Система уравнений с мнимой единицей

Система комплексных линейных уравнений
Элементы комплексной системы линейных уравнений
Вы ввели следующую систему уравнений
Решение системы следующее

Наборы линейных уравнений довольно часто встречаются в повседневных расчетах, поэтому методов их решения придумано великое множество. Но перед рассмотрением самого простого алгоритма нахождения неизвестных стоит вспомнить о том, что вообще может иметь система таких уравнений:

— иметь только одно верное решение;

— иметь бесконечное множество корней;

— иметь несовместный тип (когда решений быть не может).

Метод Гаусса, используемый нашим АБАК-ботом — самое мощное и безотказное средство для поиска решения любой системы уравнений линейного типа.

Возвращаясь к терминам высшей математики, метод Гаусса можно сформулировать так: с помощью элементарных преобразований система уравнений должна быть приведена к равносильной системе треугольного типа (или т.н. ступенчатого типа), из которой постепенно, начиная с самого последнего уравнения, находятся оставшиеся переменные. При всем этом элементарные преобразования над системами — ровно то же самое, что и элементарные преобразования матриц в переложении для строк.

Наш бот умеет молниеносно выдавать решения системы линейных уравнений с неограниченным количеством переменных!

Практическое применение решение таких систем находит в электротехнике и геометрии: расчетах токов в сложных контурах и выведение уравнения прямой при пересечении трех плоскостей а также в множестве специализированных задач.

Данный сервис позволяет решать неограниченную по размерам систему линейных уравнений с комплексными коэффициентами.

Ну, раз бот умеет считать решения комплексных систем, то для него не составит труда считать частный случай, когда элементы системы являются вещественные числа.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ.  | Математика

Решение систем линейных уравнений

Эта страничка поможет решить Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, матричным методом или методом Крамера, исследовать их на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определить количество решений, найти общее, частное и базисные решения.

Введите коэффициенты при неизвестных в поля. Если Ваше уравнение имеет меньшее количество неизвестных, то оставьте пустыми поля при переменных, не входящих в ваше уравнение. Можно использовать дроби ( 13/31 ).

Видео:КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТ

Решение уравнений с комплексными числами

Итак, необходимо решить уравнение с комплексными переменными, найти корни этого уравнения. Рассмотрим принцип решения комплексных уравнений, научимся извлекать корень из комплексного числа.

Для того, чтобы решить уравнение n-й степени с комплексными числами, используем общую формулу:

Система уравнений с мнимой единицей
где |z| — модуль числа, φ = arg z — главное значение аргумента, n — степень корня, k — параметр, принимает значения : k = .

Пример 1. Найти все корни уравнения

Система уравнений с мнимой единицей

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня третьей степени из комплексного числа

Система уравнений с мнимой единицей

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени n комплексного числа z. Найдем все необходимые значения для формулы:

Система уравнений с мнимой единицейСистема уравнений с мнимой единицей
Подставим найденные значения в формулу:

Система уравнений с мнимой единицей

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения.

Система уравнений с мнимой единицей

Пример 2. Найти все корни уравнения

Система уравнений с мнимой единицей

Найдем дискриминант уравнения:

Система уравнений с мнимой единицей
Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Вычислим корень из дискриминанта:

Система уравнений с мнимой единицей

Найдем корни уравнения:

Система уравнений с мнимой единицей
Ответ:

Система уравнений с мнимой единицей

Пример 3. Найти все корни уравнения

Система уравнений с мнимой единицей

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня четвертой степени из комплексного числа

Система уравнений с мнимой единицей

Вновь используем общую формулу для нахождения корней уравнения n степени комплексного числа z.
n = 4 — количество корней данного уравнения. k = . Найдем модуль комплексного числа:

Система уравнений с мнимой единицей

Подставим найденные значения в формулу:

Система уравнений с мнимой единицей

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2, 3 найдем все 4 корня уравнения:

Система уравнений с мнимой единицей

Система уравнений с мнимой единицей

Пример 4. Найти корни уравнения

Система уравнений с мнимой единицей
Решение кубического уравнения комплексными числами:

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени 3 комплексного числа z.

Найдем все необходимые значения для формулы:

Система уравнений с мнимой единицей
Подставим найденные значения в формулу:

Система уравнений с мнимой единицей

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения:

Система уравнений с мнимой единицей

Система уравнений с мнимой единицей

Домашнее задание: Самостоятельно составить и решить уравнение с комплексными числами.

Условия: переменная z должна быть «спрятана» и представлена в качестве аргумента тригонометрической функции косинуса. Чтобы привести данное уравнение к привычной форме, нужно «вытащить» z, а для этого необходимо помнить, как решаются тригонометрические уравнения,а также знать, как применять свойства логарифмической функции от комплексного числа.

После того, как мы решили тригонометрическое уравнение с комплексным числом, получаем «голый» z, который представлен в качестве аргумента обратной тригонометрической функции. Чтобы преобразовать данное выражение, нужно использовать формулу разложения арккосинуса в логарифм.

Вместо z — выражение (3i/4) и дальше все делаем по приведенной выше формуле, преобразовывая выражение под корнем, используя свойства мнимой единицы i.

Как быть далее? Теперь будем использовать формулу для решения выражения с натуральным логарифмом.

Для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно найти модуль комплексного числа |z| и его аргумент φ = arg z. По сути, перед нами чисто мнимое число.

Теперь предлагаем ознакомиться с формулами, которые могут пригодиться при решении уравнений или неравенств с комплексными числами. Это формулы, где комплексное число выступает в роли аргумента тригонометрической функции, логарифмической функции или показательной функции.

📹 Видео

Системы комплексных уравненийСкачать

Системы комплексных уравнений

Комплексные корни квадратного уравненияСкачать

Комплексные корни квадратного уравнения

Система уравнений. Метод алгебраического сложенияСкачать

Система уравнений. Метод алгебраического сложения

9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравнений

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.

Математика | Система уравнений на желтую звездочку (feat Золотой Медалист по бегу)Скачать

Математика | Система уравнений на желтую звездочку (feat  Золотой Медалист по бегу)

Симметричные системы #1Скачать

Симметричные системы #1

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решений

Системы уравнений Тема3 С истемы ур-й в которых одно ур-е 1ой степени а другие 2ой и более высокой.Скачать

Системы уравнений Тема3 С истемы ур-й в которых одно ур-е 1ой степени а другие 2ой и более высокой.

Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Решение систем уравнений методом подстановки

Уравнение с комплексными числамиСкачать

Уравнение с комплексными числами

10 класс, 35 урок, Комплексные числа и квадратные уравненияСкачать

10 класс, 35 урок, Комплексные числа и квадратные уравнения

Система с тремя переменнымиСкачать

Система с тремя переменными

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.

Математика это не ИсламСкачать

Математика это не Ислам

Решение уравнений с комплексными числамиСкачать

Решение уравнений с комплексными числами

ФСР. Система однородных уравнений. Общее решениеСкачать

ФСР.  Система однородных уравнений.  Общее решение

Системы уравнений 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Системы уравнений 7-11 класс. Вебинар | Математика
Поделиться или сохранить к себе: