Системы линейных одновременных уравнений условия идентификации

Видео:Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

Системы линейных одновременных уравнений. Условия идентификации

Система одновременных уравнений может быть преобразована к приведенной форме, в каждом уравнении которой результативная переменная выражена только через факторные переменные. Первоначальная система в этом случае называется структурной формой. Для существования однозначного соответствия между параметрами структурной и приведенной форм необходимо, чтобы каждое уравнение системы было идентифицируемо.

Если обозначить число результативных переменных в некотором уравнении структурной формы через H, а число факторных переменных, которые содержаться в системе, но не входят в данное уравнение, через D, то:

если — уравнение неидентифицируемо;

если — уравнение идентифицируемо (необходимое условие);

если — уравнение сверхидентифицируемо.

Для идентифицируемости уравнения должно выполняться и дополнительное условие. Отметим в системе результативные и факторные переменные, отсутствующие в рассматриваемом уравнении, но присутствующие в системе. Из коэффициентов при этих переменных в других уравнениях составим матрицу (если переменная стоит в левой части уравнения, то коэффициент надо брать с обратным знаком). Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполнено, если определитель полученной матрицы не равен нулю, а ранг не меньше, чем количество результативных переменных в системе без одного.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Системы эконометрических уравнений

Пример . Рассмотрим модель зависимости общей величины расходов на питание от располагаемого личного дохода (х) и цены продуктов питания (р):у = а₀ + а₁х + а₂р + ε. Определим класс модели и вид переменных модели: регрессионная модель с одним уравнением; эндогенная переменная — расходы на питание, экзогенные переменные — располагаемый личный доход и цена продуктов питания.

Принципиальные сложности применения систем эконометрических уравнений связаны с ошибками спецификации модели.

Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена по-разному. Выделяют следующие 3 вида систем уравнений.

1. Система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная (y ) рассматривается как функция только от предопределенных переменных (х):
   
2. Система рекурсивных уравнений, когда в каждом последующем уравнении системы зависимая переменная представляет функцию от зависимых и предопределенных переменных предшествующих уравнений:

От структурной формы легко перейти к так называемой приведенной форме модели. Число уравнений в приведенной форме равно числу эндогенных переменных модели. В каждом уравнении приведенной формы эндогенная переменная выражается через все предопределенные переменные модели:

Так как правая часть каждого из уравнений приведенной формы содержит только предопределенные переменные и остатки, а левая часть только одну из эндогенных переменных, то такая система является системой независимых уравнений. Поэтому параметры каждого из уравнений системы в приведенной форме можно определить независимо обычным МНК.
Зная оценки этих приведенных коэффициентов можно определить параметры структурной формы модели. Но не всегда, а только если модель является идентифицируемой.

Видео:9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

Проблема идентификации

Количество структурных и приведенных коэффициентов одинаково в модели идентифицируемой.

Видео:Линейное уравнение с одной переменной. 6 класс.Скачать

Правила идентификации

Ранг данной матрицы равен 1, что меньше К-1=2, следовательно, 1-ое уравнение модели неидентифицированно.
Составим матрицу А для 2-ого уравнения системы. Во 2-ом уравнении отсутствуют переменные y₃, x₂, х₃:
y₃ x ₂ x₃
b₁₃ a ₁₃ 0 — в 1-ом уравнении
1 a₃₂ a₃₃ — в 3-ем уравнении
Ранг данной матрицы равен 2, что равно К-1=2, следовательно, 2-ое уравнение модели точно идентифицированно.
Составим матрицу А для 3-его уравнения системы. В 3-ем уравнении отсутствуют переменные y₁, x₂:
y ₁ x ₂
1 a₁₂ — в 1-ом уравнении
b₂₁ 0 — во 2-ом уравнении
Ранг данной матрицы равен 1, что меньше К-1=2, следовательно, 3-е уравнение модели неидентифицированно.

Сделаем выводы: 1-ое и 3-е уравнения системы неидентифицированны (т.к. не выполняются достаточные условия идентификации, а в случае 1-ого уравнения и необходимое условие также). 2-ое уравнение системы сверхидентифицированно. Следовательно, система в целом является неидентифицируемой.
Для оценки параметров 2-ого уравнения можно применить двухшаговый МНК. Параметры 1-ого и 3-его уравнений определить по коэффициентам приведенной формы нельзя. Поэтому модель должна быть модифицирована.

Видео:Какую профессию выбрать в 2024 году? | ВалентинычСкачать

Системы эконометрических уравнений

Эконометрика как учебная дисциплина на современном этапе благодаря своей универсальности и возможности практического использования для анализа реальных экономических объектов является одним из базовых курсов в системе высшего экономического образования.

Видео:МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

Эконометрика

Эконометрика — это статистико-математический анализ экономических отношений.

Сущность эконометрики заключается в модельном описании функционирования конкретной экономической системы (экономики данной страны, спроса-предложения в данное время в данном месте и т.д.). Одним из основных этапов эконометрических исследований является анализ устойчивости построенной модели, отражающей взаимосвязи между экономическими показателями, и проверка ее на адекватность реальным экономическим данным и процессам.

Виды систем эконометрических уравнений

Сложные экономические процессы описывают с помощью системы взаимосвязанных (одновременных) уравнений.

Различают несколько видов систем уравнений, применяемых в эконометрике:

• система независимых уравнений — когда каждая зависимая переменная рассматривается как функция одного и того же набора факторов :

Для построения такой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов, применяемый к каждому уравнению в отдельности;

• система рекурсивных уравнений — когда зависимая переменная одного уравнения выступает в виде фактора в другом уравнении:

Для построения такой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов, применяемый последовательно к каждому уравнению в отдельности;

• система взаимосвязанных (совместных) уравнений — когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а другие в правую:

Такая система уравнений называется структурной формой модели. Для построения таких систем и нахождения их параметров используются косвенный и двухшаговый методы наименьших квадратов.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Введем следующие определения:

• Эндогенные переменные — взаимозависимые переменные, которые определяются внутри системы (модели) .
• Экзогенные переменные — независимые переменные, которые определяются вне системы .
• Лаговые эндогенные переменные — эндогенные переменные за предыдущие моменты времени.
• Предопределенные переменные — экзогенные и лаговые эндогенные переменные системы.
• Коэффициенты и при переменных — структурные коэффициенты модели.

Система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы — приведенная форма модели:

где — коэффициенты приведенной формы модели.

Проблема идентификации

При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации. Идентификация -это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:

• идентифицируемые;
• неидентифицируемые;
• сверхидентифицируемые.

Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т. е. если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели. В этом случае структурные коэффициенты модели оцениваются через параметры приведенной формы модели и модель идентифицируема.

Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.

Модель еверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более значений одного структурного коэффициента. В этой модели число структурных коэффициентов меньше числа коэффициентов приведенной формы.

Сверхидентифицируемая модель, в отличие от неидентифицируемой, модели практически решаема, но требует для этого специальных методов исчисления параметров.

Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждое из которых требуется проверять на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой.

Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

Выполнение условия идентифицируемости модели проверяется для каждого уравнения системы. Чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.

Обозначим через — число эндогенных переменных в уравнении, а через — число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе. Тогда необходимое условие идентификации отдельного уравнения принимает вид:

• уравнение идентифицируемо, если ;
• уравнение сверхидентифицируемо, если ;
• уравнение неидентифицируемо, если .

Если необходимое условие выполнено, то далее проверяется достаточное условие идентификации.

Достаточное условие идентификации — определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.

Для решения идентифицируемого уравнения применяется косвенный метод наименьших квадратов, для решения сверхидентифицированных -двухшаговый метод наименьших квадратов.

Косвенный МНК состоит в следующем:

• составляют приведенную форму модели и определяют численные значения ее параметров обычным МНК;

• путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные оценки структурных параметров.

Двухшаговый МНК заключается в следующем:

• составляют приведенную форму модели и определяют численные значения ее параметров обычным МНК;

• выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяются двухшаговым МНК, и находят расчетные значения этих эндогенных переменных по соответствующим уравнениям приведенной системы;

• обычным МНК определяют параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части уравнения.

Решение эконометрических уравнений

Пример задачи с уравнением №4.2.1.

Рассматривается модель протекционизма Сальватора (упрощенная версия):

— доля импорта в ВВП;
— общее число прошений об освобождении от таможенных пошлин; — число удовлетворенных прошений об освобождении от таможенных пошлин;

— фиктивная переменная, равная 1 для тех лет, в которые курс доллара на международных валютных рынках был искусственно завышен, и 0-для всех остальных лет;

— реальный ВВП;

— реальный объем чистого экспорта; — текущий период; — предыдущий период; и — случайные ошибки. Задание.

1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации определить, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.
2. Определить метод оценки параметров модели.
3. Записать приведенную форму модели в общем виде.

Решение:

1. Модель представляет с собой систему взаимосвязанных (одновременных) уравнений. Для ответа на вопрос о способе оценки параметров модели проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает три эндогенные переменные и четыре предопределенные переменные (три экзогенные и одну лаговую эндогенную ).

Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.

Это уравнение включает три эндогенные переменные и две предопределенные ( и ). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение: 2+1=3. Уравнение идентифицировано.

Это уравнение включает три эндогенные переменные и одну предопределенную . Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение: 3+1>3. Уравнение сверхидентифицировано.

Это уравнение включает три эндогенные переменные и одну предопределенную . Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение: 3+1>3. Уравнение сверхидентифицировано.

Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели:

В соответствии с достаточным условием идентификации определитель матрицы коэффициентов, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть не менее, чем число эндогенных переменных модели минус 1, т.е. в данной задаче больше или равен 3-1=2.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Ранг этой матрицы

Следовательно, для 1 уравнения достаточное условие выполняется, это уравнение точно идентифицируемо. 2 уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Ранг этой матрицы

так как она содержит отличный от нуля минор второго порядка

Следовательно, для 2 уравнения достаточное условие выполняется, это уравнение сверхидентифицируемо. 3 уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Ранг этой матрицы , так как она содержит отличный от нуля минор второго порядка

Следовательно, для 3 уравнения достаточное условие выполняется, это уравнение сверхидентифицируемо.

• Таким образом, система в целом сверхидентифицируема, для оценки ее параметров можно применить двухшаговый метод наименьших квадратов.
• Запишем приведенную форму модели в общем виде:

Пример задачи с уравнением №4.2.2.

Рассматривается структурная модель вида:

1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации определить, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.
2. Определить метод оценки параметров модели.
3. Записать приведенную форму модели в общем виде.
4. Исходя из приведенной формы модели уравнений

найти структурные коэффициенты модели.

Решение:

• Модель представляет с собой систему взаимосвязанных (одновременных) уравнений. Для ответа на вопрос о способе оценки параметров модели проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает три эндогенные переменные и три предопределенные переменные (экзогенные ).

Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.

Это уравнение включает две эндогенные переменные ( и ) и две предопределенные ( и ). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение: 1 + 1=2. Уравнение идентифицировано.

Это уравнение включает три эндогенные переменные и одну предопределенную . Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение: 2+1=3. Уравнение идентифицировано.

Это уравнение включает две эндогенные переменные (и ) и две предопределенные ( и ). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение: 1 + 1=2. Уравнение идентифицировано. Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации.

Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели:

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

что не менее чем число эндогенных переменных системы минус один. Следовательно, для первого уравнения достаточное условие идентификации выполнено, уравнение точно идентифицируемо.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

что не менее чем число эндогенных переменных системы минус один. Следовательно, для второго уравнения достаточное условие идентификации выполнено, уравнение точно идентифицируемо.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

что не менее чем число эндогенных переменных системы минус один. Следовательно, для третьего уравнения достаточное условие идентификации выполнено, уравнение точно идентифицируемо.

• Все уравнения системы точно идентифицируемы, следовательно, система в целом точно идентифицируема, для оценки ее параметров может быть применен косвенный метод наименьших квадратов.
• Запишем приведенную форму модели в общем виде:

• Вычисление структурных коэффициентов модели:

1) из третьего уравнения приведенной формы выразим (так как его нет в первом уравнении структурной формы)

Данное выражение содержит переменные и которые входят в правую часть первого уравнения структурной формы модели (СФМ). Подставим полученное выражение в первое уравнение приведенной формы модели (ПФМ)

Откуда получим первое уравнение СФМ в виде

2) во втором уравнении СФМ нет переменных и . Структурные параметры второго уравнения СФМ можно будет определить в два этапа.

Первый этап: выразим в данном случае из первого или третьегоуравнения ПФМ. Например, из первого уравнения

Подстановка данного выражения во второе уравнение ПФМ не решило бы задачу до конца, так как в выражении присутствует , которого нет в СФМ. Выразим из третьего уравнения ПФМ

Подставим его в выражение для

Второй этап: аналогично, чтобы выразить через искомые и , заменим в выражении значение на полученное из первого уравнения ПФМ

Подставим полученные и во второе уравнение ПФМ

В результате получаем второе уравнение СФМ

3) из второго уравнения ПФМ выразим , так как его нет в третьем уравнении СФМ

Подставим полученное выражение в третье уравнение ПФМ

В результате получаем третье уравнение СФМ

Таким образом, СФМ примет вид

Пример задачи с уравнением №4.2.3.

Изучается модель вида

где — валовый национальный доход;

— валовый национальный доход предшествующего года;

— личное потребление;

— конечный спрос (помимо личного потребления); и — случайные составляющие.

Информация за девять лет о приросте всех показателей дана в таблице 4.2.1.

Для данной модели была получена система приведенных уравнений

1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определить, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.
2. Рассчитать параметры первого уравнения структурной модели.

Решение:

1. В данной модели две эндогенные переменные ( и ) и две экзогенные переменные ( и ). Второе уравнение точно идентифицировано, так как содержит две эндогенные переменные и не содержит одну экзогенную переменную из системы. Иными словами, для второго уравнения имеем по счетному правилу идентификации равенство: 2=1 + 1.

Первое уравнение сверхидентифицировано, так как в нем на параметры при и наложено ограничение: они должны быть равны. В этом уравнении содержится одна эндогенная переменная . Переменная в данном уравнении не рассматривается как эндогенная, так как она участвует в уравнении не самостоятельно, а вместе с переменной . В данном уравнении отсутствует одна экзогенная переменная, имеющаяся в системе. По счетному правилу идентификации получаем: 1 + 1 = 2: . Это больше, чем число эндогенных переменных в данном уравнении, следовательно, система сверхидентифицирована.

• Для определения параметров сверхидентифицированной модели используется двухшаговый метод наименьших квадратов.

Шаг 1. На основе системы приведенных уравнений по точно идентифицированному второму уравнению определим теоретические значения эндогенной переменной . Для этого в приведенное уравнение

подставим значения и имеющиеся в условии задачи. Полученные значения обозначим (табл. 4.2.2).

Шаг 2. По сверхидентифицированному уравнению структурной формы модели заменяем фактические значения , на теоретические и рассчитываем новую переменную (табл. 4.2.2).

Далее к сверхидентифицированному уравнению применяется метод наименьших квадратов. Обозначим новую переменную через . Решаем уравнение . С помощью МНК получим . Запишем первое уравнение структурной модели

Пример задачи с уравнением №4.2.4.

Рассматривается следующая модель:

• — расходы на потребление в период ;
• — совокупный доход период :
• — инвестиции в период ;
• — процентная ставка в период ;
• — денежная масса в период ;
• — государственные расходы в период ;
• — расходы на потребление в период ;
• — инвестиции в период ;
• — текущий период;
• — предыдущий период;

и — случайные ошибки.

В предположении, что имеются временные ряды данных по всем переменным модели, предложить способ оценки ее параметров.

Как изменится ваш ответ на вопрос п. 1, если из модели исключить тождество дохода?

Решение:

1. Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Для ответа на вопрос о способе оценки параметров модели проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает четыре эндогенные переменные и четыре предопределенные переменные (две экзогенные переменные — и ( и две лаговые эндогенные переменные — и ).

Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.

Это уравнение включает две эндогенные переменные ( и ) и одну предопределенную переменную (). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение: 3 + 1 > 2. Уравнение сверхидентифицировано.

Это уравнение включает две эндогенные переменные и не включает три предопределенные переменные. Как и 1-е уравнение, оно сверхидентифицировано.

3-е уравнение тоже включает две эндогенные переменные и не включает три предопределенные переменные. Это уравнение сверхидентифицировано.

Это уравнение представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в его идентификации нет.

Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели

В соответствии с достаточным условием идентификации определитель матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть не менее числа эндогенных переменных модели минус 1, т. е. 4-1=3.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Ее ранг равен 3, так как определитель квадратной подматрицы 3×3 этой матрицы не равен нулю

Достаточное условие идентификации для 1-го уравнения выполняется.

Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение

Ее ранг равен 3, так как определитель квадратной подматрицы 3×3 этой матрицы не равен нулю

Достаточное условие идентификации для 2-го уравнения выполняется.

Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение

Ее ранг равен трем, так как имеется квадратная подматрица 3×3 этой матрицы, определитель которой не равен нулю.

Достаточное условие идентификации для 3-го уравнения выполняется.

Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицированы. Для оценки параметров каждого из уравнений будем применять двухшаговый МНК.

Шаг 1. Запишем приведенную форму модели в общем виде

где — случайные ошибки.

Определим параметры каждого из приведенных выше уравнений в отдельности обычным МНК. Затем найдем расчётные значения эндогенных переменных используемых в правой части структурной модели, подставляя в каждое равнение приведенной формы соответствующее значение предопределенных переменных.

Шаг 2. В исходных структурных уравнениях заменим эндогенные переменные, выступающие в качестве факторных признаков, их расчетными значениями

Применяя к каждому из полученных уравнений в отдельности обычный МНК, определим структурные параметры

Если из модели исключить тождество дохода, число предопределенных переменных модели уменьшится на 1 (из модели будет исключена переменная ). Число эндогенных переменных модели также снизится на единицу — переменная , станет экзогенной. В правых частях функции потребления и функции денежного рынка будут находиться только предопределенные переменные. Функция инвестиций постулирует зависимость эндогенной переменной , от эндогенной переменной (которая зависит только от предопределенных переменных) и предопределенной переменной . Таким образом, мы получим рекурсивную систему. Ее параметры можно оценивать обычным МНК, и нет необходимости исследования системы уравнений на идентификацию.

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

🔍 Видео

Линейные уравнения с одной переменной, содержащие переменную под знаком модуля. 6 класс.Скачать

После этого видео, ТЫ РЕШИШЬ ЛЮБУЮ Систему Нелинейных УравненийСкачать

Однородное уравнение в системеСкачать

Решение однородных линейных систем. ТемаСкачать

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

При каких λ однородная система уравнений имеет ненулевое решение?Скачать

Система уравнений. Метод алгебраического сложенияСкачать

Нелинейные уравнения с двумя переменными и их геометрический смысл. 9 класс.Скачать

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЕГЭ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать

СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ нелинейных 9 класс алгебраСкачать

Способы решения систем нелинейных уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

«Фин. грамотность — от классиков до современности: советы литературных гениев и цифровые решения»Скачать

Уравнения с модулемСкачать

Симметрические системы / Как решать по шаблону? x/y+y/x=13/6; x+y=5Скачать