Данный онлайн калькулятор находит решение системы линейных уравнений (СЛУ) методом Гаусса. Дается подробное решение. Для вычисления выбирайте количество переменных и количество уравнений. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.»
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать
Метод Гаусса
Метод Гаусса − это метод перехода от исходной системы линейных уравнений (при помощи эквивалентных преобразований) к системе, которая решается проще, чем исходная система.
Эквивалентными преобразованиями системы линейных уравнений являются:
- перемена местами двух уравнений в системе,
- умножение какого-либо уравнения в системе на ненулевое действительное число,
- прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число.
Рассмотрим систему линейных уравнений:
 | (1) |
Запишем систему (1) в матричном виде:
| Ax=b | (2) |
  | (3) |
A-называется матрица коэффициентов системы, b − правая часть ограничений, x− вектор переменных, которую нужно найти. Пусть rang(A)=p.
Эквивалентные преобразования не меняют ранг матрицы коэффициентов и ранг расширеннной матрицы системы. Не меняется также множество решений системы при эквивалентных преобразованиях. Суть метода Гаусса заключается в приведении матрцы коэффициентов A к диагональному или ступенчатому.
Построим расшренную матрицу системы:
 | (4) |
Предположим a11≠0. Если это не так, то можно поменять местами эту строку со строкой с ненулевым элементом в столбце 1 (если нет таких строк, то переходим к следующему столбцу). Обнуляем все элементы столбца 1 ниже ведущего элемента a11. Для этого сложим строки 2,3, . m со строкой 1, умноженной на −a21/a11, −a31/a11, . −am1/a11, соответственно. Тогда (4) примет следующий вид:
 | (5) |
На следующем этапе обнуляем все элементы столбца 2, ниже элемента 
. Если данный элемент нулевой, то эту строку меняем местами со строкой, лежащий ниже данной строки и имеющий ненулевой элемент во втором столбце. Далее обнуляем все элементы столбца 2 ниже ведущего элемента a22. Для этого сложим строки 3, . m со строкой 2, умноженной на −a32/a22, . −am2/a22, соответственно. Продолжая процедуру, получим матрицу диагонального или ступенчатого вида. Пусть полученная расширенная матрица имеет вид:
 | (6) |
Обратим внимание на последние строки. Если 
. 
равны нулю, то система линейных уравнений имеет решение, если же хотя бы один из этих чисел отлично от нуля, то система несовместна. Иными словами, система (2) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A навен рангу расширенной матрицы (A|b).
Пусть 
. Тогда
  |
  | (7) |
 |
Так как rangA=rang(A|b), то множество решений (7) есть (n−p)− многообразие. Следовательно n−p неизвестных 
можно выбрать произвольно. Остальные неизвестные 
из системы (7) вычисляются так. Из последнего уравнения выражаем xp через остальные переменные и вставляем в предыдущие выражения. Далее из предпоследнего уравнения выражаем xp−1 через остальные переменные и вставляем в предыдущие выражения и т.д. Рассмотрим метод Гаусса на конкретных примерах.
Видео:Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать
Примеры решения системы линейных уравнений методом Гаусса
Пример 1. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:
 |
Матричный вид записи: Ax=b, где
 |
Для решения системы, запишем расширенную матрицу:
 |
Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1 1. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -2/3,-1/2 соответственно:
 |
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a2 2. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 9/8:
 |
Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):
 |
Из вышеизложенной таблицы можно записать:
 |
Подставив верхние выражения в нижние, получим решение.
 , , . |
Пример 2. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:
 |
Матричный вид записи: Ax=b, где
 |
Для решения системы, построим расширенную матрицу:
 |
Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a11. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/5,-6/5 соответственно:
 |
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -1:
 |
Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):
 |
Выразим переменные x1, x2 относительно остальных переменных.
 |
где x3, x4− произвольные действительные числа.
Подставив верхние выражения в нижние, получим решение.
 |
где x3, x4− произвольные действительные числа.
Векторный вариант решения:
Запишем вышеизложенное решение, представив свободные переменные в виде тождеств:
 |
Тогда векторное решение можно представить так:
 |
где x3, x4− произвольные действительные числа.
Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать
Система пяти уравнений с пятью неизвестными
Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!
Контакты
 |
