Система уравнений используемая при определении внутренних силовых факторов в сечении (6 видео)

Техническая механика

Содержание

Сопротивление материалов
Метод сечений. Напряжения
Сущность метода сечений
Напряжение
Метод сечений и внутренние силовые факторы (ВСФ)
iSopromat.ru
Правила знаков для внутренних силовых факторов
Эпюры внутренних силовых факторов
Метод сечений. Определение внутренних силовых факторов
📽️ Видео

Сопротивление материалов

Видео:БАЛКА - 90 СТУДЕНТОВ САМОСТОЯТЕЛЬНО СТРОЯТ ЭПЮРЫ после просмотра этого видео!Скачать

Метод сечений. Напряжения

Сущность метода сечений

Для расчетов элементов конструкции на прочность необходимо знать внутренние силы упругости, возникающие в результате приложения внешних сил в разных точках и частях конструкции.
Но как заглянуть внутрь материального тела, чтобы выяснить, какие же силы возникают между его частицами или отдельными частями, при приложении нагрузок? Представление о внутренних усилиях, возникающих в теле или элементе конструкции можно получить лишь с помощью воображения и аксиом статики, поясняющих условия равновесного состояния материальных тел.
Способы определения этих внутренних сил с помощью науки сопротивление материалов включают такой прием, как метод сечений .

Метод сечений заключается в том, что тело мысленно рассекается плоскостью на две части, любая из которых отбрасывается и взамен ее к сечению оставшейся части прикладываются внутренние силы, действовавшие на нее до разреза со стороны отброшенной части. Оставленная часть рассматривается как самостоятельное тело, находящееся в равновесии под действием приложенных к сечению внешних и внутренних сил (третий закон Ньютона – действие равно противодействию).
При применении этого метода выгоднее отбрасывать ту часть элемента конструкции (тела), для которой проще составить уравнение равновесия. Таким образом, появляется возможность определить внутренние силовые факторы в сечении, благодаря которым оставшаяся часть тела находится в равновесии (прием, часто применяемый в Статике).

Применяя к оставленной части тела условия равновесия, невозможно найти закон распределения внутренних сил по сечению, но можно определить статические эквиваленты этих сил (равнодействующие силовые факторы).
Так как основным расчетным объектом в сопротивлении материалов является брус, рассмотрим, какие статические эквиваленты внутренних сил проявляются в поперечном сечении бруса.

Рассечем брус (рис. 1) поперечным сечением а-а и рассмотрим равновесие его левой части.
Если внешние силы, действующие на брус, лежат в одной плоскости, то в общем случае статическим эквивалентом внутренних сил, действующих в сечении а-а , будут главный вектор F_гл , приложенный в центре тяжести сечения, и главный момент М_гл = М_и , уравновешивающие плоскую систему внешних сил, приложенных к оставленной части бруса.

Разложим главный вектор на составляющую N , направленную вдоль оси бруса, и составляющую Q , перпендикулярную этой оси и лежащую в плоскости сечения. Эти составляющие главного вектора и главный момент называют внутренними силовыми факторами , действующими в сечении бруса. Составляющую N называют продольной силой , составляющую Q – поперечной силой , пару сил с моментом М_и – изгибающим моментом .

Для определения указанных трех внутренних силовых факторов применим известные из Статики уравнения равновесия оставленной части бруса:

Σ Z = 0; Σ Y = 0; Σ M = 0; (ось z всегда направляем по оси бруса).

Если внешние силы, действующие на брус, не лежат в одной плоскости, т. е. представляют собой пространственную систему сил, то в общем случае в поперечном сечении бруса возникают шесть внутренних силовых факторов (рис. 2) , для определения которых применяют известные из Статики шесть уравнений равновесия оставленной части бруса:

Σ X = 0; Σ Y = 0; Σ Z = 0;
Σ M_x = 0; Σ M_y = 0; Σ M_z = 0 .

Эти силовые факторы в общем случае носят следующие названия: N – продольная сила, Q_x , Q_y – поперечные силы, М_кр – крутящий момент, М_их и М_иу – изгибающие моменты.

При разных деформациях в поперечном сечении бруса возникают различные силовые факторы.
Рассмотрим частные случаи:

1. В сечении возникает только продольная сила N . Это деформация растяжения (если N направлена от сечения) или сжатия (если N направлена к сечению).

2. В сечении возникает только поперечная сила Q . Это деформация сдвига .

3. В сечении возникает только крутящий момент М_кр . Это деформация кручения .

4. В сечении возникает только изгибающий момент М_и . Это деформация чистого изгиба . Если в сечении одновременно возникает изгибающий момент М_и и поперечная сила Q , то изгиб называют поперечным .

5. Если в сечении одновременно возникает несколько внутренних силовых факторов (например, изгибающий момент и продольная сила), то имеет место сочетание основных деформаций (сложное сопротивление).

Напряжение

Наряду с понятием деформации одним из основных понятий сопротивления материалов является напряжение (обозначается р ).
Напряжение характеризует интенсивность внутренних сил, действующих в сечении, и определяется, как отношение величины внутренней силы к площади сечения.
Напряжение является величиной векторной.

Вектор напряжения можно разложить на две составляющие (рис. 3) – одну вдоль оси сечения, вторую – в плоскости сечения (перпендикулярно оси). Эти составляющие носят название нормальное напряжение (обозначается σ) и касательное напряжение (обозначается τ ).
Поскольку нормальные и касательные напряжения расположены под прямым углом друг к другу, модуль полного напряжения p можно определить по теореме Пифагора:

Единица измерения напряжения – паскаль (Па).
1 Па = Н / м 2 . Поскольку эта единица очень мала, в расчетах часто применяют более крупную кратную единицу – мегапаскаль (МПа), который равен миллиону паскалей (10 6 Па).

Объяснить сущность напряжения можно на таком простом примере.
В соответствии с гипотезой об отсутствии первоначальных внутренних усилий, считается, что когда к телу не приложены внешние нагрузки его частицы не взаимодействуют друг с другом, т. е. абсолютно равнодушны к «соседкам» справа, слева и т. п. Но стоит приложить к телу внешнюю нагрузку, его частицы начинают лихорадочно цепляться друг за друга, пытаясь удержаться в «кучке». Если нагрузка растягивает тело, его частицы держатся друг за дружку, не давая разорвать тело, если нагрузка сжимающая — частицы тела стараются удержать «соседок» на прежнем расстоянии.
Совокупность всех этих усилий внутренних частиц, противостоящих внешним раздражителям-нагрузкам, и является напряжением.
Задачи сопромата чаще всего сводятся к тому, чтобы определить предельные величины нагрузок, способных разорвать связи между частицами, из которых состоит тело или, по известным предельным напряжениям определить, какие нагрузки способно выдержать тело не разрушаясь, не деформируясь и т. д.

Нетрудно заметить, что напряжение измеряется в тех же единицах, что и давление, поэтому можно провести некоторую аналогию между этими физическими понятиями. Принципиальная разница заключается в том, что давление — внешний силовой фактор (т. е. воздействующий на тело или его части извне), а напряжение — внутренний силовой фактор, характеризующий степень взаимодействия (взаимосвязи) частиц тела между собой.

Видео:Сопротивление материалов. Лекция: метод сеченийСкачать

Метод сечений и внутренние силовые факторы (ВСФ)

Прочность твердого тела обусловлена силами сцепления между отдельными его частицами (атомами, молекулами и т. п.). В случае нагружения твердого тела внешней нагрузкой (активными и реактивными силами) внутренние силы сцепления изменяются. При этом появляются дополнительные внутренние силы, сопровождающие деформацию тела. Именно эти дополнительные внутренние силы и являются предметом изучения в курсе сопротивления материалов. По мере возрастания внешней нагрузки увеличиваются и внутренние силы, но лишь до определенного предела, при превышении которого наступает разрушение.

Для решения задач сопротивления материалов очень важно уметь определять внутренние силы и деформации стержня. При определении внутренних сил в каком-либо сечении стержня используют метод сечений.

Рассмотрим на конкретном примере сущность метода сечений. Возьмем стержень, находящийся в состоянии равновесия под действием сил Ft, F₂, F_> и F₄ (рис. 3,а). Для определения внутренних сил, действующих в произвольном сечении А, мысленно рассечем стержень и отбросим одну из двух полученных частей, например, правую. Тогда на оставшуюся левую часть стержня будут действовать внешние силы F и F₂.

Рис. 3. Метод сечений: а) стержень, рассеченный плоскостью;

б) левая отсеченная часть стержня

Для того чтобы эта часть стержня оставалась в равновесии, следует действие отброшенной правой части стержня на оставшуюся левую часть заменить внутренними силами, приложенными по всему сечению (рис. 3, б).

Являясь внутренними силами для целого стержня, эти силы играют роль внешних сил для его левой части.

NB: в дальнейшем силы, возникающие в сечении, будем называть внутренними и в то же время на рисунках изображать их в виде внешних сил.

Распределенные по сечению внутренние силы образуют пространственную систему сил и приводятся к статически эквивалентным им обобщенным усилиям — главному вектору и главному моменту М_гл (рис. 4, а).

В сопротивлении материалов, характеризуя усилия в стержне, обычно рассматривают поперечные сечения, а обобщенные усилия представляют в главной координатной системе (при этом ось z направляют по нормали к сечению, а оси х и у располагают в плоскости сечения).

Проецируя главный вектор /?_г, на оси координат, получаем три его составляющие: N_y Q_y и Q_x. Проекциями главного момента на координатные оси являются его составляющие: моменты М_х, М_у и Г, каждый из которых стремится повернуть отсеченную часть стержня вокруг одной из координатных осей. Эти составляющие главного вектора и главного момента на координатные оси называют внутренними силовыми факторами (рис. 4, б).

Рис. 4. Метод сечений: а) приведение системы внутренних сил в сечении к главному вектору и главному моменту; б) разложение главного вектора и главного момента на координатные оси

Внутренними силовыми факторами называются проекции главного вектора и главного момента всех внутренних сил, возникающих в поперечном сечении стержня, на главные координаты оси, помещаемые обычно в центр тяжести сечения.

В общем случае нагружения стержня в его поперечном сечении могут возникать шесть внутренних силовых факторов, которые имеют следующие названия:

S N — продольная (нормальная) сила;

S Т — крутящий момент.

При известных внешних силах все шесть внутренних силовых факторов могут быть определены из шести уравнений статики (уравнений равновесия), которые составляются для отсеченной части стержня (правой или левой):

NB: в приведенных условиях равновесия отсеченной части стержня символами F_x omc , F_y omc и F_z ome обозначены проекции внешних сил на соответствующие координатные оси; а символом F° mc — внешние силы.

Рассмотренный метод сечений позволяет перевести внутренние силовые факторы в категорию внешних сил и, подчинив условиям равновесия, определить их величины и направления.

Сущность метода сечений заключается в следующих четырех действиях:

1. Рассечь мысленно стержень плоскостью, перпендикулярной его оси в том месте, где требуется найти внутренние силовые факторы (см. рис. 3, а).
2. Отбросить одну из частей стержня (правую или левую).
3. Заменить действие отброшенной части стержня на оставленную часть искомыми внутренними силовыми факторами (см. рис. 4, б). Равновесие оставленной части не нарушится лишь в том случае, если к ней приложить ВСФ, заменяющие действие отброшенной части. Для оставленной части они будут играть роль внешних сил (см. рис. 3, б).
4. Уравновесить оставленную часть стержня и из условий равновесия оставленной части стержня найти величины и направления внутренних силовых факторов.

От степени усвоения метода сечений зависит успешное изучение и понимание основных вопросов сопротивления материалов. Добиться этого несложно, если при применении метода сечений каждый раз последовательно использовать все четыре указанные операции. При этом следует помнить, что пропуск какой-либо из этих операций неизбежно приведет к ошибкам и недопониманию изучаемого вопроса.

При применении метода сечений должны быть предварительно определены все внешние силы и моменты, приложенные к отсеченной части стержня, в том числе и опорные реакции. Оставленная часть стержня должна рассматриваться как свободное тело, находящееся под действием приложенных к нему внешних сил, моментов и внутренних силовых факторов, не изменяющее своего положения в пространстве (опоры отсутствуют, так как их действия заменены опорными реакциями).

Видео:СМ -1.7 Метод сечений, внутренние силовые факторы (ВСФ)Скачать

iSopromat.ru

Внутренние силовые факторы (усилия) возникают в результате деформации бруса, когда под действием внешних нагрузок происходит изменение взаимного расположения элементарных частиц тела.

По своей природе внутренние силовые факторы представляют собой взаимодействие частиц тела, обеспечивающее его целостность и совместность деформаций. Для определения этих усилий применяют метод сечений:

надо мысленно рассечь брус, находящийся в равновесии, на две части

и рассмотреть равновесие одной из них.

Действие усилий отброшенной части бруса заменим уравновешивающими рассматриваемую часть внутренней силой R и внутренним моментом M.

Для упрощения расчетов силу R и момент M принято раскладывать на составляющие усилия относительно осей координат x, y и z.

Таким образом, под действием внешних нагрузок в поперечном сечении бруса могут возникать следующие внутренние силовые факторы:

N_z = N — продольная растягивающая (сжимающая) сила;
M_z = T — крутящий (скручивающий) момент;
Q_x (Q_y) = Q — поперечные силы;
M_x (M_y) = M — изгибающие моменты.

Каждый внутренний силовой фактор определяется из соответствующего уравнения равновесия оставшейся после рассечения бруса части (уравнения статики):

Наш видеоурок построения эпюр внутренних силовых факторов для балки:

Видео:Основы Сопромата. Внутренние силы. Эпюры внутренних усилий для пространственного стержняСкачать

Правила знаков для внутренних силовых факторов

Для определения знаков внутренних усилий, возникающих в брусе при различных способах его нагружения, приняты следующие правила:

при растяжении/сжатии — положительными являются растягивающие усилия;
при кручении — положительны моменты, стремящиеся повернуть рассматриваемую часть вала против хода часовой стрелки;
при изгибе — положительны моменты сжимающие верхний слой балки.

Видео:Построение эпюр в балке ( Q и M ). СопроматСкачать

Эпюры внутренних силовых факторов

В инженерной практике особое место занимает умение ясно представить взаимодействие усилий в конструкции, а также связь между внешними и внутренними силами в элементах конструкции, для этого графически изображают внутренние силовые факторы в функции осевой координаты и называют эти графики — эпюрами.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Видео:РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ. Построение эпюр. Сопромат.Скачать

Метод сечений. Определение внутренних силовых факторов

С целью оценки работы конструкции (элемента конструкции) необходимо знать величину и характер распределения внутренних сил в любом сечении конструкции (элемента конструкции).

Для определения величины и направления внутренних сил используют метод сечений. Порядок выполнения операций при использовании метода сечений можно представить с помощью аббревиатуры РОЗУ: рассекаем, отбрасываем, заменяем, уравновешиваем.

Рассмотрим стержень, который находится в равновесии под действием системы внешних сил (рис. 1) Используя метод сечений, определим, например, внутренние силы в сечении I-I.

• Рассекаем мысленно стержень плоскостью, перпендикулярной оси стержня, по сечению I-I на две части (рис. 2).
• Отбрасываем одну из частей, например левую (рис. 2а).
• Заменяем действие отброшенной левой части на оставшуюся правую силами реакций (реакциями) Ri, так как убрали специфические связи (рис. 26). Эти силы реакций и представляют внутренние силы, приложенные в каждой точке поперечного сечения. По отношению к оставшейся части стержня внутренние силы являются внешними. Для всего стержня в целом они являются внутренними.
• Уравновешиваем, используя уравнения статики, рассматриваем равновесие оставшейся правой части.

Величина и направление внутренней силы в каждой точке сечения не известны. Поэтому из уравнений равновесия правой части выявить величину и направление каждой внутренней силы нельзя. Можно определить только их равнодействующие, если известны внешние силы, действующие на оставшуюся правую часть стержня.

Введем прямоугольную систему координат. Начало координат О выберем в центре тяжести поперечного сечения. Ось z направим по внешней нормали к сечению. Оси х и у, расположенные в плоскости сечения, совпадают с главными центральными осями поперечного сечения. Используя положения статики, приведем систему внутренних сил к центру тяжести сечения. Получим главный вектор R и главный момент М всех внутренних сил (рис. 3). (Для деформируемого тела эта операция, строго говоря, является незаконной. Она справедлива только для абсолютно твердого тела).

Главный вектор и главный момент разложим на составляющие по осям координат (см. рис. 3). Шесть составляющих: три силы и три момента называют внутренними силовыми факторами (внутренними усилиями). Для сил и моментов приняты следующие обозначения и названия: N — продольная (нормальная) ста; Q_x и Q_y — поперечные силы; М_х и М_у — изгибающие моменты; М_г = Мк — крутящий момент.

Продольная сила N — сумма проекций всех внутренних сил, действующих в данном поперечном сечении, на нормаль к сечению (или на ось стержня).

Поперечная сила Q_x (Q_y) — сумма проекций всех внутренних сил в данном поперечном сечении на главную центральную ось х(у), лежащую в плоскости сечения, соответственно.

Изгибающий момент М_х (М_у) — сумма моментов всех внутренних сш в данном поперечном сечении относительно главной центральной оси х(у), лежащей в плоскости сечения, соответственно.

Крутящий момент М_г = Л4 — сумма моментов всех внутренних сш в данном поперечном сечении относительно оси стержня.

Совокупность величин N, Q_x, Q_y, М_х, М_у, Мк, приложенных в сечении к правой части стержня, заменяет действие удаленной левой части стержня на правую (и наоборот).

Из условия, что стержень находился в равновесии под действием системы внешних сил, следует, что правая часть стержня также будет находиться в равновесии под действием приложенных к ней внешних сил и внутренних силовых факторов.

При практическом определении внутренних силовых факторов, возникающих в конкретном сечении, поступают следующим образом. Составляют суммы проекций на оси координат х, у, z и суммы моментов относительно осей х, у, z внешних сил и внутренних силовых факторов, приложенных к правой части стержня. В этом случае каждое уравнение равновесия содержит одну неизвестную величину.

Следовательно, продольная сила N численно равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, приложенных к правой части стержня, на ось стержня.

Поперечная сила Q_x (Q_y), численно равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, приложенных к правой части стержня, на ось х(у), соответственно.

Крутящий момент Мк численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, приложенных к правой части стержня, относительно оси стержня.

Изгибающий момент М_х <Му)численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, приложенных к правой части стержня, относительно оси х(у), соответственно.

Если рассматривается левая часть стержня, то при определении внутренних силовых факторов учитывают внешние силы, приложенные к левой части стержня. В соответствии с третьим законом Ньютона, внутренние силовые факторы для левой и правой частей стержня равны по величине и противоположны по направлению. Поэтому при определении величины и направления внутренних силовых факторов целесообразно рассматривать ту часть стержня, для которой уравнения равновесия записываются проще.