Система тригонометрических уравнений с одной переменной (8 видео)

Е.П. Нелин, В.А. Лазарев

АЛГЕБРА

и начала математического

анализа

10 класс

учреждений. Базовый и

Содержание

§ 21. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Системы тригонометрических уравнений решаются с помощью тех же методов, что и алгебраические системы, в частности это исключение неизвестных и замена переменных. Исключить неизвестные можно с помощью одного из двух приемов:из одного уравнения выразить какое-то неизвестное (или функцию от него) и подставить его в другие или преобразовать данные уравнения и потом составить из них комбинации, в которых число неизвестных уменьшается.
Упражнения
Решение систем тригонометрических уравнений
п.1. Системы, в которых одно из уравнений является линейным
п.2. Системы с независимыми уравнениями
п.3. Системы с произведениями тригонометрических функций
п.4. Замена переменных в системах тригонометрических уравнений
п.5. Примеры
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
📽️ Видео

Видео:Решение тригонометрических уравнений и их систем. 10 класс.Скачать

§ 21. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Работу выполнила: Мусина В.А. студентка группы 45.3

Системы тригонометрических уравнений решаются с помощью тех же методов, что и алгебраические системы, в частности это исключение неизвестных и замена переменных. Исключить неизвестные можно с помощью одного из двух приемов:из одного уравнения выразить какое-то неизвестное (или функцию от него) и подставить его в другие или преобразовать данные уравнения и потом составить из них комбинации, в которых число неизвестных уменьшается.

Задача 1 . Решите систему уравнений

Из первого уравнения находим и подставляем во второе.

Получаем

Замечание. Если бы для нахождения значения y мы не рассмотрели отдельно формулу (1) со знаком «+» и знаком «–», то вместе с верными решениями получили бы и посторонние решения заданной системы.

Действительно, в таком случае имеем

Тогда, например, при n = 0 получаем

Таким образом, кроме решений, которые вошли в ответ, мы имеем еще две возможности:

Но эти пары значений х и у не являются решениями заданной системы, поскольку они не удовлетворяют первому уравнению.

Поэтому следует запомнить:

Когда решение уравнения cos x = а приходится применять для дальнейших преобразований, то удобно записывать его в виде двух формул: отдельно со знаком «+» и отдельно со знаком «–».

Задача 2 . Решите систему уравнений

Почленно сложим и вычтем эти уравнения. Получим равносильну систему

Представим последнюю систему в виде совокупности двух систем, записывая решения второго уравнения отдельно со знаком «+» и отдельно со знаком «–»:

Почленно складывая и вычитая уравнения этих систем, находим x и y:

Замечание. В запись ответа вошли два параметра n и k, которые независимо друг от друга «пробегают» множество целых чисел. Если попробовать при решении заданной системы воспользоваться только одним параметром, например n, то это приведет к потере решений. Таким образом, в каждом случае, когда система тригонометрических уравнений приводится к системе, состоящей из элементарных тригонометрических уравнений (то есть из уравнений вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a), при решении каждого из этих уравнений необходимо использовать свой целочисленный параметр.

Вопросы для контроля

Какие методы используются для решения систем тригонометрических уравнений?
Объясните, в каком случае при формальном решении системы уравнений мы можем потерять часть решений, а в каком случае —получить посторонние решения. Решите эту систему.

Упражнения

Решите систему уравнений (1–8).

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.Скачать

Решение систем тригонометрических уравнений

Системы тригонометрических уравнений бесконечно разнообразны. При их решении используются как общие методы: подстановки, сложения, замены переменной, так и частные, связанные с особенностями преобразований тригонометрических функций.
В этом параграфе мы рассмотрим только некоторые, наиболее характерные, подходы к решению таких систем.

п.1. Системы, в которых одно из уравнений является линейным

Если одно из уравнений системы является линейным, то система решается методом подстановки.

Например:
Решим систему ( begin x+y=fracpi4\ tgx+tgy=1 end )
Из верхнего линейного уравнения выражаем (y) через (x) и подставляем в нижнее: begin begin y=fracpi4-x\ tgx+tgleft(fracpi4-xright)=1 end end Решаем полученное уравнение относительно (x): begin tgx+frac=1Rightarrow frac=1-tgx end ОДЗ: (tgxne -1) begin 1-tgx=(1-tgx)(1+tgx)Rightarrow(1-tgx)(1-1-tgx)=0\ -tgx(1-tgx)=0\ begin left[ begin tgx=0\ tgx=1 end right. \ tgxne -1 end Rightarrow left[ begin tgx=0\ tgx=1 end right. Rightarrow left[ begin x_1=pi k\ x_2=fracpi4+pi k end right. end Получаем две пары решений: begin left[ begin begin x_1=pi k\ y_1=fracpi4-x=fracpi4-pi k end \ begin x_2=fracpi4+pi k\ y_2=fracpi4-left(fracpi4+pi kright)=-pi k end end right. end Ответ: (left)

п.2. Системы с независимыми уравнениями

Если уравнения системы являются независимыми, то они решаются по отдельности. При этом счетчики периодов обязательно должны быть различными (например, (k) и (n), для двух независимых уравнений).

Например:
Решим систему ( begin sin(x-y)=0\ cox(x+y)=1 end )
Уравнения независимы, решаем каждое из них, а затем методом сложения находим (x) и (y): begin begin x-y=pi k\ x+y=2pi n end Rightarrow begin 2x=pi k+2pi n\ 2y=2pi n-pi k end Rightarrow begin x=frac+pi n=fracpi2(k+2n)=fracpi2(2n+k)\ y=pi n-frac=fracpi2(2n-k) end end Ответ: (left(fracpi2(2n+k); fracpi2(2n-k)right))

п.3. Системы с произведениями тригонометрических функций

Системы с произведениями тригонометрических функций и приводимые к ним решаются методом сложения.

Например:
Решим систему ( begin sinx siny=frac<sqrt>\ cosx cosy=frac<sqrt> end )
Добавим и вычтем уравнения и используем формулы косинуса суммы и разности: begin begin cosxcosy+sinxsiny=frac<sqrt>\ cosxcosy-sinxsiny=0 end Rightarrow begin cos(x-y)=frac<sqrt>\ cos(x+y)=0 end end Мы получили систему из двух независимых уравнений. Решаем каждое из них, и затем используем метод сложения, чтобы найти (x) и (y): begin begin x-y=pmfracpi6+2pi k\ x+y=fracpi2+pi n end Rightarrow begin 2x=pmfracpi6+fracpi2+pi(2k+n)\ 2y=fracpi2pmfracpi6+pi(n-2k) end Rightarrow begin x=pmfrac+fracpi4+fracpi2(2k+n)\ y=fracpi4pmfrac+fracpi2(n-2k) end end Получаем две пары решений: begin left[ begin begin x_1=fracpi6+fracpi2(2k+n)\ y_1=fracpi3+fracpi2(n-2k) end \ begin x_2=fracpi3+fracpi2(2k+n)\ y_2=fracpi6+fracpi2(n-2k) end end right. end Ответ: (left)

п.4. Замена переменных в системах тригонометрических уравнений

Системы двух уравнений с двумя тригонометрическими функциями легко решаются с помощью замены переменных.

Например:
Решим систему ( begin tgx-siny=4\ tg^2x+sin^2y=26 end )
Замена переменных: (a=tgx, b=siny) begin begin a-b=4\ a^2+b^2=26 end Rightarrow begin a=b+4\ (b+4)^2+b^2=26 end Rightarrow begin a=b+4\ 2b^2+8b-10=0 end Rightarrow\ Rightarrow begin a=b+4\ b^2+4b-5=0 end Rightarrow begin a=b+4\ (b+5)(b-1)=0 end Rightarrow left[ begin begin a=-1\ b=-5 end \ begin a=5\ b=1 end end right. end Переменная (b=siny) ограничена: (-1leq bleq 1).
(b=-5lt-1) не подходит. Остается вторая пара решений: (begin a=5\ b=1 end )
Возвращаемся к исходным переменным: begin begin tgx=5\ siny=1 end Rightarrow begin x=arctg5+pi k\ y=fracpi2+2pi n end end Ответ: (left(arctg5+pi k; fracpi2+2pi nright))

п.5. Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений: a) ( begin x+y=pi\ sinx+siny=sqrt end )
Из верхнего линейного уравнения выражаем (y) через (x) и подставляем в нижнее: begin begin y=pi-x\ sinx+sin(pi-x)=sqrt end end Решаем полученное уравнение относительно (x): begin sinx+sinx=sqrtRightarrow 2sinx=sqrtRightarrow sinx=frac<sqrt>Rightarrow\ Rightarrow x=(-1)^kfracpi3+pi k= left[ begin fracpi3+2pi k\ frac+2pi k end right. end Получаем две пары решений: begin left[ begin begin x=fracpi3+2pi k\ y=pi-x=pi-fracpi3-2pi k=frac-2pi k end \ begin x=frac+2pi k\ y=pi-x=pi-frac-2pi k=fracpi3-2pi k end end right. end Ответ: (left<left(fracpi3+2pi k; frac-2pi kright), left(frac+2pi k; fracpi3-2pi kright)right>)

б) ( begin sinxcosy=frac34\ cosxsiny=frac14 end )
Добавим и вычтем уравнения и используем формулы синуса суммы и разности: begin begin sinxcosy+cosxsiny=1\ sinxcosy-cosxsinyfrac12 end Rightarrow begin sin(x+y)=1\ sin(x-y)=frac12 end end Мы получили систему из двух независимых уравнений. Решаем каждое из них, и затем используем метод сложения, чтобы найти (x) и (y): begin begin x+y=fracpi2+2pi k\ x-y=(-1)^nfracpi6=pi n end Rightarrow begin 2x=fracpi2+(-1)^nfracpi6+pi(2k+n)\ 2y=fracpi2-(-1)^nfracpi6+pi(2k-n) end Rightarrow\ Rightarrow begin x=fracpi4+(-1)^nfrac+fracpi2(2k+n)\ y=fracpi4-(-1)^nfrac+fracpi2(2k-n) end end Ответ: (left(fracpi4+(-1)^nfrac+fracpi2(2k+n); fracpi4-(-1)^nfrac+fracpi2(2k-n)right))

в) ( begin cosfraccosfrac=frac12\ cosxcosy=frac14 end )
Используем формулу произведения косинусов: $$ cosxcosy=frac12(cos(x+y)+cos(x-y)) $$ Получаем: begin cosfraccosfrac=frac12left(cosleft(frac+fracright)+cosleft(frac-fracright)right)=\ =frac12(cosx+cosy)\ begin frac12(cosx+cosy)=frac12\ cosxcosy=frac14 end Rightarrow begin cosx+cosy=1\ cosxcosy=frac14 end end Замена переменных: (a=cosx, b=cosy) begin begin a+b=1\ ab=frac14 end Rightarrow begin a=1-b\ (1-b)b=frac14 end Rightarrow begin a=1-b\ b^2-b+frac14=0 end Rightarrow begin a=1-b\ left(b-frac12right)^2=0 end Rightarrow begin a=frac12\ b=frac12 end end Возвращаемся к исходным переменным: begin begin cosx=frac12\ cosy=frac12 end Rightarrow begin x=pmfracpi3+2pi k\ y=pmfracpi3+2pi n end end Получаем четыре пары решений.
Ответ: ( left< begin left(-fracpi3+2pi k; -fracpi3+2pi nright), left(fracpi3+2pi k; fracpi3+2pi nright),\ left(-fracpi3+2pi k; fracpi3+2pi nright), left(fracpi3+2pi k; -fracpi3+2pi nright) end right> )

г) ( begin x+y=frac23\ 2cos(pi x)+4cos(pi y)=3 end )
Из верхнего линейного уравнения выражаем (y) через (x) и подставляем в нижнее: begin begin y=frac23-x\ 2cos(pi x)+4cosleft(pileft(frac23-xright)right)=3 end end Решаем полученное уравнение относительно (x): begin 2cos(pi x)+4cosleft(frac-pi xright)=3\ 2cos(pi x)+4left(cosfraccospi x+sinfracsinpi xright)=3\ 2cos(pi x)+left(left(-frac12right)cospi x+frac<sqrt>sinpi xright)=3\ 2cos(pi x)-2cos(pi x)+2sqrtsinpi x=3\ sinpi x=frac<sqrt>Rightarrow pi x= left[ begin fracpi3+2pi k\ frac+2pi k end right. Rightarrow x= left[ begin frac13+2k\ frac23+2k end right. end Получаем две пары решений: begin left[ begin begin x=frac13+2k\ y=frac23-x=frac13-2k end \ begin x=frac23+2k\ y=-2k end end right. end Ответ: (left)

Пример 2*. Решите систему уравнений:
a) ( begin sqrtcosx=0\ 2sin^2x-cosleft(2y-fracpi3right)=0 end )
Первое уравнение является независимым. Решаем его, чтобы найти (x): begin begin left[ begin cos2x=0\ cosx=0 end right.\ cos2xgeq 0 end Rightarrow begin left[ begin 2x=fracpi2+pi k\ x=fracpi2+pi k end right.\ -fracpi2+2pi kleq 2xleqfracpi2+2pi k end Rightarrow begin left[ begin x=fracpi4+frac\ x=fracpi2+pi k end right.\ -fracpi4+pi kleq xleqfracpi4+pi k end end

Система тригонометрических уравнений с одной переменной

Семейство решений (x=fracpi2+pi k) не подходит по требованию ОДЗ (закрашенные сектора).
Остается только: begin x=fracpi4+frac end

Подставляем полученный (x) во второе уравнение: begin 2sin^2left(fracpi4+fracright)-cosleft(2y-fracpi3right)=0 end Используем формулу понижения степени: (2sin^2x=1-cos2x) begin 2sin^2left(fracpi4+fracright)=1-cosleft(2left(fracpi4+fracright)right)=1-underbrace_=1 end Получаем: begin 1-cosleft(2y-fracpi3right)=0Rightarrow cosleft(2y-fracpi3right)=1Rightarrow 2y-fracpi3=2pi nRightarrow\ Rightarrow 2y=fracpi3+2pi nRightarrow y=fracpi6+pi n end Ответ: (left(fracpi4+frac; fracpi6+pi nright))

б) ( begin tgleft(fracpi4+xright)=2sqrtcos^3y\ tgleft(fracpi4-xright)=2sqrtsin^3y end )
Рассмотрим произведение: $$ tgleft(fracpi4+xright)cdot tgleft(fracpi4-xright)=fraccdot frac=1 $$ Умножим уравнения и получим: begin 1=8cos^3ysin^3y=(2cosysiny)^3=sin^32yRightarrow sin2y=1Rightarrow 2y=fracpi2+2pi k\ y=fracpi4+pi k end Поставляем полученный y в первое уравнение: $$ tgleft(fracpi4+xright)=2sqrtcos^3left(fracpi4+pi kright) $$ Косинус равен ±1, в зависимости от четверти, в которой находится угол (y): begin cosleft(fracpi4+pi kright)= left[ begin frac<sqrt>, y=frac+2pi k\ -frac<sqrt>, y=frac+2pi k end right. end В первом случае: $$ tgleft(fracpi4+xright)=2sqrtcdotleft(frac<sqrt>right)^3=1Rightarrowfracpi4+x=fracpi4+pi nRightarrow x=pi n $$ Во втором случае: $$ tgleft(fracpi4+xright)=2sqrtcdotleft(-frac<sqrt>right)^3=-1Rightarrowfracpi4+x=-fracpi4+pi nRightarrow x=-fracpi2+pi n $$ Получаем две пары решений: begin left[ begin begin x=pi n\ y=fracpi4+2pi k end \ begin x=-fracpi2+pi n\ y=frac+2pi k end end right. end Ответ: (left<left(pi n; fracpi4+2pi kright), left(-fracpi2+pi n; frac+2pi kright)right>)

в) begin begin sqrt=cosx\ 2sinxctgy+1=0 end end ОДЗ: ( begin 1+sinxsinygeq 0\ cosxgeq 0\ cosyne 0 end Rightarrow begin cosxgeq 0\ cosyne 0 end )
(1+sinxsinygeq 0) — это требование всегда выполняется.
Возведем первое уравнение в квадрат: begin 1+sinxsiny=cos^2xRightarrow 1-cos^2x+sinxsiny=0Rightarrow\ Rightarrow sin^2x+sinxsiny=0Rightarrow sinx(sinx+siny)=0Rightarrow left[ begin sinx=0\ sinx+siny=0 end right. end Из второго уравнения следует, что (sinx=0) никогда не является решением ((0+1ne 0)). Значит, остается (sinx+siny=0) begin begin sinx+siny=0\ 2sinxctgy+1=0 end Rightarrow begin siny=-sinx\ ctgy=-frac end Rightarrow cosy=sinycdot ctgy=frac12Rightarrow\ Rightarrow y=pm arccosfrac12+2pi k=pmfracpi3+2pi k\ sinx=-sinyRightarrow left[ begin x=y+pi=pipmfracpi3+2pi n= left[ begin frac+2pi n\ frac+2pi n end right. \ x=-y=pmfracpi3+2pi n end right. end По ОДЗ (cosxgeq 0), подходят только нижние корни.
Получаем две пары решений.
Ответ: (left)

Видео:10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок № 49. Системы тригонометрических уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

что такое система тригонометрических уравнений;
как решать системы тригонометрических уравнений;
какие приемы можно использовать при решении систем тригонометрических уравнений.

Глоссарий по теме

Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Записывается с помощью знака <

– система из трех уравнений с тремя неизвестными.

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений обращается в верное равенство.

Колягин Ю.М., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – М.: Просвещение, 2010. — 368 с.

Амелькин,, В.В., Рабцевич В.Л., Задачи с параметрами: Справ. пособие по математике – М.: «Асар», 1996. – 752 с.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Основными методами решения систем уравнений являются:

— метод замены переменной.

Также при решении систем тригонометрических уравнений используются многие тригонометрические формулы.

Рассмотрим решение систем тригонометрических уравнений.

При решении этой системы можно действовать по-разному:

1) можно использовать формулы преобразования произведения в сумму синусов (в первом уравнении) или косинусов (во втором уравнении)

2) можно использовать формулами косинуса суммы и разности во втором уравнении.

Воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму косинусов:

Теперь, учитывая, что косинус двойного аргумента может быть выражен через квадрат синуса и косинуса аргумента, возведем в квадрат первое уравнение. Но, так как возведение в квадрат не является равносильным преобразованием, введем ограничение:

, то есть и должны быть одного знака.