Система уравнений по законам кирхгофа в дифференциальной и символической форме (2 видео)

Составление системы уравнений по законам Кирхгофа и представление её в дифференциальной и символической формах

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине : « Электротехника и электроника »

тема: « Анализ электрической цепи синусоидального тока »

Содержание:

2. Расчётная часть

2.1 Составление системы уравнений по законам Кирхгофа и представление её в дифференциальной и символической формах

2.2 Расчёт токов в ветвях

2.3 Расчёт потенциалов точек цепи

2.4 Построение временных графиков мгновенных значений тока в одной из ветвей и напряжения между узлами электрической цепи

Задание

1) для заданной электрической схемы составить систему уравнений по законам Кирхгофа и записать её в двух формах:

а) в дифференциальной форме;

б) в символической форме;

2) рассчитать токи в ветвях, используя любой целесообразный для заданной схемы метод расчета;

3) рассчитать потенциалы точек схемы и построить векторную диаграмму;

4) записать уравнения для мгновенных значений тока в одной из ветвей и напряжения между узлами электрической цепи. Построить эти функции на одном временном графике.

е – источник переменной ЭДС

141В

-90˚

84,6В

60˚

80 Ом

60 Ом

40 мГн

10 мкФ

Введение

В настоящее время централизованное производство и распределение электрической энергии осуществляется на переменном токе. Переменный ток занял господствующее положение в промышленном приводе и электрическом освещении, в сельском хозяйстве и на транспорте, в технике связи и электротермии, а также в быту.

Переменными называют э.д.с., токи и напряжения изменяющиеся с течением времени. Они могут изменяться только по значению или только по направлению, а также по значению и направлению.

Цепи, в которых действует переменный ток — называют цепями переменного тока.

В электроэнергетике наибольшее применение получил переменный ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону.

Переменные электрические величины являются функциями времени, их значения в любой момент времени t называют мгновенными и обозначают строчными буквами. Например, выражение мгновенного значения синусоидального тока определяется тригонометрической функцией i=I sin( t+ ), единственной переменной в правой части, которой является время t. Амплитуда I равна максимальному значению тока. Аргумент синуса ( t+ ), измеряемый в радианах, определяет фазный угол синусоидальной функции тока в любой момент времени t и называется фазой, а величина , равная фазному углу в момент начала отсчёта времени (t=0), — начальной фазой. Величина определяет число радианов, на которое изменяется фаза колебаний за секунду, и называется угловой частотой.

Синусоидальные э.д.с., ток и напряжение являются периодическими функциями времени. Через промежуток времени Т, называемый периодом, фаза колебаний изменяется на угол 2 , и цикл колебаний повторяется снова: i(t)=i(t+T), следовательно, период и угловая частота связаны соотношением Т=2 . Длительность периода принято измерять в секундах. Величену, обратную периоду, называют частотой и обозначают f. Частота определяется количеством периодов в секунду: f=1/T и измеряется в герцах (Гц). Очевидно, что = 2 /T = 2 f.

Всё сказанное относительно тока справедливо также для синусоидально изменяющихся напряжений u(t) и э.д.с. e(t).

При совместном рассмотрении нескольких синусоидальных электрических величин одной частоты обычно интересуются разностью их фазовых углов, называемой углом сдвига фаз. Угол сдвига фаз двух синусоидальных функций определяют как разность их начальных фаз. Если синусоиды имеют одинаковые начальные фазы, то говорят о совпадении по фазе, если разность фаз равна , то говорят, что синусоиды противоположны по фазе. Фазовые соотношения имеют очень важное значение при анализе электрических цепей переменного тока. Угол сдвига фаз между током и напряжением участка цепи принято обозначать буквой и определять вычитанием начальные фазы тока из начальной фазы напряжения:

= —

Угол — величина алгебраическая. Если > , то >0, при этом говорят, что напряжение опережает ток по фазе или ток отстаёт по фазе от напряжения. В случае .

Содержание

Составим, на основании законов Кирхгофа, систему уравнений для расчета токов во всех ветвях цепи и запишем ее в дифференциальной и символической формах
Расчет электрической цепи по закону Кирхгофа
Законы Кирхгофа
Порядок составления уравнений но законам Кирхгофа
Пример задачи с решением 3.2.
📸 Видео

Видео:Как составить уравнения по законам Кирхгофа?Скачать

Составим, на основании законов Кирхгофа, систему уравнений для расчета токов во всех ветвях цепи и запишем ее в дифференциальной и символической формах

E1_m	ф1	Е1`_m	ф`1	E2_m	ф2	E`2_m	ф`2	E3_m	ф3	E`3_m	ф`3
В	град	В	град	В	град	В	град	В	град	В

В символической форме:

Подставив численные значения, получим:

Определим комплексы действующих значений токов, воспользовавшись символическим методом расчета. Запишем выражения для мгновенных значений токов.

Данная цепь является простой разветвленной, она может быть решена методом свертывания. Определим Z эквивалентное:

Подставив численные значения, получим:

;

Определим ток в неразветвленной части цепи.

Определим напряжение на зажимах а, в.

Определим токи в параллельных ветвях.

3) Составим баланс мощностей в комплексной форме, выполнив соответствующие вычисления.

Классический метод.

Определим эквивалентную проводимость параллельных ветвей.

Определим эквивалентные сопротивления ветви а,в.

Град

Определим эквивалентное сопротивление.

;

Определим ток в неразветвленной части ветви и угол между ЭДС E₃ и током I₃.

;

Определим напряжение на зажимах а b.

Определим токи в параллельных ветвях и углы ᵠ.

;

Рассчитаем погрешность при расчете активной мощности:

– в допустимых

Рассчитаем погрешность при расчете реактивной мощности:

– в допустимых пределах.

4)Построим на комплексной плоскости векторную диаграмму напряжений и токов.

В трехфазной системе нагрузка соединена в звезду с нейтральным проводом. Определить:

1. Фазные и линейные токи.

2. Угол сдвига фаз между током и напряжением в каждой фазе.

3. Активную, реактивную и полную мощность потребляемую системой.

При обрыве фазы А определить режимы в остальных двух фазах при наличие нейтрального провода и без него.

Для всех случаев построить векторные диаграммы.

U_Ф

R_Ф

X_L_Ф

Х_СФ

Объединение в одну цепь нескольких подобных по структуре цепей синусоидального тока одной частоты с независимыми источниками энергии широко применяются в технике. Объединяемые цепи синусоидального тока принято называть фазами, а всю объединенную систему цепей – многофазной системой. Для получения трехфазной системы необходимо определенным образом соединить фазы источника энергии и приемника. Возможны два способа соединения в трехфазной системе – соединение фаз источника и приемника звездой и треугольником.

Изобразим схему трехфазной системы объединенную в звезду.

Определяем фазные и линейные токи.

U_L= =381В
полное сопротивление в фазе: Z_Ф=

Z_Ф= =60 Ом

Видео:ТОЭ 32. Законы Кирхгофа в символической форме. Действия с комплексами.Скачать

Расчет электрической цепи по закону Кирхгофа

Содержание:

Законы Кирхгофа

Уравнения, описывающие поведение электрической цепи, составляют на основе законов Кирхгофа. Они определяют связь между токами и напряжениями элементов, образующих цепь. Уравнения, составленные согласно этим законам, называют уравнениями Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа определяет баланс токов в узлах электрической цепи.

Он формулируется следующим образом:

Алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю:

В уравнении (3.1) токи, направленные от узла, записывают с положительным знаком. Токи, направленные к узлу, записывают со знаком минус.

Система уравнений по первому закону Кирхгофа, записанная для всех узлов цепи, линейно зависима. В этом легко убедиться, сложив все уравнения. Поскольку ток каждой ветви входит в два уравнения с разными знаками, сумма тождественно равна нулю. Поэтому число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа равно , где — число узлов цепи.

Второй закон Кирхгофа устанавливает баланс напряжений в контуре цепи:

Алгебраическая сумма напряжений ветвей в контуре равна нулю:

Если напряжение ветви совпадает с направлением обхода контура, то напряжению приписывают знак плюс, если же нет — знак минус. Перенесем напряжения источников напряжения, равные ЭДС этих источников, в правую часть. Уравнение (3.2) примет вид

В соответствии с последним равенством алгебраическая сумма напряжений ветвей в контуре электрической цепи равна алгебраической сумме ЭДС источников.

Число независимых уравнений, записанных по второму закону Кирхгофа, равно числу независимых контуров. Число таких контуров определяется формулой , где — число ветвей.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Порядок составления уравнений но законам Кирхгофа

1. Необходимо сначала выбрать положительные направления токов и напряжений ветвей. Положительное направление тока показывают стрелкой на выводе элемента. Положительное направление напряжения показывают стрелкой, расположенной рядом с элементом. Полярности напряжений резисторов выбирают согласованными с направлениями токов. Направления токов источников напряжения выбирают совпадающими с направлениями ЭДС.

2. Записываем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов.

3. Выбираем направления обхода контуров и записываем уравнения по законам Кирхгофа. Сопротивление проводника, соединяющего элементы, очень мало по сравнению с сопротивлением резистора и игнорируется. Ячейки внутренней цепи удобно выбирать в качестве независимых цепей. Можно воспользоваться и другим способом: выбрать по порядку контуры, так, чтобы каждый следующий контур содержал, по меньшей мере, одну ветвь, не входящую в предыдущие контуры.

4. Решаем полученную систему уравнений и определяем токи и напряжения цепи.

5. После определения токов и напряжений необходимо выполнить проверку. Для этого вычисленные значения переменных подставляют в одно из уравнений, составленных по законам Кирхгофа.

При составлении уравнений в качестве неизвестных рассматривают либо токи, либо напряжения резистивных элементов.

В первом случае уравнения цепи составляют относительно неизвестных токов резистивных элементов и напряжений на источниках тока. Напряжения на резистивных элементах, входящие в уравнения по второму закону Кирхгофа, выражают через токи по закону Ома. Такой способ составления уравнений называют токов ветвей.

Число совместно решаемых уравнений в методе токов ветвей можно сократить, если контуры выбирать так, чтобы они не включали источники тока. В этом случае неизвестными будут только токи резистивных элементов, и по второму закону Кирхгофа достаточно составить уравнений, где — количество источников тока.

Во втором случае уравнения цепи составляются относительно напряжений резистивных элементов и токов источников напряжения. Токи резисторов представляют произведением проводимости на напряжение на резисторе. Этот способ составления уравнений называют методом напряжений ветвей.

В дальнейшем для решения задач мы будем использовать в основном метод токов ветвей.

Пример 3.1. Записать уравнения Кирхгофа для цепи, показанной на рис. 3.1.

Решение. Сначала выберем направления токов резистивных элементов и пронумеруем узлы. Неизвестными являются токи резистивных элементов . Поэтому необходимо составить пять уравнений. Цепь содержит четыре узла; это означает, что по первому закону Кирхгофа можно составить три уравнения. Число уравнений по второму закону Кирхгофа равно двум.

Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов 1, 2, 3. Контуры I и II выберем так, чтобы они не включали источник тока, иначе в системе уравнений появится дополнительная переменная — напряжение источника тока. Направления обхода контуров выберем совпадающими с направлением движения часовой стрелки. В результате получим систему из пяти уравнений с пятью неизвестными токами:

Узел 1: ;

Узел 2: ;

Узел З: ;

Контур I:

Контур II:

Для решения системы уравнений целесообразно использовать математические пакеты, например MathCAD или Matlab.

Напряжение на зажимах источника тока можно затем найти, записав уравнения для контуров, включающих или

Пример задачи с решением 3.2.

Рассчитать токи в цепи, изображенной на рис. 3.2. Номиналы элементов: ,

Решение. Сначала выберем направления токов резистивных элементов и пронумеруем узлы. В рассматриваемой схеме шесть неизвестных токов , следовательно, необходимо составить шесть независимых уравнений. Цепь содержит четыре узла; это означает, что по первому закону Кирхгофа можно составить три уравнения. Еще три уравнения составим по второму закону Кирхгофа. Наличие источника тока учитывалось при определении числа уравнений по второму закону Кирхгофа.

Составим уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов 1, 2 и 3. Уравнения по второму закону Кирхгофа запишем для контуров I, II, III. Направление обхода контуров выбираем по часовой стрелке.

В результате получим систему из шести уравнений с шестью неизвестными токами:

В матричной форме записи:

Решением системы уравнений являются следующие значения токов:

Знак минус в численных значениях токов означает, что направление токов при заданных условиях выбрано навстречу истинному.

На странице -> решение задач по электротехнике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретических основ электротехники (ТОЭ).

Услуги:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.