-1 4 5 4 2 9 1 2 4 1 -2 -3 4 8 1 3 0 5

3 1 6 6 3 11 3 8 10 5 8 2 1 5 -3 -2 6 1

 = 101  = 0  = — 8  = 0  = — 80  = — 102

1. Решить систему уравнений

1). x – 2у + 4z = 5, 2) x – y – z = -8, 3) x – 5y + 3z = — 1, 4) x – y — z = 2.

3x + 4y – z = -1, x + y – z = 4, x – y + z = 1. x – 2у — 3z = 3.

2x + y – 2z = -5. x – y + z = 6.

Ответ: (- 1, 1, 2). Ответ: (5,6,7). Ответ: (2, 0, — 1). Ответ: (0, — 3, 1).

Рассмотрим решение системы линейных алгебраических уравнений с несколькими неизвестными с помощью метода Гаусса, который заключается в том, чтобы преобразовать систему к треугольному виду.

1. Решить систему уравнений

1). х 1 – 2х 2 + х 3 – 3х 4 = 6, *-2)*-5)*-3). х 1 – 2х 2 + х 3 – 3х 4 = 6,

2х 1 – 5х 2 — 3х 3 + х 4 = — 11, – х 2 — 5х 3 + 7х 4 = -23, *2)*5)

5х 1 – 8х 2 + 6х 3 – 4х 4 = 24, 2х 2 + х 3 + 11х 4 = — 6,

3х 1 – х 2 + х 3 + 12х 4 = — 4. 5х 2 — 2х 3 + 21х 4 = — 22.

х 1 – 2х 2 + х 3 – 3х 4 = 6, х 1 – 2х 2 + х 3 – 3х 4 = 6,

– х 2 — 5х 3 + 7х 4 = -23, – х 2 — 5х 3 + 7х 4 = -23,

— 9х 3 + 25х 4 = — 52, *-3) — 9х 3 + 25х 4 = — 52,

— 27х 3 + 56х 4 = — 137. – 19х 4 = 19.

Ответ: х 4 = — 1, х 3 = 3, х 2 = 1, х 1 = 2.

2). 2х 1 – 4х 2 + х 3 – 5х 4 = 2, 3). 2х 1 – х 2 + х 3 + х 4 = 0,

4х 1 – 7х 2 — х 3 – 8х 4 = -5, х 1 – 2х 2 — х 3 – х 4 = 3,

10 х 1 – 18х 2 + 2х 3 – 23х 4 = 3, х 1 + х 2 — 2х 3 + х 4 = 5,

2х 1 – 3х 2 + х 3 – х 4 = 0. х 1 – х 2 + х 3 + 2х 4 = -1.

Ответ: (1, 2, 3, -1). Ответ: (1, 0, — 2, 0).

Задания для самостоятельного решения:

1. Решить систему уравнений

1). 7/4х – 5/3у = -1, 2). х/5 + 5у/8 = -2,

3/8х – 4/9у = -1. 8х/5 + 7у/4 = 10.

Ответ:(8, 9) Ответ:(15, — 8)

2.Найти все значения а, при которых не имеет решений система уравнений:

1). ах + 3у = а 2 + 1, 2). 2ах + у = а 2 – 2а,

(3а + 14)х + (а + 8)у = 5а 2 + 5. -10х + (а – 6)у = 10а – 5а 2 .

Ответ: а = — 6. Ответ: а = 5.

3. Решить систему уравнений

4) x + y – z = 4, 5) x — y – z = 2,

x — y + z = 6, x — y – 2z = 1,

x — y – z = — 8. x — 2y – 3z = 3.

Ответ: (5, 6, 7). Ответ: (0, — 3, 1).

6) x + y – z = 4, 7) 2x + y – z = 1,

x — y + z = -2, x — y + 2z = 4,

x — 5y + 5z = 1. 5x + 3y – 4z = 3.

Ответ: Ø . Ответ: Ø .

8) 2х – 4у + z = 3, 9) x – y – 2z = 1,

x – 5y + 3z = -1, x – y – z = 2,

x – y + z = 1. x – 2y – 3z = 3.

Ответ: (2; 0; -1), Ответ: (-1; 1; 2).

10) x – 2y + 3z = 5,

3x – 7y + 11z = 21. Ответ: Ø . 4. Системы линейных неравенств.

Рассмотрим решение линейных неравенств (на координатной плоскости).

1.Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству.

📽️ Видео

ПРОСТЕЙШИЙ метод решения систем квадратных неравенствСкачать

Урок 5. Неравенства и системы неравенств. Алгебра ОГЭ. Вебинар | МатематикаСкачать

Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Как понять неравенства? Квадратные неравенства. Линейные и сложные неравенства | TutorOnlineСкачать

Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЕГЭ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать

Решение системы линейных неравенств с одной переменной. 6 класс.Скачать

9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

Способы решения систем нелинейных уравнений. 9 класс.Скачать

Система уравнений. Метод алгебраического сложенияСкачать

Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Решение неравенства методом интерваловСкачать

Решение систем уравнений второй степени. Алгебра, 9 классСкачать

Способы решения систем нелинейных уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать