Система уравнений для параболы мнк

Пример №1 . Функция задана таблицей

Применяя метод наименьших квадратов, приблизить ее многочленами 1-й и 2-й степени. Для каждого приближения определить величину среднеквадратичной погрешности, построить график.

Рекомендации к решению . На первом шаге в калькуляторе необходимо выбрать Вид сглаживани: по прямой . Чтобы получить приближение 2-й степени необходимо выбрать Вид сглаживани: по параболе .

Пример №2 . По 10 парам наблюдений получены следующие результаты: ∑x_i = 100; ∑y_i = 200; ∑x_iy_i = 21000; ∑y_i 2 = 12000; ∑y_i 2 = 45000. По МНК оцените коэффициенты линейных уравнений регрессии Y на X и X на Y . Оцените коэффициент корреляции и детерминации. Проинтерпретируйте результаты.
Решение.

Уравнение регрессии X на Y: y = a + bx
Найдем средние значения.
x – = 100/10 = 10; y – = 200/10 = 20; xy – = 21000/10 = 2100;
b = (2100-10×20)/(12000/10-10 2 ) = 1.727
a = 20 – 1.727×10 = 2.727
y = 2.727 + 1.727x

Уравнение регрессии Y на X: x = a + by = (y-2.727)/1.727 = 0,579x – 1.579
Дисперсии
σ_x 2 = 12000/10 – 10 2 = 1100
σ_y 2 = 45000/10 – 20 2 = 4100
Среднеквадратические отклонения
σ_x = (1100) 1/2 = 33.17
σ_y = (4100) 1/2 = 64.03

Коэффициент корреляции r_xy = b σ_x/σ_y = 1.727×33.17/64.03 = 0.895
Коэффициент детерминации: R 2 = 0,895 2 = 0.8. Следовательно, в 80% случаев изменения х приводят к изменению y . Другими словами, точность подбора уравнения регрессии — высокая.

Пример №3 . В задачах результаты измерений величин x и y даются таблицей. Предполагая, что между переменными x и y существует линейная функциональная зависимость y = ax + b, найти, пользуясь способом наименьших квадратов эту функцию. Вычислить с помощью полученной формулы приближенные значения y при x = 2.5 и x=6.

Видео:Всё о квадратичной функции. Парабола | Математика TutorOnlineСкачать

Сглаживание ряда методом наименьших квадратов

Решение.
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов. Линейное уравнение тренда имеет вид y = bt + a
Система уравнений МНК:
a₀n + a₁∑t = ∑y
a₀∑t + a₁∑t 2 = ∑y•t

Для наших данных система уравнений имеет вид:
9a₀ + 45a₁ = 524.9
45a₀ + 285a₁ = 2610.4
Из первого уравнения выражаем а₀ и подставим во второе уравнение
Получаем a₀ = -0.24, a₁ = 59.5
Уравнение тренда:
y = -0.24 t + 59.5
Эмпирические коэффициенты тренда a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов β_i, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.
Коэффициент тренда b = -0.24 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с изменением периода времени t на единицу его измерения. В данном примере с увеличением t на 1 единицу, y изменится в среднем на -0.24.
Ошибка аппроксимации.
Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения тренда к исходным данным.

Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве тренда.
Однофакторный дисперсионный анализ.
Средние значения



Дисперсия


Среднеквадратическое отклонение


Коэффициент эластичности.
Коэффициент эластичности представляет собой показатель силы связи фактора t с результатом у, показывающий, на сколько процентов изменится значение у при изменении значения фактора на 1%.


Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении t на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами — влияние t на Y не существенно.
Эмпирическое корреляционное отношение.
Эмпирическое корреляционное отношение вычисляется для всех форм связи и служит для измерение тесноты зависимости. Изменяется в пределах [0;1].

где ( y -y_t)² = 4.4-1.08 = 3.31
В отличие от линейного коэффициента корреляции он характеризует тесноту нелинейной связи и не характеризует ее направление. Изменяется в пределах [0;1].
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0.1 2(y-y(t)) 2(t-t_p) 2(y-y(t)) : y158.859.260.230.21160.00786258.759.030.140.1190.0055735958.790.460.043140.0035245958.560.460.210.0075558.858.320.230.2300.00813658.358.090.00040.045210.00365757.957.850.180.002240.000825857.557.620.680.013790.00204956.957.382.020.23160.0084745524.9524.94.41.08600.0476

Интервальный прогноз.
Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.

m = 1 — количество влияющих факторов в уравнении тренда.
U_y=y_n+L±K
где
L — период упреждения; у_n+L — точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n — количество наблюдений во временном ряду; Sy — стандартная ошибка прогнозируемого показателя; T_табл — табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости α и для числа степеней свободы, равного n-2.
По таблице Стьюдента находим Tтабл
T_табл (n-m-1;α/2) = (7;0.025) = 2.365
Точечный прогноз, t = 10: y(10) = -0.24*10 + 59.5 = 57.15

57.15 — 1.08 = 56.07 ; 57.15 + 1.08 = 58.23
Интервальный прогноз:
t = 10: (56.07;58.23)
Точечный прогноз, t = 11: y(11) = -0.24*11 + 59.5 = 56.91

56.91 — 1.14 = 55.77 ; 56.91 + 1.14 = 58.05
Интервальный прогноз:
t = 11: (55.77;58.05)

2. Сглаживаем ряд методом скользящей средней. Одним из эмпирических методов является метод скользящей средней. Этот метод состоит в замене абсолютных уровней ряда динамики их средними арифметическими значениями за определенные интервалы. Выбираются эти интервалы способом скольжения: постепенно исключаются из интервала первые уровни и включаются последующие.

Стандартная ошибка (погрешность) рассчитывается по формуле:

где i = (t-m-1, t)

3. Построим прогноз численности с использованием экспоненциального сглаживания. Важным методом стохастических прогнозов является метод экспоненциального сглаживания. Этот метод заключается в том, что ряд динамики сглаживается с помощью скользящей средней, в которой веса подчиняются экспоненциальному закону.
Эту среднюю называют экспоненциальной средней и обозначают S_t.
Она является характеристикой последних значений ряда динамики, которым присваивается наибольший вес.
Экспоненциальная средняя вычисляется по рекуррентной формуле:
S_t = α*Y_t + (1- α)S_t-1
где S_t — значение экспоненциальной средней в момент t;
S_t-1 — значение экспоненциальной средней в момент (t = 1);
Что касается начального параметра S₀, то в задачах его берут или равным значению первого уровня ряда у₁, или равным средней арифметической нескольких первых членов ряда.
Y_t — значение экспоненциального процесса в момент t;
α — вес t-ого значения ряда динамики (или параметр сглаживания).
Последовательное применение формулы дает возможность вычислить экспоненциальную среднюю через значения всех уровней данного ряда динамики.
Наиболее важной характеристикой в этой модели является α, по величине которой практически и осуществляется прогноз. Чем значение этого параметра ближе к 1, тем больше при прогнозе учитывается влияние последних уровней ряда динамики.
Если α близко к 0, то веса, по которым взвешиваются уровни ряда динамики убывают медленно, т.е. при прогнозе учитываются все прошлые уровни ряда.
В специальной литературе отмечается, что обычно на практике значение α находится в пределах от 0,1 до 0,3. Значение 0,5 почти никогда не превышается.
Экспоненциальное сглаживание применимо, прежде всего, при постоянном объеме потребления (α = 0,1 — 0,3). При более высоких значениях (0,3 — 0,5) метод подходит при изменении структуры потребления, например, с учетом сезонных колебаний.
В качестве S₀ берем первое значение ряда, S₀ = y₁ = 58.8

Прогнозирование данных с использованием экспоненциального сглаживания.
Методы прогнозирования под названием «сглаживание» учитывают эффекты выброса функции намного лучше, чем способы, использующие регрессивный анализ.
Базовое уравнение имеет следующий вид:
F(t+1) = F(t)(1 — α) + αY(t)
F(t) – это прогноз, сделанный в момент времени t; F(t+1) отражает прогноз во временной период, следующий непосредственно за моментом времени t
Стандартная ошибка (погрешность) рассчитывается по формуле:

где i = (t — 2, t)

Пример . Методом наименьших квадратов найти функции вида y=ax+b , y=ax²+bx+c , аппроксимирующие экспериментальную функцию y=f(x) . В обоих случаях найти суммы квадратов невязок ∑b_i². В декартовой системе координат построить экспериментальные точки и графики найденных функций y=ax+b,y=ax^2+bx+c.
Пример №5
Пример №6

Пример №3 . Функция y=y(x) задана таблицей своих значений:
x: -2 -1 0 1 2
y: -0,8 -1,6 -1,3 0,4 3,2
Применяя метод наименьших квадратов, приблизить функцию многочленами 1-ой и 2-ой степеней. Для каждого приближения определить величину среднеквадратичной погрешности. Построить точечный график функции и графики многочленов.

Видео:ПРОСТЕЙШИЙ метод решения систем квадратных неравенствСкачать

Метод наименьших квадратов

Начнем статью сразу с примера. У нас есть некие экспериментальные данные о значениях двух переменных – x и y . Занесем их в таблицу.

После выравнивания получим функцию следующего вида: g ( x ) = x + 1 3 + 1 .

Мы можем аппроксимировать эти данные с помощью линейной зависимости y = a x + b , вычислив соответствующие параметры. Для этого нам нужно будет применить так называемый метод наименьших квадратов. Также потребуется сделать чертеж, чтобы проверить, какая линия будет лучше выравнивать экспериментальные данные.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

В чем именно заключается МНК (метод наименьших квадратов)

Главное, что нам нужно сделать, – это найти такие коэффициенты линейной зависимости, при которых значение функции двух переменных F ( a , b ) = ∑ i = 1 n ( y i — ( a x i + b ) ) 2 будет наименьшим. Иначе говоря, при определенных значениях a и b сумма квадратов отклонений представленных данных от получившейся прямой будет иметь минимальное значение. В этом и состоит смысл метода наименьших квадратов. Все, что нам надо сделать для решения примера – это найти экстремум функции двух переменных.

Видео:Как строить параболу? | TutorOnlineСкачать

Как вывести формулы для вычисления коэффициентов

Для того чтобы вывести формулы для вычисления коэффициентов, нужно составить и решить систему уравнений с двумя переменными. Для этого мы вычисляем частные производные выражения F ( a , b ) = ∑ i = 1 n ( y i — ( a x i + b ) ) 2 по a и b и приравниваем их к 0 .

δ F ( a , b ) δ a = 0 δ F ( a , b ) δ b = 0 ⇔ — 2 ∑ i = 1 n ( y i — ( a x i + b ) ) x i = 0 — 2 ∑ i = 1 n ( y i — ( a x i + b ) ) = 0 ⇔ a ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + ∑ i = 1 n b = ∑ i = 1 n y i ⇔ a ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + n b = ∑ i = 1 n y i

Для решения системы уравнений можно использовать любые методы, например, подстановку или метод Крамера. В результате у нас должны получиться формулы, с помощью которых вычисляются коэффициенты по методу наименьших квадратов.

n ∑ i = 1 n x i y i — ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n — ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i — a ∑ i = 1 n x i n

Мы вычислили значения переменных, при который функция
F ( a , b ) = ∑ i = 1 n ( y i — ( a x i + b ) ) 2 примет минимальное значение. В третьем пункте мы докажем, почему оно является именно таким.

Это и есть применение метода наименьших квадратов на практике. Его формула, которая применяется для поиска параметра a , включает в себя ∑ i = 1 n x i , ∑ i = 1 n y i , ∑ i = 1 n x i y i , ∑ i = 1 n x i 2 , а также параметр
n – им обозначено количество экспериментальных данных. Советуем вам вычислять каждую сумму отдельно. Значение коэффициента b вычисляется сразу после a .

Обратимся вновь к исходному примеру.

Здесь у нас n равен пяти. Чтобы было удобнее вычислять нужные суммы, входящие в формулы коэффициентов, заполним таблицу.

Решение

Четвертая строка включает в себя данные, полученные при умножении значений из второй строки на значения третьей для каждого отдельного i . Пятая строка содержит данные из второй, возведенные в квадрат. В последнем столбце приводятся суммы значений отдельных строчек.

Воспользуемся методом наименьших квадратов, чтобы вычислить нужные нам коэффициенты a и b . Для этого подставим нужные значения из последнего столбца и подсчитаем суммы:

n ∑ i = 1 n x i y i — ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n — ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i — a ∑ i = 1 n x i n ⇒ a = 5 · 33 , 8 — 12 · 12 , 9 5 · 46 — 12 2 b = 12 , 9 — a · 12 5 ⇒ a ≈ 0 , 165 b ≈ 2 , 184

У нас получилось, что нужная аппроксимирующая прямая будет выглядеть как y = 0 , 165 x + 2 , 184 . Теперь нам надо определить, какая линия будет лучше аппроксимировать данные – g ( x ) = x + 1 3 + 1 или 0 , 165 x + 2 , 184 . Произведем оценку с помощью метода наименьших квадратов.

Чтобы вычислить погрешность, нам надо найти суммы квадратов отклонений данных от прямых σ 1 = ∑ i = 1 n ( y i — ( a x i + b i ) ) 2 и σ 2 = ∑ i = 1 n ( y i — g ( x i ) ) 2 , минимальное значение будет соответствовать более подходящей линии.

σ 1 = ∑ i = 1 n ( y i — ( a x i + b i ) ) 2 = = ∑ i = 1 5 ( y i — ( 0 , 165 x i + 2 , 184 ) ) 2 ≈ 0 , 019 σ 2 = ∑ i = 1 n ( y i — g ( x i ) ) 2 = = ∑ i = 1 5 ( y i — ( x i + 1 3 + 1 ) ) 2 ≈ 0 , 096

Ответ: поскольку σ 1 σ 2 , то прямой, наилучшим образом аппроксимирующей исходные данные, будет
y = 0 , 165 x + 2 , 184 .

Видео:Метод наименьших квадратов. Квадратичная аппроксимацияСкачать

Как изобразить МНК на графике функций

Метод наименьших квадратов наглядно показан на графической иллюстрации. С помощью красной линии отмечена прямая g ( x ) = x + 1 3 + 1 , синей – y = 0 , 165 x + 2 , 184 . Исходные данные обозначены розовыми точками.

Поясним, для чего именно нужны приближения подобного вида.

Они могут быть использованы в задачах, требующих сглаживания данных, а также в тех, где данные надо интерполировать или экстраполировать. Например, в задаче, разобранной выше, можно было бы найти значение наблюдаемой величины y при x = 3 или при x = 6 . Таким примерам мы посвятили отдельную статью.

Видео:Как легко составить уравнение параболы из графикаСкачать

Доказательство метода МНК

Чтобы функция приняла минимальное значение при вычисленных a и b , нужно, чтобы в данной точке матрица квадратичной формы дифференциала функции вида F ( a , b ) = ∑ i = 1 n ( y i — ( a x i + b ) ) 2 была положительно определенной. Покажем, как это должно выглядеть.

У нас есть дифференциал второго порядка следующего вида:

d 2 F ( a ; b ) = δ 2 F ( a ; b ) δ a 2 d 2 a + 2 δ 2 F ( a ; b ) δ a δ b d a d b + δ 2 F ( a ; b ) δ b 2 d 2 b

Решение

δ 2 F ( a ; b ) δ a 2 = δ δ F ( a ; b ) δ a δ a = = δ — 2 ∑ i = 1 n ( y i — ( a x i + b ) ) x i δ a = 2 ∑ i = 1 n ( x i ) 2 δ 2 F ( a ; b ) δ a δ b = δ δ F ( a ; b ) δ a δ b = = δ — 2 ∑ i = 1 n ( y i — ( a x i + b ) ) x i δ b = 2 ∑ i = 1 n x i δ 2 F ( a ; b ) δ b 2 = δ δ F ( a ; b ) δ b δ b = δ — 2 ∑ i = 1 n ( y i — ( a x i + b ) ) δ b = 2 ∑ i = 1 n ( 1 ) = 2 n

Иначе говоря, можно записать так: d 2 F ( a ; b ) = 2 ∑ i = 1 n ( x i ) 2 d 2 a + 2 · 2 ∑ x i i = 1 n d a d b + ( 2 n ) d 2 b .

Мы получили матрицу квадратичной формы вида M = 2 ∑ i = 1 n ( x i ) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n .

В этом случае значения отдельных элементов не будут меняться в зависимости от a и b . Является ли эта матрица положительно определенной? Чтобы ответить на этот вопрос, проверим, являются ли ее угловые миноры положительными.

Вычисляем угловой минор первого порядка: 2 ∑ i = 1 n ( x i ) 2 > 0 . Поскольку точки x i не совпадают, то неравенство является строгим. Будем иметь это в виду при дальнейших расчетах.

Вычисляем угловой минор второго порядка:

d e t ( M ) = 2 ∑ i = 1 n ( x i ) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n = 4 n ∑ i = 1 n ( x i ) 2 — ∑ i = 1 n x i 2

После этого переходим к доказательству неравенства n ∑ i = 1 n ( x i ) 2 — ∑ i = 1 n x i 2 > 0 с помощью математической индукции.

1. Проверим, будет ли данное неравенство справедливым при произвольном n . Возьмем 2 и подсчитаем:

2 ∑ i = 1 2 ( x i ) 2 — ∑ i = 1 2 x i 2 = 2 x 1 2 + x 2 2 — x 1 + x 2 2 = = x 1 2 — 2 x 1 x 2 + x 2 2 = x 1 + x 2 2 > 0

У нас получилось верное равенство (если значения x 1 и x 2 не будут совпадать).

1. Сделаем предположение, что данное неравенство будет верным для n , т.е. n ∑ i = 1 n ( x i ) 2 — ∑ i = 1 n x i 2 > 0 – справедливо.
2. Теперь докажем справедливость при n + 1 , т.е. что ( n + 1 ) ∑ i = 1 n + 1 ( x i ) 2 — ∑ i = 1 n + 1 x i 2 > 0 , если верно n ∑ i = 1 n ( x i ) 2 — ∑ i = 1 n x i 2 > 0 .

( n + 1 ) ∑ i = 1 n + 1 ( x i ) 2 — ∑ i = 1 n + 1 x i 2 = = ( n + 1 ) ∑ i = 1 n ( x i ) 2 + x n + 1 2 — ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = n ∑ i = 1 n ( x i ) 2 + n · x n + 1 2 + ∑ i = 1 n ( x i ) 2 + x n + 1 2 — — ∑ i = 1 n x i 2 + 2 x n + 1 ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = ∑ i = 1 n ( x i ) 2 — ∑ i = 1 n x i 2 + n · x n + 1 2 — x n + 1 ∑ i = 1 n x i + ∑ i = 1 n ( x i ) 2 = = ∑ i = 1 n ( x i ) 2 — ∑ i = 1 n x i 2 + x n + 1 2 — 2 x n + 1 x 1 + x 1 2 + + x n + 1 2 — 2 x n + 1 x 2 + x 2 2 + . . . + x n + 1 2 — 2 x n + 1 x 1 + x n 2 = = n ∑ i = 1 n ( x i ) 2 — ∑ i = 1 n x i 2 + + ( x n + 1 — x 1 ) 2 + ( x n + 1 — x 2 ) 2 + . . . + ( x n — 1 — x n ) 2 > 0

Выражение, заключенное в фигурные скобки, будет больше 0 (исходя из того, что мы предполагали в пункте 2 ), и остальные слагаемые будут больше 0 , поскольку все они являются квадратами чисел. Мы доказали неравенство.

Ответ: найденные a и b будут соответствовать наименьшему значению функции F ( a , b ) = ∑ i = 1 n ( y i — ( a x i + b ) ) 2 , значит, они являются искомыми параметрами метода наименьших квадратов (МНК).

Видео:Метод наименьших квадратов. Линейная аппроксимацияСкачать

Решения задач: метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов применяется для решения различных математических задач и основан на минимизации суммы квадратов отклонений функций от исходных переменных. Мы рассмотриваем его приложение к математической статистике в простейшем случае, когда нужно найти зависимость (парную линейную регрессию) между двумя переменными, заданными выборочными данным. В этом случае речь идет об отклонениях теоретических значений от экспериментальных.

Краткая инструкция по методу наименьших квадратов для чайников: определяем вид предполагаемой зависимости (чаще всего берется линейная регрессия вида $y(x)=ax+b$), выписываем систему уравнений для нахождения параметров $a, b$. По экспериментальным данным проводим вычисления и подставляем значения в систему, решаем систему любым удобным методом (для размерности 2-3 можно и вручную). Получается искомое уравнение.

Иногда дополнительно к нахождению уравнения регрессии требуется: найти остаточную дисперсию, сделать прогноз значений, найти значение коэффициента корреляции, проверить качество аппроксимации и значимость модели. Примеры решений вы найдете ниже. Удачи в изучении!

Видео:ЭЛЕМЕНТАРНО, ВАТСОН! Квадратичная Функция и ее график ПараболаСкачать

Примеры решений МНК

Пример 1. Методом наименьших квадратов для данных, представленных в таблице, найти линейную зависимость

Пример 2. Прибыль фирмы за некоторый период деятельности по годам приведена ниже:
Год 1 2 3 4 5
Прибыль 3,9 4,9 3,4 1,4 1,9
1) Составьте линейную зависимость прибыли по годам деятельности фирмы.
2) Определите ожидаемую прибыль для 6-го года деятельности. Сделайте чертеж.

Пример 3. Экспериментальные данные о значениях переменных х и y приведены в таблице:
1 2 4 6 8
3 2 1 0,5 0
В результате их выравнивания получена функция Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью (найти параметры а и b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

Пример 4. Данные наблюдений над случайной двумерной величиной (Х, Y) представлены в корреляционной таблице. Методом наименьших квадратов найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X.

Пример 5. Считая, что зависимость между переменными x и y имеет вид $y=ax^2+bx+c$, найти оценки параметров a, b и c методом наименьших квадратов по выборке:
x 7 31 61 99 129 178 209
y 13 10 9 10 12 20 26

Пример 6. Проводится анализ взаимосвязи количества населения (X) и количества практикующих врачей (Y) в регионе.
Годы 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
X, млн. чел. 10 10,3 10,4 10,55 10,6 10,7 10,75 10,9 10,9 11
Y, тыс. чел. 12,1 12,6 13 13,8 14,9 16 18 20 21 22
Оцените по МНК коэффициенты линейного уравнения регрессии $y=b_0+b_1x$.
Существенно ли отличаются от нуля найденные коэффициенты?
Проверьте значимость полученного уравнения при $alpha = 0,01$.
Если количество населения в 1995 году составит 11,5 млн. чел., каково ожидаемое количество врачей? Рассчитайте 99%-й доверительный интервал для данного прогноза.
Рассчитайте коэффициент детерминации

🌟 Видео

§24 Каноническое уравнение параболыСкачать

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать

Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Как решать систему уравнений графическим методом? | Математика | TutorOnlineСкачать

Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Решение квадратных неравенств | МатематикаСкачать

Лекция 31.3. Кривые второго порядка. Парабола.Скачать

Алгебра 9 класс. Решение систем уравнений через подстановку.Скачать

Решение квадратных неравенств графическим методом. 8 класс.Скачать

метод парабол для решения квадратных неравенствСкачать

Метод наименьших квадратов, урок 1/2. Линейная функцияСкачать

Построение параболыСкачать