Система уравнений определена неопределена или противоречива

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Системы линейных уравнений

Видео:Исследование систем линейных уравнений на совместностьСкачать

Классификация систем линейных уравнений

Определение. Две системы называются эквивалентными, если решение первой является решением второй и наоборот.

Определение. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.

Определение. Система, имеющая единственное решение, называется определенной, а имеющая более одного решения – неопределенной.

Видео:Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравненийСкачать

Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем линейных уравнений на совместность. Первая часть.

Исследовать систему линейных агебраических уравнений (СЛАУ) на совместность означает выяснить, есть у этой системы решения, или же их нет. Ну и если решения есть, то указать сколько их.

Нам понадобятся сведения из темы «Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи». В частности, нужны такие понятия, как матрица системы и расширенная матрица системы, поскольку именно на них опирается формулировка теоремы Кронекера-Капелли. Как обычно, матрицу системы будем обозначать буквой $A$, а расширенную матрицу системы – буквой $widetilde$.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. $rang A=rangwidetilde$.

Следствие из теоремы Кронекера-Капелли

Заметьте, что сформулированная теорема и следствие из неё не указывают, как найти решение СЛАУ. С их помощью можно лишь выяснить, существуют эти решения или нет, а если существуют – то сколько.

Исследовать СЛАУ $ left <begin& -3x_1+9x_2-7x_3=17;\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. endright.$ на совместность. Если СЛАУ совместна, указать количество решений.

Чтобы выяснить наличие решений заданной СЛАУ, используем теорему Кронекера-Капелли. Нам понадобятся матрица системы $A$ и расширенная матрица системы $widetilde$, запишем их:

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Способ №1. Вычисление рангов по определению.

Согласно определению, ранг – это наивысший порядок миноров матрицы, среди которых есть хоть один, отличный от нуля. Обычно исследование начинают с миноров первого порядка, но здесь удобнее приступить сразу к вычислению минора третьего порядка матрицы $A$. Элементы минора третьего порядка находятся на пересечении трёх строк и трёх столбцов рассматриваемой матрицы. Так как матрица $A$ содержит всего 3 строки и 3 столбца, то минор третьего порядка матрицы $A$ – это определитель матрицы $A$, т.е. $Delta A$. Для вычисления определителя применим формулу №2 из темы «Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков»:

$$ Delta A=left| begin -3 & 9 & -7 \ -1 & 2 & -4 \ 4 & -2 & 19 end right|=-21. $$

Итак, есть минор третьего порядка матрицы $A$, который не равен нулю. Минор четвёртого порядка составить невозможно, так как для него требуется 4 строки и 4 столбца, а в матрице $A$ всего 3 строки и 3 столбца. Итак, наивысший порядок миноров матрицы $A$, среди которых есть хотя бы один не равный нулю, равен 3. Следовательно, $rang A=3$.

Задача решена. Какие недостатки и преимущества имеет данный способ? Для начала поговорим о плюсах. Во-первых, нам понадобилось найти всего один определитель. После этого мы сразу сделали вывод о количестве решений. Обычно в стандартных типовых расчётах даются системы уравнений, которые содержат три неизвестных и имеют единственное решение. Для таких систем данный метод очень даже удобен, ибо мы заранее знаем, что решение есть (иначе примера не было бы в типовом расчёте). Т.е. нам остаётся только показать наличие решения наиболее быстрым способом. Во-вторых, вычисленное значение определителя матрицы системы (т.е. $Delta A$) пригодится после: когда станем решать заданную систему методом Крамера или с помощью обратной матрицы.

Однако метод вычисления ранга по определению нежелательно применять, если матрица системы $A$ является прямоугольной. В этом случае лучше применить второй метод, о котором пойдёт речь ниже. Кроме того, если $Delta A=0$, то мы ничего не сможем сказать о количестве решений заданной неоднородной СЛАУ. Может, СЛАУ имеет бесконечное количество решений, а может – ни одного. Если $Delta A=0$, то требуется дополнительное исследование, которое зачастую является громоздким.

Подводя итог сказанному, отмечу, что первый способ хорош для тех СЛАУ, у которых матрица системы квадратна. При этом сама СЛАУ содержит три или четыре неизвестных и взята из стандартных типовых расчетов или контрольных работ.

Видео:Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Способ №2. Вычисление ранга методом элементарных преобразований.

Какие преимущества второго способа? Главное преимущество – это его универсальность. Нам совершенно неважно, является ли матрица системы квадратной или нет. Кроме того, мы фактически провели преобразования прямого хода метода Гаусса. Осталось лишь пару действий, и мы смогли бы получить решение данной СЛАУ. Честно говоря, второй способ нравится мне более первого, но выбор – это дело вкуса.

Ответ: Заданная СЛАУ совместна и определена.

$$ left( begin 1 & -1 & 2 & -1\ -1 & 2 & -3 & 3 \ 2 & -3 & 5 & -4 \ 3 & -2 & 5 & 1 \ 2 & -1 & 3 & 2 end right) begin phantom\r_2+r_1\r_3-2r_1\ r_4-3r_1\r_5-2r_1endrightarrow left( begin 1 & -1 & 2 & -1\ 0 & 1 & -1 & 2 \ 0 & -1 & 1 & -2 \ 0 & 1 & -1 & 4 \ 0 & 1 & -1 & 4 end right) begin phantom\phantom\r_3-r_2\ r_4-r_2\r_5+r_2endrightarrow\ $$ $$ rightarrowleft( begin 1 & -1 & 2 & -1\ 0 & 1 & -1 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 0 end right) begin phantom\phantom\phantom\ r_4-r_3\phantomendrightarrow left( begin 1 & -1 & 2 & -1\ 0 & 1 & -1 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 end right) $$

Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк, поэтому $rangwidetilde=3$. Матрица $A$ (до черты) тоже приведена к ступенчатому виду, и ранг её равен 2, $rang=2$.

Ответ: система несовместна.

Приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

$$ left( begin 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 end right) overset<r_1leftrightarrow> $$ $$ rightarrowleft( begin 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 end right) begin phantom\ r_2-2r_1 \r_3+3r_1 \ r_4+5r_1 \ r_5-7r_1 end rightarrow left( begin 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\ 0 & 3 & -2 & 0 & -1 & -13\ 0 & 7 & -1 & -5 & 6 & -5 \ 0 & -3 & 2 & 0 & 1 & 13 end right) begin phantom\ phantom\4r_3+3r_2 \ 4r_4-7r_2 \ 4r_5+3r_2 end rightarrow $$ $$ rightarrowleft( begin 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \ 0 & 0 & 11 & -15 & 25 & 76 end right) begin phantom\ phantom\phantom \ r_4-r_3 \ r_5+r_2 end rightarrow left( begin 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end right) $$

Мы привели расширенную матрицу системы и саму матрицу системы к ступенчатому виду. Ранг расширенной матрицы системы равен трём, ранг матрицы системы также равен трём. Так как система содержит $n=5$ неизвестных, т.е. $rangwidetilde=ranglt$, то согласно пункту №2 следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Ответ: система является неопределённой.

Во второй части мы разберём примеры, которые нередко включают в типовые расчёты или контрольные работы по высшей математике: исследование на совместность и решение СЛАУ в зависимости от значений параметров, входящих в неё.

Видео:Система уравнений. Метод алгебраического сложенияСкачать

Исследование СЛАУ. Общие сведения

В данной статье мы расскажем о методах, видах, условиях и определениях исследований решений систем линейных уравнений, что такое метод Кронекера-Капели, а также приведем примеры.

Видео:Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать

Общие сведения (определения, условия, методы, виды)

Системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными могут иметь:

• единственное решение;
• бесконечное множество решение (неопределенные СЛАУ);
• ни одного решения (несовместные СЛАУ).

Пример 1

Система x + y + z = 1 2 x + 2 y + 2 z = 3 не имеет решений, поэтому она несовместна.

Система x + y = 1 2 x + 7 y = — 3 имеет единственное решение x = 2 ; y = 1 .

Система x + y = 1 2 x + 2 y = 2 3 x + 3 y = 3 имеет бесконечное множество решений x = t y = 1 — t при — ∞ t ∞ .

Перед решением системы уравнений необходимо исследовать систему, т.е. ответить на следующие вопросы:

• Совместна ли система?
• Если система совместна, то, какое количество решений она имеет — одно или несколько?
• Как найти все решения?

Если система малоразмерна при m = n , то ответить на поставленные вопросы можно при помощи метода Крамера:

• если основной определитель системы, то система совместна и имеет единственное решение, которое вычисляется методом Крамера;
• если, и один из вспомогательных определителей, то система не является совместной, т.е. не имеет решений;
• если и все, и один из коэффициентов СЛАУ, то система не является определенной и имеет бесконечное множество решений.

Видео:13 Исследование систем линейных уравненийСкачать

Ранг матрицы и его свойства

Бывают случаи, которые выбиваются из представленных вариантов решения СЛАУ, например, линейные уравнения с большим количеством уравнений и неизвестных.

Для такого варианта решения существует ранг матрицы, который представляет собой алгоритм действий в случае решения системы матрицы, когда

В математике выделяют следующие подходы к определению ранга матрицы:

• при помощи понятия линейной зависимости/независимости строк/столбцов матрицы. Ранг равен максимальному количеству независимых строк (столбцов) матрицы
• при помощи понятия минора матрицы в качестве наивысшего порядка минора, который отличается от нуля. Минор матрицы порядка k — определитель k-го порядка, составленный из элементов, которые стоят на пересечении вычеркиваемых k-строк и k-столбцов матрицы;
• при помощи метода Гаусса. По завершении прямого хода ранг матрицы равняется количеству ненулевых строк.

Обозначение ранга матрицы: r ( A ) , r g ( A ) , r A .

Свойства ранга матрицы:

1. квадратная невырожденная матрица обладает рангом, который отличается от нуля;
2. если транспонировать матрицу, то ранг матрицы не изменяется;
3. если поменять местами 2 параллельные строки или 2 параллельных столбца, ранг матрицы не изменяется;
4. при удалении нулевого столбца или строки ранг матрицы не изменяется;
5. ранг матрицы не изменяется, если удалить строку или столбец, которые являются линейной комбинацией других строк;
6. при умножении все элементов строки/столбца на число k н е р а в н о н у л ю ранг матрицы не изменяется;
7. ранг матрицы не больше меньшего из ее размеров: r ( А ) ≤ m i n ( m ; n ) ;
8. когда все элементы матрицы равны нулю, то только тогда r ( A ) = 0 .

Пример 2

А 1 = 1 1 1 2 2 2 3 3 3 , B 1 = 1 0 0 0 0 0

r ( A 1 ) = 1 , r ( B 1 ) = 1

А 2 = 1 2 3 4 0 5 6 7 0 0 0 0 ; В 2 = 1 1 3 1 2 1 4 3 1 2 5 0 5 4 13 6

🌟 Видео

Неоднородная система линейных уравненийСкачать

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

решаем систему уравнений методом подстановкиСкачать

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Система уравнений. Тема1 Система линейных уравнений.Скачать

Неоднородные системы линейных уравненийСкачать

Фундаментальная система решений для однородной системы линейных уравненийСкачать

Матричный метод решения систем уравненийСкачать

14. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений ( бесконечное множество решений ). Часть 3Скачать

Решение системы линейных однородных уравнений (№726)Скачать